РГЗ 2 гр.5072

РГЗ 2
Задание 1.

  
Разложить вектор d по базису a , b , c , если
 
 
 








 
1. a  i  2 j  3k , b  i  3 j  2k , c  7i  3 j  5k , d  6i  10 j  17 k .
 
 

 




   

2. a  4i  7 j  8k , b  9i  j  3k , c  2i  4 j  k , d  i  13 j  13k .
 
  






  
 
3. a  8i  2 j  3k , b  4i  6 j  10k , c  3i  2 j  k , d  7i  4 j  11k .
  
 





   


4. a  10i  3 j  k , b  i  4 j  2k , c  3i  9 j  2k , d  19i  30 j  7k .
 





   

  

5. a  2i  4 j  k , b  i  3 j  6k , c  5i  3 j  k , d  24i  20 j  6k .
 
 
 








 
6. a  i  7 j  3k , b  3i  4 j  2k , c  4i  8 j  5k , d  7i  32 j  14k .
 
 
 








 
7. a  i  2 j  3k , b  4i  7 j  2k , c  6i  4 j  2k , d  14i  18 j  6k .
 
 
 






 
 
8. a  i  4 j  3k , b  6i  8 j  5k , c  3i  j  4k , d  21i  18 j  33k .
 
 
 

 







9. a  2i  7 j  3k , b  3i  j  8k , c  2i  7 j  4k , d  16i  14 j  27 k .
 
 






  



10. a  7i  2 j  k , b  4i  3 j  5k , c  3i  4 j  2k , d  2i  5 j  13k .
 
 
 







  
11. a  8i  j  8k , b  i  3 j  2k , c  7i  3 j  5k , d  6i  10 j  17 k .
 
 

 




   

12. a  6i  3 j  9k , b  9i  j  3k , c  2i  4 j  k , d  i  13 j  13k .
 
  







  

13. a  8i  2 j  3k , b  12i  8 j  13k , c  3i  2 j  k , d  7i  4 j  11k .
  
  
 








14. a  13i  12 j  3k , b  i  4 j  2k , c  3i  9 j  2k , d  19i  30 j  7k .
  
 






  
 
15. a  3i  7 j  7k , b  i  3 j  6k , c  5i  3 j  k , d  24i  20 j  6k .
 
 
 








 
16. a  i  7 j  3k , b  7i  12 j  7k , c  4i  8 j  5k , d  7i  32 j  14k .
 
 
 










17. a  5i  5 j  5k , b  4i  7 j  2k , c  6i  4 j  2k , d  14i  18 j  6k .
 
 
 







 

18. a  7i  12 j  8k , b  6i  8 j  5k , c  3i  j  4k , d  21i  18 j  33k .
 
 
 










19. a  2i  7 j  3k , b  5i  6 j  12k , c  2i  7 j  4k , d  16i  14 j  27 k .
 
 
 










20. a  11i  5 j  6k , b  4i  3 j  5k , c  3i  4 j  2k , d  2i  5 j  13k .
 
 
 







 
21. a  i  2 j  3k , b  i  3 j  2k , c  6i  7k , d  6i  10 j  17 k .
 
 
  

 






22. a  4i  7 j  8k , b  9i  j  3k , c  11i  3 j  4k , d  i  13 j  13k .
 
  






  

23. a  11i  4k , b  4i  6 j  10 k , c  3i  2 j  k , d  7i  4 j  11k .
 
 





   



24. a  10i  3 j  k , b  i  4 j  2k , c  4i  13 j  4k , d  19i  30 j  7k .
 
 





   



25. a  2i  4 j  k , b  i  3 j  6k , c  6i  6 j  7k , d  24i  20 j  6k .
  
 
 









26. a  5i  15 j  8k , b  3i  4 j  2k , c  4i  8 j  5k , d  7i  32 j  14k .
 
 
 










27. a  7i  2 j  5k , b  4i  7 j  2k , c  6i  4 j  2k , d  14i  18 j  6k .
 
 
 






 
 
a

i

4
j

3
k
,
b

7
i

12
j

8
k
,
c

3
i

j

4
k
,
d

21
i

18
j

33
k
.
28.
 
 
 

 







29. a  2i  7 j  3k , b  3i  j  8k , c  5i  6 j  12k , d  16i  14 j  27 k .
 
 
 










30. a  11i  5 j  6k , b  4i  3 j  5k , c  3i  4 j  2k , d  2i  5 j  13k .
Задание 2.
1. Найти b , если a  12, a  b  22 и a  b  14 .

2. При каком значении m векторы a 1;  3; 2, b 3;1; 4 и c m; 1;10
компланарны?
3. Найти координаты вектора a , перпендикулярного векторам 2i  j и



i  j  k , если a  2 6 и a; 2i  j; i  j  k – правая тройка векторов.


4. Найти угол между векторами a и b , если a  b  a  b .
5. Найти угол между векторами a и b , если a  2 b и вектор 2a  b
перпендикулярен вектору a  3b.
6. При
каких
значениях
параметра
m
a m;1; 2, b  3; 2;1, cm  1; 3; 4 будет правой?
тройка
векторов
7. Найти угол между векторами a и b , если 5a  4b  5a  4b .
8. Векторы a
и b образуют угол 120  . Найти 
из условий, что
b  2 a и вектор a   b перпендикулярен вектору a  b.
9. Найти a  b , если a  22,
b  46 и a  b  60 .
10. Найти координаты вектора
b , если он коллинеарен вектору
a 4; 4;  2 , образует острый угол с ортом k и b  12 .
11. Найти угол между векторами a и b , если a  b  a  b .
12. Векторы a и b неколлинеарны.
  1a  2b
Найти число  , если векторы
и 3a   b коллинеарны.
13. Найти координаты вектора a , перпендикулярного вектору b  1; 2; 2  ,
если a  3 и вектор a образует равные углы с векторами i и j .
14. Вектор a  3b перпендикулярен вектору 7 a  5b и
вектор a  4b
перпендикулярен вектору 7a  2b . Найти угол между векторами a и
b.
15. Найти косинус угла
В(3; 2; -2), С(3; -2; 1).
С треугольника
АВС, если
А(-1; 2; -1),
16. Найти координаты вектора a , перпендикулярного




b  i  j  2k и c  3i  j  k , если a  2 30 .
17. Пусть e1
3e
1

векторам
и e2 - единичные неколлинеарные векторы. Вычислить

 5e2  4e1  2e2 , если e1  e2  3 .

18. Найти a , если b  18, a  b  33 и a  b  21 .
19. Найти координаты вектора a , перпендикулярного векторам 2i  j и



i  j  k , если a  3 6 и a; 2i  j; i  j  k - левая тройка векторов.


20. Найти угол между векторами a и b , если 2a  3b  2a  3b .
21. Найти координаты вектора a , перпендикулярного вектору b  1; 2; 2  ,

если a  6 и вектор a образует равные углы с векторами i и k .
22. Найти координаты вектора
b , если он коллинеарен вектору

a  4; 4; 2 , образует острый угол с ортом i и b  24 .
23. При
каких
значениях
m
a m;  1; 2, b  3; 2;1, c1; 3; 5 будет левой?
24. Пусть e1
3e
1

тройка
векторов
и e2 - единичные неколлинеарные векторы. Вычислить

 4e2  2e1  5e2 , если e1  e2  3 .
25.Векторы
удовлетворяют условию
 
ab  bc  c a , если a  b  c  3 .
a, b, c
a  b  c  0.
Найти
26. Найти координаты вектора a , перпендикулярного вектору b  1; 2; 2  ,

если a  12 и вектор a образует равные углы с векторами i и j .
27. Найти координаты вектора
b , если он коллинеарен вектору

a  4;  4; 2 , образует тупой угол с ортом k и b  24 .
28. Найти косинус угла
В(3; 2; -5), С(1; -2; -1).
29. Векторы
С треугольника
АВС, если
удовлетворяют условию
 
ab  bc  c a , если a  b  c  5 .
a, b, c
А(-2; 2; -1),
a  b  c  0.
30. Найти координаты вектора a , перпендикулярного




b  2i  j  3k и c  3i  2 j  k , если a  10 3 .
Найти
векторам
Задание 3.
1. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку M 0 1; 1; 1 и
перпендикулярной
двум
плоскостям
3x  y  4 z  3  0
и
x  2 y  3z  7  0 .
2. Написать уравнение плоскости, проходящей через ось Y и через точку
М(-3; 3; -4).
3. Привести
к
каноническому
3x  3 y  2 z  9  0,

 x  2 y  4 z  3  0.
виду
4. Найти расстояние между двумя
x  2 y 1 z
x  7 y 1 z  3
.

 и


3
4
2
3
4
2
уравнения
прямой
параллельными
прямыми
5. Вычислить расстояние между плоскостями 11x  2 y  10 z  30  0 и
11x  2 y  10 z  75  0
6. Написать уравнение плоскости, проходящей через параллельные
x  3 y z 1
x 1 y 1 z
прямые
и
 

 .
2
1
2
2
1
2
7. Написать уравнение плоскости, проходящей через точку М(- 2; 3; 1)
x 1 y  2 z  2
перпендикулярно прямой
.


3
2
4
8. Убедившись,
что
прямые
2 x  2 y  z  10  0,

 x  y  z  22  0
и
x7 y 5 z 9
параллельны, найти расстояние между ними.


3
1
4
9. Вычислить расстояние от точки Р(-1; 1; -2) до плоскости, проходящей
через три точки М1(1; -1; 1), М2(-2; 1; 3), М3(4; -5; -2) .
x 1 y 1 z


1
2 6
10. Найти точку пересечения прямой
и плоскости
2x  3 y  z  1  0 .
11. Найти расстояние
x 3 y  2 z 8


.
3
2
2
от
точки
М(1;
-1;
-2)
до
прямой
12. Найти координаты точки Q, симметричной точке Р(1; 3; - 4)
относительно плоскости 3x  y  2 z  0 .
13. Написать уравнение плоскости, проходящей через точки М1(3; 0; -2)
и М2(4; 3; -1) и параллельной оси OZ.
14. Найти объем пирамиды, ограниченной плоскостью 2 x  3 y  z  6  0
и координатными плоскостями.
15. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку М(4; -3; 1)
x y
z
x 1 y  3 z  4
параллельно прямым
и
.
 


6 2 3
5
4
2
16. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку M 0 1;  2; 3
и
перпендикулярной двум плоскостям
3x  y  2 z  3  0
и
x  3 y  3z  6  0 .
17. Написать уравнение плоскости, проходящей через ось Z и через точку
М(-6; 5; -1).
18. Привести
к
каноническому
3x  2 y  2 z  7  0,

 x  4 y  z  6  0.
виду
уравнения
прямой
19. Найти расстояние между двумя параллельными
x  5 y  2 z 1
x  5 y 1 z  2
и
.




3
1
2
3
1
2
прямыми
20. Вычислить расстояние между плоскостями 11x  2 y  10 z  45  0 и
11x  2 y  10 z  15  0
21. Вычислить расстояние от точки Р(-1; 3; -2) до плоскости, проходящей
через три точки М1(1; -2; 1), М2(-2; 1; 4), М3(2; -1; 3) .
22. Найти координаты точки Q, симметричной точке Р(1; 2; -3)
относительно плоскости x  2 y  2 z  3  0 .
23. Написать уравнение плоскости, проходящей через точки М1(1; 0; -3)
и М2(2; 3; -2) и параллельной оси Oy.
24. Написать уравнение плоскости, проходящей через ось X и через точку
М(-5; 1; -2).
25. Привести
к
каноническому
2 x  3 y  3z  9  0,

 x  2 y  z  3  0.
виду
уравнения
прямой
26. Найти расстояние между двумя параллельными
x  2 y  3 z 1
x5 y 3 z 3
и
.




2
3
2
2
3
2
прямыми
27. Вычислить расстояние между плоскостями 11x  2 y  10 z  15  0 и
11x  2 y  10 z  45  0
28. Написать уравнение плоскости, проходящей через параллельные
x  2 y z 1
x 1 y  2 z 1
прямые
и
.
 


2
1 3
2
1
3
29. Написать уравнение плоскости, проходящей через точку М(- 1; 2; -3)
x 1 y  2 z
перпендикулярно прямой

 .
3
2
1
30. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку M 0 3;2; 1 и
перпендикулярной
двум
плоскостям
2x  3 y  4z  1  0
и
4 x  y  3z  5  0 .
Задание 4.
1. Написать уравнение окружности, которая проходит через точки
М1 (3; 1), М2 (-1; 3), а ее центр лежит на прямой 3x  y  2  0 .
2. Написать уравнение гиперболы, если ее фокусами являются точки
F1 (-41; 0), F2 (41; 0), а уравнения асимптот имеют вид y   0,225 x .
3. Вершина параболы и ее фокус совпадают соответственно с точками
А(4; 0), F(-6;0). Написать уравнение параболы.
4. Написать уравнение эллипса, если его фокусами являются точки
100
F1 (-6; 0), F2 (6; 0), а расстояние между директрисами равно
.
3
5. Написать уравнение гиперболы, если ее фокусами являются точки
50
F1 (-13; 0), F2 (13; 0), а расстояние между директрисами равно
.
13
6. Вершина параболы и ее фокус совпадают соответственно с точками
А(-3; 0), F(-7;0). Написать уравнение параболы.
x2 y2
7. Эллипс, задаваемый уравнением

 1, проходит через точку
a2 b2
(1; -1) и имеет эксцентриситет   0,8 . Найти уравнение эллипса.
8. Найти острый угол между асимптотами гиперболы x 2  3 y 2  3  0 .
9. Написать уравнение прямой, проходящей через точку М(1; 3) и правую
вершину гиперболы x 2  3 y 2  12  0 .
10. Написать уравнение окружности, которая проходит через точки
М1 (3; 1), М2 (-1; 1), а ее центр лежит на прямой 2 x  y  3  0 .
11. Написать уравнение окружности, которая проходит через точки
М1 (-3; 3), М2 (-5; 1), а ее центр лежит на прямой 4 x  y  8  0 .
12. Найти
тангенс
острого
угла
между
асимптотами
гиперболы
4 x 2  3 y 2  12  0 .
13. Написать уравнение прямой, проходящей через точку М(2; -4)
и
правый фокус гиперболы x 2  3 y 2  12  0 .
14. Найти
тангенс
острого
угла
между
асимптотами
гиперболы
4 x 2  5 y 2  20  0 .
15. Написать уравнение окружности, которая проходит через точки
М1 (2; 3), М2 (-4; 5), а ее центр лежит на прямой x  y  5  0 .
16. Написать уравнение гиперболы, если ее фокусами являются точки
F1 (-20; 0), F2 (20; 0), а уравнения асимптот имеют вид y   0,75 x .
17. Вершина параболы и ее фокус совпадают соответственно с точками
А(10; 0), F(-4;0). Написать уравнение параболы.
18. Написать уравнение прямой, проходящей через точку М(1; 3)
и
правый фокус гиперболы x 2  3 y 2  12  0 .
19. Написать уравнение прямой, проходящей через точку М(3; 5) и левый
фокус гиперболы 3x 2  y 2  12  0 .
20. Написать уравнение окружности, проходящей через точки А(-2,0),
В(2,0), С(0,1).
21. Написать уравнение окружности, проходящей через точки А(0,4),
В(0,-4), С(10,0).
22. Найти расстояние между правым фокусом гиперболы x 2  3 y 2  12  0
и левым фокусом эллипса 4 x 2  5 y 2  20  0 .
23. Найти расстояние от точки М(-4,4) до левого фокуса эллипса
4 x 2  5 y 2  20  0 .
24. Найти расстояние от точки М(1,-4) до правого фокуса гиперболы
x 2  3 y 2  12  0 .
25. Написать уравнение окружности, проходящей через точки А(0,6),
В(0,-6), С(-8,0).
26. Написать уравнение окружности, которая проходит через точки
М1 (2; 3), М2 (-4; -7), а ее центр лежит на прямой 2 x  3 y  4  0 .
27. Правый фокус эллипса
x2
a2

y2
b2
 1 совпадает с фокусом параболы
y 2  16 x . Найти уравнения директрис эллипса, если b  3 .
28. Написать уравнение прямой, проходящей через точку М(2,-5) и фокус
параболы y 2  20 x.
29. Написать уравнение касательной к окружности ( x  1) 2  ( y  2) 2  13 в
точке М(3,1).
30. Написать уравнение касательной к окружности ( x  3) 2  ( y  1) 2  17 в
точке М(2,3).