файл (Doc 159 Кб)

Изучи новый материал и запиши в тетрадь основные понятия и
примеры
1 Геометрический смысл определенного интеграла
Пусть на отрезке [a, b] задана непрерывная неотрицательная функция
y  f (x) . Криволинейной трапецией называется фигура, ограниченная
сверху графиком функции y = f(x), снизу – осью Ох, слева и справа –
прямыми x = a и x = b (рис. 2).
у
у=f(x)
S
а
0
b
х
Рис. 2
b
Определенный интеграл
 f ( x)dx
от неотрицательной
функции
a
y  f (x)
с геометрической точки зрения численно равен площади
криволинейной трапеции, ограниченной сверху графиком функции y  f (x) ,
слева и справа – отрезками прямых x  a и x  b , снизу – отрезком [a, b] оси
Ох.
3. Основные свойства определенного интеграла
1. Значение определенного интеграла не зависит от обозначения
b
переменной интегрирования:

b
b
a
a
f ( x)dx   f ( z )dz   f (t )dt  ... .
à
2. Определенный интеграл с одинаковыми пределами интегрирования
a
равен нулю:
 f ( x)dx  0.
à
3. Если a  b , то, по определению, полагаем
b
a
à
b
 f ( x)dx   f ( x)dx.
4. Постоянный множитель можно выносить за знак определенного
b
b
à
a
интеграла:  k  f ( x)dx  k  f ( x)dx.
5. Определенный интеграл от алгебраической суммы двух функций
равен алгебраической сумме определенных интегралов от этих функций:
b
b
b
a
a
a
 ( f ( x)  g ( x))dx   f ( x)dx   g ( x)dx .
6. Если функция f (x) интегрируема на [a, b] и a  c  b , то
b

c
b
a
c
f ( x)dx   f ( x)dx   f ( x)dx .
a
4. Формула Ньютона–Лейбница
Вычисление определенных интегралов через предел интегральных
сумм связано с большими трудностями. Поэтому существует другой метод,
основанный
на
тесной
связи,
существующей
определенного и неопределенного интегралов.
1
между
понятиями
Теорема 2. Если функция y  f (x) непрерывна на отрезке [a, b] и
F (x) – какая-либо ее первообразная на этом отрезке, то справедлива
следующая формула:
1
b
 f ( x)dx  F (b)  F (a) , (2)
a
которая
называется
формулой
Ньютона–Лейбница.
Разность
F (b)  F (a) принято записывать следующим образом:
F (b)  F (a)  F ( x) a ,
b
b
где символ
a
называется знаком двойной подстановки.
Таким образом, формулу (2) можно записать в виде:
b
 f ( x)dx  F ( x) a
b
 F (b)  F (a) .
a
Нахождение определенных интегралов с помощью формулы НьютонаЛейбница осуществляется в два этапа: на первом этапе находят некоторую
первообразную F (x) для подынтегральной функции f (x) ; на втором –
находится разность F (b)  F (a) значений этой первообразной на концах
отрезка [a, b] .
3
Пример 1. Вычислить интеграл  x 2 dx .
1
Решение. Для подынтегральной функции
f ( x)  x 2 произвольная
x3
 Ñ . Так как в формуле Ньютона-Лейбнипервообразная имеет вид F ( x) 
3
ца можно использовать любую первообразную, то для вычисления инx3
теграла возьмем первообразную, имеющую наиболее простой вид: F ( x)  .
3
3
x3
33 13
1
1
x
dx


 9 8 .
Тогда 
3 1 3 3
3
3
1
3
2
1

4
Пример 2. Вычислить интеграл  cos 2 xdx .
0
Решение. По формуле Ньютона-Лейбница имеем:


4
1
1

1

1
1
 cos2 xdx  2 sin 2 x  2 (sin 2  4  sin 2  0)  2 (sin 2  sin 0)  2 (1  0)  2 .
0
0
4
1. Площадь криволинейной трапеции
Пусть функция y  f (x) неотрицательна и непрерывна на отрезке
[a, b] . Тогда, согласно геометрическому смыслу определенного интеграла,
площадь криволинейной трапеции, ограниченной сверху графиком этой
функции, снизу – осью Ox , слева и справа – прямыми x  a и x  b (см.
рис. 2) вычисляется по формуле
b
S   f ( x)dx . (5)
a
Пример 9. Найти площадь фигуры, ограниченной линией y  2 x  x 2  8
и осью Ox .
Решение. Графиком функции y  2 x  x 2  8 является парабола, ветви
которой направлены вниз. Построим ее (рис. 3). Чтобы определить пределы
интегрирования, найдем точки пересечения линии (параболы) с осью Ox
(прямой y  0 ). Для этого решаем систему уравнений
 y  2x  x 2  8,

 y  0.
Получаем: 2 x  x 2  8  0 , откуда
a  2 , b  4 .
1
x1  2 ,
x 2  4 ; следовательно,
1
у
10
9
8
7
у=2х-х2+8
6
5
4
3
2
1
-3
-2 -1 0
1
3
2
4
5
6
7
х
8
Рис. 3
Площадь фигуры находим по формуле (5):
4
4
4
4
2
2
2
2
S   (2 x  x 2  8)dx  2  x dx   x 2 dx  8  dx  x
2 4
2
x3

3
4
 8 x 2 
4
2
 4 3 (2) 3 
 64 8 
  8  4  8  (2)   (16  4)      (32  16) 
 4  (2)    
3 
 3 3
 3
 12  24  48  36 (кв. ед.).
2
2
Если функция y  f (x) неположительна и непрерывна на отрезке
[a, b] , то площадь криволинейной трапеции, ограниченной снизу графиком
данной функции, сверху – осью Ox , слева и справа – прямыми x  a и x  b ,
вычисляется по формуле
b
S    f ( x)dx . (6)
a
В случае если функция y  f (x) непрерывна на отрезке [a, b] и меняет
знак в конечном числе точек, то площадь заштрихованной фигуры (рис. 4)
равна алгебраической сумме соответствующих определенных интегралов:
1
c
d
b
a
c
d
S  S1  S 2  S 3   f ( x)dx   f ( x)dx   f ( x)dx . (7)
у
у=f(x)
S1
с
а
S3
d
0
b
S2
х
Рис. 4
Пример 10. Вычислить площадь фигуры, ограниченной осью Ox и
графиком функции y  x 2  2 x при x  [0, 3] .
у
у=х2-2х
3
2
1
-1
0
1
2
3
4
х
Рис. 5
Решение. Сделаем чертеж (рис. 5). Искомая площадь представляет
собой сумму площадей S 1 и S 2 . Найдем каждую из этих площадей. Вначале
1
 y  x 2  2x ,
определим пределы интегрирования, решив систему 
Получим
 y  0.
x1  0 , x 2  2 . Следовательно:
2
2
x3
S1    ( x  2 x) dx    x dx  2 x dx  
 x2 0 
3 0
0
0
0
2
2
2
2
2
 23 03 
8
4
      2 2  0 2     4  ;
3
3
 3 3
3
3
x3
S 2   ( x  2 x) dx   x dx  2 x dx 
 x2 2 
3 2
2
2
2
3
3
2
3
2
 33 2 3 
19
4
     32  2 2    5  .
3
3
3 3
Таким образом, площадь S заштрихованной фигуры равна
S  S1  S 2 
4 4 8
2
   2 (кв. ед.).
3 3 3
3
у
y=f2(x)
S
y=f1(x)
0
а
х
в
Рис. 6
Пусть, наконец, криволинейная трапеция ограничена сверху и снизу
графиками непрерывных на отрезке [a, b] функций y  f 2 ( x) и y  f1 ( x) ,
1
а слева и справа – прямыми x  a и x  b (рис. 6). Тогда ее площадь
вычисляется по формуле
b
S   ( f 2 ( x)  f1 ( x)) dx . (8)
a
Пример 11. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями y  x и
y  x2  2 .
Решение. Данная фигура изображена на рис. 7. Площадь ее вычислим
y  x,
по формуле (8). Решая систему уравнений 
находим x1  1 ,
2
 y  x  2,
x 2  2 ; следовательно, a  1, b  2 . На отрезке [1, 2] имеем: x  x 2  2 .
Значит, в формуле (8) в качестве f 2 ( x) возьмем x, а в качестве f 1 ( x) – x 2  2 .
Получим:
S
 x  ( x
2
1
x2

2

2
x3

3
1
2
 2) dx   ( x  x 2  2) dx   x dx   x 2 dx  2  dx 
2
 2 x 1
2
1
2
2
2
2
1
1
1
1
 2 2 (1) 2   2 3 (1) 3 
 
  22  (1)  
  
2   3
3 
 2
3
1
 3  6  4 (кв. ед.).
2
2
Более сложные задачи на вычисление площадей решают путем
разбиения фигуры на непересекающиеся части и вычисления площади всей
фигуры как суммы площадей этих частей.
1
у
у=х
3
2
у=х2-2
1
-2
-1
0
1
2
х
3
-1
-2
Рис. 7
Пример 12. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями y  x ,
y
1
y  0 , x  3.
x2
Решение.
Сделаем
чертеж
(рис. 8).
Данную
фигуру
можно
рассматривать как криволинейную трапецию, ограниченную снизу осью Ox ,
слева и справа – прямыми x  0 и x  3 , сверху – графиками функций y  x и
y
1
. Так как фигура ограничена сверху графиками двух функций, то для
x2
вычисления ее площади разобьем данную фигуру прямой x  1 на две части
(1 – это абсцисса точки пересечения линий y  x и y 
1
). Площадь каждой
x2
из этих частей находим по формуле (4):
x2
S1   xdx 
2
0
1
1
0
12 0 2 1
 

2 2 2
(кв.
3
3
3
1
1
1
2
S 2   2 dx   x  2 dx  
  1  (кв. ед.). Следовательно:
x1 3
3
1 x
1
S  S1  S 2 
1 2 7
  (кв. ед.).
2 3 6
1
ед.);
1