    

Задание 5
1) Решить уравнение
xx  1  x  1x  2  x  2x  3  x  3x  4  x  4x  5  1 2  2  3  3  4  4  5
Решение.
x
2
 
 
 
 

 x  x 2  3x  1 2  x 2  5x  2  3  x 2  7x  3  4  x 2  9x  4  5 
 1 2  2  3  3  4  4  5 ,
x
2
 
 
 
 

 x  x 2  3x  x 2  5x  x 2  7x  x 2  9x  0
Сгруппируем первое и пятое, второе и четвертое слагаемые:
2x
2
 
 

 10x  2x 2  10x  x 2  5x  0
x 2  5x  0
x  0 x  5
Ответ: 0, -5.
2) Мастер, работая вместе с учеником, помог выполнить часть задания, а затем
прекратил свою работу. Оставшуюся часть задания ученик закончил один. В результате
время, затраченное на выполнение задания, оказалось в три раза меньше времени,
необходимого ученику для выполнения этого задания им одним. Во сколько раз мастер
затратил бы больше времени, выполняя один все задание по сравнению с тем временем,
которое он затратил на помощь ученику?
Решение.
Пусть x – время, которое требуется мастеру для выполнения всего задания, y –
время, которое требуется ученику, t – время, которое мастер затратил на помощь ученику.
Тогда за время t была выполнена t  1  1  часть задания, оставшуюся часть
x y 
 1 1
y

1 t    ученик выполнил за время y  t   1 . Таким образом,
x
x
y





y

3t  y  t   1   y ,
x


t 2 x 3
y

 t 
3  y  t   y , 3 1   1,  ,   1,5 .
x 3 t 2
x

 x
Ответ: в полтора раза.
3) При каких значениях параметра а корни уравнения x  3  4 x  1  x  8  6 x  1  a
принадлежат отрезку 2;17?
Решение.
x  1 4  4 x  1  x  1 9  6 x  1  a


2
x  1 2 


x  1 3
2
a
x  1  t . x  2;17 тогда и только тогда, когда t  1;4 ,
t 2  t 3  a .
y
а
0
3
2
t
Графики функции y  t  2  t  3 и y  a пересекаются в точках t  1;4 , если a  1;3 .
Ответ: a  1;3 .
2
4) Решить неравенство
2  4  x2

1
2  4  x2

1
x
Решение. ОДЗ: x  2.
2 
6  4  x2
4 x
2
2 
4 x
2


1
0
x
6  x2  4  x2
0
x2
При x  0 неравенство равносильно 6  x 2  4  x 2  0 ,
6  x2  4  x2
Пусть 4  x 2  t 2
2  t 2  t  0 , t – любое.
Ответ: x   2;0  0,2.
5) К двум внешне касающимся окружностям радиусов 2 и 5 построена секущая так, что
окружности отсекают на ней три равных отрезка. Найти длины этих отрезков.
Решение.
D
H2
C
K
B
H1
O2
A
O1
Пусть AB=BC=CD=x. Опустим перпендикуляры O1H1, O2H2 на прямую AD, O1K
x2
x2
на прямую O2H2. AH1=H2D=x/2, H1H2=2x. O1 H1  4 
, O2 H 2  25 
.
4
4
Рассмотрим прямоугольный треугольник O1KO2. Прямая O1O2 проходит через
точку касания, поэтому O1O2=2+5=7, O1K=H1H2=2x, KO2=O2H2-O1H1. По теореме
Пифагора
49  4 x 2 
поэтому
 25  x

/ 4  10  x
2
/ 4  4  x2 / 4

/ 4  25x

2

,
20  7 x 2 / 2  2 25  x 2 / 4 4  x 2 / 4 ,
7 x
2
 x2
49
 4
2
2
2
2
2

/44 ,

x2  x2 
x2
  140
    29
4  4 
4

x2
3x 4  111 , x  37 / 2 .
4
Ответ: 37 / 2