Прямоугольный параллелепипед (продолжение) 1

Прямоугольный параллелепипед (продолжение)
1. Прямоугольный параллелепипед
Определение. Параллелепипед АВСDА1В1С1D1 называется прямоугольным, если:
1. АА1 ⊥ АВСD (то есть, параллелепипед прямой).
2. АВ ⊥ АD, т. е. в основании тоже лежит прямоугольник.
Рис. 1
Основные элементы: грани, ребра, вершины, диагонали и др.
2. Свойства прямоугольного параллелепипеда
1. Все свойства произвольного параллелепипеда.
2. В прямоугольном параллелепипеде все шесть граней прямоугольники.
3. Все двугранные углы прямоугольного параллелепипеда прямые.
4.
5. Диагонали равны.
Рис. 2
(см. рис. 2).
Определение. Прямоугольный параллелепипед, у которого все три измерения равны,
называется кубом.
Все грани куба – это равные квадраты.
3. Задача 1
Найдите тангенс угла между диагональю куба и плоскостью одной из его граней.
Рис. 3
Дано: АВСDА1В1С1D1 – куб
Найти:
Решение:
Угол между прямой и плоскостью – это угол между прямой и ее проекцией. Проекцией
прямой B1Dна плоскость АВС является прямая BD, так как ВВ1 ⊥ ABC. Поэтому: ∠(B1D;
ABC) = ∠BDB1 = α. Ребро куба обозначим за а: AD = a. Тогда:
Ответ:
4. Задача 2
В прямоугольном параллелепипеде АВСDА1В1С1D1дано:
D1B = d, AC = m, AB = n.
Найдите расстояние между:
а) прямой А1С1 и плоскостью АВС;
б) плоскостями АВВ1 и DCC1:
в) прямой DD1 и плоскостью ACC1;
Найдите:
г) косинус угла между прямой D1B и плоскостью АВС;
д) расстояние между прямыми DD1 и AC.
Дано: АВСDА1В1С1D1 – прямоугольный параллелепипед.
D1B = d, AC = m, AB = n.
Рис. 4
а) ρ (А1С1, АВС)
Решение:
Пусть ВС = х, DD1 = y.
Найдем ВС из прямоугольного треугольника АВС с помощью теоремы Пифагора:
. То есть, х
.
BD = AC = m (как диагонали в прямоугольнике). Найдем DD1из прямоугольного
треугольника BDD1с помощью теоремы Пифагора:
. То есть, у
.
Прямая А1С1параллельна плоскости АВС. Значит, расстоянием между прямой и
плоскостью является перпендикуляр, опущенный с точки прямой А1С1 на плоскость АВС,
например, АА1. Значит, ρ (А1С1, АВС) = АА1 =
Ответ:
б) ρ (АВВ1, DCC1)
=у
.
Плоскости АВВ1 и DCC1 параллельны. Значит, расстоянием является перпендикуляр,
опущенный с любой точки одной плоскости на другую плоскость. Например,
перпендикуляр ВС. Из пункта а) имеем:
.
Ответ:
в) ρ (DD1, ACC1).
Прямая DD1параллельна прямой АА1 из плоскости АА1С1, а значит, прямая
DD1параллельна плоскости АА1С1. Опустим с точки Dпрямой DD1 перпендикуляр DH к
прямой АС (рис. 5).
Рис. 5
Прямая АА1 перпендикулярна плоскости АВС, а значит, и прямой DH, так как
.
Получаем, что прямая DHперпендикулярна двум пересекающимся прямым АА1 и АС из
плоскости АА1С1. Значит, прямая DH– есть перпендикуляр к плоскости ACC1. Тогда, DH =
ρ (DD1, ACC1).
Рис. 6
Из прямоугольного треугольника DHC выразим DH:
Из прямоугольного треугольника ADC имеем:
Получаем:
Ответ:
.
г)
Решение:
Угол между прямой D1Bи плоскостью АВС равен углу между прямой D1B и ее проекцией
на плоскость АВС. DD1 – перпендикуляр к плоскости АВС. Значит, проекция D1Bна
плоскость АВС – это DB. Значит, ∠(D1B, ABC) = ∠DBD1 = φ.
Ответ: .
д) ρ (DD1, AC).
Решение:
Прямая АС лежит в плоскости АВС, а прямая DD1 пересекает плоскость АВС в точке, не
лежащей на прямой АС. Значит, прямые DD1 и AC скрещиваются. Прямая DD1
параллельна плоскости АСС1, в которой лежит прямая АС.
Значит, ρ (DD1, AC) = ρ (DD1, ACC1) =
Ответ:
.
5. Итоги урока
.
Итак, мы повторили основные свойства прямоугольного параллелепипеда и решили
задачи с использованием этих свойств. Следующий урок мы посвятим повторению
перпендикулярности прямой и плоскости.
Домашнее задание
1. Найдите диагонали прямого параллелепипеда АВСDА1В1С1D1 , где ∠BAD = 120°,
AB = 4 см, AD = 8 см, AA1 = 6 см.
2. Вспомните, какие фигуры могут получиться в результате сечения параллелепипеда
плоскостью.
3. Найдите косинус двугранного угла при ребре ВВ1 прямого параллелепипеда
ABCDA1B1C1D1(см. рис.), если АА1 = 5 см, BD = 3 см, площадь грани АА1В1В =
см2, а площадь грани AA1D1D = 25 см2.