1 Проектная работа по математике на тему: «Об одном

1
Проектная работа по математике на тему:
«Об одном малоизвестном свойстве
прямоугольного треугольника».
Авторы:
Коршунова Наталья (8 класс),
Чолокава Тамари (7 класс)
Руководители:
Ленчевская Людмила Ивановна,
Синягина Валентина Николаевна,
Федюшина Тамара Васильевна
2
Содержание
Цель работы
3
Введение
4
1. Историческая справка, основные теоремы для прямоугольного
треугольника
2. Доказательство теоремы о сумме катетов прямоугольного
треугольника
3. Авторское доказательство следствия из теоремы
5
6
8
Заключение
10
Литература
11
3
Цель работы
Состоит в собственном доказательстве свойства прямоугольного
треугольника (сумма длин катетов равна сумме длин вписанного и
описанного диаметров) и предложении (на основе этого свойства) авторского
способа построения циркулем и линейкой отрезка, длина которого равна
длине диаметра вписанной в прямоугольный треугольник окружности.
Для достижения поставленной цели были сформулированы следующие
задачи:
 изучение математической литературы, посвященной свойствам
прямоугольных треугольников;
 расширение знаний по истории математики;
 развитие творческих способностей, математической интуиции;
 приобретение навыков самостоятельной научной работы;
 приобретение опыта публичных выступлений.
4
Введение
Представленная работа состоит из двух частей: в первой части
проведен экскурс в историю математики, описаны основные теоремы о
прямоугольных
треугольниках,
вторая
часть
содержит
авторское
доказательство одной из теорем и предложенный авторами собственный
способ построения отрезка, длина которого равна диаметру вписанной в
прямоугольный треугольник окружности.
Авторы работы встретили в математическом справочнике не изучаемое
в школе свойство прямоугольного треугольника, заинтересовались им и
смогли самостоятельно доказать это свойство. Размышляя над этим
свойством, авторы обнаружили очень наглядный
и остроумный способ
построения циркулем и линейкой отрезка, длина которого равна диаметру
вписанной окружности. Заслуживает особого внимания тот факт, что этот
способ является авторским. Ребята проштудировали математическую
литературу по этому вопросу и не нашли там подобного построения.
5
1. Историческая справка, основные теоремы для
прямоугольного треугольника.
Прямоугольные треугольники были известны и широко применялись
при проведении земляных и строительных работ очень давно. В
математической книге древнего Китая Чу – пей (примерно 2400год до н.э.)
говорится о пифагоровом треугольнике со сторонами 3,4 и 5. В этой же
книге приведен рисунок, который совпадает с одним из чертежей индусской
геометрии Басхары. Теорема Пифагора была известна уже египтянами около
2300 г. до н.э. во времена царя Аменхотепа I. В Двуречье около 2000 г. до н.э.
умели проводить вычисления с прямоугольными треугольниками. Основные
теоремы для прямоугольного треугольника были сформулированы и
доказаны в Древней Греции.
1. Теорема
Пифагора.
В
прямоугольном
треугольнике
квадрат
гипотенузы равен сумме квадратов катетов. Сейчас известно 367
доказательств теоремы Пифагора, и количество доказательств будет,
конечно, увеличиваться.
2. Сумма двух острых углов прямоугольного треугольника равна
прямому углу.
3. Центр описанной окружности прямоугольного треугольника лежит в
середине гипотенузы.
4. Медиана прямоугольного треугольника, проведенная из вершины
прямого угла на гипотенузу, является радиусом описанной около
этого треугольника окружности.
5. Высота,
опущенная
на
гипотенузу,
является
геометрическим проекций катетов на гипотенузу.
средним
6
2. Доказательство теоремы о сумме катетов
прямоугольного треугольника
Теорема:
В прямоугольном треугольнике сумма катетов равна
сумме диаметров вписанной и описанной
окружностей.
А
N
b -r
b
r
E
О
r
с
Дано:
C
r
r
r
F
a-r
a
в прямоугольный треугольник
вписана окружность.
Доказать:
сумма катетов равна сумме
диаметров вписанной и описанной
окружностей.
в
в
в
в
7
Доказательство:
Пусть AC=b, BC=а, AB=с, радиус вписанной окружности равен r, диаметр
описанной окружности равен D, диаметр вписанной окружности равен d.
F, E, N – точки касания.
OE  AC,
Следовательно,
OF
 BC,
т.к.
ON  AB,
радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной.
С
–
прямой,
следовательно,
OF∥AC,
OE∥BC,
т.к.
две
прямые,
перпендикулярные к одной прямой параллельны, Следовательно, CEOF –
параллелограмм (по определению параллелограмма). Т.к. ∠С – прямой, то
CEOF – прямоугольник, но т.к. его смежные стороны равны (OE=OF=r), то,
следовательно, CEOF – квадрат.
Значит, CF=CE=r.
BF=BC-CF=a-r,
AE=AC-CE=b-r.
8
По свойству двух касательных, проведенных из одной точки к окружности,
запишем:
BF=BN, AE=AN.
Значит, BN=a-r, AN= b-r.
Но AB = AN + BN = b – r + a – r = a+b-2r.
Значит, c=a+b-2r,
a+b-c=2r.(1)
Но в прямоугольном треугольнике гипотенуза равна диаметру описанной
окружности, следовательно:
a+b-D=2r,
a+b=D+d, что и требовалось доказать.
3. Авторское доказательство следствия из теоремы
Из записи a+b-c=2r следует возможность красивого построения циркулем
и линейкой отрезка равного величине диаметра вписанной в прямоугольный
треугольник окружности.
Дано:
Требуется:
прямоугольный треугольник.
построить циркулем и линейкой отрезок, длина
которого равна диаметру вписанной в данный
треугольник окружности.
9
Построение:
∠С = 900. Пусть АС = b, BC = a, диаметр вписанной окружности d.
Из вершины В проведем дугу радиуса а до пересечения с гипотенузой в
точке L, а из вершины А – дугу радиуса b до пересечения с гипотенузой в
точке K.
Так как в любом треугольнике сумма длин двух сторон всегда больше
третьей стороны, то в данном случае а+b больше с на 2r (cмотри формулу 1)
Т.е. отрезок KL=2r=d.
C
а
K
В
а
b
b
L
2r
A
10
Заключение
Работа представляет собой первый опыт научной работы авторов, но
проведенный анализ математической литературы и доказательства выглядят
очень достойно и являются логичными и убедительными. Результаты работы
используются на уроках геометрии при изучении темы «Прямоугольные
треугольники» и «Вписанные и описанные окружности». Доклады об этой
работе, сделанные авторами на заседаниях школьного научного общества и
на занятиях математического кружка, способствовали повышению интереса к
геометрии, у учеников школы.
11
Литература
1. Г.Н. Глейзер. История математики в школе. 7 - 8 классы. М.,
«Просвещение», 1978г.
2. Г.Н. Глейзер. История математики в школе.9 – 10 классы. М.,
«Просвещение», 1978г.
3. А.В.
Погорелов. «Геометрия. Учебник для 7 – 9 классов
общеобразовательных
учреждений»,
«Просвещение»,
ОАО
«Московские учебники», 2003 год.
4. Симоненко А.П. «Энциклопедический словарь юного математика»,
М. , Педагогика – Пресс, 1999год.
5. «Энциклопедия для детей. Том 11. Математика, Аванта +», М.,
Аванта +, 2002год.
6. Интернет – сайты: www//th – pif.narod.ru/history.htm