Полное название «Восстановление треугольника» Темы работы Название

Полное название
«Восстановление треугольника»
Темы работы
Название
Прикладная и фундаментальная математика
Направлений форума
Тип работы
Исследовательская работа
Возрастная
9-10 класс
Номинация
Фамилия имя
Горбачёва Анастасия
автора
Территория
г. Красноярск
Место учебы:
МБОУ Лицей №6 «Перспектива»
Класс
9 «Е»
Место выполнения
МБОУ Лицей №6 «Перспектива»
работы
Руководитель
Подчепаева Марина Викторовна,
МБОУ Лицей №6 «Перспектива», учитель математики.
Научный
Пономарева Надежда Николаевна,
руководитель
КГПУ им. В.П.Астафьева, к. п.н., доцент.
Ответственный за
Попкович Александр Сергеевич,
корректуру текста
МБОУ Лицей№6 «Перспектива».
работы
e-mail
[email protected]
Контактный телефон
Тел. 8-983-157-9684
Аннотация
Горбачева Анастасия Константиновна
Г. Красноярск, МБОУ Лицей №6 «Перспектива», 9 класс.
«Восстановление треугольника »
Научный руководитель: Пономарева Надежда Николаевна,
КГПУ им. В.П.Астафьева, к. п.н., доцент КГПУ.
Цель научной работы:
Восстановить треугольник по трем заданным точкам, про которые известно какую роль
они играют в треугольнике.
Методы проведенных исследований: поиск информации в литературе, построение
математической модели, выделение вспомогательной фигуры, эксперимент, анализ.
Основные результаты научного исследования:
1.
Построили математическую модель реальной ситуации.
2.
Изучили в литературе методы решения задач на построение.
3.
Выделили интересные точки в треугольнике.
4.
Рассмотрены и решены 24 задач, в работе представили 16 наиболее
интересных из них; получен вывод, что не всякие три точки треугольника
однозначно его определяют. А, именно, из рассмотренных нами 24 ситуаций, 12 –
это те, в которых по 3-м заданным точкам однозначно может быть построен
треугольник.
Основное содержание.
Населенные пункты имеют как наружные, так подземные сооружения. В
результате стихийных бедствий могут быть разрушены наземные сооружения и их надо
восстановить в соответствии с их подземными коммуникациями по каким-то
сохранившимся точкам.
Математическая модель: по некоторым точкам восстановить фигуру. Основа всех фигур –
это треугольник. Возникает вопрос: как можно восстановить его ( построить его вершины)
по каким-то трем точкам?
Этой проблемой мы занимаемся второй год. На первом этапе были выделены
основные, интересные точки треугольника и были решены 12 задач по восстановлению
треугольника по этим точкам. На втором этапе было расширено число базовых точек, по
которым будет восстанавливаться треугольник. Это потребует: систематизировать знания
о замечательных точках треугольника; познакомиться с различными методами решения
задач на построение.
Объектом исследования являются задачи на построение.
Задачи на построение - это особый вид задач, которые при своем решении требуют
интуиции, догадки, хорошего знания основных фактов геометрии, возможностей рабочих
инструментов, и умения доказывать, что построенная фигура удовлетворяет всем
требованиям задачи. Другое важное умение – это умение исследовать ситуацию на
предмет возможности ее разрешения и вариантов решения. Этим обосновывается
актуальность темы выбранной нами для исследования.
Предметом исследования являются возможности восстановления объекта
(треугольника) по каким-то его элементам.
Гипотеза: Так как треугольник - фигура жесткая, однозначно определяемая вершинами, то
три замечательных точки так же однозначно его определят.
Цель исследования: рассмотреть всевозможные наборы из 3-х точек и восстановить по
ним треугольник (построить его вершины)
В соответствии с поставленной целью, определением объекта, предмета, выдвинутой
гипотезой поставлены следующие задачи:
1. Изучение теории по решению задач на построение;
2. Систематизация знаний о замечательных точках треугольника;
3. Составление геометрических задач по данной теме и их решение.
Для решения поставленных задач были использованы следующие методы исследования:
моделирование, изучение методов решения задач на построение, выделение
вспомогательной фигуры, эксперимент, исследование.
Основная часть.
Сформулируем задачу - математическую модель рассмотренной реальной ситуации,
в общем виде так: даны три точки треугольника и описано свойство, характеризующее
отношение этих точек к искомому треугольнику. Требуется построить треугольник.
Предварительно изучим теорию по решению задач на построение [1,6,8,9,10].
Выделим интересные точки, с которыми будем работать: вершины треугольника;
середины сторон; основания высот; основание биссектрис; центр описанной
окружности; центр вписанной окружности; ортоцентр; центр тяжести; центры
вневписанных окружностей; точки симметричные ортоцентру треугольника относительно
сторон; точки пересечения биссектрисы, высоты и медианы треугольника с окружностью
описанной около этого треугольника [1,5,9,].Создадим различные комбинации из трех
точек перечисленных выше.
Нами были рассмотрены 24 задачи на построение. Их можно разделить на 3
группы:
1. Задачи, не имеющие решения.
2. Задачи, имеющие единственное решение задачи.
3. Задачи, имеющие бесконечное множество решений, т.е. фигура однозначно не
определена.
Рассмотрим наиболее интересные из них в плане построения и выводов.
Задачи 1 группы.
B
Н
М
A
О
С
2.
Построить треугольник по вершине - А
центрам вписанной - О и вне вписанной – О1
окружностей. Задача не имеет решения, если
О1
С
1.
Построить треугольник по центру тяжести - М, центру
описанной окружности – О и ортоцентру - Н. Задача не имеет
решения, если эти точки не лежат на одной прямой и
отношение НМ : МО ≠ 2 : 1 (свойство прямой Л.Эйлера) [5,9].
Если эти условия выполняются, то задача имеет бесконечное
множество решений.
О
∟ОА О1≠ 900 (свойство биссектрис смежных углов).
В
А
Задачи 2 группы.
3.
Построить треугольник по центрам: вписанной –
О. описанной - Р и вне вписанной – О1 окружностям.
С
О1
М
Р
О
А
В
Решение. Пусть ∆ АВС – искомый, тогда О – центр вписанной
окружности – точка пересечения биссектрис, Р – центр
описанной окружности - точка пересечения серединных
перпендикуляров, О1 - центр вне вписанной окружности – точка пересечения биссектрис
внешних углов.
1.
Середина отрезка ОО1 – М лежит на окружности, описанной около ∆ АВС
(теорема Мансиона) [5]. Точки А,В,С лежат на этой окружности.
2.
Точки А, О и О1 лежат на одной прямой – биссектрисе угла А.
3.
∟ОСО1 = ОВО1= 900 → точки С и В лежат на окружности центра М,
радиуса МО.
Эта задача и следующие задачи имеют единственное решение.
4.
Построить треугольник по центру вписанной окружности – О и двум
вершинам.
5.
Построить треугольник по центру вне вписанной окружности – О1 и двум
вершинам.
6.
Построить треугольник по центру тяжести - М и двум вершинам.
7.
Построить треугольник по ортоцентру – Н и двум вершинам.
8.
Построить треугольник по центру вписанной окружности – О. точки
касания ее со стороной и одной из вершин этой стороны.
9.
Построить треугольник по основаниям его высот.
10.
Построить треугольник по основаниям его медиан.
11.
Построить треугольник ABC по основаниям двух медиан и высоты.
12.
Построить треугольник по точкам пересечения его биссектрис с описанной
окружностью.
13.
Построить треугольник по точкам пересечения с описанной около него
окружностью высоты, медианы и биссектрисы, проведённых из одной вершины.
14.
Построить треугольник двум вершинам и основанию биссектрисы из одной
из данных вершин.
Задачи 3 группы (имеют бесконечное множество решений).
15.
Построить треугольник по центру описанной
окружности – Р и двум вершинам.
Р
А
В
16.
Построить треугольник двум вершинам А В и
основанию биссектрисы, проведенной из третьей вершимы С.
Рассмотрим решение этой задачи.
По свойству биссектрис внутреннего и внешнего углов
С
М
Е
К
треугольника имеем
=
=
→ точки К, М, С принадлежат
В
множеству точек, для каждой из которых отношение
расстояний до 2-х точек А и В есть величина постоянная – это
множество есть окружность Аполлония.[7]
А
Заключение.
В результате выполнения работы получены следующие результаты:
1. Построили математическую модель реальной ситуации.
2. Изучили в литературе методы решения задач на построение.
3. Выделили интересные точки в треугольнике.
4.
Рассмотрены и решены 24 задач, в работе представили 16 наиболее
интересных из них; получен вывод, что не всякие три точки треугольника
однозначно его определяют. А, именно, из рассмотренных нами 24 ситуаций, 12 –
это те, в которых по 3-м заданным точкам однозначно может быть построен
треугольник.
Литература.
1. Анищенко С.А. Геометрия ч.1. Красноярск: РИО ГОУ ВПО КГПУ им. В.П.Астафьева,
2008. – 98С.
2. Аргунов Б.И. Геометрические построения на плоскости./ Балк М.Б.  М.: Просвещение,
1966.  270с.
3. Атанасян Л.С. Геометрия 7- 9. М.: Просвещение 1994.
4. Глухова И.С. Практикум по решению задач планиметрии. /Глухова И.С., Нарчук О.М.,
Пономарева Н.Н., и др.- Красноярск , 2007. – 164с.
5. Зетель С.И. Новая геометрия треугольника.  М.: Государственное учебно –
педагогическое издательство министерства просвещения РСФСР, 1962.
6. Клименченко Д.В.Задачи на построение треугольника по некоторым данным точкам /
Цикунова Т.Д. - Математика в школе, 1990, №1, с.19.
7. Коксетер Г.С.М. Новые встречи с геометрией./ Грейтцер С.Л  М.: «Наука», 1978.
8. Куланин Е.Д.О построение треугольника по некоторым его замечательным точкам /
Федин С.Н. - Математика в школе, 1991, №3, с.46.
9. Погорелов А.В. Геометрия 7 – 11. М.: Просвещение, 1993.
10. Туманов С.И. Поиск решения задачи. – М.: Просвещение, 1969.