Программа курса

Программа курса
1. Введение. Вспомогательные сведения. Элементы теории множеств.
1. Значение и роль математики в экономике.
2. Понятие множества. Способы описания множеств. Сравнение множеств
и операции над ними. Числовые множества. Ограниченные числовые множества, точные грани числовых множеств, максимумы и минимумы. Логические
символы.
2. Теория функций одной переменной.
1. Постоянные и переменные величины; экономические переменные (показатели) и постоянные величины. Определение функции одной переменной. Понятие обратной функции. Примеры функции из экономической теории: функции спроса и предложения от цены товара и обратные к ним, кривые спроса и
предложения, однофакторные производственные функции, функция издержек.
Область определения и множества значений функций экономического анализа.
2. Числовые последовательности: определение, способы задания, операции
над ними. Приложения последовательностей в экономике: простые и сложные
проценты; понятие о дисконтировании.
3. Сходящиеся последовательности: бесконечно малые и бесконечно
большие последовательности; предел числовой последовательности (определение, геометрический смысл, свойство пределов). Приложения в экономике: непрерывное начисление процентов; паутинообразная модель рынка.
4. Предел функции в точке. Односторонние пределы. Основные свойства
предела функции. Понятия бесконечной малой и бесконечно большой функции
и их основные свойства. Два замечательных предела.
5. Непрерывность функции в точке и на множестве. Непрерывность элементарных функций. Теоремы о непрерывности сложной и обратной функции.
Точки разрыва и их классификация. Примеры непрерывных и разрывных экономических показателей и процессов. Основные свойства непрерывных функций: сохранение знака; прохождение через ноль; ограниченность и достижение
максимума и минимума на отрезке.
3. Дифференциальное исчисление функций одной переменной.
1. Определение производной, ее геометрический и физический смысл.
Дифференциал и его геометрический смысл. Таблица производных, правила
дифференцирования суммы, разности, произведения и частного. Дифференцирование сложной функции.
2. Приложения производной в экономике: простейшие предельные характеристики из экономического анализа (предельная выручка, предельные издержки, предельный продукт, предельная полезность); мгновенный прирост,
мгновенный темп прироста, эластичность.
3.Производные и дифференциалы высших порядков. Формула Тейлора.
Применение выпуклых и вогнутых функций в экономическом анализе.
4. Основные теоремы дифференциального исчисления: Ферма, Ролля, Лагранжа. Правило Лопиталя.
5. Приложение дифференциального исчисления к исследованию функций.
Условия возрастания и убывания функции на интервале. Экстремум функции:
определение, необходимое и достаточные условия существования экстремума.
Выпуклость и вогнутость, точки перегиба. Асимптоты графика функции. Схема
полного исследования функции.
6. Применение дифференциального исчисления к решению задачи о максимизации прибыли фирмой.
4. Интегральное исчисление функции одной переменной.
1 Первообразная и неопределенный интеграл, основные свойства. Таблица
основных интегралов. Методы интегрирования: непосредственное интегрирование, метод подстановки, интегрирование по частям, интегрирование рациональных дробей.
2 Определенный интеграл: определение, геометрический смысл, основные
свойства. Теорема о среднем. Интеграл с переменным верхнем пределом.
Формула Ньютона –Лейбница. Вычисление площадей плоских фигур. Понятие
о несобственных интегралах первого рода.
3 Приложение определенного интеграла в экономике: восстановление
функций экономического анализа по их предельным характеристикам, вычисление суммарных и средних величин; вычисление дисконтированных сумм,
вычисление потерь прибыли фирмой; вычисление ренты потребителя и продавца.
5. Введение в линейную алгебру и геометрию.
1. Понятие n-мерного вектора и пространства Rn .Сравнение векторов.
Арифметические операции над векторами: сумма, разность векторов, умножение вектора на число. Скалярное произведение векторов и его свойства. Длина
(норма) вектора, угол между векторам; ортогональность векторов; вектора
стандартного базиса, их ортогональность и разложение произвольного вектора
по базису. Линейная зависимость и независимость векторов.
2. Линейные уравнения и неравенства. Простейшие множества в пространстве Rn; уравнения прямой, луча, отрезка. Линейная функция векторного аргумента. Линейные функции дохода и издержек.
3. Понятие матрицы (ее элементов, индексов строк и столбов, порядка матрицы, прямоугольных и квадратных матриц). Специальные виды матриц: диагональная, единичная, симметричная. Действия с матрицами: равенство, сумма
и разность матриц, умножение матриц на число, умножение матриц, транспонирование.
4. Определитель матрицы: правило вычисления определителей матриц 2-го
и 3-го порядков. Миноры, алгебраические дополнения; вычисление определителя произвольного порядка путем разложения по элементам строк и столбцов.
Основные свойства определителей.
5. Обратная матрица, условия ее существования и способ вычисления.
6. Ранг матрицы, метод его определения. Эквивалентность матриц, элементарные преобразования матриц.
7. Системы линейных уравнений: развернутая и векторно-матричная формы записи. Однородные и неоднородные системы. Понятия совместности и решения системы; разрешимость однородных и неоднородных систем.
8. Теорема о существовании и единственности решения системы линейных
уравнений с квадратной матрицей коэффициентов. Решение систем линейных
уравнений с невырожденной матрицей: в матричной форме и по формулам
Крамера.
9. Условия совместности произвольных систем линейных уравнений: теорема Кронекера-Капелли. Метод исключения Гаусса и его модификация «Жордана-Гаусса».
6. Теория функций многих переменных.
1. Понятие функции многих переменных: примеры (производственные
функции, зависящие от двух факторов – трудовых ресурсов и капитала; функции спроса от цены и дохода) и определение. График функции 2-х переменных.
Линии уровня, способ их построения. Поверхности и кривые уровня (n>2). Поверхности и кривые уровня в экономической теории (кривые безразличия,
изокванты, изокосты)
2. Предел и непрерывность функции векторного аргумента. Частные производные и градиент функции многих переменных. Формула Тейлора 1-го порядка.
3. Частные производные 2-го порядка, гессиан (матрица вторых производных).
4. Приложения: дифференциальные (предельные) характеристики многофакторных функций в экономической теории: предельные продукты, издержки,
затраты, эластичность функции (спроса по доходу и цене; выпуска по капиталу
и труду)
5. Экстремум функций многих переменных: определение точек безусловного максимума и минимума (глобальных и локальных). Необходимое условия
экстремума первого порядка – теорема Ферма (равенство нулю градиента
функции). Условия экстремума второго порядка (через знакоопределенность
гессиана).
7.Элементы линейного программирования
Общая
постановка
задачи
линейного
программирования
(ЛП).Классификация задач ЛП.Графический метод решения задачи ЛП в случае
двух переменных.Решение задачи ЛП в MS Excel. Постоптимальный анализ.