математика - Теория относительности

ВІСНИК ДОНЕЦЬКОГО УНІВЕРСИТЕТУ, Сер. А: Природничі науки, 2006, вип. 1
М А Т Е М А Т И К А
УДК 511: 531/534:530:512.942
ИНВАРИАНТЫ И ДОПУСТИМЫЕ ДВИЖЕНИЯ В ГИПЕРПРОСТРАНСТВЕ
С.В.Терехов
Донецкий национальный технический университет
Введение.
Внешние произведения базисных элементов позволяют сгенерировать охватывающие алгебры над заданным числовым полем и построить схему поиска новых собственных преобразований системы координат
[1]. Это означает, что поиск новых алгебр, построенных на основе изучения внешних произведений реперных
элементов, дает возможность вычислить метрическую матрицу многообразия, метрические параметры и инварианты, найти собственные движения континуума и указывает на то, какими должны быть новые инвариантные уравнения, описывающие физические процессы в реальном 4-мерном пространстве-времени. В работе
[1] было показано, что алгебра базисных матриц, полученных в виде внешних произведений базисных векторов, при определенных соотношениях изоморфна алгебре гиперкомплексных чисел (кватернионов [2]) и алгебре матриц Паули (см., например, стр. 48-49 работы [3]). Математический и физический изоморфизмы алгебры базисных матриц демонстрирует актуальность и научную значимость предлагаемой модели. В этой статье исследуем комплексное многообразие кватернионов.
Векторное пространство и охватывающая алгебра для кватернионов.
В качестве базисных элементов выберем единицу и три гиперкомплексных числа i , j и k (Гамильтон, 1843), произведения которых определены в табл. 1.
Таблица 1. Произведения гиперкомплексных чисел i , j и k
i
i
j
k
1
k
j
j
k
1
i
k
j
i
1
Из табл.1 видно: произведение гиперкомплексных чисел некоммутативно (неперестановочно).
Отметим, что аналогичным законом умножения обладают орты координатных осей в векторной алгебре
со следующими отличиями: скалярное произведение en  em  nm , а векторное – en  em  qnmeq , где
  1, если все индексы различны и образуют нечетную подстановк у

.
nm – символ Кронекера,
  0, если хотя бы два индекса совпадают
 1, если все индексы различны и образуют четную подстановк у

Аналогичные соотношения справедливы в алгебре Клиффорда для базисных элементов кватернионного
числового поля. В физической интерпретации этим соотношениям можно сопоставить наличие в исследуемом многообразии поступательного и вращательного движений.
Метрический тензор для кватернионного поля согласно алгебре Клиффорда в определении [1] имеет вид
i
j
k
1


i

1
0
0

ˆ
G
.
(1)
j
0 1 0 


k
0
0  1

Из формулы (1) видно, что для гиперкомплексных единиц (в силу некоммутативности их произведения)
перекрестные, пространственные, матричные элементы метрического тензора равны нулю. Ориентатор
(экстенсив вращения) для данного случая имеет вид
0
0
0
0


0
0
k

j


ˆ  
.
(2)
0 k
0
i


0
j i
0 

 qnm
© Терехов С.В.
7
ВІСНИК ДОНЕЦЬКОГО УНІВЕРСИТЕТУ, Сер. А: Природничі науки, 2006, вип. 1
Таким образом, поле кватернионов содержит не только поступательное, но и вращательное движения.
Построим векторное пространство над кватернионным полем. Первый нормированный базисный
1  f2 

 , где псевдовектор f 2 (и f 1 ) определен в рабопсевдовектор запишем в виде бивектора g 1 
2  f2 j 
те [1]. Остальные три базисных псевдовектора получим путем комплексного сопряжения по комплексным числам i и j ( i – сопряжение и j – сопряжение) с учетом соотношений f 1  f 2 , f 2  f 1 и
j f1  f 2 j , j f 2  f1 j :
1  f1 

 , g3 
g 2  g 1 i 
2  f1 j 
Коммутации базисных псевдовекторов g n
1  f2 
1  f1 

 ,

 .
g 4  g 1 i  j 
2   f2 j 
2   f1 j 
( n  0  3 ) с гиперкомплексными числами i , j и k равны:
g 1 j 
i g 3  g1 i ;
i g1  g 3i ;
ig2  g4i ;
j g1  g 2 j ; j g 2  g1 j ;
j g3  g4 j ;
ig4  g2i ;
j g4  g3 j ;
(3)
k g1  g 4 k ;
k g2  g3k ; k g3  g2 k ;
k g 4  g1 k .
С учетом некоммутативности гиперкомплексных чисел эрмитово-сопряженные вектора равны:
1
1
1
1
g 1
f 2  j f 2 , g 2
f1  j f1 , g 3
f 2 j f 2 , g 4
f1 j f1 .
2
2
2
2
Свертки (скалярные или внутренние произведения) кватернионных базисных псевдовекторов рав-








ны gi g j  ij , где ij – символ Кронекера. Развертки (внешние произведения) базисных псевдовекторов приведены в табл. 2, в которой верхний индекс показывает сопряжение по соответствующей гиперкомплексной единице. Табл. 2 показывает, что существует всего четыре базисных гиперкомплексных
матрицы, остальные могут быть получены из этих матриц путем комплексного сопряжения по соответствующим комплексным единицам. Отсюда следует нетривиальный вывод: в гиперкомплексном многообразии существует 16 вещественных базисных матриц, которые будут найдены ниже.
Таблица 2. Развертки кватернионных базисных псевдовекторов
g 1
g 2
g 3
g 4
g1
U11
U12
U13
U14
g2
i
U 21  U12
i
U 22  U11
i
U 23  U14
i
U 24  U13
g3
j
U 31  U13
j
U 32  U14
j
U 33  U11
j
U 34  U12
g4
i  j
U 41  U14
i  j
U 42  U13
i  j
U 43  U12
i  j
U 44  U11
j
1  K  L j
1 L K j
1 K L j
 , U12  
 , U13  
 , U14  
K 
2L j
2K j  L 
2L j  K

Результат действия матриц Uij на базисные псевдовектора приведен в табл. 3.
где U11 
1 L K

L
2  K j

 .

Таблица 3. Действие матриц Uij на кватернионные базисные псевдовектора
g1
U11
g2
0
g3
0
g4
0
0
0
0
g2
0
0
0
0
g2
0
g3
0
g4
0
U21
0
0
U22
g2
0
0
U23
g1
U24
U12
g1
0
U13
0
g1
0
U14
0
0
g1
0
g1
g2
0
g3
0
g4
0
U41
0
0
U42
g4
0
g3
0
0
U43
g3
U44
U 31
U 32
g3
0
U33
0
g3
0
U34
0
0
8
g1
g2
0
g1
g2
g2
0
g3
0
g4
0
0
0
0
g4
0
0
0
0
g4
0
g4
Терехов С.В.
ВІСНИК ДОНЕЦЬКОГО УНІВЕРСИТЕТУ, Сер. А: Природничі науки, 2006, вип. 1
Запишем базисные матрицы Uij ( i  1 , j  1 4 ) в развернутом виде:
U11 
1  L  K j  1   0

  
L  4  0
2  K j
U12 
1  K  L j  1   2

  
K  4  0
2  L j
0   3 0   0

i  
 2   0  3    0
U13 
1  L K j  1   0

  
2  K j  L  4  0
0  1
0   0

i  


  0   0   1    2
0  1 0   0

i  
 0   0  1    2
 2 
 0
 j 
 3
0 

3 
k ;
0  

0 
 0  1 
 j 
k ;
1
0 
0  


2
 0 3 
 j 


 3 0  k ;
0 

 
0   3
0   0 0
 0 1 
 1   2

i  
 j 

  






1 0  k .
 4  0   2   0   3    0 0 

 
Базисными вещественными матрицами являются 16 матриц ( n  0  3 ):
0 
 n 0 
 0 n

 0  n 
; n 
 ; n   n
; n  
.
(4)
 n  

 n 0 
 0  n 
 n
0 
 0 n





Таким образом, поиск новых физических уравнений инвариантных по отношению к преобразованию аналогичному преобразованию Лоренца связан с использованием базисных матриц (4) или матриц Uii . Кроме того,
эти матрицы могут служить для построения новых изоклассных, ортогональных, собственных, невырожденных, обратимых и изометрических преобразований 4-мерного вещественного и гиперкомплексного многообразий, которые определяют собственные движения пространств. Отметим, что матрицы  n с матрицами  n
U14 
1 K

2  L j
Lj
K
(или с  n , или с  n ) образуют подалгебру изоморфную алгебре октав [2], причем матрица  0 играет роль
единичной матрицы. Закон умножения для указанных пар базисных матриц приведен в табл. 4. (Аналогичный
вид имеют таблицы для произведений матриц  n и  n ;  n и  n ).
Таблица 4. Произведения базисных матриц  n и  n
α0
α1
α2
α3
β0
β1
β2
β3
α0
α0
α1
α2
α3
β0
β1
β2
β3
α1
α1
–α0
–α3
α2
β1
–β0
–β3
β2
α2
α2
α3
α0
α1
β2
β3
β0
β1
α3
α3
–α2
α1
α0
β3
–β2
–β1
β0
β0
β0
β1
β2
β3
α0
α1
α2
α3
β1
β1
–β0
–β3
β2
α1
–α0
–α3
α2
β2
β2
β3
β0
β1
α2
α3
α0
α1
β3
β3
–β2
–β1
β0
α3
–α2
–α1
α0
Отметим, что матрицы Дирака (см., например, стр. 389 работы [4] и [5]) в теории электрона связаны с
базисными матрицами соотношениями:  0   0 ;  1   i  1 ;  2   2 ;  3   3 .
Другие пары базисных матриц не образуют подалгебру (табл. 5 и табл. 6, аналогично выглядит
таблица для произведений матриц  n и  n ), так как не содержат единичной матрицы, необходимой для
существования алгебры [2].
Таблица 5. Произведения базисных матриц  n и  n
β0
β1
β2
β3
χ0
χ1
χ2
χ3
Терехов С.В.
β0
α0
α1
α2
α3
–δ0
–δ1
–δ2
–δ3
β1
α1
–α0
–α3
α2
–δ1
δ0
δ3
–δ2
β2
α2
α3
α0
α1
–δ2
–δ3
–δ0
–δ1
β3
α3
–α2
–α1
α0
–δ3
δ2
δ1
–δ0
χ0
δ0
δ1
δ2
δ3
α0
α1
α2
α3
χ1
δ1
–δ0
–δ3
δ2
α1
–α0
–α3
α2
χ2
δ2
δ3
δ0
δ1
α2
α3
α0
α1
χ3
δ3
–δ2
–δ1
δ0
α3
–α2
–α1
α0
9
ВІСНИК ДОНЕЦЬКОГО УНІВЕРСИТЕТУ, Сер. А: Природничі науки, 2006, вип. 1
Таблица 6. Произведения базисных матриц  n и  n
χ0
χ1
χ2
χ3
δ0
δ1
δ2
δ3
χ0
α0
α1
α2
α3
β0
β1
β2
β3
χ1
α1
–α0
–α3
α2
β1
–β0
–β3
β2
χ2
α2
α3
α0
α1
β2
β3
β0
β1
χ3
α3
–α2
–α1
α0
β3
–β2
–β1
β0
δ0
–β0
–β1
–β2
–β3
–α0
α1
α2
α3
δ1
–β1
β0
β3
–β2
α1
–α0
–α3
α2
δ2
–β2
–β3
–β0
–β1
α2
α3
α0
α1
δ3
–β3
β2
β1
–β0
α3
–α2
–α1
–α0
3. Метрические параметры и инварианты, изотропные плоскости и преобразование кватернионных векторов.
Рассмотрим псевдовектора над кватернионным полем, используя разные виды комплексного сопряжения
 x0 
 x0 
 x0 
 x0 
 x0 










 i x1 
 j  i x1 
 i  j   i x1 
 i   i x1 
   i x1 
, X 
, X 
, X
, X 
X 

jx 
 j x2 
 j x2 
j x2 
 j x2 
 2








k x 
k x 
 kx 
 k x 
k x 
3
3
3
3
 3




им транспонированные вектора
X T   x0 i x1 j x2 k x3  ,
X 
X 
i T
  x0  i x1 j x2  k x3  ,
 
  x0  i x1  j x2 k x3  , X
и эрмитово-сопряженные вектора
i  j T
X    x0  i x1  j x2  k x3  ,
T
j T
  x0 i x1  j x2  k x3  ,
  x0  i x1  j x2  k x3  ;
X i   x0 i x1  j x2 k x3  ,
X    x

X i  j   x0 i x1 j x2  k x3  ,
X 
X  j   x0  i x1 j x2 k x3  ,

0 i x1 j x2 k x3 .
2
Введем следующие обозначения: L  x0  x12  x22  x32 – длина (модуль) вектора, N12  x02  x12  x22  x32 ,
N 22  x02  x12  x22  x32 ,
N32  x02  x12  x22  x32 ,
M12  x02  x12  x22  x32 ,
M 22  x02  x12  x22  x32 ,
M 32  x02  x12  x22  x32 , S 2  x02  x12  x22  x32 – норма вектора, и вычислим метрические параметры (ска-
2
лярные произведения) этих псевдовекторов (табл. 7). Табл. 7 показывает, что скалярные произведения
транспонированных псевдовекторов с исходными псевдовекторами того же вида приводят к норме вектора. Внутренние произведения транспонированного псевдовектора на псевдовектор, комплексносопряженный к исходному псевдовектору, и эрмитово-сопряженного псевдовектора на исходный псевдовектор приводят к длине псевдовектора. Свертки псевдовекторов с их эрмитово-сопряженными псевдовекторами приводят к длине вектора, а указанные в предыдущем предложении скалярные произведения псевдовекторов – к норме псевдовектора. Следовательно, транспонированные псевдовектора образуют с исходными псевдовекторами квазиевклидово пространство, а эрмитово-сопряженные псевдовекторы совместно с исходными псевдовекторами – евклидово гиперпространство.
Таблица 7. Метрические параметры кватернионных псевдовекторов
X
X i
Xj
X i  j
X
S2
N 22
N12
N32
L2
i T
N 22
S2
N32
N12
M 22
j T
N12
N32
S2
N 22
M 32
N32
N12
N 22
S2
M12
L2
M 22
M 32
M12
S2
XT
X 
X 
X
X 
 T
10

i j T
 X
Терехов С.В.
ВІСНИК ДОНЕЦЬКОГО УНІВЕРСИТЕТУ, Сер. А: Природничі науки, 2006, вип. 1
X i  j
X
X i
Xj
L2
M 22
M 32
M12
S2
i 
M 22
L2
M12
M 32
N 22
j 
M 32
M12
L2
M 22
N12
i j 
M12
M 32
M 22
L2
N32
 
S2
N 22
N12
N32
L2
X
X 
X 
X 
X 
X
Найдем метрические инварианты псевдовекторов:
 L2  2 x0  x1  x2  x3  ; X T Ĝ X i  M 22  2 x0 x2 ;
X i  j  M12  2 x0 x3 ; X T Ĝ X   S 2 .
X T Ĝ X  j
1) X T Ĝ Х
X T Ĝ
 M 32  2 x0 x1 ;
  Ĝ Х  M  2 x x ;  X  Ĝ X  L  2 x  x  x  x  ;
 X  Ĝ X  M  2 x x ;  X  Ĝ X  M  2 x x ;
 X  Ĝ X  N  2 x  x  x  .
3)  X  Ĝ Х  M  2 x x ;  X  Ĝ X  M  2 x x ;
 X  Ĝ X  L  2 x  x  x  x  ;  X  Ĝ X  M  2 x x ;
 X  Ĝ X  N  2 x  x  x  .
 Ĝ Х  M  2 x x ;  X  Ĝ X  M  2 x x ;
4)  X
 X  Ĝ X  M  2 x x ;  X  Ĝ X  L  2 x  x  x  x  ;
 X  Ĝ X  N  2 x  x  x  .
5)  X  Ĝ Х  S ;  X  Ĝ X  N  2 x  x  x  ;
 X  Ĝ X  N  2 x  x  x  ;  X  Ĝ X  N  2 x  x  x  ;
 X  Ĝ X  L  2 x  x  x  x  .
2) X i
T
2
2
i T
j
i T

0 2
2
1
0 3
2
2
0
j T
1
2
3
j T
j
j T

0
2
1
0
2
1
i j T
j
i j T

j
 T

2
3
0
0
2
0
1
2
3
2
3
0 1
3
j T
1
2
2
3
2
1
j T
3
0 3
i  j
i
i j T
2
3
i  j
2
2
0 2
0 1
2
0
1
2
0
1
2
3
2
i
2
1
i
i j T
0 1
 T
2
1
2
i  j
0 2
2
 T
i T
0 3
2
2
 T
i
0 1
2
i j T
i T
3
2
2
2
 T
0
1
3
i  j
2
3
3
2
N 2  2 x0
*
 x1  x3  ; X * Ĝ X  j  N12  2 x0  x2  x3  ;
 S ; X Ĝ X 
X * Ĝ X i  j  N32  2 x0  x1  x2  ; X Ĝ X   L 2  2 x0  x1  x2  x3  .
7) X * i Ĝ Х  N 22  2 x0  x1  x3  ; X * i Ĝ X  i  S 2 ; X * i Ĝ X  j  N32  2 x0  x1  x2  ;
X * i Ĝ X i  j  N12  2 x0  x2  x3  ; X * i Ĝ X   M 22  2 x0 x2 .
8) X * j Ĝ Х  N12  2 x0  x2  x3  ; X * j Ĝ X  i  N32  2 x0  x1  x2  ; X * j Ĝ X  j  S 2 ;
X * j Ĝ X i  j  N 22  2 x0  x1  x3  ; X * j Ĝ X   M 32  2 x0 x1 .
9) X * i * j Ĝ Х  N32  2 x0  x1  x2  ; X * i * j Ĝ X  i  N12  2 x0  x2  x3  ;
2
*
6) X Ĝ Х
X * i * j Ĝ X  j
i
*
 N 22  2 x0  x1  x3  ; X * i * j
Ĝ X i  j
  Ĝ Х  L  2 x  x  x  x  ;  X  Ĝ X
 X  Ĝ X  M  2 x x ;  X  Ĝ X  M
10) X 
 *
*
2
0
1
2
3
 *
 *
i
 S 2 ; X* i * j
Ĝ X 
 M 12  2 x0 x3 .
 M 22  2 x0 x2 ;
 
*
 2 x0 x3 ; X  Ĝ X   S 2 .
Отсюда следует, что наличие вращения в кватернионном многообразии приводит к необходимости учета
нормативов различных векторов, что приводит к «расслоению» метрических параметров и инвариантов
евклидового и гиперкомплексного пространств. Единственным «нерасщепляющимся» параметром и инвариантом остается норма псевдовектора.
j
Терехов С.В.
2
3
0 1
i  j
2
1
11
ВІСНИК ДОНЕЦЬКОГО УНІВЕРСИТЕТУ, Сер. А: Природничі науки, 2006, вип. 1
 x0 
 
x 
Для вещественного вектора X   1  метрический параметр в евклидовом пространстве равен
x
 2
x 
 3
его длине X T X  L 2 , а метрический инвариант в метрике четырехмерного гиперпространства определяется формулой:
X T Gˆ X  S 2  2 x x i  x j  x k  .
0 1
2
3
Так как действительная часть этого выражения совпадает с нормой вектора (интервал между событиями
в гиперпространстве) и присутствует мнимая часть, то это приводит к необходимости введения различных нормативов вектора. Введем в рассмотрение три пространственно-временных и три пространственных норматива вещественного вектора Х:
– пространственно-временные:
– пространственные:
X 
2
12
X 
2
01
2 x1 x2 ,
2 x0 x1 ,
X 
2
23
X 
2
02
2 x2 x3 и
2 x0 x2 и
X 
2
31
X 
2
03
2 x0 x3 ;
2 x3 x1 .
Тогда длина и норма вещественного вектора будут связаны между собой соотношением:
S 4  L4 
X 
4
01
X 
4
02
X 
4
03
4
X  12
 X 
4
23
4
X  31
.
(5)
 x0 
 
x 
Рассмотрим разложения вещественного вектора X   1  и псевдовектора гиперпространства
x
 2
x 
 3
 x0 


 i x1 
по базисным псевдовекторам. Базисное правостороннее (в силу некоммутативности кватерY 
jx 
 2
k x 
 3
нионов) разложение вещественного вектора имеет вид:
(6)
X  g1 a1  g 2 a2  g3 a3  g4 a4 ,
1
x0  i x1  j x2  k x3  , a2  g2* X  1 x0  i x1  j x2  k x3  ,
2
2
1
1
a3  g3* X  x0  i x1  j x2  k x3  , a4  g 4* X  x0  i x1  j x2  k x3  .
2
2
Несмотря на некоммутативность гиперкомплексных чисел i , j и k , разложение вещественного вектора
(6) будет совпадать с левосторонним разложением вида
(7)
X  b1 g1  b 2 g2  b 3 g3  b 4 g 4
где гиперчисла a1  g1* X 
( b n  a n , n  1 4 ), что нетрудно показать, если воспользоваться формулами (3) и привести (7) к виду
(6). Разложим псевдовектор Y по базисным псевдовекторам:
(8)
Y  g1 d1  g2 d2  g3 d3  g 4 d 4 ,
1
1
где числа d1  g1*Y  x0  x1  x2  x3  , d 2  g 2*Y  x0  x1  x2  x3  ,
2
2
1
1
d3  g3*Y  x0  x1  x2  x3  , d 4  g 4*Y  x0  x1  x2  x3  .
2
2
В силу вещественности коэффициентов разложения (8) справедлива такая же запись правостороннего
разложения вида (7) для псевдовектора Y. Из вида коэффициентов разложения d n ( n  1 4 ) следует,
что гиперплоскости
x0  x1  x2  x3  0 , x0  x1  x2  x3  0 , x0  x1  x2  x3  0 , x0  x1  x2  x3  0
являются выделенными гиперплоскостями 4-мерного, евклидова пространства, так как на указанных
плоскостях соответствующие проекции псевдовектора обращаются в нуль. Такие плоскости (по аналогии с псевдоевклидовой плоскостью) будем называть изотропными. С физической точки зрения в приведенных гиперплоскостях движутся частицы со скоростью света. Кроме того, эти плоскости разделяют
гиперпространство на будущее, прошлое, реальное пространство и пространство тахионов, скорость
12
Терехов С.В.
ВІСНИК ДОНЕЦЬКОГО УНІВЕРСИТЕТУ, Сер. А: Природничі науки, 2006, вип. 1
движения которых превышает скорость света. Если зафиксировать время, то эти плоскости в гиперпространстве описываются уравнениями
x
x
x
x
x1
x
x
x
x
x
x
x
(9)
 2  3  1, 1  2  3  1, 1  2  3  1, 1  2  3  1
 x0  x0  x0
x0  x0 x0
 x0 x0 x0
x0 x0  x0
и образуют в пространстве ромбоид, показанный на рисунке. Отметим, что ромбоид неограничен по плоскостям, которые описываются
x3
x2
x1
уравнениями:
x
x
x1 x2 x3
x
x
x
x


 1, 1  2  3 1, 1  2  3 1,
x0 x0 x0
 x0 x0  x0
x0  x0  x0
x
x1
x
 2  3  1,
 x0  x0 x0
(10)
которые совпадают с уравнениями (9), если время имеет отрицательный знак. Следовательно, если гиперплоскости (9) ограничивают будущее, то гиперплоскости (10) – прошлое (или наоборот).
В заключение построим изоклассное, ортогональное, собственное, невырожденное, обратимое и
изометрическое преобразование 4-мерного евклидового и псевдоевклидового пространств. Из матриц
Uij выберем те, которые не изменяют базисных псевдовекторов (матрицы Uii ), тогда их линейная комбинация определит искомое преобразование:
 11 12 
 U11  1  U 22  2 U 33  3 U 44  4 ,
(9)
  



21
22


где числа  n ( n  1 4 ) в общем случае принадлежат множеству гиперкомплексных чисел,  nm – матрицы размерностью 2 2 . Учет физических требований к матрице преобразования приводит к следующим выражениям для матриц  nm :
 
1
  K j e
2
11   22 
12   21
 
 K j e
1
L e i   j   k   e i   j   k   L  e i   j   k   e i   j   k 
2
i  j   k 
 e i  j   k 

i   j   k 
,
 e i   j   k 
 .
Если углы     0 , то полученные формулы соответствуют преобразованию поворота на евклидовой плоскости.
Выводы
Использование внешнего произведения базисных элементов и матричного исчисления позволило
построить последовательную теорию поиска физически значимых алгебраических структур в виде генерации охватывающих алгебр над полями соответствующих чисел. Показано, что базисные матрицы
охватывающей алгебры могут быть использованы для построения алгебр Паули и Дирака. Вещественная
часть метрической матрицы гиперпространства определяет метрику псевдоевклидова пространствавремени, для которого ориентатор отличен от нулю, что свидетельствует о наличии в этом пространстве
не только поступательного, но и вращательного движений. Кроме того, предложенный подход позволяет
строить изометрические, собственные, ортогональные, обратимые матрицы преобразования вещественных векторов в евклидовом и псевдоевклидовом пространствах, относительно которых уравнения физики должны быть инвариантными.
РЕЗЮМЕ
Досліджена охоплююча алгебра над полем гіперкомплексних чисел (кватерніонів) і показано, що деякі базисні матриці утворюють підалгебру октав. Відмінність орієнтатора від нуля породжує «розщеплювання» метричних
параметрів і інваріантів псевдовекторного простору. Вказано на наявність ізоморфізму між алгеброю базисних матриць і алгеброю Дірака. Побудована матриця перетворення системи координат в гіперпросторі.
SUMMARY
The algebra above the field of hypercomplex numbers (quaternions) was studied and it is shown that some base matrices form the subalgebra of octaves. The difference of the orientator from zero generates «breaking» up of metrical parameters and invariants of the pseudo vector space. The presence of accordance between the algebra of base matrices and the Dirac algebra it is indicated. The matrix of transformation of the system of co-ordinates in hyperspace is built.
Терехов С.В.
13
ВІСНИК ДОНЕЦЬКОГО УНІВЕРСИТЕТУ, Сер. А: Природничі науки, 2006, вип. 1
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Терехов С.В. Генерация алгебр пространств Евклида и специальной теории относительности. – Вісник Донецького університету, Сер. А: Природничі науки, 2005, вип.1. – С.163-174.
2. Кантор И.Л., Солодовников А.С. Гиперкомплексные числа. – М.: Наука, 1973. – 144 с.
3. Мессиа А. Квантовая механика. – М.: Наука, 1979. – Т. 2. – 583 с.
4. Дубровин Б.А., Новиков С.П., Фоменко А.Т. Современная геометрия. – М.: Наука, 1979. – 760 с.
5. Дирак П. Принципы квантовой механики. – М.: Наука, 1979. – 480 с.
Надійшла до редакції 29.01.2006 р.
14
Терехов С.В.