ВАЛ

Лабораторная работа №2
Задание №9-4
РАСЧЕТ ВАЛА НА УСТАЛОСТНУЮ ПРОЧНОСТЬ
Выполнить расчет вала (рис. 1) на сопротивление усталости, приняв:
T1  T2  1000Hм ;
Ft1  8кН ;
Ft 2  20кН ;
Fr1  3кН ;
Fr 2  13кН ;
Fa1  2кН ;
Fa 2  6кН ;
M a1  M a 2  170Нм ;
F  3кН
Через F обозначена равнодействующая осевых сил, нагружающая правую опору.
Вал изготовлен из стали 55 со следующими характеристиками:
предел прочности:  b = 700 МПа;
предел текучести:  t = 420 МПа;
предел выносливости при изгибе:  1 = 336 МПа;
предел выносливости при кручении:  1 =175 МПа.
Вид механической обработки поверхности: тонкое шлифование.
2
2
25
40
50
100
25
80
На рис. 2 показана канавка А.
0.5
50
B40
B50
B60
B40
R5
R1.6
5
50
Расчет
В данном примере расчет сводится к определению коэффициента запаса длительной
усталостной прочности s, минимально допустимое значение которого рекомендуется
выбирать из диапазона sa = 1,5 ÷ 2,5 .
Для рассматриваемой задачи принимаю sa  2,2
Расчетный запас прочности определяется для наиболее опасного сечения, поэтому,
прежде всего, нужно найти те сечения вала, которые подлежат проверке. В моем случае
такими сечениями будут:
• сечение 1—1, в котором имеется концентратор напряжений в виде галтели;
• сечение 2—2, ослабленное шпоночным пазом в месте приложения внешних сил
Ft1 , Fr1 , Fa1 моментов M a1 ,T1 ;
• сечение 3—3 с канавкой А;
• сечение 4—4, имеющее шпоночный паз в месте приложения внешних сил
Ft 2 , Fr 2 , F a 2 моментов M a 2 ,T2 .
Для каждого из этих сечений необходимо провести расчет усталостной прочности при
совместном действии напряжений кручения и изгиба:
s  s sr / s2  sr2  s ,
где
 1
s 
— коэффициент запаса сопротивления усталости по изгибу;
K aD am     m
 1
sr 
- коэффициент запаса сопротивления усталости по напряжениям
K rD am   r m
сдвига;
 am и  am — амплитуды переменных напряжений;
 m и  m — средние напряжения цикла;
  и  r — коэффициенты асимметрии цикла, учитывающие влияние средних напряжений
на величину усталостной прочности; величины этих коэффициентов, согласно ГОСТ
25.504-82, рекомендуется выбирать следующим образом:
   0,02  2  10 4  b  0,02  2  10 4  700  0.16 ;
 r  0,5   0,08 ;
Kd и Kd — коэффициенты концентрации напряжений в опасном сечении при изгибе и
кручении соответственно:
KD  K / K d   1 / K F  1 / K r ;
KD  K / K d   1 / K F  1 / K v .
Для получения числовых значений KD и KD необходимо рассчитать ряд параметров:
K и K  — эффективные коэффициенты концентрации напряжений, учитывающие
влияние местных напряжений на величину запаса по усталостной прочности;
K d и K dr — масштабные факторы, характеризующие повышение вероятности появления
усталостных трещин при возрастании линейных размеров детали, вычисляющиеся по
формулам:
  d  2v 
  d  2vt 
K d  0,51  
  , K dr  0,51  
 ,
  7,5  
  7,5  
где d — выраженный в миллиметрах диаметр вала,
v  0,19  1,25  10 4  b  0,19  1,25  10 4  700  0,103 ,
vt  1,5v  0,155
K F и K Fr — коэффициенты влияния качества (шероховатости) поверхности, для тонкого
шлифования равные K F = K Fr — 1;
K v , — коэффициент, учитывающий наличие поверхностного упрочнения, равный для
заданного вала K v = 1, поскольку последний изготовлен без поверхностного упрочнения.
В этом случае расчетные формулы для вычисления коэффициентов концентрации
напряжений в опасном сечении значительно упрощаются:
KD  K / K d ; KD  K / K d ,
Учитывая характер работы вала, можно, если противное не оговорено особо, закон
изменения вызванных изгибом нормальных напряжений считать симметричным, а
сжатием и растяжением по отношению к изгибу пренебречь. При таких допущениях
 m  0 ,  am  M / W ,
M  M x2  M y2 — результирующий изгибающий момент;
W — осевой момент сопротивления.
Касательные напряжения, в свою очередь, всегда положительны и могут изменяться
пульсационно от нуля до номинального значения, поэтому
 m   am  0,5  T / 2W p ,
W p — полярный момент сечения.
Определение геометрических характеристик опасных сечений
Сечение 1—1:
d 3 3,14  403
W1 

 6283 мм 3 ; W1 p  2W1  12566мм3
32
32
Сечения 2—2 и 3—3:
d 3 3,14  503
W2  W3 

 12272 мм 3 ; W2 p  W3 p  2W2  24544 мм3
32
32
Сечение 4—4:
d 3 3,14  603
W4 

 21206 мм 3 ; W4 p  2W4  42412 мм3
32
32
Построение эпюр изгибающих и крутящих моментов для заданного вала
1. Радиальные реакции опор от сил в зацеплении
1) в плоскости XOZ
 M1  0; R2r  230  Ft 2 165  Ft1  75  0
Ft 2  165  Ft1  75
 11.74кН
230
 M 2  0;  R1r  230  Ft1 155  Ft 2  65  0
R2 r 
Ft 2  65  Ft1  155
 0,26кН
230
Проверка:  X  R2 r  Ft1  Ft 2  R1r  11,74  8  20  0,26  0
2) В плоскости YOZ
F d
F d
 M1  0; Fr1  75  a12 1  a 22 2  Fr 2 165  R2b  230  0
F  75  Fa1  d1 2  Fa 2  d 2 2  Fr 2  165
R2b  r1
 10,87кН
230
F d
F d
 M 2  0; R1b  230  Fr1 155  a12 1  a 22 2  Fr 2  65  0
F  155  Fa1  d1 2  Fa 2  d 2 2  Fr 2  65
R1b  r1
 5,13кН
230
Проверка:  X  R1b  Fr1  Fr 2  R2b  5,13  3  13  10,87  0
R1r 
Силовые факторы в опасном сечении 1-1:
изгибающий момент
в горизонтальной плоскости: M y1  260  25  103  6,5Нм
в вертикальной плоскости: M x1  5130  25  10 3  128,25Нм
результирующий изгибающий момент:
M 1  M x21  M y21  128,41Нм
Силовые факторы в опасном сечении 2—2:
изгибающий момент
в горизонтальной плоскости: M y 2  260  75 103  19,5Нм
в вертикальной плоскости (слева от сечения): M x 2  5130  75  10 3  384,75Нм
в вертикальной плоскости (справа от сечения):
M x 2  10870  0,155  13000  0,09  170  344,85Нм
результирующий изгибающий момент:
M 2  M x22  M y22  385,24Нм
Силовые факторы в опасном сечении 3— 3:
изгибающий момент
в горизонтальной плоскости: M y 3  260  0,125  8000  0,05  432,5Нм
в вертикальной плоскости: M x3  5130  0,125  3000  0,05  170  321,25Нм
результирующий момент:
M 3  M x23  M y23  538,75Нм
Силовые факторы в опасном сечении 4—4:
изгибающий момент
в горизонтальной плоскости: M y 4  11740  0,065  763,1Нм
в вертикальной плоскости {справа от сечения): M x 4  10870  0,065  706,55Нм
в вертикальной плоскости {слева от сечения):
M x 4  5130  0,165  3000  0.09  170  406,45Нм
результирующий момент:
M 4  M x24  M y24  1039,97 Нм
Момент кручения во всех сечениях одинаковый: Т= 1000 Нм. Исключение составляет
сечение 1—1, в котором Т = 0.
Определение коэффициента запаса прочности по сечениям
Сечение 1—1.
Так как момент кручения в этом сечении равен нулю, то S  S aX
Амплитудное напряжение изгиба:
M
128,4  103
 am1  1 
 20,436 мПА
W1
6283
Эффективный коэффициент концентрации в сечении 1—1:
K 1  1,59
Масштабный фактор:
  40  20,103 
K d 1  0,51  

  0,5
  7,5 

Коэффициент концентрации напряжений при изгибе:
K
1,59
K aD1   1 
 1,87
K d 1 0,85
Следовательно, коэффициент запаса прочности в сечении 1—1 равен:
336
S  S 1 
 8,79
20,436  1,87
Сечение 2—2.
Амплитуды напряжений и среднее напряжение цикла:
M 2 385,24  103
 am2 

 31,391МПа ;
W2
12272
T
1000  103

 20,372 МПа
2  W p 2 2  24544
Коэффициенты концентрации напряжений и масштабные факторы:
K  2  2;
K r 2  1,7
 m 2   am2 
  50  20,103 
  50  20,155 
;
K d 2  0,51  

0
,
838
K

0
,
5



1  
  0,778 ;
dr 2
  7,5 

  7,5 

K
K
2
1.7
K aD 2   2 
 2,387 ; KD 2   2 
 2,185
K d 2 0,838
K dr 2 0,778
Коэффициенты запаса по нормальным и касательным напряжениям:
336
175
S 2 
 4,484 ; S r 2 
 3,793
31,391  2,387
20,3722,185  0,08
Тогда коэффициент запаса прочности в сечении 2—2:
S S
S 2   2 r 2  2,896
S2 2  S r22
Сечение 3—3.
Амплитуды напряжений и среднее напряжение цикла:
M
538,75  103
 am3  3 
 43,9МПа ;
W3
12272
T
1000  103

 20,371МПа
2W p 3 2  24544
Коэффициенты концентрации напряжений и масштабные факторы:
K r 3  1,312
K 3  1,91 ;
 m3   am3 
K d 3  K d 2  0,838 ;
K dr 3  K dr 2  0,778
K
K
1,91
1,312
K aD3   3 
 2,28 ; KD 3   3 
 1,686
K d 3 0,838
K dr 3 0,778
Коэффициент запаса прочности в сечении 3—3:
336
175
S 3 
 3,357 ; S r 3 
 5,07
43,9  2,28
20,3711,686  0,08
S S
S 3   3 r 3  2,799
S2 3  S r23
Сечение 4-4
Амплитуды напряжений и среднее напряжение цикла:
M
1039,97  103
 am4  4 
 49,041МПа ;
W4
21206
 m 4   am4 
T
1000  103

 11,789 МПа
2W p 4 2  42412
Коэффициенты концентрации напряжений и масштабные факторы:
K 4  2;
K r 4  1,7
K d 4
K aD 4
  60  20,103 
  60  20,155 
 0,51  

0
,
826
K

0
,
5
;



1  
  0,762 ;
dr 4
  7,5 

  7,5 

K
K
2
1,7
 4 
 2,421 ; KD 4   4 
 2,231
K d 4 0,826
K dr 4 0,762
Коэффициент запаса прочности в сечении 4—4:
336
175
S 4 
 2,83 ; S r 4 
 6,423
49,041  2,421
11,7892,231  0,08
S S
S 4   4 r 4  2,59
S2 4  S r24
Анализируя полученные результаты, можно сделать вывод о том, что данный вал имеет
достаточную усталостную прочность во всех рассмотренных сечениях.