ОБ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ВЕКТОРА УГЛОВОГО УСКОРЕНИЯ

Об определении вектора ускорения абсолютно твердого тела
УДК 531.1/2
СТ.Н.БЪЧВАРОВ, В.Д.ЗЛАТАНОВ
ОБ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ВЕКТОРА УГЛОВОГО УСКОРЕНИЯ
АБСОЛЮТНО ТВЕРДОГО ТЕЛА
1. Введение
Известно, что скорость
определяется формулой
v произвольной точки М абсолютно твердого тела
v  v A  ω  AM ,
(1)
называемой законом распределения скоростей точек тела.
Вектор ω в формуле (1), называемый вектором угловой скорости тела, не зависит от
выбора точки М и полюса А и является важной кинематической характеристикой движения.
Введение вектора угловой скорости ω осуществляется в основном двумя способами.
Первый способ основан на понятии вектора бесконечно малого поворота тела. Обычно
сначала рассматривается твердое тело с одной неподвижной точкой А и двумя бесконечно
близкими положениями, соответствующими моментам t и t  t . Перемещение d r  v dt
произвольной точки М тела перпендикулярно вектору r  AM . Вводится вектор dθ таким
образом, что dr  d θ  r , и после этого из равенства dθ  ω dt определяется вектор ω .
Пусть точка А движется скоростью v A . Вводится система координат, имеющая начало в
точке А и перемещающаяся поступательно со скоростью v A . Движение тела складывается
из переносного поступательного движения со скоростью v A и относительного
вращательного движения вокруг точки А. В результате этого сложения получается формула
(1) ([2], [6], [9], [10] и др.). Введение вектора бесконечно малого поворота можно
осуществить в соответствии с теоремами конечного поворота Эйлера и Шаля и пользуясь
осью конечного поворота тела ([14], [16]). Подробнее теория конечного поворота тела
изложена в [7].
Другой часто встречающийся способ введения вектора ω основан на том, что с
твердым телом связан подвижной триэдр Ae1e 2e3 . Для единичных векторов e1,e 2 , e3 имеем
1 i  j ,
ei .e j  
0 i  j .
(2)
Во время движения твердого тела единичные векторы ei , постоянные по модулю, меняют
свои направления, и поэтому ei  ei t  . Производная e i представляется в виде
e i  i 1e1  i 2e 2  i 3e3 .
(3)
d (e  e )  0
На основании соотношения (2) имеем dt
, поэтому e i .e j  e i .e j , откуда
i
j
следует, что ij   j i . Коэффициенты ij представляют собой компоненты
кососимметрического тензора, которому сопоставляется вектор ω  1e1  2e 2  3e 3 ,
причём 1  23 , 2  31 ,3  12 . Тогда формулы (3) принимают известный вид:
Теория Механизмов и Машин. 2007. №1. Том 5.
71
Кинематика тел
e i  ω  ei ; i  1, 2, 3.
(4)
Радиус-вектор r  OM , соединяющий некоторую неподвижную точку О с
произвольной точкой М тела, представлен как векторная сумма радиус-вектора полюса
r  OA и радиус-вектора ρ  AM , определяющего положение точки М относительно
полюса А, т.е. r  rA  ρ . Здесь вектор ρ  AM  x1e1  x2e 2  x3e 3 неизменно связан с
телом и поэтому координаты x i постоянны во времени. Дифференцируя r  rA  ρ и
используя соотношения (4), приходим к формуле (1) . Этот способ в каком-то смысле более
формальный, но с другой стороны предлагает возможность связывания вектора ω с углами
Эйлера.
В середине прошлого столетия болгарский ученый Аркадий Стоянов опубликовал
несколько работ на тему “О кинематике идеально твердого тела” [11,12], результаты
которых представлены в [13]. В них кинематика общего движения абсолютно твердого тела
представлена дедуктивным способом, без использования метода подвижного триэдра,
формул (4) Пуансона и вектора бесконечно малого поворота. Принимается, что общее
движение твердого тела в пространстве определяется движением трех точек A1 , A2 , A3 не
лежащих на одной прямой. Решалась следующая задача: в данный момент времени известны
скорости v1, v 2 , v3 трех “основных” точек A1 , A2 , A3 ; требуется определить скорость
произвольной точки М этого тела. Решением этой задачи стала формула для определения
вектора угловой скорости ω тела при помощи скоростей трех точек и их взаимных
положений [13]
ω
v1  v 2  v 2  v 3  v 3  v1
.
v 1 . A 1 A 2  v 2 . A 2 A 3  v 3 .A 3 A 1
(5)
Доказательство этой формулы следует непосредственно из закона распределения
скоростей (1). Выражая последовательно скорости “основных” точек, имеем
v 2  v1  ω  A1A 2 , v3  v 2  ω  A 2 A3 , v1  v3  ω  A3A1 .
Векторно умножая равенства слева на v1, v 2 , v 3 соответственно и складывая, получаем
v1  v 2  v 2  v 3  v 3  v1  ω.v1  A1A 2  v 2 A 2 A 3  v 3  A 3 A1  
 ω  v1   A1A 2  A 2 A 3  A 3 A1 .
Здесь
принято
во
внимание,
что
ω  v1  ω  v 2  ω  v 3 , и, учитывая равенство
A1 A2  A2 A3  A3 A1  0 , получаем равенство (5).
2. Цель исследования
Цель настоящей работы – определить вектор углового ускорения тела ε , если
известны скорости v1, v 2 , v3 и ускорения a1, a 2 , a3 трех “основных точек” A1 , A2 , A3 в
данный момент времени.
72
http://tmm.spbstu.ru
Об определении вектора ускорения абсолютно твердого тела
3. Определение вектора углового ускорения
Определим вектор углового ускорения ε твердого тела в общем случае его движения
(рис. 1). Представляем формулу (5) в виде
ω  v1  A1A 2  v 2  A 2 A3  v 3  A3A1   v1  v 2  v 2  v 3  v3  v1
и дифференцируем по времени
  v1  A1A 2  v 2  A 2A 3  v 3  A 3 A1  
ω
d A 2A 3
d A 3 A1 
dA A

  (6)
 ω   v 1  A1A 2  v1  1 2  v 2  A 2 A 3  v 2 
 v 3  A 3 A1  v 3 
dt
dt
d t 

 v 1  v 2  v1  v 2  v 2  v 3  v 2  v 3  v 3  v1  v 3  v 1 .
z
a3
v3
A3
A1
v1
a1
a2
v2
A2
O
y
x
Рис. 1. Общий случай движения твердого тела
Имея в виду, что
  ε , v i  a i i  1, 2 , 3 ,
ω
d A1A 2
dA 2 A 3
d A 3A1
 v 2  v1 ,
 v 3  v1 ,
 v1  v 3 , (7)
dt
dt
dt
подставляя (7) в (6) и совершая несложные преобразования, получаем для вектора углового
ускорения
ε
a1  v 2  v 3   a 2  v 3  v1   a3  v1  v 2 

v1.A1A 2  v 2 . v 3 .A 3 A1


a .A A  a 2 .A 2 A 3  a3 .A 3 A1  v1.v 2  v 2 .v 3  v 3 .v1  v12  v 22  v 32
ω 1 1 2
,
v1.A1A 2  v 2 .A 2 A 3  v 3 .A 3 A1
(8)
где вектор угловой скорости ω нужно выразить при помощи (5). Полученной формулой (8)
определяется вектор углового ускорения ε через скорости v1, v 2 , v 3 и ускорении a1, a 2 , a3
Теория Механизмов и Машин. 2007. №1. Том 5.
73
Кинематика тел
трех неколлинеарных основных точек A1 , A2 , A3 , в предположении, что движение этих точек
известно.
4. Частные случаи движения твердого тела
Рассмотрим определение углового ускорения  в случаях, когда на движение
твердого тела наложены некоторые ограничения.
 Поступательное движение твердого тела. В случае поступательного движения:
скорости и ускорения всех точек тела равны между собой
v1  v 2  v3
a1  a2  a3 .
,
(9)
Подставляя (9) последовательно в (5) и (8) получаем
ω0
ε  0,
,
(10)
т.е. векторы ω и ε при поступательном движении тела равны нулю.
 Вращательное движение твердого тела вокруг неподвижной оси. Это движение
твердого тела, при котором две точки A2 и A3 тела неподвижны. Прямая, определённая
этими точками, называется неподвижной осью тела. Теперь движение тела определяется
движением только одной точки A1 , находящейся вне оси вращения Oz  A2 A3 (рис. 2).
z
A3
.
...
.
.....
*
.
A 1 .. .
.. A v1
... 1
.
.
A 2O
y
x
Рис. 2. Вращательное движение
Тело абсолютно твердое, поэтому
( A 2 A1 )2  const
,
( A3A1 )2  const ;
после дифференцирования по времени имеем
dA 2 A1
.A 2 A1  0
dt
74
,
d A 3 A1
.A 3 A1  0
dt
или
v1.A 2 A1  0
,
v1.A 3 A1  0 ,
http://tmm.spbstu.ru
Об определении вектора ускорения абсолютно твердого тела
потому что
d A 2 A1
d A 3A1
 v1 и
 v1 . Из этого следует, что v1  A2A1 и v1  A3A1 ,
dt
dt
т.е. скорость v1 любой точки тела вне оси вращения перпендикулярна плоскости,
определённой этой точкой и этой осью. Поэтому введём вектор ω , направленный по оси
вращения, таким образом, чтобы его векторное произведение на A2A1 или A3A1
равнялось v1 , т.е.
v1  ω  OA1 .
(11)
Здесь О – произвольная точка на оси. Если размерность v1 – м/с, размерность OA1 – м и
размерность ω – с-1, то коэффициент пропорциональности перед векторным произведением
в правой части равенства равняется единице.
Обозначим A1 ортогональную проекцию точки A1 на ось вращения Oz  A2 A3 и
представим вектор OA1 как OA1  OA1  A1A1 . Тогда формула (11) примет вид
v1  ω  A1A1 ,
(12)
где A1A1  Oz . Умножаем обе части равенства слева векторно на A1A1


A1A1  v1  A1A1  ω  A1A1 ,
или


A1A1  v1  ω  A1A12  A1A1  ω A1A1 ,
и так как ω  A1A1 , находим
ω
A1A1  v1
A1A12
.
(13)
Дифференцируя по времени, получаем
 
εω
где a1 – ускорение точки A1 ,
A1A1  a1
A1A12
,
(14)
d A1A1 d OA1

 v1 , а A1A1  A1 A1  const .
dt
dt
 Плоскопараллельное движение тела. В этом случае каждая точка тела движется в
плоскости, параллельной некоторой неподвижной плоскости  (плоскость движения). Для
задания плоскопараллельного движения тела достаточно задать движение какого-либо
сечения тела плоскостью, параллельной плоскости  (рис. 3). Положение и движение этой
плоской фигуры в ее плоскости Oxy вполне определяется двумя точками A1 x1 , y1  и
A2  x2 , y 2  , причём
Теория Механизмов и Машин. 2007. №1. Том 5.
75
Кинематика тел
A1A22  const .
y
M (x,y)
A1 (
x1 ,y


1
v2
A2(x2,y2)
) v1
z O
x
Рис.3. Плоскопараллельное движение
Дифференцируем последнее соотношение по времени и находим
d A1A 2
 A1A 2  0
dt
так как
или v2  v1   A1A2  0 ,
d A 2 A1
 v 2  v1 . Отсюда следует, что разность скоростей v 2  v1 точек A1 и A2
dt
в любой момент времени перпендикулярна прямой, соединяющей эти точки. Введём вектор
ω , перпендикулярный плоскости движения, таким образом, чтобы разность скоростей
v 2  v1 равнялась векторному произведению вектора угловой скорости ω на A1A2 , т.е.
v 2  v1  ω  A1A2 или v 2  v1  ω  A1A2 .
(15)
После векторного умножения второго векторного равенства (15) на
v 1 , имея в виду,
что ω  v1 , для вектора угловой скорости ω получаем
ω
v1  v 2
,
v1 A1A 2
(16)
а после векторного умножения первого равенства (15) на A1A2 и учитывая, что ω  A1A2 ,
получаем формулу для определения вектора ω при помощи скоростей точек A1 и A2
плоской фигуры тела
ω
v1  v 2   A1A 2 .
A 1A 2 2
(17)
Из равенств (16) и (17) находим два выражения для определения углового ускорения
ε плоской фигуры тела скоростями и ускорениями точек A1 и A2 этой фигуры.
Дифференцируя по времени формулу (16), имеем
76
http://tmm.spbstu.ru
Об определении вектора ускорения абсолютно твердого тела
 
εω
a1  v 2  v1  a 2
a1 . A1A 2  v1.v 2  v12
.
ω
v1.A1A 2
v1.A1A 2
(18)
где ω можно получить из формулы (17).
Дифференцируя по времени формулу (17), получаем
 
εω
a1  a2   A1A2 ,
(19)
A1A 22
где вектор ε определяется только ускорениями a1 ,a2 точек A1 и A2 , а также их взаимным
положением.
 Движение твердого тела, имеющего одну неподвижную точку. В этом случае
точки тела движутся по поверхностям сфер с центром в неподвижной точке O  A3 (рис. 4).
z
A2 .
. .. . . . .
.. . .. ..... .
A.
. .1 . . . . .
O  A3
y
x
Рис.4. Движение тела имеющего одну неподвижную точку
Движение тела вполне определяется движением сферической фигуры, полученной
пересечением тела со сферой с центром O  A3 . С другой стороны движение этой
сферической фигуры определяется движением её двух точек A1 и A2 . Пусть третья основная
точка – это неподвижная точка A3  O . Тогда имеем
OA12  const ,
OA 22  const
A1A22  const .
,
Дифференцируя по времени, получаем
d OA1
.OA1  0
dt
,
d OA 2
.OA 2  0
dt
,
d A1 A 2
. A1 A 2  0 ,
dt
т.е. во время движения
v1  OA1 , v2  OA 2 , v2  v1  A1A2 ,
Теория Механизмов и Машин. 2007. №1. Том 5.
77
Кинематика тел
так как
d OA1
d OA 2
d A1A 2
 v1 ,
 v2 ,
 v 2  v1 . Имеем
dt
dt
dt
v1  ω  OA1
v2  ω  OA2
,
,
v2  v1  ω  A1A2 .
Векторно умножая третье равенство слева на v1 , снова получаем
ω
v1  v 2
.
v1.A1A 2
(20)
В формуле (20), в отличие от формулы (16), скорости v1 и v 2 точек A1 и A2 не всегда
перпендикулярны одной неподвижной оси.
Дифференцируя (20) по времени, имеем
 
εω
a1  v 2  v1  a2
a1 . A1A 2  v1.v 2  v12
,
ω
v1.A1A 2
v1.A1A 2
(21)
причём скорости v1 и v 2 и ускорения a1 и a 2 точек A1 и A2 не всегда перпендикулярны
одной неподвижной оси, как это было в случае плоскопараллельного движения.
5. Пример
Рассмотрим кривошипно-ползунный механизм (рис. 5). Кривошип ОА длиной r
вращается с постоянной угловой скоростью 0 . Определить угловую скорость ω и угловое
ускорение ε шатуна АВ при   60 и OAB  90 .
Шатун совершает плоское движение. Для скоростей и ускорений основных точек А и
В (АА1, ВА2 ) имеем
v A  0r
BA
BA
,
vB  
2 3
0r i
3
где i – единичный вектор оси Ox , а
,
a A  0 2r
AO
AO
,
2
a B   0 2r i ,
9
BA
AO
и
единичные векторы, определяющие
BA
AO
направлений скоростей v A и a B .
Используя формулу (16) и имея ввиду, что
угловую скорость ω шатуна АВ
ω
78
v A  vB

v A .AB
BA
 i   sin 30 .k , AB  r 3 , получаем
BA
2 3
0r
BA
2

3
.
 i  0 sin 30.k   0 k .
BA
3
3
0r r 3
0r
http://tmm.spbstu.ru
Об определении вектора ускорения абсолютно твердого тела
P

y
vA
.
aA
A
o
O
60
vB
30
aB
x
B
Рис.5. Кривошипно-ползунный механизм
Для определения углового ускорения ε шатуна воспользуемся формулой (18). Имея в
1
AO
3
 i  sin 60.k 
k , BA  i   sin 30. k   k ,
AO
2
2
BA
3
AO AB
 i   cos 30  

 cos 90  0 ,
, v A .AB  0 r 2 3 , получаем
AO AB
BA
2
виду, что
a A  v B  v A  aB
a A . AB  v A .v B  v A2
ε
ω

v A .AB
v A .AB

 0 2r
2 3
AO
2
BA
0r
 i  0r 0 2r
i
3
AO
9
BA

 0r r 3
AO
2 3
BA
2
2 2
0 0 r AO .AB  0r 3 0r BA .i  0 r

k

3
 0 r r 3

03r 2
2 3 3
2 1
3
2 3 3
.
 03r 2 .  03r 2
cos 90  03r
.
 03r 2
8 3 2
3 3
9 2
3
3 3
k
0 k.
2
27
0 r 3
Теория Механизмов и Машин. 2007. №1. Том 5.
79
Кинематика тел
Векторы ω и ε перпендикулярны плоскости движения. Знак “–“ перед ω указывает,
что вращение шатуна совершается в данный момент времени по часовой стрелке, а “+”
перед  , что шатун вращается замедленно, и вектор направлен к наблюдателю.
Полученные результаты совпадают с результатами решения этих задач при помощи
мгновенного центра скоростей и законов распределения скоростей и ускорений.
6. Заключение
После краткого обзора принятых в литературе способов введения вектора угловой
скорости в кинематике абсолютно твердого тела в работе представлена формула для
вычисления угловой скорости ω по трём точкам, не лежащим на одной прямой. На
основании этой формулы получены формулы для определения углового ускорения ε в
общем случае движения твёрдого тела и в частных случаях, с использованием скорости и
ускорения трех “основных” точек. Применение полученных формул проиллюстрировано на
примере
кривошипно-шатунного механизма. Результаты совпадают с результатами
решения этих задач традиционными методами.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Аппель П. Теоретическая механика, т. І.  М.: Физматгиз, 1960.-515 с.
2. Бухгольц Н.Н. Основной курс теоретической механики, т. І.  М.: Наука,
1965.-467 с.
3. Бъчваров С. Механика, ч.І.  С.: Стандартизация принт, 2001.-391 с.
4. Зоммерфельд А. Механика.  М.: РХД 2001.-368 с.
5. Кочин Н.Е. Векторное исчисление и начала тензорного исчисления.  М.:
Наука, 1965.-424 с.
6. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Механика.  М.: Наука, 1988.-215 с.
7. Лурье А.И. Аналитическая механика.  М.: Физматгиз, 1961.-824 с.
8. Писарев А., Парасков Ц., Бъчваров С. Курс по теоретична механика, ч.І. 
С.: Техника, 1974.-427 с.
9. Розе Н.В. Теоретическая механика І.  Л.-М.: Гостехиздат, 1933.-428 с.
10. Синг Дж.Л. Классическая механика.  М.: Физматгиз, 1963.-448 с.
11. Стоянов А. Върху кинематиката на твърдо тяло.  Годишник на Държавната
политехника, т.ІІІ, кн.І, С. 1950.
12. Стоянов А. Върху кинематиката на абсолютно твърдото тяло, ІІ.  Годишник
на ИСИ, т.V, С. 1952-1953.
13. Стоянов А. Теоретична механика, ч.ІІ Кинематика и динамика.  С.: Наука и
изкуство, 1953, 1956.
14. Суслов Г.К. Теоретическая механика.  М.: Гостехиздат, 1946. 667 с.
15. Харламов П.В. О распределении скоростей в твердом теле. 
Республиканский межведомственный сборник “Механика твердого тела”.–
Киев: Наукова думка, 1969.-с 77-81.
16. Уиттекер Е.Т. Аналитическая динамика.  М.-Л.:ОНТИ, 1937.-586 с.
Поступила в редакцию 13.02.2007
После доработки 10.03.2007
80
http://tmm.spbstu.ru