Метод координат в пространстве

Математика, 9 класс
Мендель Виктор Васильевич
Метод координат в пространстве
1.1.
Координаты вектора и координаты точки в пространстве
1.1.1. Координаты вектора
Пусть e1 , e2 и e3 – три некомпланарных вектора. Рассмотрим произвольный вектор a .
Как известно, вектор a можно разложить по векторам e1 , e2 , e3 , то есть представить
в виде a  x1 e1  x2 e2  x3 e3 . Такое разложение – единственное.
Векторы e1 , e2 и e3 будем называть базисом, а числа х1, х2, х3 – координатами вектора
a в этом базисе. Обозначение: ax1 , x2 , x3  .
1.1.2. Если векторы базиса взаимно перпендикулярны и имеют единичную длину, то такой
базис называют ортонормированным. Обычно векторы ортонормированного базиса
обозначают i , j и k .
1.1.3. Длина вектора в ортонормированном базисе находится по формуле
a  x12  x22  x32
(1.1)
где x1 , x 2 , x3  – координаты вектора a .
1.1.4. Пусть в базисе e1 , e2 , e3 у векторов a и b координаты a1 , a 2 , a3  и b1 , b2 , b3  –
соответственно. Тогда
a  ba1  b1 , a 2  b2 , a3  b3 
(1.2)
 aa1 , a 2 , a3 
(1.3)
(здесь  – действительное число).
1.1.5. (Первый способ введения системы координат в пространстве)
Пусть О – некоторая точка и ОХ, ОY и OZ – три прямые, проходящие через точку О и
не лежащие в одной плоскости. Будем рассматривать каждую
z
прямую и как числовую ось с нулем в точке О (стрелки
указывают направления осей). Прямые ОХ, ОY и OZ назовем
2
координатными осями, а плоскости ОХY, ОХZ и ОYZ –
М
координатными плоскостями.
Пусть М – любая точка пространства. Проведем через нее
плоскости,
параллельные
координатным.
Плоскость,
параллельная ОYZ пересечет ОХ в точке Мх, плоскость,
у
параллельная ОХZ пересечет ОY в точке Му, а плоскость,
0
параллельная ОХY пересечет OZ в точке Мz. Точки Мх, Му и Мz
назовем проекциями М на координатные оси.
Пусть точка Мх на числовой оси ОХ имеет координату х,
х
точка Му на ОY – координату у, а точка Мz на ОZ – координату
z. Числа х, у и z назовем координатами точки М в данной
Рис. 1
системе координат.
Обозначение: М(х, у, z).
Замечание: если через точку М провести прямую,
параллельную оси OZ, она пересечет плоскость ОХY в
точке Мху. Точка Мху есть проекция точки М на
координатную плоскость ОХY.
Утверждение: координаты точки Мху в системе
координат ОХY совпадают с двумя первыми
координатами точки М: Мху(х, у, 0).
Замечание: очевидно, что данное утверждение
справедливо для проекций точки М на другие
координатные плоскости.
Из утверждения вытекает один из практических
способов вычисления координат точки в пространстве:
проектируем ее на координатную плоскость и находим
координаты проекции в плоской системе координат.
z
Мz
М
Му
0
у
Мх
Мху
х
Рис. 2
1.1.6. Если координатные оси взаимно перпендикулярны, то система координат
называется прямоугольной (именно ее вы изучаете в школе).
На практике может оказаться полезным следующий факт, связанный с этой системой:
каждая координата точки М в прямоугольной системе координат есть взятое с
соответствующим знаком расстояние от точки до одной из координатных плоскостей (х –
расстояние до ОYZ, у – расстояние до ОХZ, z – расстояние до ОХY).
1.1.7. (Второй способ введения системы координат в пространстве)
Рассмотрим в пространстве некоторую точку О (начало координат) и базис из
векторов e1 , e2 и e (будем считать, что векторы отложены от
точки О). Пусть М – произвольная точка пространства. Вектор
OM назовем радиус-вектором точки М в данной системе
координат. Пусть x1 , x 2 , x3  – координаты вектора OM в
3


базисе e1 , e2 , e3 (то есть OM  x1 e1  x 2 e2  x3 e3 ).
Координатами точки М в системе координат
O, e1 , e2 , e3 назовем координаты ее радиус-вектора OM в e1


базисе e1 , e2 , e3 .
e3
М
О
Рис. 3
e2
Замечание 1. Если прямые, проходящие через точку О
параллельно векторам e1 , e 2 и e 3 обозначить ОХ, ОY и OZ – соответственно, то мы
получим координатные оси и координатные плоскости, аналогичные тем, которые
рассматривались в пункте 1.1.5.
Замечание 2. Если мы будем считать, что единичный масштаб на осях ОХ, ОY и OZ
равен длинам векторов e1 , e2 и e3 , а положительные направления осей совпадают с
направлениями этих векторов, то координаты, определенные в 1.1.5, совпадут с
полученными по определению из этого пункта.
Замечание 3. Изложенный в этом пункте подход редко используется для
непосредственного нахождения координат точки, однако, благодаря ему, можно свободно
применять векторный метод для аналитического описания и исследования
геометрических объектов.
1.1.8.
Рассмотрим
систему
координат,
заданную
точкой
О
(началом)
и
ортонормированным базисом i , j , k (такую систему принято называть прямоугольной
декартовой). Пусть А и В – две точки пространства, А(х1,
n
у1, z1) и В (х2, у2, z2). Вектор AB можно представить в виде
разности OB  OA ( OA и OB – радиус-векторы
М0
М(x,y,z)
соответствующих точек).
Тогда у AB координаты найдем по формулам (1.2):
AB  x2  x1 , y 2  y` , z 2  z1 
По формуле (1.1) мы тогда можем вычислить длину
отрезка АВ:
AB 
x2  x1 2   y 2  y1 2  z 2  z1 2
Рис.5
(1.4)
(1.5)
1.2 Уравнения прямой
Рассмотрим следующую задачу: В некоторой системе координат точка М0 имеет
координаты (х0, у0, z0), а вектор aa1 , a 2 , a 3  .
Требуется найти уравнения прямой, проходящей через точку М0 параллельно a .
Решение:
Пусть М(x,y,z) – какая-либо точка прямой.
Вектор M 0 M {x-x0, y-y0, z-z0} коллинеарен вектору a .
a
М0
Запишем признак коллинеарности векторов M 0 M и
М(x,y,z)
a:
и перепишем это равенство
M 0 M  at
координатном виде:
x  x 0  a1t , y  y 0  a 2 t , z  z 0  a 3 t.
Отсюда получим:
 x  a1t  x 0 ,

t R
 y  a2t  y0 ,
z  a t  z .
3
0

Это параметрические уравнения прямой.
в
Рис.4
(1.6)
Замечание. Придавая параметру t всевозможные значения, мы найдем координаты всех
точек прямой.
Запишем теперь признак коллинеарности векторов M 0 M и a в координатном виде
(если векторы коллинеарны, их координаты пропорциональны). Получим:
x  x0 y  y 0 z  z 0
(1.7)


a1
a2
a3
Это канонические уравнения прямой.
Замечание. Подставляя в (1.7) вместо x, y и z координаты любой точки, мы можем
узнать, лежит ли она на прямой.
1.3. Уравнение плоскости
1.3.1. Рассмотрим следующую задачу: через точку М0(x0,y0,z0) провести плоскость,
перпендикулярную вектору n {n1,n2,n3} (“провести” – значит, составить уравнение).
Решение. Пусть М(x,y,z) – некоторая точка плоскости. Вектор M 0 M перпендикулярен
вектору n . Это означает, что скалярное произведение M 0 M на n равно нулю:
(1.8)
x  x0 n1   y  y 0 n2  z  z 0 n3  0.
Мы получили уравнение нужной плоскости.
1.3.2. Покажем, что уравнение
(1.9)
Ax  By  Cz  D  0
тоже задает некоторую плоскость. Будем считать, что A  0 и рассмотрим плоскость,
 D

проходящую через точку M 0   , 0, 0  , перпендикулярную вектору n {A,B,C}.
 A

Подставив эти данные в уравнение (1.8), мы получим:
D

A x    By  Cz  0,
A

откуда получается уравнение (1.9).
1.3.3. Расстояние от точки М0(x0,y0,z0) до плоскости , заданной уравнением
Ax  By  Cz  D  0 равно
Ax0  By 0  Cz 0  D
 M 0 ,   
A 2  B2  C 2
(попробуйте ее доказать).
(1.10)
x y c
  1
(1.11)
a b z
задает плоскость, проходящую через точки М1(a,0,0), M2(0,b,0) и M3(0,0,c) (это легко
проверить, подставив координаты точек в уравнение).
Уравнение (1.11) называется уравнением плоскости “в отрезках”, так как задаваемая
уравнением плоскость отсекает на координатных осях отрезки длины a, b и c.
1.3.4. Уравнение
Задачи для самостоятельного решения
Ниже приводятся тексты заданий и указания для их самостоятельного решения. Вам
необходимо решить эти задачи, оформить решения отдельно от решений по другим
предметам и выслать в адрес Хабаровской краевой заочной физико-математической
школы.
М9.7.1. Дан правильный тетраэдр ABCD с боковым ребром, равным a. Введите
прямоугольную систему координат так, чтобы ее начало находилось в точке А, оси OX и
OY лежали в плоскости (ABC), причем OX совпадала с AB, а OY была ему
перпендикулярна. Ось OZ перпендикулярна плоскости (АВС) и направлена в ту сторону,
где лежит вершина D.
1)
В данной системе координат найдите координаты всех вершин тетраэдра.
2)
Составьте уравнения ребра АВ (параметрические и канонические).
М9.7.2. Пусть [М1, М2] отрезок, М – точка, лежащая на прямой М1М2 и О – любая точка
пространства. Докажите, что если M1M   MM 2 , то
OM 
OM1   OM 2
.
1 
Замечание. Решение этой задачи можно найти в учебнике геометрии.
М9.7.3. Зная координаты точек М1(x1,y1,z1) и M2(x2,y2,z2), найдите координаты точки М,
которая обладает свойством: M1 M   MM 2 .
Указание: используйте формулу из предыдущей задачи и то, что координаты радиусвекторов точек совпадают с координатами этих точек (считайте, что О – начало
координат).
М9.7.4. ABCDA1B1C1D1 – прямоугольный параллелепипед (АВ=8см, ВС=6см, А1А=10см).
a)
Введите систему координат следующим образом: начало координат в точке А,
OX
совпадает с АВ, OY – с AD и OZ – с АА1. В этой системе координат найдите
координаты всех вершин параллелепипеда.
b)
Составьте уравнение плоскости , отсекающей от ребер АВ, AD и АА1 отрезки
длиной 2, 3 и 4 соответственно (считая от точки А) (формула (1.11)).
c)
Вычислите расстояние от этой плоскости до точек А и D1.
Указание: используйте формулу (1.10).
d)
Найдите координаты проекции точки D1 на плоскость .
Указание: проекцию точки D1 на  можно найти как точку пересечения плоскости 
с прямой, проходящей через D1 и перпендикулярной . Удобнее всего составить
параметрические уравнения прямой (1.6), взяв за направляющий вектор – вектор n ,
координаты которого – суть коэффициенты при x, y и z в уравнении плоскости 
(смотри п.1.3.2–1.3.3). Подставив в уравнение плоскости  вместо x, y и z их выражения
через t в параметрических уравнениях, вы получите уравнение относительно t. Найденное
из этого уравнения значение параметра t подставьте в параметрические уравнения
прямой. Теперь вы найдете координаты проекции точки D1.
М9.7.5. Известны координаты точек А(1,0,0), В(3,2,-1), С(1,0,-1) и D(6,1,-2). Вычислите
расстояние между скрещивающимися прямыми АВ и CD.
Указание: рассмотрим плоскости  и , проходящие через указанные прямые
параллельно друг другу. Очевидно, что расстояние между  и  равно расстоянию между
АВ и CD.
Таким образом, достаточно найти уравнение плоскости , параллельной AB и CD и
проходящей через точку С, и найти по формуле (1.10) расстояние от точки А до этой
плоскости.
Чтобы найти вектор n , перпендикулярный  (а потом использовать формулу (1.8))
воспользуемся следующим фактом.
Вектор n перпендикулярен AB и CD . Положим его координаты равными {n1,n2,n3},
а координаты AB и CD найдем из условия задачи: AB {2,2,-1}, CD {5,1,-1}.
Очевидно, что n  AB  0 и n  CD  0 (так как это перпендикулярные векторы).
Отсюда получаем систему из двух уравнений:
2n1  2n2  n3  0,

5n1  n2  n3  0.
Осталось найти какое-нибудь решение этой системы.