Задача 1 Дан гипотетический двумерный кристалл.

Задача 1
Дан гипотетический двумерный кристалл.
Является эта решетка решеткой Бравэ? Почему?
1)
Укажите векторы основных трансляций, элементарную ячейку и примитивную
ячейки;
2)
определите обратную решетку и объясните связь с брэгговским отражением;
3)
постройте решетку, обратную к данной и отметьте первую зону Бриллюэна;
4)
докажите, что в такой решетке движущийся электрон, распространяется подобно
тому, как он бы распространялся в потенциале бегущей волны.
Задача 2
Пучок электронов с кинетической энергией Е = 1 кэВ дифрагирует при прохождении
через металлическую фольгу. Металл имеет простую кубическую решетку с постоянной
решетки а =1Ǻ.
а) Рассчитать длину волны электрона;
б) рассчитать брэгговский угол первого порядка дифракции.
Задача 3
Рассмотрим
двумерную
решетку
атомов
с
постоянной
решеткой
а.
Атомы
взаимодействуют так, что атом в точке (х0 , у0) смещается в точку ( х0  х, y0 ) благодаря
силе - C1х от двух ближайших соседей ( х0  а, у0 ) и силе - с 2 х от ( х0 , у0  а ) . Пусть
С2  C1 .
а) Найти дисперсионное уравнение акустических волн, распространяющихся вдоль оси х в
такой решетке и нарисовать
 (q);
б) найти скорость звука в такой решетке.
Задача 4
Алмаз – твердое тело, состоящее из атомов углерода (С) с концентрацией 1021 см-3..
а) Нарисовать зависимость теплоемкости алмаза от температуры, учитывая только
акустические фононы;
Сv
6
эрг/К
4
эрг/К
2
эрг/К
Т
б) как связаны между собой дебаевские температура и частота, скольким градусам
эквивалентна дебаевская частота;
в) если усредненная скорость звука порядка 5  105 см/с , то какова дебаевская частота?
Задача 5
а) Написать определения и формулы, описывающие теплопроводность твердых тел;
б) определить возбуждения, переносящие тепло;
в) нарисовать зависимость теплопроводность металла от температуры в широком
диапазоне температур, описать основные механизмы теплопроводности при высоких и
низких температурах.
Задача 6
Как выглядит первая зона Бриллюэна для ОЦК и ГЦК решеток? Объяснить схему
построения.
Задача 7
А
В
-
++
-
+
-
+
-
+
-
+
-
+
-
+
-
+
-
+
-
+
-
+
-
+
-
+
-
+
-
+
-
+
-
+
-
+
-
+
-
+
-
+
-
+
-
+
-
+
-
Вычислить постоянную Маделунга для бесконечной плоской квадратной сетки из
положительных и отрицательных ионов, показанной на рисунке. Выразить эту
постоянную через расстояние между ближайшими соседями АВ. Рекомендуется
принимать во внимание ближайшие нейтральные группы ионов, окружающих данный
отрицательный ион, и в окончательном результате ограничиться четырьмя значащими
цифрами.
Задача 8
Рассмотреть цепочку 2N ионов с зарядами противоположного знака  q . Считать, что
потенциальная энергия отталкивания для ближайших соседей есть
а) Показать, что в состоянии равновесия U ( R0 ) 
A
.
Rn
2 Nq 2 ln 2
1
(1  ) , где R0 – равновесное
R0
n
значение;
б) показать, что если кристалл сжимается так, что R0  R0 (1   ) , то в выражение для
C 2
(n  1)q 2 ln 2
работы, затрачиваемой на сжатие кристалла, входит член
, где C 
R02
2
Задача 9
Найти скорость продольной акустической волны, распространяющейся в кубическом
кристалле в направлении [111]. Модули упругости и плотность кристалла заданы.
Задача 10
Найти скорость поперечной акустической волны, распространяющейся вдоль оси [111] в
кубическом кристалле. Модули упругости и плотность кристалла заданы.
Задача 11
Пусть в моноатомной линейной решетке распространяется продольная волна смещений
U s  UCos (t  sKa ) , масса атомов m, расстояние между ними a, силовая постоянная
для ближайших соседей – C. Число атомов в решетке N.
1)
Найти полную энергию волны;
2)
найти усредненную энергию, приходящуюся на 1 атом.
Задача 12
Показать,
что
для
больших
d 2u s
M 2   C p (us  p  us )
dt
p
значений
переходит
в
длин
волн
уравнение
для
уравнение
упругого
движения
континуума
2
 2u
2  u
V
, где V-скорость звука.
dt 2
x 2
Задача 13
Показать с помощью законов сохранения энергии и квазиимпульса, что трехфононный
процесс T  L  T
невозможен. Законы дисперсии продольного и акустического
фононов считать линейными
 L  VL K , T  VT K .
Задача 14
Получить выражение для дифференциальной восприимчивости парамагнетика с J  1/ 2 .
Температуру, g-фактор считать известными.
Задача 15
Найти магнитную восприимчивость антиферромагнетика выше точки Нееля. Температуру
параметры ионов известны.
Задача 16
Нарисовать структуру второй зоны Бриллюэна двумерной гексагональной решетки.
Задача 17
Определить частоты ферромагнитного резонанса тонкой ферромагнитной пластины с
намагниченностью насыщения М, намагниченной:
1) в плоскости пластинки;
2) перпендикулярно плоскости пластинки.
Задача 18
Ферромагнитная пленка железоиттриевого граната внесена во внешнее магнитное поле
5 кЭ. Определить частоты ферромагнитного резонанса для продольного и поперечного
намагничивания, если намагниченность насыщения M 0  1750 Гс , а гиромагнитное
отношение   2.8 МГц/Э .
Задача 19
Имеется система из нейтральных атомов, находящихся на расстоянии а. Поляризуемость
каждого из атомов - α. Найти соотношение между а и α, когда система будет
сегнетоэлектрической.
Задача 20
Чем обусловлено наличие верхней границы частотного интервала, в котором не могут
распространяться электромагнитные волны в диэлектриках?
Задача 21
Как изменятся равновесное расстояние и энергия решетки одномерного ионного
кристалла
(системы
чередующихся
разноименных
зарядов,
расположенных
на
одинаковом расстоянии), если заряд иона возрастет в m раз?
Задача 22
Замкнув цепочку из N (больше единицы) одинаковых атомов в кольцо, подсчитать число
различных бегущих продольных волн (смещения происходят вдоль цепочки).
Задача 23
Найти энергию атома, помещенного в электрическое поле Е. Поляризуемость атома α.
Задача 24
Определить допустимые значения волнового вектора k для ГЦК решетки, полагая, что

волновая функция имеет вид u (r ) exp( ik r ) .
Задача 25
Построить решетки обратные ОЦК и ГЦК решеткам.
Задача 26
Для кубического кристалла показать, что из условий Лауэ следует закон дифракции
Брэгга-Вульфа.
Задача 27
Найти структурный фактор базиса кристаллической структуры алмаза.
Задача 28
Написать индексы Миллера для плоскости, содержащей узлы с индексами [200], [010],
[001] простой кубической решетки.
Задача 29
Определить параметр решетки и вычислить расстояние между ближайшими соседями в
кристалле кальция, имеющего ГЦК решетку. Плотность кальция ρ = 1.55 кг/см3. Атомный
вес кальция А = 40. Чему равно число ближайших соседей?
Задача 30
Для алмаза температура Дебая θ = 2000 К. Вычислить его удельную теплоемкость при
T=30 K, постоянная решетки (ребро элементарного куба) а =3.539Ǻ, плотность ρ =
3.5 г/см 3 .