  

Решение заданий №21 – 26
10  2 
№21. Упростите выражение
10  2
24
.
Решение.
Применив в числителе данного выражения свойство квадратного корня
a  b  a b ,
получим:
 10  2 10  2 .
24
Внимательно посмотрев на подкоренное выражение, получившееся в
числителе, не трудно заметить, что это выражение – не что иное, как
разность квадратов. Поэтому, применив соответствующую формулу, имеем:
 10 
2
 22
.
24
И вновь необходимо вспомнить (если вы забыли =)))) свойства квадратного
корня, но уже другие:
 а
2
Итак, идём дальше:
 10 
2
24
Ответ:
 22

а и
10  4
24

a
b
a
.
b

6
24

6
1 1

 .
24
4 2
1
.
2
2
№ 22. Один из корней уравнения 3х  5 х  2т  0 равен -1. Найдите
второй корень.
Решение.
Что связывает корни квадратного уравнения?.... Конечно, теорема Виета.
Однако, она применима для уравнения приведенного вида. Но что нам стоит
привести данное уравнение к нужному виду, разделив его обе части на 3?
Итак, получим:
5
2т
х2  х 
 0.
3
3
Теперь воспользуемся теоремой Виета. Для нахождения второго корня нам
достаточно написать сумму корней, потому что известен второй
коэффициент (в нашем случае свободный член неизвестен – он содержит
параметр). А если бы был известен свободный член, то мы расписали
произведение корней.
5
х1  х2   .
3
По условию задачи х1  1 .
Получаем:
5
2
 1  х2    х2   .
3
3
2
Ответ:  .
3
№ 23. Найдите наименьшее значение выражения и значения х и у, при
которых оно достигается 6 х  5 у  7  2 х  3 у  1 .
Решение.
Внимательно посмотрев на данное выражение, замечаем, что модуль не
может быть отрицательным, а значит, что и сумма двух неотрицательных
слагаемых не может быть отрицательной. Поэтому наименьшие значения,
которые могут принимать модули – это ноль!
6х  5 у  7  0  6х  5 у  7  0
2х  3 у  1  0  2х  3 у  1  0
Эти равенства должны выполняться одновременно. Поэтому запишем их в
виде системы двух уравнений:
6 х  5 у  7  0

 2х  3у  1  0
Умножив обе части второго уравнения на 3, получим:
6 х  5 у  7  0

6 х  9 у  3  0
Вычитая из второго уравнения системы первое, имеем:
4у  4  0  у  1
Подставляя найденное значение переменной у во второе уравнение системы,
находим значение переменной х:
2х  3  1  1  0  х  2
Итак, исходное выражение принимает наименьшее значение при х  2 и
у  1.
Ответ: наименьшее значение данного выражения – 0. Оно достигается при
х  2 и у  1 .
№ 24. Найдите величину угла АОЕ, если ОЕ – биссектриса угла АОС, OD –
биссектриса угла СОВ.
Решение.
o
Начнём решать данную задачу от известного угла, т.е. BOD  25 .
o
OD – биссектриса COB  COB  2  BOD , COB  50
AOC и COB - смежные углы. По свойству смежных углов
AOС  СОВ  180о  АОС  180о  СОВ, АОС  180о  50о  130о
1
1
о
о
ОЕ – биссектриса AOС  АОЕ  АОС , АОЕ   130  65
2
2
о
Ответ: АОЕ  65
№ 25. В параллелограмме ABCD точка М – середина стороны АВ. Известно,
что MC = MD. Докажите, что данный параллелограмм – прямоугольник.
Решение.
Сделаем чертеж к задаче.
Рассмотрим МВС и МAD :
1) МА=МВ (по условию);
2) МС=MD (по условию);
3) ВС=AD (противоположные стороны параллелограмма)
Следовательно, МВС = МAD  МВС  MAD
Т.к. ВС||AD как противоположные стороны параллелограмма, то
МВС  MAD  180о как односторонние углы.
о
Значит, МВС  MAD  90
А т.к. противоположные углы в параллелограмме равны, то все углы в нашем
параллелограмме прямые. Следовательно, наш параллелограмм – это
прямоугольник. Что и требовалось доказать.
№ 26. Основание АС равнобедренного треугольника АВС равно 10.
Окружность радиуса 7,5 с центром вне этого треугольника касается
продолжения боковых сторон треугольника и касается основания АС в его
середине. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник АВС.
Решение.
Выполним чертеж.
Т.к. О – это центр вписанной в треугольник АВС окружности, то BD – это
высота и медиана. А значит, AD=DC=5.
Для дальнейшего решения необходимо вспомнить свойство отрезков
касательных, проведенных из одной точки к окружности: отрезки
касательных, проведенных из одной точки к окружности, равны (см.
рисунок ниже)
Исходя из этого факта, делаем вывод, что DC=EC=FC=5.
Обозначим сторону ВС за х.
BDC подобен BFO1 по двум углам (В – общий, BDC=BFO1=90o)
Из подобия этих треугольников следует:
BD DC

BF O1 F
Из BDC по теореме Пифагора BD 
ВС 2  DC 2  x 2  25 .
BF  BC  CF  x  5
Таким образом, подставляя данные в пропорцию, получим:
x 2  25
5

x5
7,5
Решим это уравнение. Воспользуемся свойством пропорции, записав 7,5 как
15
.
2
15 2
x  25  5х  5
2
3 2
x  25  х  5
2
Возведя обе части уравнения в квадрат и умножив на 4, получим:


9 х 2  25  4 х  5
2
Далее можно раскрывать скобки, приводить подобные и решать
получившееся квадратное уравнение традиционным способом. Всё это Вы
можете проделать самостоятельно. Я предлагаю, на мой взгляд, более
красивый способ решения данного уравнения:
Заметим, что в левой части уравнения имеется разность квадратов.
Воспользуемся этой формулой и всё перенесём в левую часть уравнения,
получим:
9х  5х  5  4х  5  0
2
Вынесем за скобку выражение х  5 :
х  59х  5  4х  5  0
х  55 х  65  0
Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю,
т.е.
х  5  0 или 5х  65  0
Получили два корня уравнения: х1  5 и х2  13 .
Первый корень не удовлетворяет условию задачи. Поэтому, вспоминая, что х
– это длина стороны ВС, имеем, что ВС=13.
Напомню, что мы ищем радиус ОЕ окружности, вписанной в АВС .
Для нахождения этого радиуса воспользуемся формулой:
r
2S
, где r – радиус вписанной в треугольник окружности, S – площадь
P
треугольника, Р – периметр треугольника.
В нашем случае:
S
1
 BD  AC
2
Нетрудно сосчитать по теореме Пифагора, что BD=12.
Таким образом, имеем:
1
2   12  10
120 10
ОЕ  2


13  13  10 36
3
10
Ответ:
3