ОТЧЕТ по лабораторной работе №9 Теоретические основы электротехники

Санкт-Петербургский государственный электротехнический университет «ЛЭТИ»
кафедра ТОЭ
Теоретические основы электротехники
ОТЧЕТ
по лабораторной работе №9
«Исследование индуктивно-связанных цепей»
Выполнили
Группа
Преподаватель
nEo_forstud
63**
Морозов Д.А.
Подпись преподавателя
Безусловно, гениальная работа настоящего мастера
Санкт-Петербург
2008
Cодержание
Цель работы ...........................................................................................................................3
Подготовка к работе ..............................................................................................................3
Ход работы .............................................................................................................................5
3.1
Протокол измерений .....................................................................................................5
3.1.1
Определение Li, M и K...........................................................................................5
3.1.2
Исследование последовательного соединения катушек ....................................5
3.1.3
Исследование параллельного соединения катушек ...........................................5
3.1.4
Исследование АЧХ функции передачи трансформатора по напряжению ......5
3.2
Обработка результатов ..................................................................................................6
3.2.1.
Определение Li, M и K...........................................................................................6
3.2.2
Исследование последовательного соединения катушек ....................................7
3.2.3
Исследование параллельного соединения катушек ...........................................8
3.2.4
Исследование АЧХ HU(p) трансформатора ........................................................9
4 Выводы по работе ................................................................................................................10
1
2
3
2
1
Цель работы
Целью работы является экспериментальное определение параметров двух индуктивносвязанных катушек и проверка основных соотношений индуктивно-связанных цепей при
различных соединениях катушек.
2
Подготовка к работе
Схема замещения двух индуктивно-связанных катушек, удовлетворительно учитывающая
электромагнитные процессы в диапазоне низких и средних частот, представлена на рис. 1,
где L1, R1 и L2, R2 — индуктивности и сопротивления соответственно первой и второй
катушек, M — их взаимная индуктивность.
I1
+
U 1
−
R1
R2
M
*
L1
*
L2
I2
+
U 2
−
Рис. 1. Схема замещения двух индуктивно-связанных катушек
Степень связи двух катушек определяется коэффициентом связи:
M
xм
K

,
(1)
L1 L2
x1 x 2
где x1 = ωL1, x2 = ωL2 — индуктивные сопротивления катушек; xм = ωM — сопротивление
взаимной индуктивности. При этом 0 ≤ K ≤ 1.
В режиме гармонических колебаний уравнения цепи рис. 1 имеют вид
U 1   R1  jωL1 I1  jωMI2   R1  jx1 I1  jxм I2
.
(2)

U 2  jωMI1   R2  jωL2 I2  jxм I1   R2  jx2 I2
Знак M и xм определяется выбором положительных направлений токов I1 и I2 . Для
выбранных направлений токов M > 0, если включение катушек согласное, и M < 0, если
включение встречное. Способ включения катушек устанавливается с помощью
однополярных выводов, отмеченных знаком «*»: если токи катушек направлены
одинаково относительно однополярных выводов (например, как показано на рис. 1), то
катушки включены согласно; в противном случае, включение встречное.
Параметры уравнения (2) могут быть определены из двух опытов холостого хода, в
одном из которых I2 = 0, а в другом I1 = 0; осуществляют эти опыты размыканием
соответствующей пары внешних выводов катушек. Если используют катушки достаточно
высокой добротности (ωL >> R), то при определении индуктивностей допустимо
пренебречь активными сопротивлениями обмоток катушек, т.е. считать R1 = R2 = 0;
ошибка при этом будет несущественной с точки зрения инженерной практики. Полагая в
уравнениях (2) сначала I2 = 0, а затем I1 = 0, при условии R1 = R2 = 0 получаем
соответственно:
U1
U2

(1) x1  ωL1  I , x м  ωM  I

1
1
.
(3)

U
U
2
1
(2) x  ωL 
, x м  ωM 
2
2

I2
I2
3
На рис. 2, а) показано последовательное соединение двух индуктивно-связанных
катушек. В этом случае I1  I2  I, U  U 1  U 2 и из уравнений (2) при R1 = R2 = 0
находим выражение эквивалентной индуктивности:
U
Lэ 
 L1  L2  2M .
(4)
ωI
I
I
L1
I2
+
U 1
+
U
M
L2
−
U 2
+
I1
U
L1
M
L2
−
+
а)
б)
Рис. 2. Соединение катушек: а) последовательное, б) параллельное
Для параллельного соединения (рис. 2, б) U 1  U 2  U , I  I1  I2 . Разрешая
систему уравнений (2) относительно токов с учетом R1 = R2 = 0, можно получить
выражение эквивалентной индуктивности:
L1 L2  M 2
U
.
(5)
Lэ 

ωI L1  L2  2M
В выражениях (4), (5) M > 0 при согласном и M < 0 при встречном включении
катушек.
Если к выводам второй катушки присоединить нагрузочное сопротивление Zн,
получим двухобмоточный трансформатор (рис. 3).
I1
I2
M
+
U 1
+
L1
U 2
L2
Zн
−
−
Рис. 3. Двухобмоточный трансформатор
В трансформаторе энергия от источника, включенного в цепь первичной обмотки,
передается нагрузке Zн, подключенной ко вторичной обмотке. Эта передача
осуществляется без электрической связи между обмотками посредством изменяющегося
потока взаимной индукции.
Рассматривая трансформатор как четырехполюсник, можно его передающие
свойства характеризовать функциями передачи напряжений и токов. Положив
U 2   Z н I2 , из уравнений (2) при R1 = R2 = 0 получаем:
U
jωMZ н
H U  jω  2  2
.
(6)
2

U
ω M  L L   jωL Z
1
1
2
1
н
В случае активной нагрузки (Zн = Rн) модуль функции передачи по напряжению
(АЧХ) равен
M Rн
.
(7)
HU  jω 
2
2
ω L1L2  M 2    L1Rн ω
4
3
Ход работы
3.1
Протокол измерений
3.1.1 Определение Li, M и K
Дано: f = 1 кГц, U = 2 В
№ катушки
1
2
U1, В
2,00
2,86
U2, В
1,46
2,00
I, мА
14,89
7,0
3.1.2 Исследование последовательного соединения катушек
Дано: f = 1 кГц, U = 2 В.
Вид включения
—
—
U, В
2,00
2,00
U1, В
0,36
0,77
U2, В
1,61
1,22
I, мА
9,48
3,35
3.1.3 Исследование параллельного соединения катушек
Дано: f = 1 кГц, U = 2 В.
Вид включения
—
—
U, В
1,00
1,00
I, мА
7,61
22,5
3.1.4 Исследование АЧХ функции передачи трансформатора по
напряжению
Дано: Rн1 = 100 Ω, Rн 2 = 1 кΩ, f = 100 Гц  10 кГц, U1 = 1 В
f, кГц
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
U1, В U0 при Rн1 , В
1,00
0,88
1,00
0,83
1,00
0,73
1,00
0,91
1,00
0,63
1,00
0,55
1,00
0,48
1,00
0,43
1,00
0,41
1,00
0,42
1,00
0,21
1,00
0,12
1,00
0,11
1,00
0,06
1,00
0,04
1,00
0,03
1,00
0,02
1,00
0,02
1,00
0,01
U0 при Rн 2 , В
1
0,96
0,93
0,91
0,91
0,86
0,84
0,86
0,84
0,83
0,83
0,82
0,59
0,50
0,77
0,41
0,41
0,43
0,28
5
3.2
Обработка результатов
3.2.1. Определение Li, M и K
Дано: f = 1 кГц, U = 2 В
Найдем круговую частоту:
ω  2π T  2πf  6,283  10 3 c 1 .
3.2.1.1 Подключение первой катушки
Воспользуемся уравнениями (3.1), чтобы найти L1 и М:
U
U
ωL1  1 , xм  ωM  2 
I1
I1
U
2В
L1  1 
 0,021 Гн ,
3
I1ω 14,89  10 А  6,283  10 3 с 1
U
x1  1  L1ω  0,021 Гн  6,283  10 3 с 1  131,943 Ω
I1
U
1,46 В
xм  ωM  2 
 98,052 Ω ,
I1 14,89  10 3 А
x
98,052 Ω
M  м 
 0,016 Гн .
ω
6,283  10 3 с 1
3.2.1.2 Подключение второй катушки
С учетом уравнений (3.2), определим L2:
U
U
2В
ωL2  2 
L2  2 
 0,045 Гн ,
3
I2
I 2 ω 7,0  10 А  6,283  10 3 с 1
U
x2  2  L2 ω  0,045 Гн  6,283  10 3 с 1  282,735 Ω
I2
Найдем теоретическое значение U1 по (3.2)1, зная M из п. 3.2.1.1:
M 
U1

I2 ω
U 1  I 2 ωM  7,0  10 3 А  6,283  10 3 с 1  0,016 Гн  0,704 В .
3.2.1.3 Нахождение коэффициента связи
Согласно формуле (1),
K
M
L1 L2

0,016 Гн
0,021 Гн  0,045 Гн
 0,52 .
3.2.1.4 Итоги пункта
№ катушки
1
2
1
U1, В
2,00
0,704
Наблюдение
U2, В I, мА
x, Ω
1,46 14,89 131,943
2,00
7,0 282,735
Вычисление
xм , Ω M , Гн
L, Гн
0,021 98,052
0,016
0,045 98,052
0,016
Т.к. при экспериментальном измерении была допущена грубая ошибка.
6
3.2.2 Исследование последовательного соединения катушек
Схема исследуемой цепи:
I
L1
+
U 1
+
U
M
L2
−
U 2
+
Дано: f = 1 кГц, U = 2 В
3.2.2.1 Первый опыт
Согласно формуле (4), эквивалентная индуктивность равна:
U
2В
Lэ 

 0,034 Гн ,
3
ωI 6,283  10  9,48  10 3 А
с другой стороны,
Lэ теор  L1  L2  2 M  0,021 Гн  0,045 Гн  0,032 Гн .
Вывод: в этом опыте включение встречное, т.к. ближайшее к экспериментальному
Lэ теор  L1  L2  2 M  0,034 Гн .
Из уравнений (2) получим (в предположении R1 = R2 = 0)
U 1 теор  jωL1 I1  jωMI2
,

U 2 теор  jωMI1  jωL2 I2
с учетом последовательного соединения: I  I  I , получим
1
2
U 1 теор  Ijω  L1  M 
.

U 2 теор  Ijω  L2  M 
Теоретическое значение тока
U
U
2В
Iтеор 
 I теор  Iтеор 

 9,362  10 3 А .
3 1
jωLэ теор
ωLэ теор 6,283  10 с  0,034 Гн
Отсюда
U 1 теор  U 1  I теор ω  L1  M   I теор ω  L1  M   9,36  10 3 А  6,283  10 3 с 1 

.
 0,021 Гн  0,016 Гн   0,294 В

U
3
3 1
 2 теор  I теор ω  L2  M   9,36  10 А  6,283  10 с  0,045 Гн  0,016 Гн   1,705 В
3.2.2.2 Второй опыт
Поскольку в первом опыте включение встречное, во втором — согласное. Таким образом,
из (4) получим
U
2В
Lэ 

 0,095 Гн ,
3
ωI 6,283  10  3,35  10 3 А
Lэ теор  L1  L2  2 M  0,021 Гн  0,045 Гн  0,032 Гн  0,098 Гн .
Вычислим теоретические значения I, U1, U2:
U
2В
I теор 

 3,248  10 3 А ,
3 1
ωLэ теор 6,283  10 с  0,098 Гн
7
U 1 теор  I теор ω L1  M   I теор ω L1  M   3,248  10 3 А  6,283  10 3 с 1 

.
 0,021 Гн  0,016 Гн   0,755 В

U
3
3 1
 2 теор  I теор ω L2  M   3,248  10 А  6,283  10 c  0,045 Гн  0,016 Гн   1,245 В
3.2.2.3 Итоги пункта
Вид включения
встречное
согласное
U, В
2,00
2,00
Измерение
U1, В U2, В
0,36
1,61
0,77
1,22
I, мА
9,48
3,35
I, мА
9,362
3,351
Вычисление
U1, В U2, В
0,294 1,705
0,755 1,245
Lэ, Гн
0,034
0,095
3.2.3 Исследование параллельного соединения катушек
Схема исследуемой цепи:
I
I2
+
I1
U
L1
M
L2
−
Дано: f = 1 кГц, U = 1 В
3.2.3.1 Первый опыт
Согласно формуле (5), эквивалентная индуктивность равна:
U
1В
Lэ 

 0,02 Гн ,
3
ωI 6,283  10  7,81  10 3 А
с другой стороны,
2
LL M2
L L  M2
0,021 Гн  0,045 Гн  0,016 Гн 
Lэ теор  1 2
 1 2


L1  L2  2M L1  L2  2 M 0,021 Гн  0,045 Гн  2  0,016 Гн
6,89  10  4 Гн 2
0,066 Гн  0,032 Гн
(где знак «−» берется для согласного включения).
Вывод: в этом опыте включение согласное, т.к. ближайшее к экспериментальному
6,89  10 4 Гн 2
6,89  10 4 Гн 2
Lэ теор 

 0,02 Гн .
0,066 Гн  0,032 Гн
0,034 Гн
Из уравнений (2) получим (в предположении R1 = R2 = 0)
U 1 теор  jωL1 I1  jωMI2
,

U 2 теор  jωMI1  jωL2 I2
с учетом параллельного соединения: U  U  U , получим

1
2
U  L1  M 
U  L1  M 



2
ω L1 L2  M  ω L1 L2  M 2 

 I 2 теор


1 В  0,021 Гн  0,016 Гн 

 1,163  10 3 А

3 1
2
2
,
6,238  10 с 0,021 Гн  0,045 Гн  0,016 Гн 


L M
L2  M
0,045 Гн  0,016 Гн
 I 2 теор 2
 1,163  10 3 А 
 6,747  10 3 А
 I 1 теор  I 2 теор
L1  M
L1  M
0,021 Гн  0,016 Гн

I  I
 I
I
I
I
 7,91  10 3 А .
теор
1 теор
2 теор
теор
1 теор
2 теор
8
3.2.3.2 Второй опыт
Согласно формуле (5), эквивалентная индуктивность равна:
U
1В
Lэ 

 0,007 Гн ,
3
ωI 6,283  10  22,5  10 3 А
с другой стороны, в этом опыте включение встречное, и
2
L1 L2  M 2
0,021 Гн  0,045 Гн  0,016 Гн 
Lэ теор 

 0,007 Гн .
L1  L2  2 M 0,021 Гн  0,045 Гн  2  0,016 Гн
Аналогично выражая теоретические значения токов из уравнений (2) в
предположении R1 = R2 = 0 с учетом законов параллельного соединения, получим
U  L1  M 
U  L1  M 

 I 2 теор  ω L L  M 2   ω L L  M 2  
1 2
1 2


1 В  0,021 Гн  0,016 Гн 

 8,609  10 3 А

3 1
2
2
,
6,238  10 с 0,021 Гн  0,045 Гн  0,016 Гн 


L M
L2  M
0,045 Гн  0,016 Гн
 I 2 теор 2
 8,609  10 3 А 
 1,419  10  2 А
 I 1 теор  I 2 теор
L

M
L

M
0,021
Гн

0,016
Гн

1
1
Iтеор  I1 теор  I2 теор  I теор  I1 теор  I 2 теор  22,801  10 3 А .
3.2.3.3 Итоги пункта
Вид включения
согласное
встречное
Наблюдение
Вычисление
U, В
I, мА I, мА Lэ, Гн
1,00
7,61
7,91
0,02
1,00
22,5 22,801 0,007
3.2.4 Исследование АЧХ HU(p) трансформатора
Дано: Rн1 = 100 Ω, Rн 2 = 1 кΩ, f = 100 Гц  10 кГц, U1 = 1 В
f, кГц
U1, В
U0 при Rн1 , В
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1,00
1,00
1,00
1,00
1,00
1,00
1,00
1,00
1,00
1,00
1,00
1,00
1,00
1,00
1,00
1,00
1,00
1,00
1,00
0,88
0,83
0,73
0,91
0,63
0,55
0,48
0,43
0,41
0,42
0,21
0,12
0,11
0,06
0,04
0,03
0,02
0,02
0,01
HU при Rн1
практ
0,88
0,83
0,73
0,91
0,63
0,55
0,48
0,43
0,41
0,42
0,21
0,12
0,11
0,06
0,04
0,03
0,02
0,02
0,01
теор
0,84
0,80
0,75
0,69
0,63
0,57
0,52
0,48
0,44
0,41
0,22
0,15
0,11
0,09
0,08
0,07
0,06
0,05
0,05
U0 при Rн 2 , В
1
0,96
0,93
0,91
0,91
0,86
0,84
0,86
0,84
0,83
0,83
0,82
0,59
0,50
0,77
0,41
0,41
0,43
0,28
HU при Rн 2
практ
1
0,96
0,93
0,91
0,91
0,86
0,84
0,86
0,84
0,83
0,83
0,82
0,59
0,50
0,77
0,41
0,41
0,43
0,28
теор
0,86
0,86
0,86
0,85
0,85
0,85
0,85
0,85
0,85
0,84
0,80
0,75
0,69
0,63
0,57
0,52
0,48
0,44
0,41
9
Практическое вычисление произведено по формуле (6):
U
U
H U  jω   0  0 .
U
U
1
1
Теоретическое вычисление произведено по формуле (7):
M Rн
H U  jω теор 
.
2
2 2
ω L1 L2  M    L1 Rн ω
График АЧХ:
H U  jω
HU при Rн1 (практ)
1,2
HU при Rн1 (теор)
HU при Rн 2 (практ)
1
HU при Rн 2 (теор)
0,8
0,6
0,4
0,2
ω, с−1
0
0,1
4
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Выводы по работе
Выполнив данную работу, мы экспериментально определили параметры
(индуктивности, взаимная индуктивность, индуктивные сопротивления, коэффициент
связи) двух индуктивно-связанных катушек и проверили основные соотношения
индуктивно-связанных цепей при параллельном и последовательном соединениях
катушек. Теоретические и практические расчеты совпадают в пределах погрешности
измерения.
Также был произведен теоретический и практический расчет АЧХ катушек с
подключенной нагрузкой в режиме трансформатора; построены соответствующие
графики для двух величин сопротивления нагрузки (100 Ω и 1 кΩ).
10