Решение задач по теме «Переменный ток» 1. В сеть переменного тока с действующим напряжением 220 В включено активное сопротивление 55 Ом. Определить действующее и амплитудное значение силы тока. Решение: U* 220 * I ; I* 4 A. Действующее значение силы тока R 55 Амплитудное значение силы тока связано с действующим соотношением I 0 I * 2; I 0 4 2 5,7 A . 2.В подводящих ветвях текут: а) постоянный; б) переменный ток (см.рис.). Какой ток будет в ветвях в случае а? В случае б)? Решение: В случае постоянного тока ток будет течь в ветви, где есть катушка индуктивности и резистор. Тока в ветви конденсатора не будет. В случае б) ток будет во всех ветвях. 3.Найти период переменного тока, для которого конденсатор ёмкостью 2 мкФ представляет сопротивление 20 Ом. Решение: Так как емкостное сопротивление равно 1 , XC C а период Т связан с частотой соотношением 2 , T то T XC . C 2 Выразим отсюда период Т T 2CX C ; T 2,5 10 2 c. 4.Определить действующие значения токов для зависимостей i(t ) , представленных на графиках. Решение: 1.Определим количество теплоты, выделяющееся на сопротивлении R за период колебаний T T Q I 02 R I 02 R I 02 R . 2 2 Таким образом, в этом случае действующее значение тока I * I 0 . Результат очевиден, если понимать, что количество теплоты, выделяемое на активном сопротивлении не зависит от направления тока. 2. Определим количество теплоты, выделяющееся на сопротивлении R за период колебаний 2 2 I0 T I0 Q 4 R RT I *2 RT . 2 4 4 Таким образом, действующее значение силы тока равно I I* 0 . 2 3. Определим количество теплоты, выделяющееся на сопротивлении R за период колебаний 2 T 3 I0 T Q 2 R I 02 R 0 I 02 RT I *2 RT . 4 8 2 4 Следовательно, действующее значение силы тока равно 3 I * I0 . 8 5. Неоновая лампа включена в сеть переменного тока с эффективным напряжением VЭ=71 В и периодом T=(1/50)с. Найти промежуток времени t , в течение которого длится вспышка лампы, и частоту вспышек лампы n. Напряжение зажигания лампы VЗ=86,7 В считать равным напряжению гашения VГ. Решение: В сети с эффективным напряжением VЭ амплитуда напряжения V0 2V . Принимая начальную фазу напряжения равной нулю, запишем закон изменения напряжения с течением времени: V V0 sin t V0 sin 2 t T Зажигания (гашения) лампы происходят в моменты времени tm tm' , когда мгновенное напряжение в сети равно напряжению зажигания (см.рисунок): V V0 sin 2 2 V V tm ; отсюда sin tm 3 3 0,867 T T V0 2V Наименьшее положительное значение, которое может иметь величина 2tm T , стоящая под знаком синуса, составляет 60o 3 . В общем случае 2tm T m 3 , где m=0,1,2,… Следовательно, tm mT 2 T 6 Знак плюс здесь соответствует моментам зажигания лампы (напряжение в эти моменты возрастает по модулю), а знак минус – моментам гашения лампы (напряжение убывает по модулю). В частности, первая вспышка происходит при t0 T 6 и первое гашение – при t1' T 2 T 6 T 3 . Таким образом, длительность вспышки t t1' t0 T 6 3,3 мс. Вспышки и гашения происходят в течение каждой половины периода; следовательно, частота вспышек n 2 T 100 . 6. В цепь последовательно включены резистор с сопротивлением R, конденсатор с емкостью C и катушка с индуктивностью L. По цепи протекает переменный ток i I M cos t . Определите амплитуды напряжения на каждом из элементов цепи и во всей цепи. По какому закону изменяется приложенное к цепи напряжение? Решение: Амплитуда напряжения на резисторе U R I M R ; амплитуда напряжения IM ; амплитуда напряжения на катушке C 1 - емкостное сопротивление, X L L U ML I M X L I M L . Здесь X C C на конденсаторе U MC I M X C индуктивное сопротивление. Казалось бы, при последовательном соединении U M U MR U MC U ML . Но это не так, потому что в цепи переменного тока мгновенные значения напряжения на отдельных элементах – это функции времени, а не постоянные величины! По существу речь идет о сложении гармонических колебаний. При этом очень важно, что фазы трех складываемых гармонических колебаний различны: uR t совпадает по фазе с силой тока, uC t отстает от тока на , uL t опережает ток на . Запишем закон 2 2 изменения каждого из напряжений: uR I M R cos t , uC I M X C cos t , uL I M X L cos t . 2 2 Мгновенное значение приложенного к цепи напряжения 2 u uR uC uL U MR cos t U MC U ML sin t U MR U ML U MC cost (1), 2 где arctg U ML U MC . U MR Итак, при сложении мгновенных значений периодически изменяющихся величин (в данном случае - напряжений) их амплитуды не всегда складываются. Выражение (1) можно записать в виде U UM cost , где амплитуда напряжения во всей цепи U M I M R2 X L X C 2 I M Z . Выведенное здесь соотношение обычно записывают в виде I M U Z и называют законом Ома для цепи переменного тока, а величину Z – полным сопротивлением цепи переменного тока. Величина характеризует сдвиг фаз между колебаниями силы тока и напряжения в цепи. Ее можно записать в M виде arctg X L XC . Полезно также иметь в виду, что cos R Z . R 2 1 I Ответ: U MR I M R , U MC M , U ML I M L ; U M I M R 2 L , C C 1 L C u U M cost , где arctg R 7. В цепь переменного тока включены последовательно резистор с сопротивлением R, конденсатор с емкостью C и катушка с индуктивностью L. Амплитуда силы тока в цепи равна I M . Определите среднюю мощность P, потребляемую за период каждым из элементов цепи. Конденсатор и катушку считайте идеальными. Решение: Мгновенная (т.е. средняя за очень малый промежуток времени) мощность на любом участке цепи p ui , где u, i – мгновенные значения напряжения и силы тока. Если i I M cos t , то напряжение на резисторе изменяется по закону uR I M R cos t , на конденсаторе uC I M X C cos t I M X C sin t , а на катушке 2 uL I M X L cos t I M X L sin t . При нахождении средних значений 2 произведений ui воспользуемся тем, что cos 2 t 1 cos 2t 1 1 , cos t sin t sin 2t 0 2 2 2 (черта сверху означает здесь усреднение за время, равное периоду колебаний). Тогда PR pR I M2 I R I 2 R , где I M - действующее значение 2 2 силы тока; PC pC 0 и PL pL 0 . Таким образом, конденсатор и катушка в среднем не потребляют энергии (напомним, что речь идет об идеализированных элементах цепи, не обладающих активным сопротивлением). Конденсатор четверть периода заряжается, запасая энергию электрического поля WP CuC2 , но следующую 2 четверть периода он разряжается, полностью возвращая энергию в цепь. При возрастании силы тока в катушке, т.е. также в течение четверти периода, она запасает энергию магнитного поля WM Li 2 , однако за следующую четверть 2 периода эта энергия также полностью возвращается в цепь. Только в резисторе (элементе цепи, обладающем активным сопротивлением) происходит необратимое превращение электрической энергии во внутреннюю. Ответ: PR I M2 I R I 2 R , где I M ; PC PL 0 . 2 2 8. В цепи переменного тока (см.рисунок) показания первого и второго вольтметров U1 12 В и U 2 9 В. Каково показание U 3 третьего вольтметра? Решение: Разумеется, из-за сдвига фаз между напряжениями на различных участках цепи U3 U1 U 2 . Вольтметры переменного тока показывают действующие значения соответствующих напряжений. Значит, амплитуда напряжения на конденсаторе U MC 2U1 , а амплитуда напряжения на резисторе U MR 2U 2 . Если сила тока в цепи изменяется по закону i I M cos t , то U C 2U1 cos t , U R 2U 2 cos t . 2 Следовательно, полное напряжение в цепи равно u u R uC 2U 2 cos t 2U1 sin t 2 U12 U 22 cost . Итак, U M 2U12 U 22 . Третий вольтметр показывает действующее значение полного напряжения U3 UM U12 U 22 15 В. 2 9. Два одинаковых идеальных трансформатора имеют обмотки из N1 200 и N2 600 витков. Они соединены последовательно различными обмотками (см.рисунок) и подключены к источнику переменного напряжения U 220 В. Определите напряжение U AC между точками A и C. Решение: Напряжение U AC равно сумме напряжений на выходе каждого из трансформаторов U AC U AB U BC (поскольку U AB и U BC совпадают по фазе). Эти напряжения можно выразить через напряжения U1 и U 2 на выходе трансформаторов: U AB U1 N1 N , U BC U 2 2 . N2 N1 Итак, задача свелась к определению U1 и U 2 . Пренебрегая активным сопротивлением обмоток трансформаторов, можно записать силу тока I в первичных обмотках в виде I U ( L1, 2 - индуктивность катушки с L1 L2 числом витков N1, 2 ). Тогда U1 IL1 U L1 L2 , U2 U . L1 L2 L1 L2 Для катушек, отличающихся только числом витков, U AB U BC U L2 N 22 . Поэтому L1 N12 N1 N 2 NN , U AC 2U 2 1 2 2 120 В. 2 2 N1 N 2 N1 N 2 Интересно, что при любых значениях N1 и N 2 получаем U AC U , причем равенство достигается лишь при N1 N2 . Это следует из неравенства 2 N1 N2 N12 N22 .