УДК 517 11 Е.Е. Гетманова ВЛИЯНИЕ ПОВТОРНОГО ИМПУЛЬСА СИЛЫ НА

УДК 517 11
ВЛИЯНИЕ ПОВТОРНОГО ИМПУЛЬСА СИЛЫ НА
ФОРМИРОВАНИЕ ВОЛН В СИСТЕМЕ НЕСВЯЗАННЫХ
ЛИНЕЙНЫХ ОСЦИЛЛЯТОРОВ
Е.Е. Гетманова
OOO “Дистанционный репетитор”, Москва
[email protected]
Аналитически и численно изучены особенности формирования
волн в системе несвязанных линейных осцилляторов после
повторного действия импульса силы. Установлено, что выбор
времени начала действия второго импульса приводит к
существенному изменению, как волн, которые будут сформированы
при свободных колебаниях, так и времени, за которое происходит
возвращение системы в начальное состояние.
Ключевые слова: Волны в системе несвязанных линейных
осцилляторов, периодические гармонические импульсы силы.
Данная работа посвящена изучению влияния на систему,
представляющую несвязанные линейные осцилляторы (маятники) с
плавно меняющими собственными частотами, повторного импульса
силы и является продолжением работы [1]. Аналитические и
численные исследования позволили установить, что время начала
действия второго импульса задает количество волн, которые будут
сформированы после прекращения действия повторного импульса
силы и интервал, за который система возвращается в состояние,
соответствующее окончанию действия второго импульса.
Задача о возбуждении осцилляторов с кратными частотами
импульсами силы является актуальной, хотя бы потому, что частоты
внутренних органов человека синхронизированы определенным
образом «число вдохов в минуту помноженное на четыре, дает число
сердечных сокращений, а число сердечных сокращений,
помноженное на четыре, дает число отдачи кислорода в мышце
скелета, доставленного миоглобином» [2]. Столь синхронно
работающую систему следует, по-видимому, рассматривать как
1
выполняющую коллективные колебания и изучить влияние на неё
импульсов силы.
В работе [1] показано, что в результате действия единичного
импульса
силы
F (t )  F0 sin t 
(0 t T ,
T
2

)
на
несвязанные линейные осцилляторы с плавно меняющимися
частотами указанные осцилляторы выполняют согласованное
волновое движение, то есть в рассмотренной системе формируются
волны. Маятники, входящие в группу, которая формирует волну,
имеют в каждый момент времени одинаковую разность фаз. Волны,
имеющие одинаковую длину, объединяются в ансамбли.
Минимальное число волн входит в ансамбль волны основной
гармоники. Ансамбли волн высших гармоник включают большее
число волн. При числовых значениях   103 , с 1 , 0 s  5s, c 1
( s  400 количество осцилляторов) число волн в ансамблях вначале
T  t  100,5T  последовательно (на единицу) уменьшается,
достигая минимального значения (в интервале близком к значению
100,5Т формируется две волны), а затем последовательно
увеличивается.
Время,
за
которое
система
выполняет
последовательное уменьшение, затем увеличение числа волн в
ансамблях, и возвращается в исходное состояние ( t  T ), при
указанных числовых значениях составляет 200Т . На рис.1 показано
число p волн в ансамблях основной и высших гармоник в указанном
временном интервале. Точками обозначены моменты времени T p ,
при которых разность фаз между осцилляторами в волнах ансамблей
основной или высших гармоник равна 2k , k  целое число.
Соответствующие точки, показывающие моменты времени, в
которых осцилляторы, образующие волны основной гармоники,
имеют указанный сдвиг фаз, являются срединными точками
временных интервалов, где волны высших гармоник встраиваются в
волны основной гармоники, что означает существование только волн
основной гармоники [1]. К примеру, в интервале вблизи
Tp  5  t  40,5T ( Tp  5  t  160,5T ) формируется пять волн
p  5i, p  1,2,3,4,5 , i  0,1,...79 разность фаз между маятниками в
2
группах
1,6,11,16,...,396 ,
2,7,12,...,397 ,
3,8,13,...,398 ,
4,9,14,...,399 , 5,10,15,...,400 равна 2 (рис.2а) (при t  160,5T
разность фаз 8 ). Вблизи указанного значения разность фаз
меняется,
пример,
в
момент
составляет
t  40T
2  0,025 (рис.2б),
при
С
t  41T равна 2  0,025 .
увеличением t сдвиг фаз увеличивается, длина волны уменьшается,
и при максимальном значении (минимальной длине волны)
происходит образование четырех волн из групп 1,5,9,13,...,397 ,
2,6,10,14,...,398 , 3,7,11,15,...,399 , 4,8,12,16,...,400 , которые
вначале уменьшают разность фаз, достигают значения 2 , затем
увеличивают и трансформируются в три волны. [1].
Рис.1
При Tp  4  t  50,5T ( Tp  4  t  150,5T ) осцилляторы, образуют
четыре волны p  4i, p  1,2,3,4 ,
2 ( 6 ), при Tp  3
i  0,1,...99 с разностью
фаз
 t  67,7T ( Tp  3  t  133,3T ) – три волны
p  3i, p  1,2,3, i  0,1,...132 при Tp  2  t  105,5T – две волны
p  2i, p  1,2 . i  0,1,...199 Существуют интервалы времени, где
формируются шесть , семь и т.д. волн с означенной разностью фаз.
3
Рис.2
Уравнения движения осцилляторов при t  T1  T имеет вид
xs (t )  
4A
 T   T 

sin ks cos 0 st  ks  0 s 1  cos 0 s 1  ,
2
ks ks  1
2   2 

где k s 
0 s
F
, A  0 2 , m  масса осциллятора. Если время T1

m


(рис.3) начала действия второго импульса попадает в интервал
T

 Tp  1  0,05 где формируются только волны основной
2

гармоники, то свободные колебания при t  T1  T будут составлены
только из волн кратных p , период формирования волн будет равен
200T
. К примеру, если T1  40T ( T1  160T ), при t  T1  T
p
p  5i, p  1,2,...,5, i  0,1,...79 ,
формируются
волны
4
p  10i, p  1,2,...,10, i  0,1,...39 , p  15i, p  1,2,...,15, i  0,1,...25 ,
200T
и
т.д.,
период
формирования
волн
,
если
5
T1  50T ( T1  150T )образуются
волны p  4i, p  1,2,...,4, i  0,1,...99 и т.д. период формирования
200T
волн
,
4
Рис.3
Порядок образования волн в ансамблях основной и высшей
гармоник показаны на рис.4. Моменты времени, где происходит
встраивание волн высших гармоник в волны основной гармоники,
обозначены прямыми линиями, Как следует из рис.4, весь интервал
T1  T  t  T1  201T разбивает на пять интервалов, где
формирование волн происходит подобным образом. В моменты
времени 80,5T ; 120,5; 160,5; 200,5T ;240,5T маятники в группах
1,6,11,...,396 ,
2,7,12,...,397 ,
3,8,13,...,398 4,9,14,...,399 ,
5,10,15,...,400 имеют сдвиг фаз 3 ,5 ,7 ,9 ,11 , соответственно
(рис. 5а). При t  82T сдвиг фаз 3  0,075 (рис.5б).Аналогично, в
моменты времени 60,5T ; 100,5; 140,5; 180,5T ;220,5T формируются
волны p  10i, p  1,2,...,10, i  0,1,...39 с разностью фаз между
соответствующими маятниками в группе равен 4 ,8 ,12 ,16 ,20
(рис.6а). При t  61T разность фаз 4  0,05 (рис.6б).
Если T1 отлично от указанных интервалов, имеет место
суперпозиция и в различные моменты времени формируются как
5
волны кратные p либо p  1 (в зависимости от близости T1 к T p
либо T p 1 ), а также волны высших гармоник.
Рис.4
Рис.5
6
Например, при T1  42T в различных временных интервалах
t  T1  T будут сформированы волны p  5i, p  1,2,...,5 ,
p  9i, p  1,2,...,9 , p  14i, p  1,2,...,14 , p  19i, p  1,2,...,19 и
при
кратные им.. Чем больше волн образуется, тем короче время их
существования и быстрее происходит преобразование в новый набор
волн.
Рис.6
Выполненные исследования показали, что время T1 начало
действия второго импульса силы меняет порядок образования волн
при t  T1  T , определяет число волн, которые сформируются в
ансамблях, а также устанавливает (сокращает) период прохождения
7
цикла преобразований и возвращения в состояние, которое имела
система в момент времени T1  T .
Литература
1.Гетманова Е.Е.Образование волн в системе несвязанных линейных
осцилляторов//Сборник статей по материалам Х111 Международного
семинара «Физико-математическое моделирование систем»- Воронеж:
Изд.ФГБОУ ВПО «ВГТУ».-2014.186с.-С.54-60.
2.Залманов А. Тайная мудрость человеческого организма,. – Mинск.:
1993, - 272 c.
TH INFLUENCE THE SECOND FORCE IMPULSE ON
CREATING WAVES IN SYSTEM UNLINKED LINEAR
PENDULUMS
E.E. Getmanova
Company “DistTutor”, Moscow
Features of existing of waves in system of unlinked linear pendulum
under action the second forced impulse have been considered.
The moment of beginning the second impulse force actions is the main
characteristics as numbers of waves existing under stopping force as time interval
during system returns to initial position
Key words: waves in the system of unlinked linear pendulums, periodic
harmonics impulses of the forces
8