Семинар №9

Семинар №9
Подобие.
Есть такой обычай на Руси –
Вечерами заниматься геометрией.
Фольклор.
1. Две прямые, параллельные основаниям трапеции, делят каждую из боковых сторон на
три равные части. Вся трапеция разделена ими на три части. Найдите площадь средней части, если площади крайних S1 и S 2 .
2. Площади треугольников, образованных отрезками диагоналей трапеции и её основаниями, равны S1 и S 2 . Найдите площадь трапеции.
3. В параллелограмме ABCD известно: АВ = а, AD = b (b > a), BAD   (   90 ). На
сторонах AD и ВС взяты точки К и М так, что BKDM – ромб. Найдите сторону ромба.
4. Дан параллелограмм АВСD с острым углом DАВ, равным  , в котором АВ = а, AD =
b (a < b). Пусть К – основание перпендикуляра, опущенного из вершины В на AD, а М
– основание перпендикуляра, опущенного из точки К на продолжение стороны CD.
Найдите площадь треугольника BKM.
5. В равнобедренном треугольнике АВС (АВ = ВС) проведена биссектриса АК. Площади треугольников АВК и АКС S1 и S 2 . Найдите АС.
6. Дан треугольник АВС. Известно, что АВ = 4, АС = 2, ВС = 3. Биссектриса угла А пересекает сторону ВС в точке К. Прямая, проходящая через точку В параллельно АС,
пересекает продолжение биссектрисы АК в точке М. Найдите КМ.
7. Две окружности радиусов R и r касаются сторон данного угла и друг друга. Найдите
радиус третьей окружности, касающейся сторон того же угла, центр которой находится в точке касания данных окружностей между собой.
8. В выпуклом четырёхугольнике ABCD известны углы: A   , C   , АВ>ВС. На
стороне АВ взята точка К так, что ВК = ВС, а на отрезке СК – точка М так, что DM =
DC. Найдите MDA .
9. Биссектриса внешнего угла при вершине В треугольника АВС равна биссектрисе
внешнего угла при вершине А и равна стороне АВ. Найдите углы треугольника АВС.
(Биссектриса внешнего угла при вершине В есть отрезок биссектрисы угла, смежного
с В, ограниченный точкой пересечения с прямой АС.)
10. Угол А треугольника АВС равен  , AB<AC; точка D взята на стороне АС так, что
CD=AB, M – середина AD, N – середина ВС. Найдите угол NMC.
11. В треугольнике АВС проведены высота BM, биссектриса BN и медиана BL. Известно,
что AM=MN=NL. Найдите тангенс угла А этого треугольника.
12. В остроугольном треугольнике АВС проведены высоты АМ и СN. О – центр описанной около АВС окружности. Известно, что ABC   , а площадь четырёхугольника
NOMB равна S. Найдите АС.
13. Из точки М, расположенной внутри треугольника АВС, опущены перпендикуляры на
его стороны. Длины сторон и опущенных на них перпендикуляров соответственно
равны a и k, b и m, c и n. Вычислите отношение площади треугольника АВС к площади треугольника, вершинами которого служат основания перпендикуляров.
14. Медиана в треугольнике, выходящая из одной вершины, равна высоте, опущенной из
другой вершины, и равна 1. высота, опущенная из третьей вершины равна 3 .
Найдите площадь треугольника.
15. Дан прямоугольник со сторонами 7 и 8. Одна вершина правильного треугольника
совпадает с вершиной прямоугольника, а две другие находятся на его сторонах, не содержащих этой вершины. Найдите площадь правильного треугольника.
16. Окружность, проходящая через вершины А, В и С параллелограмма АВСD, пересекает прямые АD и CD в точках М и N. Точка М удалена от вершин В, С и D соответственно на расстояния 4, 3 и 2. найдите MN.
17. В треугольнике АВС сторона ВС равна а, радиус вписанной окружности равен r.
Определите радиусы двух равных окружностей, касающихся друг друга, причём одна
из них касается сторон ВС и ВА, а другая – ВС и СА.
18. Гипотенуза прямоугольного треугольника равна с. В каких пределах может меняться
расстояние между центром вписанной окружности и точкой пересечения медиан.
19. Через точку М внутри треугольника АВС проведены три прямые, параллельные сторонам треугольника. Отрезки прямых, заключённые внутри треугольника, равны
между собой. Найдите длины этих отрезков, если стороны треугольника равны a, b, и
c.
20. В треугольнике АВС помещены три равные окружности, каждая из которых касается
двух сторон треугольника. Найдите радиусы этих окружностей, если радиусы вписанной и описанной окружностей треугольника АВС равны r и R.