"Геометрические задачи с несколькими вариантами решения".

7 класс
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
Точки А, В и С лежат на одной прямой. АВ=10см, ВС=7см. Найдите АС.
Из точки О проведены лучи ОА, ОА и ОС. Угол АОС=80°, угол АОВ=20°. Найдите угол
ВОС.
Периметр равнобедренного треугольника равен 36см, одна из его сторон на 3см больше
другой. Найдите стороны треугольника.
Найдите углы равнобедренного треугольника, если отношение двух из них равно 2:5.
Найдите третью сторону равнобедренного треугольника, если две другие
а) 8см и 2см
б) 10см и 5см
в) 5см и 3см
ВН – высота треугольника АВС. Найдите длину стороны АС, если АН=3см, СН=5см.
Из точки, отстоящей от прямой на 4см, проведены две наклонные, образующие с этой
прямой углы 30 ° и 45°. Найдите расстояние между основаниями наклонных.
8 класс
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
10)
11)
12)
13)
14)
15)
Найдите периметр параллелограмма, если биссектриса одного из его углов делит сторону
параллелограмма на отрезки 7см и 14см.
Найдите периметр прямоугольника АВСD, если биссектриса угла А делит
а) сторону ВС на отрезки 45,6см и 7,85см
б) сторону СД на отрезки 2,7дм и 4,5дм
Две стороны прямоугольного треугольника 6см и 8см. Найдите третью сторону.
Центральный угол АОВ на 30° больше вписанного угла, опирающегося на дугу АВ.
Найдите каждый из этих углов.
Хорда АВ стягивает дугу, равную 115°, а хорда АС – дугу, равную 43°. Найдите угол
ВАС.
Треугольники АВС и А1В1С1 подобны, коэффициент подобия равен 3. Периметр
треугольника АВС равен 30см. Найдите периметр другого треугольника.
Дана окружность и точка М. Точки Аи В лежат на окружности, причем А – ближайшая к
М точка окружности, а В – наиболее удаленная от М точка окружности. Найдите радиус
окружности, если МА=а, МВ=b.
Диагонали АС и ВD трапеции АВСD пересекаются в точке Е. Найдите площадь трапеции,
если
SAED=9, а точка Е делит одну из диагоналей в отношении 1:3.
Окружности (R1=2, R2=4) касаются в точке В. Через точку В проведена прямая,
пересекающая второй раз меньшую окружность в точке А, а большую – в точке С.
АС=3 . Найдите ВС.
В параллелограмме АВСD биссектрисы углов при стороне АD делят сторону ВС точками
M и N так, что ВМ:МN=3:5. Найдите ВС, если АВ=12.
В трапеции с основаниями АВ и CD боковые стороны равны 10 и 15, углы АВС и DАС
равны. Площадь треугольника АВС равна 36. Найдите площадь трапеции.
Две окружности( R1=17, R2=31) имеют общую касательную. Расстояние между их
центрами равно 50. Найдите длину отрезка общей касательной, заключенного между
точками касания.
Трапеция с основаниями 14 и 40 вписана в окружность (R=25). Найдите высоту трапеции.
Около треугольника АВС описана окружность с центром О, угол АОС равен 60°. В
треугольник АВС вписана окружность с центром М. Найдите угол АМС.
Расстояние между параллельными прямыми равно 4. На одной из них лежит точка С, а на
другой – точки А и В, причем треугольник АВС – остроугольный равнобедренный., а его
боковая сторона равна 5. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник АВС.
16)
17)
18)
Прямая отсекает от сторон прямого угла отрезки 5 и 12. Найдите радиус окружности,
касающейся прямых АС, АD и CD.
Окружности радиусов 10 и 17 пересекаются в точках А и В, АВ=16. Найдите расстояние
между их центрами.
На стороне прямого угла с вершиной А взята точка О, причем АО=7. С центром в точке О
проведена окружность S радиуса 1. Найдите радиус окружности, вписанной в данный угол
и касающейся окружности .
19)
BD – высота треугольника АВС. Найдите АС, если ВС=12см, BD=6 3 см, угол А=30°
20)
NA – высота треугольника MNК. Найдите МК, если NК=6см, NA=3 3 см, угол М=30°
9 класс
1)
Напишите уравнения прямых, содержащих стороны ромба, диагонали которого
равны 10 и 4, если известно, что диагонали лежат на осях координат.
2)
Две стороны треугольника 17см и 28см, а высота, проведенная к большей из них,
равна 15см. Найдите медианы треугольника.
(№1006)
3)
В окружности проведены хорды АВ и CD, пересекающиеся в точке Е. Найдите
острый угол между этими хордами, если АВ=13, СЕ=9,ED=4 и расстояние между точками В и D
равно 4 3
4)
Длина окружности, описанной около треугольника АВС, равна 20π. Найдите
площадь треугольника, если его основание равно 12.
1
5)
АВСD- трапеция, АВ=36, CD=34, ВС=10(верхнее основание). Cos<АВС=  .
3
Найдите BD.
6)
Медиана ВМ треугольника АВС равна его высоте АН. Найдите угол МВС.
7)
АВСD- трапеция, АВ=CD=35, ВС=44, AD=100. Найдите радиус окружности,
касающейся прямых АС, AD и CD.
8)
Основание равнобедренного треугольника равно 40, косинус угла при вершине
15
равен
. Две вершины прямоугольника лежат на основании треугольника, а две другие – на
17
боковых сторонах. Найдите площадь прямоугольника, если одна из его сторон вдвое больше
другой.
9)
В треугольника АВС АВ=6, ВС=4, радиус описанной окружности равен 12.
Найдите АС.
10)
Дан треугольник АВС, Н – точка пересечения высот, СН=АВ. Найдите угол С.
11)
АВСD – трапеция, a и b – основания. Прямая, параллельная основаниям трапеции,
2
разбивает её на две трапеции, отношение площадей которых равно . Найдите длину отрезка
3
этой прямой, заключенного внутри трапеции.
12)
Противолежащая основанию вершина равнобедренного треугольника с боковой
стороной 5 и основанием 6 служит центром данной окружности радиуса 2. Найдите радиус
окружности, касающейся данной окружности и проходящей через концы основания
треугольника.
13)
Дан треугольник АВС. АВ=4, АС=5, синус угла А равен 0,8. Найдите ВС.
14)
АВС.
Дан треугольник АВС. Угол А равен 30°, ВС=6, АС=6 3 . Решите треугольник
15)
Высота равнобедренного треугольника, опущенная на основание, равна 24. Точка
касания вписанной окружности с боковой стороной делит эту сторону в отношении 5:8, считая
от основания. Найдите радиус окружности, касающейся стороны треугольника и продолжений
двух других его сторон
Стереометрия
1)
Диаметр окружности основания цилиндра равен 20, образующая цилиндра равна
28. Плоскость пересекает его по хордам длины 12 и 16. Найдите тангенс угла между этой
плоскостью и плоскостью основания цилиндра.
2)
Диаметр окружности основания цилиндра равен 26, образующая цилиндра равна
21. Плоскость пересекает его по хордам длины 24 и 10. Найдите тангенс угла между этой
плоскостью и плоскостью основания цилиндра.