2. магнитное поле движущихс зардов. 3.3. силы, возникающие в

3.2. Магнитное поле движущегося электрического заряда
3.2.1. Электрон в невозбуждённом атоме водорода в соответствии
с теорией Нильса Бора движется вокруг ядра по круговой орбите радиусом r  5010  12 м. Вычислить силу эквивалентного кругового тока и
напряжённость поля Н в центре окружности.
Решение
1. Электрон на стационарной круговой орбите находится, в соответствии с классической моделью атома,
вследствие равенства по модулю силы Кулона, обусловленной электрическим взаимодействием электрона с
ядром и силой инерции вызванной криволинейным его движением, сопровождающимся нормальным ускорением
1 e2 me v2

,
(1)
4 0 r 2
r
где 0  910  12 Ф/м  электрическая постоянная, е  1,610  19 Кл  заряд электрона, r  радиус орбиты электрона, me  110  30 кг  масса
электрона.
2. Определим из равенства (1) скорость электрона v
v
e2
.
4 0 r  m e
(2)
3. Частота вращения электрона вокруг ядра
v  2 r,   
v
e

2r 2r
1
1
.
e
3 3
4 0 r m e
16  r  0 m e
(3)
4. Сила тока по определению определяется в виде первой производной заряда, прошедшего через поперечное сечение по времени
i
dq e
e2
  e 
dt T
4
1

 r 0me
3 3
.
(4)
2,56 10 38
1

 1мА
4
31 1,5 10 31  9 10 12 10 30
5. Модуль напряжённости магнитного поля, создаваемого вращающимся электрона определим, используя известные уравнения для маг187
нитного поля кругового тока
i
i
1 10 3
МА
B  0 , H 

 10
.
2r
2r 2  5 10 11
м
(5)
3.2.2. Определить максимальную магнитную индукцию В max поля,
создаваемого электроном, движущимся по прямолинейной траектории
со скоростью v = 10 Мм/с, в точке, отстоящей от траектории на расстоянии d = 110  9 м.
Решение
1. Определим величину эквивалентного тока I создаваемого движущимся электроном
dq ev
i

,
(1)
d
d
где е  1,610  19 Кл  заряд электрона.
2. Магнитная индукция будет иметь максимальную величину в момент прохождения электроном заданной точки
i
B max  0 cos 1  cos  2  ,
(2)
4d
в данном случае 1  0, 2  900, т.е.
i
 ev 4 10 7 1,6 10 19 10 7
B max  0  0 2 
 0,16 Тл .
(3)
4d 4d
4 10 18
3.2.3. На расстоянии d = 10 нм от траектории прямолинейно движущегося электрона максимальное значение индукции составляет Вmax
= 160 мкТл. Определить скорость электрона.
Решение
1. Для решения задачи воспользуемся уравнением (3) предыдущей
задачи
 ev
B 4d 2 1,6 10 4 10 16
Мм
B max  0 2 ,  v  max

1
.
(1)
26
4d
0e
1,6 10
с
188
3.3. Сила, действующая на проводник с током
в магнитном поле
3.3.1. Прямолинейный проводник, по которому течёт постоянный
ток силой I = 1000 A, расположен в однородном магнитном поле перпендикулярно линиям магнитной индукции. С какой силой F поле, характеризующееся индукцией В = 1 Тл действует на отрезок проводника длиной l = 1 м?
Решение
1. В соответствие с законом ампера сила,
действующая на проводник с током в магнитном поле, определяется следующим векторным соотношением

 
(1)
FA    B I ,
модуль силы Ампера
 
(2)
FA  IB sin ; B .
 
 
2. В данном случае угол ( ; B)   2 , откуда следует  sin( ; B)  1 .
Сила, отнесённая к длине l = 1 м, определится в виде отношения
IB 10 3 1
кН
FA 

1
.
(3)

1
м


 
3.3.2. Прямой проводник длиной l = 0,1 м, по которому течёт ток
силой I = 20 А, расположен в однородном магнитном поле с индукцией
В = 0, 01 Тл. Определить величину угла  между направлением вектора
В и положением проводника, если на него действует сила FA = 10  2 Н.
Решение
1. Для решения задачи воспользуемся
уравнением закона Ампера, записанным
для модуля силы, действующей на проводник с током в магнитном поле
 
FA  IB sin ; B ,
откуда
F

 
10 2
   30 0
  arcsin A  arcsin 
2
1 
IB
 20 10 10  6
 
189
3.3.3. Квадратная проволочная рамка расположена в одной плоскости с длинным прямолинейным проводником так, что две её стороны
параллельны проводу. По рамке и проводу текут токи одинаковой силы
I = 1 кА. Определить силу FА, действующую на рамку, если ближайшая
к проводу сторона рамки находится на расстоянии, равном её длине.
Решение
1. В виду симметрии взаимного расположения длинного
проводника и квадратной рамки
линии действия равнодействующих сил Ампера F2, F4 совпадают, а направлены они в противоположные стороны, другими
словами,
 
(1)
F2  F4  0 .
2. На вертикальные стороны рамки так же будут действовать силы
F1, F3 , линии действия которых совпадают, а направлены они в противоположные стороны. Таким образом, сила, действующая на рамку со
стороны магнитного поля проводника, определится в виде геометрической суммы векторов
    

(2)
F  F1  F2  F3  F4 , | F | F1  F3 .
3. Индукция магнитного поля проводника определится уравнениями
I
I
B1  0 cos 1  cos  2  , B 3  0 cos 1  cos  2  ,
(3)
4d
4  2d
в данном случае 1  00, 2  1800, поэтому
2 I  I
I
B1  0  0 , B3  0 ,
(4)
4d 2d
4d
4. Определим величины сил F1 и F3
I 2 0 d
I 2 0 d
F1  IB1d 
, F3 
,
(5)
2d
4d
 I 2  1 1   I 2 4 10 7 10 6
F  0     0 
 0,1 H .
(6)
  2 4  4
4
3.3.4. Провод в виде полукольца радиусом R = 1 м, находится в однородном поле с индукцией В = 100 мТл. По проводнику течёт ток силой I = 100 А. Плоскость расположения дуги перпендикулярна вектору
индукции поля, а подводящие провода находятся вне поля. Определить
силу F, действующую на провод.
190
Решение
1. Выделим элемент кольца
dl, по которому протекает ток
силой I. Элемент тока Idl, будет
приложена сила Ампера dF, причём, в соответствие с законом
Ампера

 
(1)
dF  I B  d  .
2. Представим элементарный
вектор силы dF в виде двух про
 
 
екций dF  i dFx  j dFy , где i , j  единичные векторы.


3. Сила, действующая на всё полукольцо, определится в виде интегральной суммы


 
F   dF  i  dFx  j  dFy .
(2)
L
L
L

4. Элементарные составляющие силы i dFx в виду симметрии полукольца относительно оси Оу будут присутствовать попарно, так что
 
(3)
 dFx  0,  F  j  dFy .
L
L
5. Найдём проекцию элементарной силы Ампера на ось ох
dFy  dF cos  .
(4)
6. В соответствие с уравнением (1)
 
(5)
dF  IBd sin d ; B ,
где угол (dl; B) = /2, т.е. sin(dl; B) = 1, величину dl можно выразить через радиус полукольца и соответствующий угол dl = Rd.
7. Подставим полученные соотношения в уравнение (4)




2


 
F  j BR  cos d  j BR sin 90 0  sin(90 0 )  2 j BR .

(6)

2
8. Сила F в данном случае будет распределённой по всей длине полукольца, её эквивалент можно представить виде сосредоточенной силы, направление которой совпадает с направление оси Оу

(7)
F  F  2IBR  2 100  0,11  20 H .
3.3.5. Тонкий провод в виде дуги, составляющей треть кольца радиусом R = 1 м находится в однородном магнитном поле с В = 0,1 Тл. По
191
кольцу течёт ток силой I = 100 А. Плоскость дуги перпендикулярна
вектору магнитной индукции. Определить величину силы Ампера, действующей на проводник.
Решение
1. По аналогии с предыдущей задачей, элементарная сила
Ампера, действующая на ток Idl
определится уравнением

 
(1)
dF  I B  d  ,

 
(2)
dF  i dFx  j dFy ,


а результирующая распределённой силы, действующей на весь
проводник, будет соответствовать следующему интегральному соотношению


 
F   dF  i  dFx  j  dFy ,
L
L
(3)
L
где L  длина дуги, стягивающей угол  = 1200 при радиусе R = 1 м
2. Так же как и в предыдущей задаче
 
 
 dFx  0,  F  j  dFy , dFy  dF cos  , dF  IBd sin d; B .

L

(4)
L
3. Совмещая уравнения (3) и (4), получим


3

 
F  j IBR  cos d  j IBR sin 60 0  sin(60 0 ) ,

(5)

3

 3
3 
F  IBR 

 IBR 3  100  0,11 3  17,3 H .
 2
2 

(6)
3.3.6. В однородном магнитном поле с индукцией В = 0.05 Тл находится тонкий проводящий стержень массы m = 5 г и длины l = 50 см,
висящий горизонтально на гибких невесомых проводниках и ориентированный перпендикулярно вектору магнитной индукции. Вектор В имеет
горизонтальное направление. Через стержень пропускают медленно
нарастающий ток. При какой минимальной силе тока Imin исчезнет
натяжение проводников, поддерживающих стержень?
192
Решение
1. Натяжение нитей исчезнет в
том случае, когда сила Ампера,
действующая на помещённый в
магнитное поле проводник, станет
равна по модулю силе тяжести, т.е.


(1)
FA  mg ,
другими словами,
I min B  mg ,  I min 
mg 5 10 3 10

 2А .
B 5 10 2  0,5
(2)
3.3.7. Тонкая металлическая рейка массы m = 1 кг и длины l= 1 м
лежит на плоском шероховатом горизонтальном полу в поле тяжести
и однородном магнитном поле с индукцией В = 1 Тл,
вектор которой направлен вертикально. Коэффициент трения между полом и рейкой  = 0,1. Рейку
с помощью легких и гибких проводников подключают к источнику постоянного тока и одновременно
сообщают ей начальную скорость v0, вектор которой направлен вдоль пола перпендикулярно длинной
стороне рейки. Определить силу тока I , текущего
через рейку, если известно, что после начального
толчка она продолжает скользить по полу равномерно.
Решение
1. Рейка находится под действием
системы четырёх сил, лежащих в одной
плоскости {mg, Fтр, N, FA}, причём,
линии действия сил трения Fтр и Ампера FA совпадают с осью х.
2. Тело может двигаться равномерно и прямолинейно, вдоль какой либо
из осей в том случае, если сумма проекций сил, действующих на тело. В
данном случае это возможно при равенстве силы трения и силы Ампера


Fтр  FA  0,  mg  IB .
(1)
3. Решая уравнение (1) относительно силы тока, получим
193
I
mg 0,1 1 10

 1А .
B
1 1
(2)
3.3.8. В однородном вертикальном магнитном
поле с индукцией В = 1Тл на тонких нитях подвешен
горизонтально проводник с длиной активной части l
= 0,8 м и массой m = 0,16 кг. По проводнику пропускают ток силой I = 2А. Определите угол, на который отклонится этот проводник из положения
статического равновесия.
Решение
1. Отклонение проводника, от положения статического равновесия происходит вследствие действия
силы Ампера, которая в данном случае будет
направлена горизонтально, перпендикулярно поверхности проводника.
Отклонившись, проводник будет находиться в неподвижном состоянии
под действием системы трёх сил {mg, FA, T}, т.е. силы тяжести, силы
Ампера и силы натяжения нити.
2. Запишем уравнения равновесия
проводника в проекции на оси декартовой
системы координат
 i3
 Fix  FA  T sin   0,
i 1
(1)
 i3
  mg  T cos   0.
 i1
3. Выразим из системы (1) натяжение
нити Т, для чего поделим уравнения
почленно и определим искомый угол отклонения нитей подвеса от вертикали 
 IB 
FA
IB
 2 1 0,8 
  aectg
 tg,
 tg,   arctg
  45 0 . (2)
mg
mg
mg
0
,
16

10






3.3.10. Почему два параллельных проводника, по которым текут
токи в одном направлении, притягиваются друг к другу, при встречных
токах  отталкиваются?
194
Решение
1. Рассмотрим случай, когда токи
текут в двух параллельных проводниках в одном направлении. Бесконечный проводник с током I1 в месте
расположения второго проводника
создаёт магнитное поле с индукцией
I
B1  0 1 .
(1)
2d
2. Поскольку второй проводник представляет собой тоже прямолинейный бесконечный ток, то на его элемент dl, будет действовать элементарная сила




 
I
dF1, 2  I 2 B 2  d  , dF1, 2  I 2 0 1 d sin d ; B 2 ,
(2)
2d
 
 
где d ; B1   2,  sin d ; B1  1 . Таким образом, на второй проводник
с током I2 действует сила Ампера
 I I d
dF1, 2  0 1 2 .
(3)
2d
3. Сила взаимодействия между проводниками конечной длины
определится следующим интегральным соотношением

II
II
F1, 2  0 1 2  d  0 1 2 ,
(4)
2d 0
2d








2
где l  протяжённость зоны взаимодействия проводников. В случае равенства сил токов, текущих по проводникам I1 = I2 = I, уравнение (4)
примет вид
 I2
F1, 2  0
,
(5)
2d
причём вектор силы F1,2, представляющий, в соответствии с уравнением
(2), результат векторного произведения будет направлен по линии кратчайшего расстояния между проводниками в сторону тока I1. Направление F1,2 можно определить по правилу левой руки: если левую руку расположить так, чтобы четыре вытянутых пальца раскрытой ладони указывали направление тока I2, а вектор B1 составлял нормаль с поверхностью ладони, то отставленный большой палец укажет направление силы
Ампера.
4. По третьему закону Ньютона сила, действующая на первый проводник со стороны второго проводника, будет равна по модулю найденной выше силе |F1,2| и противоположна ей по направлению, т.е. провод195
ники будут притягиваться.
5. Если токи в проводниках будут протекать в противоположных
 
 
направлениях, то угол d ; B1  2700 , а sin d ; B1  1 , другими словами, сила F1,2 поменяет соё направление на обратное, со всеми вытекающими последствиями: векторы F2,1 и F1,2 будут отталкивать проводники
друг от друга на всём протяжении их взаимодействия l.




3.3.11. Почему два параллельных проводника, по которым текут
токи в одном направлении, притягиваются друг к другу, а два параллельных катодных луча отталкиваются?
Решение
1. Отметим, прежде всего, что катодные лучи представляют поток
электронов, движущихся от катода, откуда они генерируются, к аноду.
Электрон, покинув пределы катода, становятся свободными, при их
движении под действием электрического поля, т.е. под действием кулоновской силы, приобретает ускорение
F
eU
a

,
(1)
me me
где е  1,610  19 Кл  заряд электрона, me  110  30  масса электрона, U
 разность потенциалов между катодом и анодом.
Кинетическая энергия, приобретаемая при разгоне электрона численно равна работе сил электрического поля, что позволяет оценить
скорость электрона
me v2
2eU
.
(2)
 eU,  v 
2
me
2 1,6 10 19  U
км
.
(3)
 566 U
110 30
с
Так, например, при разности потенциалов между катодом и анодом
U = 2500 В электроны приобретают скорость порядка v  2,8107 м/с.
В стационарном режиме поток электронов, движущихся между катодом и анодом можно рассматривать как пространственный отрицательный заряд. Два параллельных катодных луча, таким образом, имея
отрицательный одноименный заряд, будут вследствие кулоновского
взаимодействия, отталкиваться. Другими словами электростатическое
взаимодействие будет превалировать над взаимодействием, описываемым законом Ампера.
v
196
2. В случае проводника движение
электронов под действием электрических сил, будет иметь принципиально
иной характер. Во-первых, скорости
движения будут существенно меньшими, во-вторых, электрическое поле создаваемое свободными, отрицательно
заряженными электронами будет экранироваться полем положительно заряженных ионов. Электростатическое взаимодействие двух параллельных проводников вследствие этого
будет несущественным. Силы Ампера будут превалировать, проводники
с токами, текущими в одном направлении будут притягиваться.
3.3.12. На линейный проводник длиной l = 1м, расположенный перпендикулярно магнитному полю, действует сила F1 = 5Н, если сила тока в проводнике равна I = 10А. С какой силой будет действовать поле
на проводник длиной L = 2l, изогнутый пополам под углом  = 450 в
плоскости, перпендикулярной полю?
Решение
1. Модуль силы действующей на
прямолинейный проводник длиной l,
по которому течёт ток силой I
 
(1)
F1  IB sin ; B ,
где в обоих случаях вектор индукции
перпендикулярен плоскости, в которой расположены проводники, т.е.
 
 
; B   2,  sin ; B  1 .
2. В случае изогнутого проводника, его можно представить состоящим из двух отрезков, на которые действуют две силы F1 и F2, линии
действия которых составляют угол  = 1350. Результирующая этих сил
определится уравнением
 
 
 
F0  F12  F22  2F1 F2 cos135 0 ,
(2)
поскольку длина отрезков одинакова и располагаются они в одном и


том же поле, то F1  F2  F , в этом случае уравнение (2) можно переписать следующим образом
F  2F2  2F2 cos135 0  F 2  1,41  0,77 F  3,84 H .
197
(3)
3.3.13. Квадратная рамка со стороной а =
0,2 м, и массой m = 4 г закреплена на горизонтальной оси так, что может вращаться вокруг одной из сторон. Рамка помещена в однородное вертикальное магнитное поле с индукцией В = 1 Тл. По рамке пропускают ток, и она
отклоняется на угол  = 300 от вертикали.
Определите силу тока в рамке.
Решение
1. При рассмотрении условия равновесия
рамки в отклонённом состоянии необходимо
рассматривать действие только двух сил: силу
Ампера F, приложенную к горизонтальной стороне рамки и силы тяжести mg. Сила Ампера, действующая на сторону,
вокруг которой рамка может вращаться имеет плечо равное нулю, поэтому момент этой силы относительно оси вращения тоже равен нулю.
Токи в вертикальных сторонах рамки параллельны вектору индукции,
 
 
поэтому F  IB sin ; B  0 , т.к. ; B  0 .
2. Составим условия равенства моментов сил относительно оси вращения рамки
Оz, для чего найдём проекции сил Ампера
F и силы тяжести mg на ось Ох
mg x  mg cos , Fx  F cos   F sin 
i 2

(1)
M z Fi  0,
 
 
  
i1
a
cos   0 .
(2)
2
5. Разрешим уравнение моментов относительно величины силы Ампера
1
1
F  mgctg   4 10 3 10 1,73  0,035 H .
(3)
2
2
6. Используя уравнение силы Ампера, определим величину силы
тока, текущего по рамке
F 0,035
(4)
F  IBa ,  I 

 0,175 A .
Ba 1 0,2
Fa sin   mg
3.3.14. Двухпроводная линия состоит из длинных прямых параллельных проводов, находящихся на расстоянии d = 410  3 м друг от друга.
198
По проводам текут одинаковые по величине и направлению токи I = 50
A. Определить силу взаимодействия проводов, приходящуюся на единицу длины.
Решение
1. Сила взаимодействия двух параллельных проводов определяется
уравнением

 II
 I I   I2
F1, 2  0 1 2  d  0 1 2  0
.
(1)
2d 0
2d
2d
2. Сила, приходящаяся на единицу длины проводников
F  0 I 2 4 10 7  50 2
Н


 0,125 .
(2)
 2d
2  4 10 3
м
3.3.15. Шины генератора в виде двух медных шин длиной l = 2 м
каждая отстоят на расстоянии d = 0,2 м друг от друга. При коротком замыкании по замкнутому контуру течёт ток силой I = 104 A.
Определить силу взаимодействия шин.
Решение
1. В двухпроводной линии, питающей генератор, одинаковые по
силе токи по проводникам текут в противоположных направлениях, т.е.
силы Ампера будут направлены в противоположные стороны. Для
определения величины силы взаимодействия шин воспользуемся уравнением (1) предыдущей задачи

II
 I I   I 2  4 10 7 10 8  2
F1, 2  0 1 2  d  0 1 2  0

 200 H .
(1)
2d 0
2d
2d
2  0,2
3.3.16. По двум проводам, параллельным друг другу, длиной l = 1 м
текут одинаковые токи. Расстояние между проводами составляет d
= 1 см. Токи взаимодействуют с силой Ампера F = 110  3 А. Определить силу тока в проводниках.
Решение
1. Разрешим уравнение (1) предыдущей задачи относительно силы
тока
 0 I1 I 2
 I2
d  0 ,  I 
2d 0
2d

F

2dF

0
199
2 1 10 2 10 3
 7,1 A .
4 10 7 1
(2)
3.3.17. По трём параллельным проводам, находящимся на расстоянии d = 0,1 м друг от друга, текут токи одинаковой силы I = 100 А. В
двух проводах направление токов совпадает. Вычислить величину и
направление силы Ампера, действующей на отрезок l = 1 м каждого
провода.
Решение
1. Определим силы взаимодействия между токами
 I2
F1, 2  0
,
(1)
2d
 I2
F1, 3  0
,
(2)
22d
 I2
F2 , 3  0
.
(3)
2d
2. Результирующая сила, приложенная к единице длины каждого
проводника
 I 2  I 2  I 2 4 10 7 10 4
(4)
F  0  0  0 
 110 2 Н .
2d 4d 4d
4  0,1
3.3.18. Два проволочных кольца радиусом R = 0,1 м каждое, по которым текут токи одинаковой силы I = 10 А, расположены в параллельных плоскостях, отстоящих на расстоянии d = 110  3 м. Найти
силу взаимодействия контуров.
Решение
1. Сила взаимодействия двух круглых контуров одинакового радиуса и с токами одинаковой силы определится следующими уравнениями
 II
dF  0 1 2 d ,
(1)
2d
2 R
 I2
F1, 2  0  d ,
(2)
2d 0
F1, 2 
 0 I 2 2R  0 I 2 R 12 ,56 10 7 100 10 2


 12 ,56 10 3 H .
2d
d
10 3
200
(3)