ВЕКТОРНЫЕ ДИАГРАММЫ КОМПЛЕКСНОГО

ВЕКТОРНЫЕ ДИАГРАММЫ КОМПЛЕКСНОГО СОПРОТИВЛЕНИЯ И
ПРОВОДИМОСТИ ДЛЯ ОЦЕНКИ АКТИВНОЙ КЛЕТОЧНОЙ МАССЫ
БИООБЪЕКТА
Можаев В.А.
Научно-технический центр "МЕДАСС", г. Москва.
Биоимпедансная оценка состава тела (активной, мышечной, жировой массы, скелетной
мускулатуры, клеточной и внеклеточной жидкости и т.д.), производится путём измерения
импеданса Z, его активной Re(Z) и реактивной (ёмкостной) составляющих Im(Z) а также
фазового угла  , по соотношению [1]
tg  Xc / R
При биоимпедансном методе оценки активной клеточной массы исследуемый объект
представляется электрически эквивалентной схемой. Эквивалентная схема традиционно
представляет собой параллельное соединение двух ветвей (рис.1). В одной ветви включён
резистор Re, а другая ветвь содержит последовательно включённые резистор Rc и
конденсатор ёмкости С, с емкостным сопротивлением Хс. Полный импеданс цепи RC и C,
образованный клеточной тканью, обозначен как Zc.
RC
C
(Zc)
Re
Z
Рис.1. Эквивалентная схема биологического объекта.
Целью анализа является выяснение возможности определения по векторной диаграмме
комплексного сопротивления Z (годографу), представленному на
рис.2, следующих
параметров, как функций частоты напряжения на зажимах эквивалентной схемы ω:
1. Реактивной составляющей сопротивления схемы Imag(Z) и фазового угла Z () ,
полного импеданса Z, образованного компонентами Re, Rc и C;
2. Реактивной составляющей проводимости емкостной ветви Imag(Yс)=ωС и фазового
угла проводимости (внутри годографа) емкостной ветви C () , образованного только
компонентами Rc и C (рис.4).
Комплексные сопротивления верхней и нижней ветвей (рис.1) определяются как
Ze=Re
и
Zc=Rc - jXc.
Квадрат полного сопротивления верхней ветви
|Zc|2=Rc2+Xc2.
Соответственно, комплексные проводимости определяются формулами
Ye 
1
;
Re
Rc
Yc 
Zc
2
j
Xc
Zc
2
.
Комплексная проводимость и комплексное сопротивление всей цепи определяются
уравнениями:
2
 1
Rc 
Xc  Zc  Rc  Re 
Xc

Y  Ye  Yc 

j 2 
j 2;
2
2
 Re Zc 
 Re Zc

Zc
Zc




2
2
2


Re Zc  Zc  Rc  Re
Re 2  Zc  Xc
1

  Re al(Z)  j Im ag(Z)
Z 

j

2
2

2
2
2
2
Y
 Zc  Rc  Re  (Xc  Re) 
Zc  Rc  Re  (Xc  Re)








(1) При изменении частоты тестирующего сигнала комплексное сопротивление и
комплексная проводимость будут изменяться. Векторная диаграмма комплексного
сопротивления цепи (построенная в первом квадранте комплексной плоскости)
представляет собой полуокружность со смещённым вдоль действительной оси центром
(рис.2).
j
X0
Imag(Z)
Z
φZ
ω→∞
Re||Rc
Real(Z)
ω=0
Re 1
Рис.2. Векторная диаграмма комплексного сопротивления.
Основными диагностическими параметрами считаются [1] максимальное реактивное
сопротивление Хc и величина соответствующего фазового угла
 Im ag( Z) 

Z  arctg 
 Re al( Z) 
Для экстремума годографа Хо = Хс = Re2 / [2(Re+Rc)]
Z 
Re
2 Rc  Re
(1)
(2)
Количество мышечной массы в большой степени влияет на ёмкость в эквивалентной
схеме (см. рис.1), а из приведённых уравнений видно, что ни Х 0, ни φZ от ёмкости С не
зависят и определяются величинами сопротивлений обоих резисторов.
Реактивное сопротивление Xо и фазовый угол φz отражают параметры всей цепи Z,
включающей в себя не только клеточную жидкость, но и внеклеточную.
(2) Поэтому целесообразно рассмотреть величину Xc и фазовый угол φC внутри
годографа, включающий только клеточную жидкость.
j
YC
Y
φY
ω=0
φC
ω→∞
1
1/Re+1/Rc
Ye=1/Re
Рис.3. Векторная диаграмма комплексной проводимости.
Векторная
диаграмма
комплексной
проводимости,
полученная
перестроением
диаграммы сопротивления Z(ω), приведена на Рис.3 и имеет вид полуокружности,
смещённой вдоль действительной оси на величину проводимости ветви Ye = 1/Re.
Смещение полуокружности на величину Ye к началу координат даёт векторную
диаграмму проводимости ветви, содержащей конденсатор
Yc 
Rc
Zc
2
 j
Xc
Zc
2
 Re al(Yc )  j  Im ag(Yc ).
 Xc 
C  arctg 

 Rc 
При максимальной величине реактивной составляющей проводимости угол φ С = 450.и
векторная диаграмма принимает вид рис.5.
j
ωn
Yc
Imag(Yc)
φC
ω=0
ω→∞
1
1/Rc
Real(Yc)
Рис.4. Смещённая векторная диаграмма проводимости для частоты ωn
j
Y0
YC
Imag(YC)max
φC
ω=0
ω→∞
Real(YC) max
1
1/Rc
Рис.5. Векторная диаграмма проводимости реактивной ветви при Imag(Yc)max.
Максимальная величина реактивной составляющей проводимости
Y0  Im ag (YC ) max 
1
2Rc
позволяет вычислить величину реактивного сопротивления ветви эквивалентной схемы,
содержащей конденсатор
Хс=2Rc.
Если величина реактивной компоненты проводимости Imag(Yc) достигает величины
Y0 при частоте тестирующего сигнала ω0, то ёмкость конденсатора
С
1
.
2R C 0
Величина фазового угла
 Im ag(Yc) max
Y  arctg 
 Re al(Yc) max

Re
 
.
2
Rc

Re

Отметим, что фазовые углы, определяемые по векторным диаграммам проводимости и
сопротивления, совпадают.
При увеличении частоты сигнала проводимость ветви стремится к величине
Ymax=1/Rc. Предполагая величину Ymax вектором, для произвольной частоты ω
определим его как сумму ортогональных векторов 1/R и 1/X (рис.6).
Вектора
на
диаграммах
рис.4
и
рис.6
образуют
подобные
прямоугольные
треугольники:
Re al(Yc )
 1R
 Y max 
Yc

 1 X  Im ag(Yc )
Yc
 Y max
Учитывая
соотношение
сторон:
Ymax=1/Rc;
1/R=Yc;
Real(Yc)=Rc/(Rc2+Xc2);
Imag(Yc)=Xc/(Rc2+Xc2), получим:
C  arccosYc  Rc 
Xc 
(3)
(1 / R )  Rc 2
1  Rc  Yc 

Yc
2
1  (1 / R )  Rc 
2
(4)
Таким образом, анализ векторной диаграммы комплексной проводимости позволяет
легко определить параметры ветви эквивалентной схемы, в наибольшей степени
зависящей от объёма клеточной жидкости и соответственно количества активной
клеточной массы.
j
ωn
1/R
1/X
B
φC
ω=0
Ymax
1
ω→∞
Рис. 6. Векторная диаграмма для произвольной частоты.
На основании анализа диаграмм можно записать выражения для вычисления основных
диагностических параметров.
1
1
 2
2
1
Re
; Re al(Y)  Re al(Yc ) 
; Im ag(Yc ) 
Re al(Yc )  Z
1 
Re
 1
2


 Re 2Rc 
Y  arctg
1
 Re al(Y) 2 ;
Z2
1
Im ag(Yc )
Im ag(Yc )
Im ag(Yc )
; C  arctg
; XC 
; C
2
2
  Xc
Re al(Y)
Re al(Yc )
Re al(Yc )  Im ag(Yc )
В Таб.1. представлены результаты расчёта, на основе данных экспериментальных
измерений на человеке, в отведении RN (запястье правой руки и щиколотка правой ноги).
Величины компонент: Re=500 Om, C=2000 pkF.
Строки: 1. Rc=1000 Om. 2. Rc =800 Om.
По данным измерений импеданса Z на 7-ми частотах определены величины компонент
Re, Rc, C и расчитаны параметры Zc, Xc, φZ и φC.
Из Таб.1 видно, что фазовый угол
φZ сначала увеличивается с 3,5° до 11,4° (в
соответствии с формой годографа), а затем уменьшается до 2,9°.
Фазовый угол φC существенно уменьшается в большом диапазоне, с 82,7° до 8,9°, при
этом нет влияния на величину φC - компоненты Re (при Rc = const).
Таблица.1.
*
1. Z
1. Zc
1. φZ
1. φC
*
Om
Om
Град
Град
10kHz
495
7970
3,53
82,7
50kHz
430
1874
11,14
57,5
100kHz
375
1279
10,47
38,17
200kHz
347
1081
6,75
21,46
285kHz
341
1043
4,98
15,42
400kHz
338
1025
3,63
11,12
500kHz
336
1018
2,94
8,93
2. Z
2. Zc
2. φZ
2. φC
Om
Om
Град
Град
496
7907
3,46
84,3
434
1757
12,23
63,5
370
1110
12,77
45,1
328
876
8,09
26,7
319
830
5,14
19,4
313
807
2,43
14,11
312
798
0,71
11,37
- 0.07
1,6
0,83
6,0
2,3
6,93
1,34
5,24
0,16
3,98
- 1,2
2,99
- 2,23
2,44
∆=2φZ-1φZ
∆=2φC-1φC
Таким образом, фазовый угол
φC более точно отражает специфику и изменение
структуры клеточных мембран и внутриклеточной жидкости, чем φZ.
Кроме того, в соответствии с принятой оценкой Rc, Xc, C, φZ в точке максимального
подъёма годографа (в районе 50 кГц), при изменении Rc от 1000 до 800 Ом, угол φZ
увеличился на 0,83°, а величина угла φC изменилась на 6,0°.
Очевидно, что при изменении параметров клеточной жидкости (состава и мембран)
изменяется величина и смещение годографа. Отношение частоты максимума экстремума
годографа к реперной частоте 50 кГц, является эффективным диагностическим критерием.
Выводы
1. Компоненты φC и Xc более адекватно отражают процессы, происходящие во
внутриклеточном пространстве, чем компоненты φZ и Xо.
2. Определение объёмов водных секторов возможно с помощью приборов,
измеряющих только полный импеданс – Z на многих частотах
и без разделения
импеданса на активную - R и реактивную – X составляющие [2].
Литература.
1. Мартиросов Э.Г., Николаев Д.В., Руднев С.Г. Технологии и методы определения
состава тела человека. Москва. Наука. 2006.
2. Биоимпедансный анализатор. Патент РФ на полезную модель. № 57578 от
27.10.2006. (Совместно с Цветковым А.А., Николаевым Д.В. и др.)