Министерство образования Российской Федерации Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Министерство образования Российской Федерации
Государственное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«РОСТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»
Ю.А. Дубинина, М.А. Кирикович, Д.М. Цивцивадзе, А.Л. Цветянский
МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ
к курсу «Физика»
(электромагнетизм)
для студентов факультета высоких технологий
часть 1
г. Ростов-на-Дону
2004г.
2
Печатается по решению учебно-методической комиссии физического
факультета
РГУ,
протокол
№______________от__________________________2004г.
Авторы:
Дубинина Ю.А., ассистент кафедры общей физики;
Кирикович М.А., ассистент кафедры общей физики;
Цивцивадзе Д.М., студент 3курса физфака РГУ;
Цветянский А.Л., доцент кафедры общей физики.
3
1 ЗАКОН КУЛОНА
1.1Доказать, что если два одинаковых металлических шарика, заряженные
одноименно неравными зарядами, привести в соприкосновение и затем
раздвинуть на прежнее расстояние, то сила взаимодействия обязательно
увеличится, причем это увеличение тем более значительным, чем больше
различие в значении зарядов.
1.2Одинаковые металлические шарики, заряженные одноименно зарядами q
и 4q, находятся на расстоянии r друг от друга. Шарики привели в
соприкосновение. На какое расстояние х их надо развести, чтобы сила
взаимодействия осталась прежней?
1.3Заряженные шарики, находящиеся на расстоянии l=2м друг от друга,
отталкиваются с силой F=1H. Общий заряд шариков Q=510-5Кл. Как
распределен этот заряд между шариками?
1.4На двух одинаковых капельках воды находится по одному лишнему
электрону, причем сила электрического отталкивания капелек
уравновешивает силу их взаимного тяготения. Каковы радиусы капелек?
1.5Два заряженных шарика, подвешенных на нитях одинаковой длины,
опускаются в керосин. Какова плотность  материала шариков, если угол
расхождения нитей в воздухе и в керосине один и тот же?
Диэлектрическая проницаемость керосина =2, плотность к=0,8г/см3.
1.6Два одинаковых маленьких проводящих шарика подвешены на длинных
непроводящих нитях к одному крючку. Шарики заряжены одинаковыми
зарядами и находятся на расстоянии а=5см друг от друга. Один из
шариков разрядили. Каким стало расстояние между шариками?
1.7Три маленьких шарика массой m =10г каждый подвешены на шелковых
нитях длиной по 1м, сходящихся наверху в одном узле. Шарики одинаково
заряжены и висят в вершинах равностороннего треугольника со стороной
0,1м. Каков заряд каждого шарика?
1.8В центре квадрата, в вершинах которого находится по заряду q, помещен
отрицательный заряд. Какова величина этого заряда, если система
находится в равновесии? Будет ли равновесие устойчивым?
1.9В вершинах правильного шестиугольника со стороной a помещены друг за
другом заряды +q, +q, +q, -q, -q, -q. Найти силу, действующую на заряд +q,
который находится в центре шестиугольника.
4
1.10 Два равных по величине заряда 310-9Кл расположены в вершинах при
острых углах равнобедренного прямоугольного треугольника на
расстоянии 2 2 см. Определить с какой силой эти два заряда действуют
на третий заряд 10-9Кл, расположенный в вершине при прямом угле
треугольника. Рассмотреть случаи, когда первые два заряда одно- и
разноименные.
1.11 Вычислить ускорение, сообщаемое одним электроном
находящемуся от первого в вакууме на расстоянии 1мм.
другому,
1.12 По первоначальным предположениям Бора, электрон в водородном
атоме движется по круговой орбите. С какой скоростью  должен
двигаться такой электрон, если заряд его е =-1,610-19Кл, заряд ядра
е=+1,610-19Кл, радиус орбиты r=0,510-10м, масса электрона me =9,1110-31
кг.
1.13 Шарик массой m, несущий заряд q, свободно
падает в однородном

электрическом поле напряженностью E . Линии напряженности
направлены параллельно поверхности земли. Каково движение шарика?
Написать уравнение траектории у=у(х), направив ось Х параллельно
вектору напряженности, а ось Y вертикально вниз. Начальная скорость
шарика равна нулю.
1.14 Имеются два точечных заряженных тела с зарядами –q и +Q и массами m
и M соответственно. На каком расстоянии d друг от друга должны быть
расположены заряды, чтобы во внешнем однородном электрическом
поле, напряженность Е которого направлена вдоль прямой, проходящей
через заряды, они ускорялись как одно целое (т.е. не изменяя взаимного
расположения)?
1.15 Свинцовый шарик (=11,3г/см3) диаметром 0,5см помещен в глицерин
(1=1,26г/см3). Определите заряд шарика, если в однородном
электростатическом поле шарик оказался взвешенным в глицерине.
Электростатическое поле направлено вертикально вверх, и его
напряженность Е=4кВ/см.
2 НАПРЯЖЕННОСТЬ И ПОТЕНЦИАЛ ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ПОЛЯ
2.1Нарисовать картину линий напряженности между двумя точечными
зарядами +2q и -q. Могут ли линии напряженности электростатического
поля быть замкнутыми?
5
2.2Иногда говорят, что линии напряженности – это траектории, по которым
двигался бы в поле точечный положительный заряд, если его, внеся в это
поле, предоставить самому себе. Правильно ли это утверждение?
2.3В однородном поле напряженностью 40кВ/м находится заряд 27нКл.
Найти напряженность результирующего поля на расстоянии 9см от заряда
в точках, лежащих: а)на силовой линии однородного поля, проходящей
через заряд; б)на прямой, проходящей через заряд и перпендикулярной
силовым линиям.
2.4Точка А находится на расстоянии r1=2м, а точка В на расстоянии r2=1м от
точечного заряда q=10-6Кл. Чему равна разность потенциалов точек А и В?
Как она зависит от угла между прямыми qA и qB?
2.5Построить графики изменения напряженности и потенциала поля вдоль
линии, проходящей через два точечных заряда, находящихся на
расстоянии 2d друг от друга. Величины зарядов равны: а) +q и -q; б) +q и
+q; в) +q и -3q.
2.6В вершинах равностороннего треугольника со стороной а находятся
заряды +q, +q, и -q. Найти напряженность поля  в центре треугольника.
2.7Три одинаковых заряда, q=10-9Кл каждый, расположены в вершинах
прямоугольного треугольника с катетами а=40см и b=30см. Найти
напряженность электрического поля, создаваемого всеми зарядами в точке
пересечения гипотенузы с перпендикуляром, опущенным на нее из
вершины прямого угла.
2.8Два точечных заряда Q1=4нКл и Q2=-2нКл находятся друг от друга на
расстоянии 60см. Определите напряженность Е поля в точке, лежащей
посередине между зарядами. Чему равна напряженность, если второй
заряд положительный?
2.9В вершинах квадрата со стороной 5см находятся одинаковые
положительные
заряды
Q=2нКл.
Определите
напряженность
электростатического поля: а) в центре квадрата; б) в середине одной из
сторон квадрата.
2.10 Заряд q>0 равномерно распределен по тонкому кольцу радиусом а.
Найти напряженность Е электрического поля на оси кольца как функцию
расстояния z от его центра.
6
2.11 Тонкая прямая нить длиной 2l заряжена равномерно зарядом q. Найти
напряженность Е поля в точке, отстоящей на расстоянии х от центра
нити и расположенной симметрично относительно ее концов.
2.12 Две бесконечно длинные, равномерно заряженные нити с линейной
плотностью зарядов 610-5Кл/м расположены на расстоянии 0,2м друг от
друга. Найти напряженность электрического поля, созданного в точке,
удаленной на 0,2м от каждой нити.
2.13 Найти напряженность поля бесконечной плоскости,
заряженной с поверхностной плотностью заряда σ.
равномерно
2.14 Найти напряженность поля двух параллельных плоскостей, заряженных
равномерно разноименными зарядами с поверхностными плотностями 
и -.
2.15 Найти напряженность поля бесконечного круглого цилиндра радиуса а,
заряженного равномерно по поверхности так, что на единицу его длины
приходится заряд .
2.16 Найти напряженность поля сферической поверхности радиуса а,
заряженной равномерно зарядом q.
2.17 Найти напряженность поля шара радиуса а, по объему которого
равномерно распределен заряд q.
2.18 Очень тонкий диск равномерно
заряжен с поверхностной плотностью

>0. Найти напряженность E электрического поля на оси этого диска в
точке, из которой диск виден под телесным углом .
2.19 Тонкое непроводящее кольцо радиусом R заряжено с линейной
плотностью =0cos, где 0 – положительная постоянная,  азимутальный угол. Найти напряженность Е электрического поля в
центре кольца.
2.20 Полубесконечная прямая равномерно заряженная нить имеет заряд  на
единицу длины. Найти модуль и направление напряженности поля в
точке, которая отстоит от нити на расстоянии у и находится на
перпендикуляре к нити, проходящем через ее конец.
2.21 По тонкой нити, изогнутой по дуге окружности, равномерно распределен
заряд с линейной плотностью . Определить напряженность E
7
электрического поля, создаваемого таким распределением зарядов в
точке, совпадающей с центром кривизны дуги. Длина l нити составляет
одну треть длины окружности.
2.22 Шар радиуса R имеет положительный заряд, объемная плотность
которого зависит только от расстояния r до его центра как =0(1–r/R),
где 0 – постоянная. Полагая, что диэлектрическая проницаемость =1
всюду, найти а) модуль напряженности электрического поля внутри и
вне шара как функцию r; б) максимальное значение модуля
напряженности Емах и соответственно значение rm.
2.23 Найти потенциал и напряженность электрического поля в центре
полусферы радиуса R, заряженной равномерно с поверхностной
плотностью .
2.24 Заряд q распределен равномерно по объему шара радиуса R. Полагая,
диэлектрическую проницаемость всюду равной единице, найти
потенциал: а) в центре шара; б) внутри шара как функцию расстояния r
от его центра.
2.25 На некотором расстоянии от бесконечной равномерно заряженной
плоскости с поверхностной плотностью =0,1нКл/см2 расположена
круглая пластинка. Нормаль плоскости пластинки составляет с линиями
напряженности угол 30. Определите поток ФЕ вектора напряженности
через эту пластинку, если ее радиус r=15см.
2.26 Определите поток ФЕ вектора напряженности электростатического поля
через сферическую поверхность, охватывающую точечные заряды
Q1=5нКл и Q2=-2нКл.
2.27 Определите поверхностную плотность заряда, создающего вблизи
поверхности Земли напряженность Е=200В/м.
2.28 На металлической сфере радиусом 15см находится заряд Q=2нКл.
Определите напряженность Е электростатического поля: а) на
расстоянии r1=10см от центра сферы; б) на поверхности сферы; в) на
расстоянии r2=20см от центра сферы. Постройте график зависимости
Е(r).
2.29 Поле создано двумя равномерно заряженными концентрическими
сферами радиусами R1=5см и R2=8см. Заряды сфер соответственно равны
Q1=2нКл и Q2=-1нКл. Определите напряженность электростатического
8
поля в точках, лежащих от центра сфер на расстояниях: а) r1=3см;
б) r2=6см; в) r3=10см. Постройте график зависимости Е(r).
2.30 Шар радиусом R=10см заряжен равномерно с объемной плотностью
=10нКл/м3 Определите напряженность электростатического поля: а) на
расстоянии r1=5см от центра шара; б) на расстоянии r2=15см от центра
шара. Постройте зависимость Е(r).
2.31 Два металлических шарика радиусом r с зарядами q на каждом
расположены на расстоянии а друг от друга и на очень больших равных
расстояниях от Земли. Первый шар заземляют и заземляющий проводник
убирают. Затем такую же процедуру проделывают и со вторым шариком.
После этого снова заземляют первый шар и т.д. Каким будет отношение
зарядов шаров после n заземлений второго шара?
2.32 Напряженность
электрического поля зависит только от координат х и у
 

как E  axi  yj 
x
2
y
2



где а – постоянная; i и j – орты осей Х и Y.
Найти заряд внутри сферы радиусом R с центром в начале координат.

2.33 Найти напряженность E поля, потенциал которого имеет вид: а) (х,y)=

 
аху, а–постоянная, б) ( r )=- ar , a –постоянный вектор, r –радиус-вектор
интересующей нас точки поля.
2.34 Потенциал некоторого
электрического поля имеет вид
=(ху–z2). Найти


 
проекцию вектора E на направление вектора a  i  3k в точке М(2, 1, -3).
2.35 Потенциал поля внутри заряженного шара зависит только от расстояния r
до его центра по закону =аr2+b, где а и b – постоянные. Найти
распределение объемного заряда (r) внутри шара.
2.36 Имеются два тонких кольца радиуса R каждое, оси которых совпадают.
Заряды Колец равны q и -q. Найти разность потенциалов между центрами
колец, отстоящими друг от друга на расстоянии l.
2.37 Кольцо радиусом r=5см из тонкой проволоки несет равномерно
распределенный
заряд
Q=10нКл.
Определите
потенциал

электростатического поля: а) в центре кольца; б) на оси, проходящей
через центр кольца, в точке, удаленной на расстояние а=10см от центра
кольца.
9
2.38 Полый шар несет на себе равномерно распределенный заряд. Определите
радиус шара, если потенциал в центре шара равен 1=200В, а в точке,
лежащей от его центра на расстоянии r=50см, 2=40В.
2.39 Электростатическое поле создается положительным точечным зарядом.
Определите числовое значение и направление градиента потенциала
этого поля, если на расстоянии r=10см от заряда потенциал равен 
=100В.
2.40 Электростатическое
поле
создается
бесконечной
плоскостью,
равномерно заряженной с поверхностной плотностью =1нКл/м2.
Определите разность потенциалов между двумя точками этого поля,
лежащими на расстоянии х1=20см и х2=50см от плоскости.
2.41 Электростатическое поле создается равномерно заряженной сферической
поверхностью радиусом R=10см с общим зарядом Q=15нКл. Определите
разность потенциалов между двумя точками этого поля, лежащими на
расстоянии r1=5см и r2=15см от поверхности сферы.
2.42 Электростатическое поле создается сферой радиусом R=5см, равномерно
заряженной с поверхностной плотностью =1нКл/м2. Определите
разность потенциалов между двумя точками поля, лежащими на
расстояниях r1=10см и r2=15см от центра сферы.
2.43 Электростатическое поле создается шаром радиусом R=10м, равномерно
заряженным с объемной плотностью =20нКл/м3. Определите разность
потенциалов между двумя точками, лежащими внутри шара на
расстояниях r1=2см и r2=8см от его центра.
2.44 Электростатическое поле создается бесконечным цилиндром радиусом
8мм, равномерно заряженным с линейной плотностью =10нКл/м.
Определите разность потенциалов между двумя точками этого поля,
лежащими на расстояниях r1=2мм и r2=7мм от поверхности этого
цилиндра.
2.45 Электростатическое
поле
создается
бесконечной
плоскостью,
заряженной равномерно с поверхностной плотностью =5нКл/м2.
Определите числовое значение и направление градиента потенциала
этого поля.
2.46 Электростатическое поле создается бесконечной прямой нитью,
заряженной равномерно с линейной плотностью =50пКл/см. Определите
10
числовое значение и направление градиента потенциала в точке на
расстоянии r=0,5м от нити.
2.47 Электрон, двигавшийся со скоростью 5106м/с, влетает в параллельное
его движению электрическое поле напряженностью 103В/м. Какое
расстояние пройдет электрон в этом поле до момента остановки и
сколько времени ему для этого потребуется? Какую долю своей
первоначальной кинетической энергии потеряет электрон, двигаясь в
этом поле, если электрическое поле обрывается на расстоянии 0,8см пути
электрона?
2.48 С какой скоростью достигают анода электронной лампы электроны,
испускаемые катодом, если напряжение между катодом и анодом равно
200В? Начальной скоростью электронов можно пренебречь.
2.49 Пылинка взвешена в плоском конденсаторе. Ее масса m=10-11г,
расстояние между пластинами конденсатора d=0,5см. Пылинка
освещается ультрафиолетовым светом и, теряя заряд, выходит из
равновесия. Какой заряд потеряла пылинка, если первоначально к
конденсатору было приложено напряжение U=154В, а затем чтобы опять
вернуть пылинку в равновесие, пришлось прибавить 8В?
2.50 Между
вертикальными
пластинами
плоского
конденсатора,
находящегося в воздухе, подвешен на тонкой шелковой нити маленький
шарик, несущий заряд q=3,310-9Кл. Какой величины заряд надо
сообщать пластинам конденсатора, чтобы нить с шариком отклонилась
на угол =45 от вертикали? Масса шарика m=0,04г, площадь пластин
конденсатора S=314см2. Массой нити можно пренебречь.
2.51 Между двумя вертикальными пластинами, находящимися на расстоянии
d=2см друг от друга, висит заряженный бузиновый шарик массой m=0,1г.
После того как на пластины была подана разность потенциалов U=1000B,
нить с шариком отклонилась на угол =5. Найти заряд шарика q.
2.52 Электрон вылетает из точки, потенциал которой =600В, со скоростью
=12106м/с в направлении линий напряженности поля. Определить
потенциал точки, дойдя до которой электрон остановится.
2.53 В плоский конденсатор длиной l=5см влетает электрон под углом =15
к пластинам. Энергия электрона W=1500эВ. Расстояние между
пластинами d=1см. Определить напряжение U на конденсаторе, при
котором электрон при выходе из пластин будет двигаться параллельно
им.
11
2.54 По наклонной плоскости, составляющей угол  с горизонтом,
соскальзывает с высоты h небольшое тело, заряженное отрицательным
зарядом –q. В точке пересечения вертикали, проведенной через
начальное положение тела, с основанием находится заряд +q.
Определить скорость, с которой тело достигнет основания наклонной
плоскости. Проанализируйте зависимость скорости от угла : а)=45;
б)<45; в)α>45. Трением пренебречь. Масса тела m. Начальная
скорость равна нулю.
2.55 Упругий металлический шар лежит на изолирующей горизонтальной
упругой подставке. Шар имеет заряд +q. На какую высоту поднимется
второй такой же шар после удара о первый, если он падает с высоты Н
(расстояние между центрами шаров), а его заряд равен: а) –q; б) +q?
Радиус шара r<<H, его масса m.
3 ЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ ДИПОЛЬ
3.1Определите напряженность поля, создаваемого диполем с электрическим
моментом р=1нКлм на расстоянии r=25см от центра диполя в
направлении, перпендикулярном оси диполя.
3.2Определите напряженность электростатического поля, в точке А,
расположенной вдоль прямой, соединяющей заряды Q1=10нКл и Q2=-8нКл
и находящейся на расстоянии r=8см от отрицательного заряда. Расстояние
между зарядами l=20см.


3.3Найти силу взаимодействия двух точечных диполей с моментами p1 и p2 ,


если векторы p1 и p2 направлены вдоль прямой, соединяющей диполи, и
расстояние между последними равно l.
3.4Два коаксиальных кольца, каждое радиусом R, из тонкой проволоки,
находятся на малом расстоянии l друг от друга (l << R) и имеют заряды q и
–q. Найти потенциал и напряженность электрического поля на оси
системы как функции координаты х.
3.5Система состоит из заряда q > 0, равномерно распределенного по
полуокружности радиуса а, в центре которой находится точечный заряд –
q. Найти: а) электрический дипольный момент этой системы; б) модуль
напряженности электрического поля на оси Х системы на расстоянии r >>a
от нее.
12
3.6Две параллельные тонкие нити равномерно заряжены с линейной
плотностью  и -. Расстояние между нитями l. Найти потенциал и модуль
напряженности электрического поля на расстоянии r >> l под углом  к
вектору l.
4 ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ В ДИЭЛЕКТРИКЕ
4.1Точечный сторонний заряд q находится в центре шара радиусом а из
однородного изотропного диэлектрика проницаемости . Найти
напряженность Е поля как функцию расстояния r от центра данного шара.
4.2Точечный сторонний заряд q находится в центре сферического слоя
неоднородного изотропного диэлектрика, проницаемость которого
изменяется только в радиальном направлении по закону =/r, где  постоянная, r - расстояние от центра системы. Найти объемную плотность
 связанных зарядов как функцию r внутри слоя.
4.3Однородный диэлектрик имеет вид сферического слоя, внутренний и
внешний радиусы которого равны а и b. Изобразить примерные графики
напряженности Е и потенциала  электрического поля как функции
расстояния r от центра системы, если диэлектрику сообщили
положительный сторонний заряд, распределенный равномерно: а) по
внутренней поверхности слоя; б) по объему слоя.
4.4Сторонние заряды равномерно распределены с объемной плотностью  > 0
по шару радиусом а из однородного
диэлектрика с проницаемостью .

Найти: а) модуль вектора E как функцию расстояния r от центра шара,
изобразить примерные графики функции Е(r) и потенциала (r);
б) поверхностную и объемную плотность связанных зарядов.
4.5Найти емкость шарового проводника радиусом а, окруженного
примыкающим к нему слоем однородного диэлектрика с наружным
радиусом b и проницаемостью . Изобразить примерные графики
зависимостей поля Е(r) и потенциала (r), где r – расстояние от центра
шара, если проводник заряжен положительно.
4.6Точечный заряд q находится в вакууме на расстоянии l от плоской
поверхности
однородного
диэлектрика,
заполняющего
все
полупространство.
Проницаемость
диэлектрика
.
Найти:
а) поверхностную плотность связанных зарядов как функцию расстояния r
от очечного заряда q; б) суммарный связанный заряд на поверхности
диэлектрика.
13
4.7Фарфоровый шар радиусом R=10см заряжен равномерно с объемной
плотностью =15нКл/м3. Определите напряженность электростатического
поля: а) на расстоянии r1=5см от центра шара; б) на поверхности шара;
в) на расстоянии r2=15см от центра шара. Постройте график зависимости
Е(r). Диэлектрическая проницаемость фарфора =5.
4.8Внутренний цилиндрический проводник длинного прямолинейного
коаксиального провода радиусом R1=1,5мм заряжен с линейной
плотностью 1=0,2нКл/м. Внешний цилиндрический проводник этого
провода радиусом R2=3мм заряжен с линейной плотностью 2=-0,15нКл/м.
Пространство между проводниками заполнено резиной (=3). Определите
напряженность электростатического поля в точках, лежащих от оси
провода на расстояниях: а) r1=1мм; б) r2=2мм: в) r3=5мм.
4.9Определите поверхностную плотность зарядов на пластинах плоского
слюдяного  конденсатора, заряженного до разности потенциалов
U=200В, если расстояние между его пластинами равно d=0,5мм.
4.10 В однородное электростатическое поле напряженностью Е0=700В/м
перпендикулярно полю помещается бесконечная плоскопараллельная
стеклянная
пластина
(=7).
Определите:
а)
напряженность
электростатического поля внутри пластины; б) электрическое смещение
внутри пластины; в) поляризованность стекла; г) поверхностную
плотность связанных зарядов на стекле.
4.11 Расстояние между пластинами плоского конденсатора составляет d=5мм.
После зарядки конденсатора до разности потенциалов U=500В между
пластинами конденсатора вдвинули стеклянную пластинку (=7).
Определите:
а)
диэлектрическую
проницаемость
стекла;
б) поверхностную плотность связанных зарядов на стеклянной
пластинке.
4.12 Между пластинами плоского конденсатора помещено два слоя
диэлектрика - слюдяная пластина (=7) толщиной d1=1мм и парафин
(=2)
толщиной
d2=0,5мм.
Определите:
а)
напряженность
электростатических полей в слоях диэлектрика; б) электрическое
смещение, если разность потенциалов между пластинами конденсатора
U=500В.
4.13 Расстояние между пластинами плоского конденсатора составляет d=1см,
разность потенциалов U=200В. Определите поверхностную плотность 
14
связанных зарядов эбонитовой пластины (=3), помещенной на нижнюю
пластину конденсатора. Толщина пластины d2=8мм.
4.14 Свободные заряды равномерно распределены с объемной плотностью
=5нКл/м3 по шару радиусом R=10см из однородного изотропного
диэлектрика с проницаемостью =5. Определите напряженность
электростатического поля на расстояниях r1=5см и r2=15см от центра
шара.
4.15 Пространство между пластинами плоского конденсатора заполнено
стеклом (=7). Расстояние между пластинами d=5мм, разность
потенциалов U=1кВ. Определите: а) напряженность поля в стекле;
б) поверхностную плотность заряда на пластинах конденсатора; в)
поверхностную плотность связанных зарядов на стекле.
5 ЭЛЕКТРОЕМКОСТЬ
КОНДЕНСАТОРЫ
5.1Определите расстояние между пластинами плоского конденсатора, если
между ними приложена разность потенциалов U=150В, причем площадь
каждой пластины S=100см2, ее заряд Q=10нКл. Диэлектриком служит
слюда (=7).
5.2К пластинам плоского воздушного конденсатора приложена разность
потенциалов U1=500В. Площадь пластин S=200см2, расстояние между
ними d=1,5мм. После отключения конденсатора от источника напряжения
в пространство между пластинами внесли парафин (=2). Определите
разность потенциалов U2 между пластинами после внесения диэлектрика.
Определите также емкость конденсатора С1 и С2 до и после внесения
диэлектрика.
5.3Решите предыдущую задачу для случая, когда парафин вносится в
пространство между пластинами при включенном источнике питания.
5.4Определить емкость коаксиального кабеля длиной 10м, если радиус его
центральной жилы r1=1см, радиус оболочки r2=1,5см, а изоляционным
материалом служит резина (=2,5).
5.5Определите напряженность электростатического поля на расстоянии
d=1см от оси коаксиального кабеля, если радиус его центральной жилы
r1=0,5см, а радиус оболочки r2=1,5см. Разность потенциалов между
центральной жилой и оболочкой U=1кВ.
15
5.6Сферический конденсатор состоит из двух концентрических сфер
радиусами r1=5см и r2=5,5см. Пространство между обкладками
конденсатора заполнено маслом (=2,2). Определите: а) емкость этого
конденсатора; б) шар какого радиуса, помещенный в масло, обладает
такой же емкостью.
5.7Определите напряженность электростатического поля на расстоянии
х=2см от центра воздушного сферического конденсатора, образованного
двумя шарами (внутренний радиус r1=1см, внешний – r2=3см), между
которыми приложена разность потенциалов U=1кВ.
5.8Два плоских воздушных конденсатора одинаковой емкости соединены
параллельно и заряжены до разности потенциалов U=300В. Определите
разность потенциалов этой системы, если пространство между пластинами
одного из конденсаторов заполнено слюдой (=7).
5.9Емкость батареи конденсаторов, образованной двумя последовательно
соединенными конденсаторами, С=100пФ, а заряд Q=20нКл. Определите
емкость второго конденсатора, а также разность потенциалов на обкладках
каждого конденсатора, если С1 =200пФ.
5.10 Плоский воздушный конденсатор емкостью C=10пФ заряжен до
разности потенциалов U1=500В. После отключения конденсатора от
источника напряжения расстояние между пластинами конденсатора было
увеличено в 3 раза. Определите: а) разность потенциалов на обкладках
конденсатора после их раздвижения; б) работу внешних сил по
раздвижению пластин.
5.11 К пластинам плоского воздушного конденсатора приложена разность
потенциалов U1=500В. Площадь пластин S=200см2, расстояние между
ними d1=1,5мм. Пластины раздвинули до расстояния d2=15мм. Найдите
энергию W1 и W2 конденсатора до и после раздвижения пластин, если
источник напряжения перед раздвижением: а) отключался; б) не
отключался.
5.12 Разность потенциалов между пластинами плоского конденсатора
U=100В. Площадь каждой пластины S=200см2, расстояние между
пластинами d=0,5мм, пространство между ними заполнено парафином
(=2). Определите силу притяжения пластин друг к другу.
5.13 Пространство между пластинами плоского конденсатора заполнено
слюдой (=7). Площадь пластин конденсатора составляет 50см2.
16
Определите поверхностную плотность связанных зарядов на слюде, если
пластины конденсатора притягивают друг друга с силой 1мН.
5.14 Пространство между пластинами плоского конденсатора заполнено
стеклом (=7). Когда конденсатор присоединили к источнику
напряжения, давление пластин на стекло оказалось равным 1Па.
Определите: а) поверхностную плотность зарядов на пластинах
конденсатора; б) электрическое смещение; в) напряженность
электростатического поля в стекле; г) поверхностную плотность
связанных зарядов на стекле; д) объемную плотность энергии
электростатического поля в стекле.
5.15 Сферический конденсатор с радиусами обкладок а и b, где а<b, заполнен
изотропным, но неоднородным диэлектриком, проницаемость которого
зависит от расстояния r до центра системы как =/r,  - постоянная.
Найти емкость такого конденсатора.
6 РАБОТА СИЛ ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ПОЛЯ
ЭНЕРГИЯ ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ПОЛЯ
6.1Заряд q распределен по тонкому кольцу радиусом а. Найти работу сил
поля при перемещении точечного заряда q из центра кольца на
бесконечность.
6.2Электростатическое поле создается положительно заряженной с
постоянной поверхностной плотностью =10нКл/м2 бесконечной
плоскостью. Какую работу надо совершить для того, чтобы перенести
электрон вдоль линии напряженности с расстояния r1=2см до r2=1см?
6.3Электростатическое
поле
создается
положительно
заряженной
бесконечной нитью с постоянной линейной плотностью =1нКл/см. Какую
скорость приобретет электрон, приблизившись под действием внешних
сил вдоль линии напряженности с расстояния r1=1,5см до r2=1см?
6.4Одинаковые заряды Q=100нКл расположены в вершинах квадрата со
стороной а=10см. Определите потенциальную энергию этой системы.
6.5В боровской модели атома водорода электрон движется по круговой
орбите радиусом r=52,8пм, в центре которой находится протон.
Определите: а) скорость электрона на орбите; б) потенциальную энергию
электрона в поле ядра, выразив ее в электрон-вольтах.
17
6.6Определите линейную плотность бесконечно длинной заряженной нити,
если работа сил поля по перемещению заряда Q=1нКл с расстояния r1=5см
до r2=2см в направлении, перпендикулярном нити, равна 50мкДж.
6.7Электростатическое
поле
создается
положительно
заряженной
бесконечной нитью. Протон, двигаясь от нити под действием поля вдоль
линии напряженности с расстояния r1=1см до r2=5см, изменил свою
скорость от 1 до 10Мм/с. Определите линейную плотность заряда нити.
6.8Точечный заряд q находится в центре шарового слоя из однородного
диэлектрика с проницаемостью . Внутренний и наружный радиусы слоя
равны соответственно а и b. Найти электрическую энергию, заключенную
в данном диэлектрическом слое.
6.9Найти работу, которую надо совершить против электрических сил, чтобы
удалить диэлектрическую пластинку из плоского заряженного
конденсатора. Предполагается, что заряд q конденсатора остается
неизменным и диэлектрик заполняет все пространство между обкладками.
Емкость конденсатора без диэлектрика равна С.
6.10 Система состоит из двух концентрических металлических оболочек
радиусами R1 и R2 с соответствующими зарядами q1 и q2. Найти
собственную энергию W1 и W2 каждой оболочки, энергию WВЗ
взаимодействия оболочек и полную электрическую энергию W данной
системы, если R2 > R1.
6.11 Два небольших металлических шарика радиусами R1 и R2 находятся в
вакууме на расстоянии, значительно превышающем их размеры, и имеют
некоторый определенный суммарный заряд. При каком отношении q1/q2
зарядов на шариках электрическая энергия системы будет минимальной?
Какова при этом разность потенциалов между шариками?
6.12 Заряд q распределен равномерно по объему шара радиусом R. Полагая
диэлектрическую проницаемость всюду равной единице, найти
собственную электрическую энергию шара и отношение энергии W1,
локализованной внутри шара, к энергии W2 в окружающем пространстве.
6.13 Имеется сферическая оболочка, заряженная равномерно зарядом q. В
центре ее расположен точечный заряд q0. найти работу электрических
сил этой системы при расширении оболочки – увеличении ее радиуса от
R1 до R2.
18
6.14 Имеется плоский воздушный конденсатор, площадь каждой обкладки
которого равна S. Какую работу А против электрических сил надо
совершить, чтобы увеличить расстояние между обкладками от х1 до х2 ,
если при этом поддерживать неизменным: а) заряд конденсатора,
равный q; б) напряжение на конденсаторе, равное U? Чему равно
приращение электрической энергии конденсатора в обоих случаях?
6.15 Уединенная металлическая сфера электроемкостью С=4пФ заряжена до
потенциала =1кВ. Определите энергию поля, заключенную в
сферическом слое между сферой и концентрической с ней сферической
поверхностью, радиус которой в 4 раза больше радиуса уединенной
сферы.
6.16 Две концентрические проводящие сферы радиусами R1=20см и R2=50см
заряжены соответственно одинаковыми зарядами Q=100нКл. Определите
энергию электростатического поля, заключенного между этими сферами.
6.17 Сплошной эбонитовый шар (=3) радиусом R=5см заряжен равномерно с
объемной
плотностью
=10нКл/м3.
Определите
энергию
электростатического поля, заключенную внутри шара.
6.18 Сплошной шар из диэлектрика радиусом R=5см заряжен равномерно с
объемной
плотностью
=10нКл/м3.
Определите
энергию
электростатического поля, заключенную в окружающем шар
пространстве.
6.19 Шар, погруженный в масло (=2,2), имеет поверхностную плотность
заряда =1мкКл/м2 и потенциал =500В. Определите: а) радиус шара;
б) заряд шара; в) емкость шара; г) энергию шара.
6.20 В однородное электростатическое поле напряженностью Е0=700В/м
перпендикулярно полю поместили стеклянную пластинку (=7)
толщиной d=1,5мм и площадью 200см2. Определите: а) поверхностную
плотность связанных зарядов на стекле; б) энергию электростатического
поля, сосредоточенную в пластине.
19
ОТВЕТЫ
1 ЗАКОН КУЛОНА
1.2
1.3
1.4
1.5
1.6
1,25r
3,8∙10-5Кл; 1,2∙10-5Кл
0,076мм
1,6г/см3
a
3
4
1.7
1.8
6∙10-8Кл
0,957q; равновесие неустойчивое
1.9
q2
 0 a 2
1.10 9,5∙10-5Н; 9,5∙10-5Н
1.11 2,5108 м/с2
1.12 2,25Мм/с
1.13 прямолинейное, равноускоренное; y 
qQ(m  M )
40 E (Qm  qM )
1.14
1.15
mg
x
qE
gd 3   1 
6E
=16,1нКл
2 НАПРЯЖЕННОСТЬ И ПОТЕНЦИАЛ ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ПОЛЯ
2.2 нет
2.3 70кВ/м, 10кВ/м; 50кВ/м, 50кВ/м
2.4
2.6
q
(
1 1
 )  4,5 кВ
r1 r2
40
3q
2 0 a 2
2.7
2.8
246В/м
0,6кВ/м; 0,2кВ/м
2.9
0;
2.10
2.11
4Q

2.12 9,3106В/м
2.13
2.14
=10,3кВ/м
5 50 a 2
q
z

40 a 2  z 2 3 2
1
q

40 x l 2  x 2

2 0

0

20
2.15 0 (r  a ) ;

20 r
2.16 0 (r  a ) ;
q
2.17
2.18
2.19
2.20
2.21
2.22
2.23
1

40 r 2
(r  a)
(r  a)
q
q
(r  a)
r (r  a) ;
3
40 r 2
a
40
1

40
0
4 0 R
 2
; 450
4 0 y
3 
j
6 0 l
0 R3
 0 r  3r 

2
R, R
( r  R) ;
1 
 ( r  R) ,
2
3
9 0
12 0 r
3 0  4 R 
R

,
2 0 4 0
2.24
3 q
3 q 
r2 
1  2 

; 
8  0 R 8 0 R  3R 
2.25
2.26.
2.27
2.28
2.29
2.30
3,46кВ∙м
339В∙м
1,77нКл/м2
0; 800В/м; 450В/м
0; 5кВ/м; 0,9кВ/м
18,8В/м; 16,7В/м
2.31 
a
r
2.32 40 aR
  
2.33 ayi  xj  ; a
2.34 
2.35
2.36
19

10
 r   6 0 a


q 
1
1 
2
20 R 
r
1  

R








2.37 1800В; 805В
2.38 10см
2.39 1кВ/м, направлен к заряду
21
2.40
2.41
2.42
2.43
2.44
2.45
2.46
2.47
2.48
2.49
16,9В
360В
0,94В
2,26В
73В
282В/м, направлен к плоскости
180В/м, направлен к нити
7,1см, 2,8∙10-8с; 0,11
8,4∙106м/с
1,6∙10-19Кл
2.50
=3,3∙10-8Кл
 0 mgS tg 
q
2.51 1,73∙10-9Кл
mv 2
=190,5В
2e
Wd sin 2
=150В
el
2.52  
2.53
2.54
2.55


q2
1  tg  
2 gh 
mh


2
q 1
1
H
  ; H
mg  2r H 
3 ЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ ДИПОЛЬ
3.1
3.2
3.3
3.4
3.5
3.6
576В/м
10,1кВ/м; 17,5кВ/м
1
40
1


6 p1 p 2
l4
x
qlx

;
ql
3
4 0
 R2 2
qa
2qa
; 2 3

  0r
 l cos
l

;
2 0
r
20 r 2
40
2

R 2  2x 2
x
2
 R2

5
2
4 ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ В ДИЭЛЕКТРИКЕ
4.1
4.2
4.4
4.5
1
q
1
q
(r  a) ;
 2 (r  a)
2
40 r
4 0 r
1
q
 2
4 r

 1 a
 1
a 3 1


r (r  a) ,
 2 (r  a) ;
,

3

3 0
3 0 r
40a
1    1 a b

22
  1 ql
 1

q
;
3
  1 2r
 1
4.6

4.7
4.8
4.9
4.10
4.11
4.12
4.13
4.14
4.15
5,65В/м; 11,3В/м ( r  R ), 56,5В/м ( r  R ); 25,1В/м
0; 800В/м; 180В/м
24,8мкКл/м2
100В/м; 6,19нКл/м2; 5,31нКл/м2; 5,31нКл/м2
6; 759нКл/м2
182кВ/м, 637кВ/м; 11,3мкКл/м2
253нКл/м2
1,88В/м; 8,37В/м
200кВ/м; 12,4мкКл/м2; 10,6мкКл/м2
5 ЭЛЕКТРОЕМКОСТЬ
КОНДЕНСАТОРЫ
9,29мм
250В; 118пФ; 236пФ
500В; 118пФ; 236пФ
5.1
5.2
5.3
5.4
5.5
20 l
=3,43нФ
r2
ln
r1
U
=91кВ/м
r2
d ln
r1
5.6
135пФ; 0,55м
5.7
U r1r2
=37,5кВ/м

x 2 r2  r1
5.8
5.9
5.10
5.11
5.12
75В
200пФ; 100В; 100В
1,5кВ; 2,5мкДж
14,8мкДж, 148мкДж; 14,8мкДж, 1,48мкДж
7,08мН
5.13   1
2 F 0
=4,27мкКл/м2
S
5.14 11,1мкКл/м2; 11,1мкКл/м2; 179кВ/м; 9,5мкКл/м2; 0,992Дж/м3
5.15
6.1
6.2
40
b
ln
a
q q
6 РАБОТА СИЛ ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ПОЛЯ
ЭНЕРГИЯ ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ПОЛЯ
4 0 a
9∙10-19Дж
23
6.3
6.4
6.5
6.6
6.7
6.8
6.9
6.10
6.11
6.12
6.13
r
e
ln 1 =16Мм/с
0 m r2
4,87мДж
2,19Мм/с; -27,3эВ
3,03мкКл/м
17,8мкКл/м
q2  1 1 
  
80   a b 
q2  1 
1  
2C   
1
40

q12
q2
1
1
1 q1 q 2
;
;
 2 ;

2 R1 40 2 R2 40 R2 40
 q12
q2
qq 

 2  1 2 
R2 
 2 R1 2 R2
R1
;0
R2
1
40

3q 2 1
;
5R 5
qq0  q 2  1
1 
 

40
 R1 R2 
q2
 0 SU 2  1 1 



A

x

x
   , W   A
2
1 , W  A ; A 
6.14
2 0 S
2  x1 x2 
6.15
3C 2
=1,5мкДж
8
6.16
6.17
6.18
6.19
6.20
135мкДж
0,164пДж
2,46пДж
9,74мм; 1,19нКл; 2,38пФ; 0,3мкДж
5,31нКл/м2; 9,29пДж
24
1.
2.
3.
4.
РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА
Н.И. Гольдфарб. Физика. Задачник. 9-11 классы. Дрофа. Москва –
2000.
И.Е. Иродов. Электромагнетизм. Основные законы. ФИЗМАТЛИТ.
Москва - Санкт-Петербург – 2000.
И.В. Савельев. Курс общей физики. Электричество и магнетизм.
Астрель – АСТ. Москва – 2001.
Т.И. Трофимова. Физика в таблицах и формулах. Дрофа. Москва –
2002.