Численное восстановление плотности в обратной

Л.Н. Пестов, д-р физ.-мат. наук
Югорский НИИ информационных технологий
(Россия, 628011, Ханты-Мансийск, ул. Мира, 151),
тел. (34671) 59082, [email protected]
В.М. Болгова,
Югорский гос. университет
(Россия, 628011, Ханты-Мансийск, ул. Чехова, 16),
тел. (34671) 59113, [email protected]
О.П. Казарина
Югорский гос. университет
(Россия, 628011, Ханты-Мансийск, ул. Чехова, 16),
тел. (34671) 59113, [email protected]
Численное восстановление плотности в обратной динамической
задаче методом граничного управления
Приведены результаты численных экспериментов решения дискретного аналога обратной
динамической задачи для волнового уравнения: восстановление плотности неоднородной
мембраны по данным волновой томографии.
Прямая и обратная задача. Пусть D - ограниченная, односвязная область в R 2 с
границей . Обозначим через u f решение начально-краевой задачи для волнового
уравнения
 utt   u  0
в
D  (0, T )
u |t 0  ut |t 0  0,
(1)
def
un |[0,T ]  f  F T  L2    [0, T ] .
где  x   0 - плотность (предполагается кусочно-гладкой),
un - нормальная
производная (управление). Отображение RT : FT  FT, определенное равенством
RT f  u |[0,T ]
называется оператором реакции. Известно, что оно ограничено в F T [1].
Обратная задача состоит в определении плотности  по оператору реакции R 2T при
достаточно большом T , точнее при 2T  diam  ( D ) - оптический диаметр области D.
При этом волны, возбужденные всевозможными граничными источниками из F T к
финальному моменту T заполнят всю область D. Следуя терминологии метода
граничного управления (BC -метод; М.И. Белишев [2,3]) функцию
def
W T f  u f , T 
будем называть состоянием. В основе BC-метода лежит следующее равенство,
связывающее управления и состояния:
1
W
T
f ,W T g 
H
T
 (C T f , g ) F T ,
где
W T f ,W T g  H T 
def

D
T
  x  u f  x, T  u g  x, T  dx,
а симметричная билинейная форма (С f , g ) явно выражается через R
(C T f , g ) F T 
1
2 

T
0
f  x, t  [ 
2 T t
t
2T
:
( R 2T g )( x, s )ds ]dt

T
 ( R 2T f )( x, t )[  g ( x, s)ds]dt d .
t
Известно, что при достаточно больших T задача граничного управления
Wf    H T , f  ?
(2)
разрешима в F [4]. Если  - произвольная гладкая гармоническая функция в
D  D , то равенство (2) выполняется тогда и только тогда, когда выполняется
граничное равенство
T
C
T
f , g
FT
   g  , g  F T ,
(3)
где функционал  определяется функцией  по формуле
g  
0,T 
T  t   x  g  x, t  dtd .
Восстановление плотности  может быть реализовано по следующей схеме,
предложенной в [5].
1. Для всевозможных гладких гармонических функций  решается задача
граничного управления (3). Тем самым определяются управления f , такие, что
u
f
, T   Wf , T    .
2. Тогда для восстановления плотности получаем уравнение

D
  x   x   x  dx  (C T f , g ) F ,
T
где  , - произвольные гладкие гармонические функции. Поскольку множество
всевозможных произведений  образует плотное множество в L2 D , то
плотность однозначно восстанавливается из последнего уравнения.
Подчеркнем, что при этом решение обратной задачи достигается с помощью двух
линейных процедур.
Прямая и обратная задача в дискретной постановке. Численные эксперименты.
Описанная выше схема использовалась для решения обратной динамической задачи,
которая получается в результате проектирования прямой задачи (1) на
конечномерное подпространство со стандартными базисными функциями метода
конечных элеменов. В круге D выбиралась нерегулярная сетка треугольников
2
Делоне, решение прямой задачи раскладывалось по стандартным кусочнолинейными базисным функциям FEM  j :
u  x, t   n1 U n  t  n  x  , n  xm    nm , n, m  1,..., N ,
N
где xn - узлы триангуляции. Метод Галеркина сводит исходную прямую задачу к
задаче Коши для системы обыкновенных дифференциальных уравнений с
постоянными коэффициентами
MU   KU
G f  , Gi f   t     i  x  f  x, t  d 

U  0   U   0   0.
(4)
где
M ij     x  i  x  j  x  dx,
D
Kij   ( i  x  ,  j  x )dx.
D
После решения задачи на собственные значения
MX  KX  X , X t MX  E,
где  - диагональная матрица собственных значений, решение задачи Коши
выписывается в явном виде.
При проведении расчетов использовались следующие управления
f jkl  cos ,sin  , t   h j  t  qk cos ,sin   ,
где h j t  - смещенный прямоугольный импульс на шаг jt , q k - кусочно-линейные
функции на граничной окружности, причем qk ( xk )  1 и qk  0 в остальных
граничных узлах. В дальнейшем управления нумеруются единым индексом
f l , l  1,..., L, где L - количество базисных управлений.
Восстановление плотности по рассчитанным решениям прямой задачи
U f  t  , t  [0, 2T ] на множестве граничных узлов ( i  A  N :
def
Rft i  Ufi t i A
проводилось по схеме, близкой к описанной выше схеме решения обратной задачи в
непрерывной постановке. При этом использовалась кусочно-постоянная модель
плотности (в каждом треугольнике  - константа). Алгоритм решения обратной
задачи в дискретной постановке состоял в следующем:
1. Рассчитывались сеточные "гармонические функции"  ( j ) , j  1,..., J , где J количество граничных узлов:
K ( j )  G( j ) ,
где векторы G( j ) - могут быть произвольными линейно-независимыми граничными
векторами (их компоненты равны нулю во внутренних узлах), удовлетворяющих
условию разрешимости задачи Неймана nN1 G(nj )  0. В работе выбиралось
G(i j )   n ln x  x j |x  xi ,
3
где i  A, а точки x j , j  1,..., J задавались на близкой к  окружности, большего
радиуса.
2. Для каждой  ( j ) решалась задача граничного управления
def
W f ( j )  U
T
относительно управлений
f( j )
T    ( j ) ,
j  1,..., J
(5)
f( j ) . Как и в непрерывном случае, эти уравнения
эквивалентны уравнениям, использующим только данные обратной задачи
f
(состояния U k  T  в обратной задаче неизвестны). Можно показать, что (5)
выполняется тогда и только тогда, когда управление f j удовлетворяет линейному
уравнению,
( Pf( j ) , g )  iAG(i j ) ( Rg )i (T )).
(6)
где билинейная форма ( Pf , g ) явно выражается через данные обратной задачи
( Pf , g )  ( KW T f ,W T g ) 
1 T
(G , Rg )  t   (G g  , Rf )  t  
2 0   f 
 (G f   t  , Rg  2T  t ) dt

и условию
( Rf j )i (T )   (i j ) ,
i  A.
(7)
Во всех рассмотренных численных экспериментах задача граничного управления
решалась с хорошей точностью. Точнее, в результате решения системы линейных
уравнений (относительно коэффициентов разложения f( j )  kL1cl  j  f k ),
получающихся из (6), когда g пробегает базисные управления f l , l  1,..., L с
условими (7)
( Pf( j ) , f l )  iAG(i j ) ( Rf l )i (T )),
T
находились управления f( j ) . Вычисленные по ним состояния W f ( j ) отличались
от
 ( j ) в относительной норме
l 2 на величины порядка менее 10 3  10 6 .
3. Как и в случае непрерывной постановки BC - метод приводит к равенству
( MW T f ,W T g )  (CT f , g ),
где правая часть явно вычисляется через данные обратной задачи. Подставляя сюда
f  f( j ) , g  f( k ) и заменяя W T f ( j ) на  ( j ) для нахождения значений плотности
в каждом треугольнике получаем систему уравнений

K
  (jp ) (kq )   ( j )  x  ( k )  x  dx  (C T f , f ).
k 1 k
k
( p)
(q)
(8)
Фактически, это система линейных алгебраических уравнений с матрицей Q
4
размерности K  J ( J  1) / 2. Количество управлений выбиралось так, чтобы
соблюдалось условие J 2  4 K . В приведенных ниже примерах эта система решалась
с помощью алгоритма псевдообращения Мура-Пенроуза. Ниже приведены
графические результаты численных экспериментов восстановления плотности. На
рисунках слева представлена модель, справа – результат реконструкции. Величина
 означает относительную среднеквадратическую погрешность.
Рис. 1. Модель с одним включением.
Рис. 2. Результат восстановления,
  4,5%
Рис. 3. Два включения.
Рис. 4. Результат восстановления,
  6,7%
5
1
Рис. 5. Исходная модель плотности.
Рис. 6. Результат восстановления,
  40%
Рис. 7. Модель с четырьмя
включениями.
Рис. 8. Результат восстановления,
  8%
Численные эксперименты показали, что первая задача - задача граничного
управления при достаточно большом T и достаточно большом количестве
управлений решается с хорошей точностью. Качество решения второй задачи восстановление распределения плотности из (8) зависит от ранга матрицы Q .
Список литературы
1. Lasiecka I., Lions J-L. and Triggiani R. Non homogeneous boundary value problems for second order
hyperbolic operators. J. Math. Pures Appl. 65 (1986). p. 149-192.
2. Белишев М. И., Благовещенский А. С. Динамические обратные задачи теории волн. Изд-во СанктПетербургского университета, (1999), 265 с.
3. Belishev M. I. Boundary control in reconstruction of manifolds and metrics (the BC-method). Inverse
Problems, 13 (1997), R1-R45.
4. Bardos C., Lebeau G. and Rauch J. Sharp sufficient conditions for the observation control and stabilization
of the waves from the boundary. SIAM J. Contr. Opt., 30 (1992), p. 1024-1065.
5. Pestov L. N. On reconstraction of the speed of sound from a part of boundary. Journal of inverse and illposed problems, 1999, n 5, v. 7, pp. 481-486, Netherland.
6