Задача граничного наблюдения - Институт программных систем

ISBN 5-94052-066-0
УДК
ПРОГРАММНЫЕ СИСТЕМЫ: ТЕОРИЯ И ПРИЛОЖЕНИЯ.
ПЕРЕСЛАВЛЬ-ЗАЛЕССКИЙ, 2004
517.954:517.977.56
Л. Н. Знаменская
Задача граничного наблюдения
за колебаниями струны
Аннотация. В данной статье решается задача восстановления начальных
данных для волнового уравнения по результатам наблюдений за изменением натяжения на закрепленных концах струны. Найден период времени, в
течение которого необходимо производить наблюдения для полного восстановления начальных данных.
Задача граничного наблюдения решается в классе обобщенных решений из L2 , для этого с помощью априорных оценок получен явный вид
решения класса L2 краевой задачи для волнового уравнения с начальными условиями u(x, 0) = ϕ(x) и ut (x, 0) = ψ(x) и однородными граничными
условиями первого рода.
Ключевые слова и фразы: наблюдаемость, системы с распределенными параметрами, волновое уравнение, первая краевая задача, обобщенные решения, конечномерные аппроксимации.
1. Обозначения, определения, постановки задач
Обозначим через Ql,T прямоугольник
Ql,T = { (x, t) : 0 < x < l, 0 < t < T }.
Определение 1. Будем говорить, что функция u(x, t) принадлеb 2 (Ql,T ), если она принадлежит классу L2 (Ql,T ), прижит классу L
надлежит классу L2 [0, l] при любом t из сегмента [0, T ] и принадлежит классу L2 [0, T ] при любом x из сегмента [0, l].
Введем следующее пространство:
F1 [0, l] = { f (x) ∈ C 2 [0, l] : f (0) = f (l) = 0 }.
Пространство, сопряженное к F1 [0, l], обозначим F10 [0, l]. Для элементов пространств F10 [0, l] потребуется понятие первообразной.
Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований, проект № 04–01–00461.
Задача граничного наблюдения
332
Определение 2. Функция gb называется первообразной функции
g пространства F10 [0, l], если равенство
hb
g , f 0 i = − hg, f i
(1)
выполняется для любой функции f ∈ F1 [0, l].
Совокупность элементов g пространства F10 [0, l], для которых перc0 [0, l].
вообразные gb принадлежат пространству L2 [0, l], обозначим F
1
Первая краевая задача с однородными граничными условиями. Найти функцию u(x, t) такую, что
utt (x, t) − a2 uxx (x, t) = 0,
(2)
(3)
u(x, 0) = ϕ(x),
(4)
u(0, t) = 0,
(x, t) ∈ Ql,T ,
ut (x, 0) = ψ(x),
u(l, t) = 0,
0 6 x 6 l,
0 6 t 6 T.
Определение 3. Дважды непрерывно дифференцируемая в замкнутом прямоугольнике Ql,T функция u(x, t) называется классическим решением первой краевой задачи с однородными граничными
условиями, если она удовлетворяет уравнению (2) в Ql,T , начальным
условиям (3) на сегменте 0 6 x 6 l и краевым условиям (4) для
0 6 t 6 T.
c0 [0, l].
Предположим, что ϕ(x) ∈ L2 [0, l], а ψ(x) ∈ F
1
b 2 (Ql,T ) первой краевой задачи
Определение 4. Решением из L
с однородными граничными условиями называется такая функция
b 2 (Ql,T ), для которой тождество1
u(x, t) из класса L
ZZ
(5)
u(x, t) [Ftt (x, t) − Fxx (x, t)] dx dt +
Ql,T
Zl
ϕ(x)Ft (x, 0) dx − hψ(·), F (·, 0)i = 0,
+
0
верно для всех функций F (x, t) ∈ C 2 (Ql,T ) таких, что
(6)
F (0, t) = F (l, t) ≡ 0,
(7)
F (x, T ) = Ft (x, T ) ≡ 0,
0 6 t 6 T,
0 6 x 6 l,
1Здесь символом hψ(·), F (·, 0)i обозначено значение функционала ψ на функциях F (x, 0) указанного класса.
333
Задача граничного наблюдения
и для которой условия (4) и первое начальное условие (3) выполняются в смысле равенства элементов L2 [0, T ] и L2 [0, l] соответственно,
c0 [0, l].
а второе начальное условие –– в смысле равенства элементов F
1
Рассмотрим процесс колебаний струны с закрепленными концами. Будем наблюдать за натяжением на ее концах
ux (0, t) = z 1 (t),
(8)
ux (l, t) = z 2 (t),
0 6 t 6 T.
Сформулируем задачу граничного наблюдения за системой, описываемой уравнением (2) и условиями (4).
Задача граничного наблюдения. Найти функции ϕ(x) и ψ(x),
задающие начальное состояние u(x, 0) = ϕ(x) и ut (x, 0) = ψ(x) системы, описываемой уравнением (2) и условиями (4), по наблюдаемым
значениям (8).
Функции наблюдения z 1 (t) и z 2 (t) принадлежат C 1 [0, T ], если
u(x, t) классическое решение первой краевой задачи; функции z 1 (t)
c0 [0, T ], если u(x, t) ∈ L
c2 (Ql,T ) –– обобщенное
и z 2 (t) принадлежат F
1
решение первой краевой задачи.
2. Априорные оценки для решений первой краевой задачи
с однородными граничными условиями
Получим априорные оценки для решений в классе C 2 (Ql,T ) первой краевой задачи с однородными граничными условиями.
Рассмотрим первую краевую задачу с однородными граничными
условиями при 0 < T 6 l/a. Классическое решение u(x, t) рассматриваемой задачи удовлетворяет тождеству, аналогичному тождеству
(5), получаемому с учетом равенства (1),
ZZ
(9)
u(x, t)[Ftt (x, t) − a2 Fxx (x, t)] dx dt =
Ql,T
Zl d
b
=−
ψ(x)
F (x, 0) + ϕ(x)Ft (x, 0) dx,
dx
0
оно выполняется для любой функции F (x, t) ∈ C 2 (Ql,T ) со свойствами (6) и (7) и его можно представить в виде
(10)
Φ(x + at) + Φ(x − at)
1
u(x, t) =
+
2
2a
x+at
Z
Ψ (z) dz.
x−at
Задача граничного наблюдения
334
Формула (10) называется формулой Даламбера. Здесь Φ(x) и Ψ (x) ––
нечетные относительно x = 0 и x = l продолжения функций ϕ(x) и
ψ(x) соответственно, они периодичны с периодом 2l.
Для удобства дальнейшего изложения формулу (10) перепишем
в следующем виде:
(11)
u(x, t) =
Φ(x + at) + Φ(x − at) Ψb(x + at) − Ψb(x − at)
+
,
2
2a
где Ψb(x) –– первообразная функции Ψ .
В качестве функции F (x, t) ∈ C 2 (Ql,T ) в тождестве (9) возьмем
решение из класса C 2 (Ql,T ) следующей задачи:
Ftt (x, t) − a2 Fxx (x, t) = u(x, t),
(12)
F (x, T ) = 0,
F (0, t) = 0,
Ft (x, T ) = 0,
F (l, t) = 0,
(x, t) ∈ Ql,T ,
0 6 x 6 l,
0 6 t 6 T,
В работе [1] получен явный вид функций, являющихся решением
задачи (12):
1
(13) F (x, t) =
2a
T
Z−t x+a(T
Z −t−τ )
u(ξ, T − τ ) dξ dτ −
0
x−a(T −t−τ )
x
x
l
− µ1 t +
− ν1 t − +
,
a
a a
где функции µ1 (t) и ν 1 (t) определяются формулами
(14)
1
µ (t) =
2a
1
T
Z−t
0
(15)
ν 1 (t) =
1
2a
a(TZ−t−τ )
u(ξ, T − τ ) dξ dτ,
−a(T −t−τ )
T
Z−t l+a(T
Z −t−τ )
u(ξ, T − τ ) dξ dτ,
0
l−a(T −t−τ )
и µ1 (t) обладает следующими свойствами: µ1 (t) = µ1 (t) для 0 6 t < T
и µ1 (t) = 0 для всех t > T . Аналогичными свойствами обладает и
функция ν 1 (t).
Задача граничного наблюдения
335
Из вида (13) функции F (x, t) находим
1 1 0 l − x
1
1 0 x
(16) Fx (x, 0) = −
µ
ν
+
+
a
a
a
a
ZT
1
u(x + a(T − τ ), T − τ ) − u(x − a(T − τ ), T − τ ) dτ,
+
2a
0
1 1 0 l − x
1
1 0 x
(17) Ft (x, 0) = −
µ
ν
−
−
a
a
a
a
ZT
1 −
u(x + a(T − τ ), T − τ ) + u(x − a(T − τ ), T − τ ) dτ.
2
0
Из вида (14) и (15) функций µ1 (t) и ν 1 (t) находим
x
1 0
(µ )
1
=−
2
a
TZ
−x/a
u(−x+a(T −τ ), T −τ )+u(x−a(T −τ ), T −τ ) dτ,
0
1 0
(ν )
l−x
a
1
=−
2
T −(l−x)/a
Z
u(x + a(T − τ ), T − τ ) dτ −
0
1
−
2
T −(l−x)/a
Z
u(2l − x − a(T − τ ), T − τ ) dτ.
0
Полученные выражения подставим в (16) и (17)
1
Fx (x, 0) = −
2
ZT
u(x + a(T − τ ), T − τ ) + u(x − a(T − τ ), T − τ ) dτ +
0
+
1
2a
TZ
−x/a
u(−x + a(T − τ ), T − τ ) + u(x − a(T − τ ), T − τ ) dτ −
0
−
1
2a
T −(l−x)/a
Z
u(x + a(T − τ ), T − τ ) + u(2l − x − a(T − τ ), T − τ ) dτ,
0
336
Задача граничного наблюдения
ZT
1
Ft (x, 0) = −
2
u(x + a(T − τ ), T − τ ) + u(x − a(T − τ ), T − τ ) dτ +
0
TZ
−x/a
1
2
+
u(−x + a(T − τ ), T − τ ) + u(x − a(T − τ ), T − τ ) dτ +
0
+
1
2
T −(l−x)/a
Z
u(x + a(T − τ ), T − τ ) + u(2l − x − a(T − τ ), T − τ ) dτ,
0
Преобразуем Fx (x, 0) и Ft (x, 0), используя вид (11) функции
u(x, t), подставим в интегральное тождество (9) и сделаем соответствующие замены, получим
ZZ
1
2
u2 (x, t) dx dt =
ZZ
b
ϕ(x) + ψ(x)
ϕ(x) dx dt +
Ql,T
Ql,T
1
+
2
Zl
( ZT
Φ(x + 2az) + Φ(x − 2az)
b
ϕ(x) + ψ(x)
dz +
2
0
0
)
ZaT
ZT b
b i
1 h
ψ(x)
Ψ (x + 2az) − Ψb(x − 2az)
+
dz dx −
ϕ(x) +
×
2a
2
a
0
0
( ZT
Φ(−(x − 2az)) + Φ(x − 2az)
dz +
2
×
x/a
)
ZT b
Zl h
b i
Ψ (−(x − 2az)) − Ψb(x − 2az)
1
ψ(x)
+
dz dx −
ϕ(x) +
×
2a
2
a
l−aT
x/a
(
ZT
Φ(x + 2az) + Φ(2l − (x + 2az))
dz +
2
×
(l−x)/a
ZT
+
(l−x)/a
Ψb(x + 2az) − Ψb(2l − (x + 2az))
dz
2a
)
dx.
Задача граничного наблюдения
337
Далее будем предполагать, что l/(2a) < T 6 l/a. Рассмотрим
интеграл
ZZ "
Φ(−(x − 2az)) + Φ(x − 2az)
+
J =
2
0
Q
#
Ψb(−(x − 2az)) − Ψb(x − 2az)
dz dx,
+
2a
где Q0 = { (x, z) : 0 6 x 6 aT, x/a 6 z 6 T }. Множество Q0 разобьем
на два множества Q2 = { (x, z) : 0 6 x 6 2aT −l, (l +x)/(2a) 6 z 6 T }
и Q1 = Q0 \ Q2 . Заметим, что на множестве Q1 выполняется следующее неравенство: −l 6 x − 2az 6 0, а на множестве Q2 справедливо
x − 2az 6 −l. Используя сделанные замечания и свойства функций Φ
и Ψb, заключаем, что J = 0.
Аналогично рассмотрим интеграл
ZZ h
Φ(x + 2az) + Φ(2l − (x + 2az))
+
I=
2
Q00
Ψb(x + 2az) − Ψb(2l − (x + 2az)) i
dz dx,
2a
где Q00 = { (x, z) : l − aT 6 x 6 l, (l − x)/a 6 z 6 T }. Множество Q00
разобьем на Q4 = { (x, z) : 2(l − aT ) 6 x 6 l, (2l − x)/(2a) 6 z 6 T } и
Q3 = Q00 \Q4 . Заметим, что на множестве Q3 выполняется x+2az > l,
а на множестве Q4 справедливо x + 2az > 2l. Используя сделанные
замечания и свойства функций Φ и Ψb, заключаем, что I = 0.
Таким образом, для оценки остается интеграл
ZZ
ZZ
1
2
b
u (x, t) dx dt =
ϕ(x) + ψ(x)
ϕ(x) dx dt +
2
+
Ql,T
Ql,T
1
+
2
ZZ
"
Φ(x + 2az) + Φ(x − 2az)
b
ϕ(x) + ψ(x)
+
2
Ql,T
#
Ψb(x + 2az) − Ψb(x − 2az)
+
dz dx.
2a
Для получения оценки воспользуемся неравенством Коши–Буняковского и тем фактом, что на прямоугольнике Ql,T функции Φ и
Задача граничного наблюдения
338
Ψb выражаются через функции ϕ и ψb соответственно. Полученный
интеграл дает следующую оценку для T 6 l/a:
(18)
b
ku(x, t)kL2 (Ql,T ) 6 A(a, T )kϕ(x)kL2 [0,l] + kψ(x)k
L2 [0,T ] ,
где A(a, T ) –– некоторая константа, зависящая от a и T .
3. Обобщенные класса L2 решения первой краевой задачи
с однородными граничными условиями
c2 (Ql,T )
Пусть T = l/a. В [1] доказана единственность решения из L
первой краевой задачи.
b 2 (Ql,T ) первой краеТеорема 1. Единственное решение класса L
вой задачи с однородными граничными условиями для произвольных
c0 [0, l] имеет вид (11).
функций ϕ(x) ∈ L2 [0, l] и ψ(x) ∈ F
1
Д о к а з а т е л ь с т в о. Рассмотрим последовательности функций
b
ϕn (x) и ψbn (x) из C 2 [0, l], сходящиеся к функциям ϕ(x) и ψ(x)
соответственно в смысле пространства L2 [0, l]. Классическое решение un (x, t)
задачи
utt (x, t) − a2 uxx (x, t) = 0,
u(x, 0) = ϕn (x),
u(0, t) = 0,
(x, t) ∈ Ql,T ,
ut (x, 0) = ψn (x),
u(l, t) = 0,
0 6 x 6 l,
0 6 t 6 T,
имеет вид (11):
Φn (x + at) + Φn (x − at) Ψbn (x + at) − Ψbn (x − at)
+
.
2
2a
Функция un (x, t) удовлетворяет тождеству (9) для всех функций
F (x, t) ∈ C 2 (Ql,T ), обладающих свойствами (6) и (7).
В силу оценки (18) получаем, что последовательность решений
un (x, t) для n = 1, 2, . . . первой краевой задачи с однородными граничными условиями фундаментальна, а в силу полноты пространства L2 (Ql,T ) сходится к некоторой функции u(x, t) ∈ L2 (Ql,T ), удовлетворяющей тождеству (9) для любой функции F (x, t) ∈ C 2 (Ql,T ),
обладающей свойствами (6) и (7). Таким образом, предельная функция u(x, t) является решением первой краевой задачи с однородными
граничными условиями и имеет вид (11), а поэтому принадлежит
b 2 (Ql,T ).
пространству L
un (x, t) =
Задача граничного наблюдения
339
4. Решение задачи граничного наблюдения
для классических решений
Классическое решение u(x, t) ∈ C 2 (Ql,T ) первой краевой задачи с
однородными граничными условиями дает формула Даламбера (11).
В дальнейшем будем предполагать, что 0 6 t 6 l/a. Воспользуемся выражением (11) и условиями (4), получаем
Φ(at) + Φ(−at) Ψb(at) − Ψb(−at)
+
= 0,
2
2a
Φ(l + at) + Φ(l − at) Ψb(l + at) − Ψb(l − at)
+
= 0.
2
2a
Продифференцируем полученные равенства по t
(19)
(20)
Φ0 (at) − Φ0 (−at) Ψ (at) + Ψ (−at)
+
= 0,
2
2a
0
0
Φ (l + at) − Φ (l − at) Ψ (l + at) + Ψ (l − at)
+
= 0.
2
2a
Из равенств (11) и условий (8) получим
(21)
(22)
Φ0 (at) + Φ0 (−at) Ψ (at) − Ψ (−at)
+
= az 1 (t),
2
2a
Φ0 (l + at) + Φ0 (l − at) Ψ (l + at) − Ψ (l − at)
+
= az 2 (t).
2
2a
Сложим уравнения (19) и (21), затем из уравнения (20) вычтем
уравнение (22), в результате получаем следующую систему уравнений для 0 6 t 6 l/a:
(23)
(24)
ψ(at)
= az 1 (t),
a
ψ(l − at)
ϕ0 (l − at) −
= az 2 (t).
a
ϕ0 (at) +
Сделаем замену переменных at = x в уравнении (23) и l−at = x ––
в уравнении (24); получаем следующую систему уравнений:
x
ψ(x)
(25)
ϕ0 (x) +
= az 1
,
a
a ψ(x)
l−x
(26)
ϕ0 (x) −
= −az 2
,
a
a
для 0 6 x 6 l.
Задача граничного наблюдения
340
Складывая полученные уравнения (25) и (26) и вычитая из уравнения (25) уравнение (26), получаем
l−x
a 1 x
(27)
z
− z2
,
ϕ0 (x) =
2
a
a
ψ(x)
l−x
a 1 x
(28)
=
z
+ z2
.
a
2
a
a
Для классических решений u(x, t) первой краевой задачи справедливы следующие согласования начальных условий (3) и граничных условий (4) первой краевой задачи:
(29)
ϕ(0) = 0,
ϕ(l) = 0,
(30)
ψ(0) = 0,
ψ(l) = 0.
Заметим, что для функций наблюдения z 1 (t) и z 2 (t) также справедливы следующие условия
(31)
ϕ0 (0) = z 1 (0),
ϕ0 (l) = z 2 (0).
Таким образом, условия (30) и выражение (28) дают дополнительные условия на функции z 1 (t) и z 2 (t)
a 1
l
2
(32)
z (0) + z
= 0,
2
a
a 1 l
(33)
z
+ z 2 (0) = 0.
2
a
Из выражения (27) при x = 0 и x = l и условий (31) получаем
a 1
l
(34)
z (0) − z 2
= z 1 (0),
2
a
a 1 l
(35)
z
− z 2 (0) = z 2 (0).
2
a
Сложим равенство (32) с равенством (34) и равенство (33) с равенством (35), затем вычтем из равенства (32) равенство (34), а из
равенства (33) –– равенство (35), получим следующие дополнительные
условия на функции наблюдения z 1 (t) и z 2 (t):
l
l
1
1
2
2
(36)
z (0) = z
= 0,
z (0) = z
= 0.
a
a
341
Задача граничного наблюдения
Из (27) найдем функцию ϕ(x):

Zx/a
2
a 
1
(37)
ϕ(x) =
 z (s) ds −
2
0
Zl/a


z 2 (s) ds .
(l−x)/a
Очевидно, что ϕ(0) = 0, а из второго условия (29) получаем еще
дополнительные условия на функции z 1 (t) и z 2 (t)
(38)
Zl/a
z 1 (s) ds = 0,
Zl/a
z 2 (s) ds = 0.
0
0
Таким образом, наблюдая на границе за изменением натяжения струны в течение времени T = l/a, можно восстановить начальные условия u(x, 0) = ϕ(x) и ut (x, 0) = ψ(x) с помощью формул (28) и (38).
Замечание 1. Заметим, что период T наблюдения за изменением натяжения струны на границе должен быть не меньше l/a. Если
период наблюдения меньше, чем l/a, то полностью восстановить начальное состояние системы невозможно. Покажем это.
Предположим, что T < l/a, тогда в уравнении (25) переменная
x меняется на сегменте [0, l0 ], где l0 = aT < l, в уравнении (26) переменная x меняется на сегменте [l00 , l], где l00 = l − aT > 0. Если l0 > l00 ,
то по описанной процедуре можно восстановить начальные значения
системы на сегменте [l00 , l0 ]. Если l0 < l00 , то восстановить начальные
значения невозможно.
Справедлива следующая теорема.
Теорема 2. Задача граничного наблюдения для классических решений первой краевой задачи с однородными граничными условиями
решается, если период наблюдения T равен l/a, а на функции наблюдения z 1 (t) и z 2 (t) из класса C 1 [0, l/a] наложены условия (36) и
(38). При этом функции ϕ(x) и ψ(x) восстанавливаются с помощью
формул (37) и (28) соответственно.
5. О неединственности решения задачи граничного
наблюдения для обобщенных решений
Для обобщенных решений задача граничного наблюдения решается также как и в предыдущем пункте, только производные функций берутся в обобщенном смысле. Аналогичным образом приходим
342
Задача граничного наблюдения
к двум выражениям (27) и (28). Из (27) находим функцию ϕ(x)
a2 b1 x b2 l − x
z
.
ϕ(x) =
+z
2
a
a
(39)
На первый взгляд кажется, что формула (39) отличается от формулы (37), которая получена для классических решений. Тем не менее, эти формулы в случае классических решений совпадают. Докажем этот факт. Пусть
zbj (t) =
Zt
z 1 (s) ds,
06t6
l
,
a
j = 1, 2.
0
Тогда, для функции ϕ(x), задаваемой формулой (39), в силу условий
(36) и (38), справедливы равенства (29).
Из равенства (39) легко получается равенство (37), если воспользоваться свойствами (38)

Zx/a
a 
1
ϕ(x) =
 z (s) ds +
2

z 2 (s) ds =
0

2
=
a 

2
Zx/a
z 1 (s) ds +
0

(l−x)/a
Z
2
0
(l−x)/a
Z
Zl/a
z 2 (s) ds +
0
z 2 (s) ds −
(l−x)/a

0


z 2 (s) ds =
(l−x)/a
Zx/a
a 
1
=
 z (s) ds −
2
2
Zl/a
Zl/a


z 2 (s) ds .
(l−x)/a
Формула (39) показывает, что функция ϕ находится с точностью
до некоторой константы C. Поскольку первообразная zb1 функции z 1
находится с точностью до некоторой константы C1 , а первообразная
zb2 функции z 2 находится с точностью до некоторой константы C2 , то
a2
функция ϕ находится с точностью до константы C = [C1 + C2 ].
2
343
Задача граничного наблюдения
Таким образом, задача граничного наблюдения для функций
c2 (Ql,T ) решается неединственным образом. Этот факт выu(x, t) ∈ L
текает из вида решения следующей первой краевой задачи с однородными граничными условиями:
utt (x, t) − a2 uxx (x, t) = 0,
(x, t) ∈ Ql,l/a
u(x, 0) = C,
ut (x, 0) = 0,
u(0, t) = 0,
u(l, t) = 0,
0 6 x 6 l,
0 6 t 6 l/a.
Решением приведенной задачи служит функция, которую обозначим
uC (x, t). Эта функция равна C на множестве Q1 и −C на множестве
Q2 , на Ql,l/a \ Q1 ∪ Q2 она равна нулю. Здесь Q1 = { (x, t) : at 6 x 6
l − at, 0 6 t 6 l/(2a) }, Q2 = { (x, t) : l − at 6 x 6 at, l/(2a) 6 t 6 l/a }.
Для того чтобы доказать этот факт, надо доказать, что функция
uC (x, t) удовлетворяет тождеству (5). Для этого найдем интегралы
по множествам Q1 и Q2 , получаем
ZZ
uC (x, t) Ftt (x, t) − a2 Fxx (x, t) dx dt = −C
Zl
Ft (x, 0) dx +
0
Q1
Zl/2
x
Ft x,
dx + C
a
+C
0
Zl
l − x
Ft x,
dx −
a
l/2
Zl
− aC
Fx
l − x
x,
dx + aC
a
0
l/2
ZZ
Zl/2 x
Fx x,
dx,
a
uC (x, t) Ftt (x, t) − a2 Fxx (x, t) dx dt =
Q2
Zl/2 Zl l − x
x
= C Ft x,
dx + C Ft x,
dx +
a
a
0
l/2
Zl
+ aC
Fx
l/2
x
x,
dx − aC
a
Zl/2 l − x
Fx x,
dx.
a
0
344
Задача граничного наблюдения
Из полученных равенств найдем интеграл по множеству Ql,l/a от
функции uC (x, t), после несложных преобразований получаем
ZZ
Zl
h
i
2
uC (x, t) Ftt (x, t) − a Fxx (x, t) = −C Ft (x, 0) dx +
0
Ql,l/a
Zl
+ aC
d h x i
F x,
dx − aC
dx
a
Zl
d h l − x i
F x,
dx =
dx
a
0
0
Zl
= −C
Zl
Ft (x, 0) dx = −
0
ϕ(x)Ft (x, 0) dx.
0
Обобщенные производные по x от функции uC (x, t) на концах
струны x = 0 и x = l (т. е. натяжение струны на концах) равны нулю,
а uC (x, 0) = C.
Теорема 3. Задача граничного наблюдения для обобщенных реc2 (Ql,T ) первой краевой задачи с однородными грашений u(x, t) ∈ L
ничными условиями решается с помощью формул (28) и (39), если период наблюдения T равен l/a. При этом начальное значение
u(x, 0) = ϕ(x) находится с точностью до некоторой константы C.
c2 (Ql,T ) поРешение задачи граничного наблюдения для u(x, t) ∈ L
казывает, что увеличение периода наблюдения T , например, до 2l/a,
не позволит решить эту задачу единственным образом.
Замечание 2. В работе [2] доказано, что решение задачи управc2 (Ql,l/a первой краевой заления в классе обобщенных решений из L
дачи неединственно. Управляющие функции также находились с точностью до некоторой константы. Известно (см., например, [3]), что
задачи управления и наблюдения являются двойственными задачами.
6. Конечномерные аппроксимации
Получим конечномерную аппроксимацию системы (2), (4) и условий (8), для этого воспользуемся методом Фурье.
Решение волнового уравнения (2) c однородными граничными
условиями первого рода (4) представляется в виде следующего ряда:
345
Задача граничного наблюдения
∞
P
sin λk x
πk
, и ωk выбрано
, λk =
ωk
l
k=1
так, что интеграл по сегменту [0, l] от функции Xk2 (x) равен 1.
Каждая функция uk (t), k = 1, 2, . . . , удовлетворяет уравнению
u(x, t) =
uk (t)Xk (x), где Xk (x) =
ük (t) + a2 λ2k uk (t) = 0.
(40)
Из условий (8) получаем следующие выражения:
∞
X
Ak uk (t) = z 1 (t),
Bk uk (t) = z 2 (t),
k=1
k=1
Xk0 (0)
∞
X
Xk0 (l).
где Ak =
и Bk =
Введем следующие обозначения: uk (t) = xk (t) и u̇k (t) = yk (t).
При такой замене перейдем от уравнения второго порядка (40) к двум
уравнениям
ẋk (t) = yk (t),
ẏk (t) = −a2 λ2k xk (t).
Далее обозначим
uj (t) =
j
X
Ak xk (t),
v j (t) =
k=1
j
X
Bk xk (t).
k=1
Таким образом получаем следующую конечномерную аппроксимацию системы (2), (4) и условий (8) для 0 6 t 6 T :
(41)
żn (t) = Azn (t),
(42)
wn (t) = Czn (t),
где введены следующие обозначения:


 1 
x1 (t)
u (t)
 x2 (t) 
 u2 (t) 




 .. 
 .. 
 . 
 . 


 n 
xn (t)
u (t)



,
wn (t) = 
zn (t) = 

 v 1 (t)  ,
y
(t)
 1 
 2 
 y2 (t) 
 v (t) 




 . 
 . 
 .. 
 .. 
yn (t)
v n (t)
0 E
,
Λ 0
0
,
0
A=
C=
A
B
Задача граничного наблюдения
346
здесь 0 –– нулевая n × n матрица, E –– единичная n × n матрица,
 2 2

−a λ1
0
...
0
 0
−a2 λ22 . . .
0 

Λ=
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ,
0
0
. . . −a2 λ2n




B1 0 . . . 0
A1 0 . . . 0
B 1 B 2 . . . 0 
A1 A2 . . . 0 


B=
A=
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
 . . . . . . . . . . . . . . . . . . ,
B 1 B 2 . . . Bn
A1 A2 . . . An
Возможность восстановления начального состояния zn (0) системы (41) по наблюдаемой линейной операции (42) над ее выходом называется наблюдаемостью. Системы, обладающие этим свойством,
называются вполне наблюдаемыми [4].
Критерием того, что система (41) является вполне наблюдаемой,
служит следующее утверждение [4] для того чтобы система (41)
была вполне наблюдаемой, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось следующее условие: rank S = 2n, где
2
2n−1
S = [C ∗ A∗ C ∗ A∗ C ∗ . . . A∗
C ∗ ].
∗
A B∗
0
0
∗
∗ ∗
Очевидно, что C =
иA C =
. Составим
0
0
A∗ B ∗
∗
матрицу D, вычеркивая из матрицы
столбец, а из матрицы
∗ C второй
A
0
∗ ∗
A C –– первый, получаем D =
. Определитель D равен
0 B∗
det D = A1 A2 . . . An B1 B2 . . . Bn 6= 0.
Таким образом, система (41) вполне наблюдаема для любого промежутка времени T .
7. Сравнение результатов для конечномерных систем
и систем с распределенными параметрами
Начальные данные системы (2), (4) восстанавливаются, если наблюдение (8) ведется в течение времени T = l/a. При этом в случае классических решений u(x, t) ∈ C 2 (Ql,T ) первой краевой задачи с однородными граничными условиями задача граничного наблюдения решается единственным образом, а для обобщенных решений
Задача граничного наблюдения
347
c2 (Ql,T ) задача граничного наблюдения решается неединu(x, t) ∈ L
ственным образом: начальное состояние системы ϕ(x) = u(x, 0) находится с точностью до некоторой константы.
Конечномерная аппроксимация этой системы (система (41)) вполне наблюдаема для любого периода времени T . Этот факт говорит о
том, что решение задачи наблюдения для системы (41) не является
приближенным решением задачи граничного наблюдения для системы с распределенными параметрами (2), (4).
Список литературы
[1] Знаменская Л. Н. Априорные оценки обобщенных решений волнового уравнения // Дифференц. уравнения. –– 37, № 8, c. 1062–1070. ↑2, 3
[2] Знаменская Л. Н. Граничное управление на двух концах волновым уравнением в классе обобщенных решений из L2 // Докл. РАН.. –– 380, № 6, c. 746–
748. ↑2
[3] Васильев Ф. П. О двойственности в линейных задачах управления и наблюдения // Дифференц. уравнения. –– 31, № 11, c. 1893–1900. ↑2
[4] Ройтенберг Я. Н. Автоматическое управление. –– Москва: Наука, 1978. ↑6
Исследовательский центр процессов управления ИПС РАН
L. N. Znamenskaya. Boundary observation problem for string oscillations. (in
russian.)
Abstract. In paper is solved problems of restoration of initial data for the wave equation
by results of supervision over change of a tension on the fixed ends of a string. The period
is found time, during which it is necessary to make supervision for complete restoration of
the initial data.
The problem of boundary supervision is solved in a class of the generalized solutions
from L2 . For this purpose with the help of apriority estimations the obvious kind of the
solution of a class L2 is received for boundary problem for the wave equation with the initial
conditions u(x, 0) = ϕ(x) and ut (x, 0) = ψ(x) and first kind zero boundary conditions.