Индукция

Индукция
1. Докажите, что для любого натурального n найдется n-значное число, составленное
из цифр 1и 2, делящееся на 2n.
2. На кольцевой автомобильной дороге стоят несколько одинаковых автомобилей.
Известно, что если весь бензин, находящийся в автомобилях, слить в один из них, то
этот автомобиль сможет проехать по всей кольцевой дороге и вернуться обратно.
Докажите, что хотя бы один из автомобилей сможет проехать по кольцевой дороге,
забирая по дороге бензин у других автомобилей, и вернуться обратно.
Определение. Обозначим через Tn количество способов расставить в ряд n
открывающихся и n закрывающихся скобок так, чтобы запись была корректна (то есть,
среди любого количества первых элементов ряда открывающихся скобок не меньше, чем
закрывающихся). T0 полагается равным 1. Число Tn называется n-ным числом Каталана.
((())) (())() ()(()) (()()) ()()()
3. а) Найдите Tn при n=1,2.
б)Докажите, что количество последовательностей a1, a2, …, a2n, в которых по n раз
встречаются 1 и – 1, и для всякого k{1, …, 2n} a1 + a2 + … + ak ≥ 0.
+1+1+1-1-1-1 +1+1-1-1+1-1 +1-1+1+1-1-1 +1+1-1+1-1-1 +1-1+1-1+1-1
4. На окружности стоят m целых чисел a1, a2, …, am такие, что a1 + a2 + … + am = 1.
Назовем число ai хорошим, если ai > 0, ai + ai + 1 > 0,…, ai + ai + 1 + … +ai – 1 > 0.
а) Докажите, что хороших чисел не более одного.
б) Докажите лемму Рени: хорошее число ровно одно.
в) Сколько существует последовательностей из 2n + 1 целых чисел, в которых n + 1 раз
встречается число 1 и n раз число – 1?
г) Докажите, что T  1 C .
n
2n  1
n 1
2 n 1
5. Из чисел от 1 до 2n – 1 выбрано n + 1 число. Докажите, что одно из выбранных чисел
равно сумме двух других.
6. Найдите наибольшее возможное количество ребер в графе с n вершинами, если
среди произвольных трех его вершин есть две, не соединенные ребром.
7. (Двойная индукция) Докажите, что 2m + n – 2  mn при любых натуральных m и n.
Задачи для самостоятельного решения
8. В компании из n > 3 человек каждый узнал новый анекдот. За один телефонный
разговор двое сообщают друг другу все известные им анекдоты. Доказать, что за 2n –
4 телефонных звонка все могут узнать все анекдоты.
9. Плоскость разрезана на части n > 3 прямыми общего положения. Доказать, что одна
из частей треугольник.
10.Даны положительные числа a1, a2, …, am, b1, b2, …, bn, причем
a1 + a2 + …+ am = b1 + b2 + … + bn. Докажите, что в пустую таблицу из m строк и n
столбцов можно поставить не более m + n – 1 положительное число так, чтобы
сумма чисел в i-той строке равнялась ai, а сумма чисел в k-том столбце равнялась bk.
11.Теорема Хелли. На плоскости даны несколько выпуклых фигур, любые три из
которых имеют общую точку. Докажите, что существует точка, принадлежащая всем
фигурам.
Интерпретации чисел Каталана
Докажите, что следующие числа равны Tn :
12.Количество путей из точки (0, 0) в точку ( n , n ) по линиям клетчатой бумаги, идущих
вверх и вправо и не поднимающихся выше прямой y  x .
13.Количество способов разбить 2n точек на окружности на пары и соединить точки из
одной пары отрезком так, чтобы отрезки не пересекались.
14.Количество способов расставить скобки в арифметическом выражении с n
переменными.
((ab)(cd)) (a(b(cd))) (a((bc)d)) (((ab)c)d) ((a(bc))d)
15. Количество бинарных деревьев с n+1 листьями. Бинарным называется дерево с
выделенной вершиной (корнем) степени 2, все остальные вершины которого имеют
степень 1 или 3.
Иногда к корню присоединяют сверху вершину степени один, и называют корнем уже ее.
16.Докажите, что количество способов разбить выпуклый (n + 2)-угольник на
треугольники непересекающимися диагоналями равно Tn .
17.Количество плоских корневых деревьев (деревьев с выделенной вершиной),
содержащих n+1 вершину.
18.Докажите, что Tn удовлетворяют соотношению Tn = T0Tn – 1+T1Tn – 2+ … +Tn – 1T0
а) из определения; б) используя то, что количество способов разбить выпуклый (n + 2)угольник на треугольники непересекающимися диагоналями равно Tn .