Содержание

1
Содержание
Предисловие
Глава I. Введение
§1. Элементы основания математики
§2. Кванторы и множества
§ 3. Функции
§ 4. Действительные числа
§ 5. Элементы комбинаторики. Принцип математической индукции
Глава II. Предел и непрерывность функции
§ 6. Числовые последовательности
§ 7. Предел функции
§ 8. O-символика
§ 9. Непрерывность функции
§ 10. Равномерная непрерывность функции
Предисловие
Создание данного сборника задач на грузинском языке обусловлено
превращением в библиографические редкости классических сборников задач.
Вторая причина это желание видеть такой сборник задач, который максимально
бы соответствовал опыту, автора, приобретенному во время предподования на
математическом факультете.
Перевод на русский язык сделан для групп русского отделения
факультета.
2
§1. Элементы основания математики
1.1 Построение математики
Приведенное построение математической теории основано на теоретикомножественном подходе.
Математическая теория начинается с выбора алфавита (символов), с помощью
которого записываются математические выражения (записи). В основном используются
буквы латинского алфавита (A, a, B, b … и т.д.) и специальные символы (например +, ,
 и т.д.). Математическое выражение представляет собой последовательность букв и
специальных символов, относительно которой заранее согласованы правила
позволяющие отличать имеющие смысл и бессмысленные выражения. Например 2+2=4
и
f ( x, y )
суть осмысленные математические выражения, а выражение ((+)))=7(-=8
x
бесмысленно. Сразу же заметим, что выражение 2 + 2 = 5 разумеется имеет смысл, но
ложно (определения истинных и ложных математических выражений будет дано ниже).
Имеющие смысл математические выражения делятся на две категории: объекты
(термы, предметы) и формулы (свойства, отношения). Определяются правила по
которым можно точно сказать является данное выражение объектом или формулой.
Например, выражение 2 = 2 является свойством , а выражение
4
1000 является
предметом (числом). Выражение 3 + 4 не является ни объектом ни формулой.
На следующей ступени выбираются несколько формул которые называются
аксиомами (так называемые явные аксиомы) и определяются правила преобразования
выражений (так называемые схемы преобразований, схемы аксиом). Формулы которые
получаются из аксиом с помощью правил преобразований называются неявными
аксиомами. Возможно, чтобы у математической теории не было явных аксиом.
Выбор явных аксиом определяет свойства, изучение которых предполагается в
данной теории. Если явная аксиома определяет свойства уникального, фиксированного
объекта, например, обозначенного какой-нибудь буквой, тогда такой объект называется
константой. Таким образом аксиомы представляют собой свойства, которые в данной
теории предполагаются само собой разумеющими, или являются гипотезами
относительно констант. Если буква не является константой то она обозначает
неопределенный объект т.е. является переменной.
Математическое доказательство представляет собой последовательность
формул, относительно которых для каждой формулы R она или является явной
аксиомой, или получается правилами преобразования из написанных формул, или слева
от R встречаются формулы S и S  R..
Математическая теорема является формулой в произвольном математическом
доказательстве. Часто вместо слов "математическая теорема" употребляют выражение
"истинная формула". Таким образом слово "истинное" употребляется по отношению к
формулам (свойствам, отношениям).
3
1.2. Логические связи
Для записи математических выражений употребляются специальные знаки –
так называемые логические связи. Основные логические связи это "не", "и", "или" и
"следует". Для последнего также обычно употребляют слова "если ..., то ..." .
Таблица 1
"не" – знак отрицания, обозначается символом "" . Если буквой A
A
A
обозначена формула, то запись "A" пердставляет собой формулу, которую мы называем
0
1
"отрицание A" и которая произносится как "не A". Если A есть истинное математическое
1
0
выражение (A есть теорема), то A мы назовем ложным. Для простоты припишем
истинным выражениям число "1", а ложным - число"0". Таким образом отрицание характеризуется
таблицей 1.
Логическая связь "и" обозначается символом "&", или символом " ". Если A и B две
формулы, то A&B также является формулой которую мы назовем коньюкция формул A и B , и которая
читается " A и B ". Коньюкция A и B истинна когда истинны обе формулы A и B, таблица 2.
Логическая связь "или" обозначается символом " ". Если A и B две формулы, то A B
также является формулой которую мы назовем дизюнкция формул A и B , и которая читается " A или B ".
дизюнкция A и B истинна когда истинны хотя бы одна из формул A или B, таблица 3.
Логическая связь "следует" обозначается символом "". Если A и B две формулы, то
AB также является формулой которую мы назовем импликация формул A и B , и которая читается "из
A следует B ", импликация A и B ложна только тогда когда истинно A и ложно B. таблица 4
Таблица 2
Таблица 3
Таблица 4
A
B
AB
A
B
A B
A
B
A B
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
1
0
0
1
1
0
1
1
1
0
0
1
0
1
1
0
0
1
1
1
1
1
1
1
1
1
как мы видим введение этих таблиц, т.е. истинностных характеристик логических
связей ,носит аксиоматический характер. Но с другкой стороны возможны ввести и другие
аксиомы. Если, например, взять в роли аксиом из приведенных ниже примеров номера 3, 11, 21,
38, то тогда возможно доказать истинности приведенных выше таблиц.
выражение " p  q " представляет собой сокращенную запись выражения
"(pq)&(q p) " и читается " p эквивалентно q ". Знак "  " называется эквивалентностью.
Легко видеть, что p  q истинно тогда, когда p и q имют одинаковые истинностные
значения.
Специальный символ " = " назывется равенством. Если между двумя объектами стоит
равенство, то заменив в произвольной формуле один объект другим получим эквивалентную
формулу. Часто между эквивалентными формулами также употребляется знак равенства вместо
знака эквивалентности.
Формула назыается "тавтология", если она истинна для любых истинностных
комбинаций входящих в нее формул.
1.
Докажите следующие равенства:
A  B   A B
2.
A B  B  A
3.
A B  B  A
4.
( A  B)  C  A  B  C 
5.
A  B   C  A  B  C 
6.
A  B  C    A  B    A  C 
7.
A  B  C    A  B    A  C 
8.
  A  B   ( A)  (  B)
9.
 A  B  ( A)& (  B)
4
13. A & ( A ) = 0 (закон
противоречия)
14. A  ( A ) = 1 (закон исключения
третьего)
15. A  0  0
10.  ( A ) = A
16. A  0  A
11. A  A  A
17. A 1  A
12. A  A  A
18. A  1  1
докажите, что следующие формулы являются тавтологиями
19.
p   p  q  q закон дедукции
20. p  q  p закон удаления "и"
21. p  q  p закон введения "или"
22.
23.
24.
q  p  q  p закон удаления "или"
p  q   q  p закон котрапозиции
 p  q    p q  p закон допущения противного (метод приведения к
противоречию)
25.
 p  q  q  r    p  r  силлогизм
26.
 p  q  q  r    p  r 
27.
 p  r   q  r    p  q  r  закон сложения предпосылок
закон транизитивности эквивалентности
28. ( p  q ) & ( p  r )  ( p  q & r ) закон перемножения заключений
29. p  q  r   q   p  r  закон перемещения предпосылок
30.
A  B  C  A  B  C 
31.
A  B  C  AC  B
32.

A  B  A B
33. ( A & B )  ( A  B )
34.
A  B B  A
45.  A  B  &  A  C  &  B  C   C метод
разделения случаев
46.
 A  B    A  B   B 
47. ( A  B )  [ ( A & B )  (  A &  B ) ]
48. ( A  B ) 

(  A  B)
35. A   A  B
49. ( A  ( B   C ) )  ( ( C & A )  B )
36. A  B  A
50. ( A  ( B  C ) )  ( B  ( A  C ) )
37. ( A  R  S )  [ R  ( A  S ) ]
51. ( A  B )  ( ( A  C )  (A(B&C)))
38.
 A  A  A
39. ( A  B )  ( ( A & C )  ( B & C))
40. ( A  B )  ( ( A  C )  ( B  C) )
41. [(A  B) & (CD)][ACBD]
42. [(A  B) &(CD)][A&CB&D]
(A  B )  (  ( AB)  (BA))
43.

44.
 A  B    (B  C )  ( A  C )
52. ( A  C )  ( ( B  C )  (( AB)С))
5