ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Федеральное государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ
Федеральное государственное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»
Ю.Ф. Мальцев, В.С. Малышевский, Е.С. Пельменёва
МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ
для студентов физического факультета
ФОРМУЛА РЕЗЕРФОРДА
СЕЧЕНИЕ РАССЕЯНИЯ
Ростов-на-Дону
2010
Ю.Ф. Мальцев – доцент КОФ физического факультета
В.С. Малышевский – профессор, заведующий кафедрой
Е.С. Пельменёва – студент 3-го курса физического факультета
Методические указания по теме «Формула Резерфорда. Сечение рассеяния».
Ростов-на-Дону: УПЛ ЮФУ. 2010.
Печатается по решению кафедры общей физики физического факультета
ЮФУ, протокол №17 от 6 апреля 2010г.
Рецензенты:
профессор Богатин А.С.
доцент Норанович Д.А.
2
ВВЕДЕНИЕ
До изучения курса «Физика ядра и частиц» знания студентов ограничивались
двумя типами фундаментальных взаимодействий: электромагнитным и
гравитационным. В этом курсе добавятся остальные два – сильное (его
проявлением является межнуклонное или ядерное взаимодействие) и слабое. Мы
ощущаем их лишь апосредовано. Без них мир бы совершенно другим. Солнце и
звезды не могли бы существовать даже без слабого взаимодействия. Основное
отличие данного раздела общего курса физики от других в том, что его
невозможно изложить, выводя последовательно все соотношения из малого числа
основных положений. Во-первых, в силу неосвоенности студентом квантовой
теории и, во-вторых в силу незавершенности процесса получения важнейшей
практической информации и самой теории микромира. Много придется брать на
веру.
Изучаемые объекты изображены на рис.№1. Это атомные ядра и
элементарные частицы, т.е. объекты более мелкие, чем атом.
В процессе изучения курса мы дойдем (в последних лекциях) до фантастических
расстояний, энергий и интервалов времени (10 33 см, Т = 1033К, Δt = 10 43 c). Уже
есть представления о том, что при этом происходит.
Весьма впечатляющим является то, что микромир объединяется с космосом.
Происходящее во Вселенной по существу объясняется законами микромира и
гравитацией.
3
1 МОДЕЛИ АТОМА
1.1 МОДЕЛИ ATOM TOMCOHA И ПЛАНЕТАРНАЯ МОДЕЛЬ
Одна из первых моделей атома была предложена В.Томсоном в 1902 году и
затем более детально разработана Дж. Томсоном в 1904 году. Атом, согласно этой
модели, представляет собой шар, объёмно заряженный положительным
электричеством. Отрицательно заряженные электроны погружены в эту среду и
могут в ней двигаться. Число электронов в атоме таково, что их суммарный отрицательный заряд компенсирует положительный заряд шара. Радиус шара порядка
10
м.
Вторая модель, получившая название планетарной, предполагала строение
атома, аналогичное строению Солнечной системы: в центре атома находится
положительно заряженное ядро, вокруг которого, подобно планетам, движутся
электроны, удерживаемые силами кулоновского притяжения. Авторство этой
модели приписывают ряду учёных: Ленарду, Нагаоке, В. Томсону и др.
Предлагаемые модели должны были объяснить два важнейших явления: а)
сериальные закономерности в спектрах излучения и 6) стабильность атомов.
По модели Томсона в простейшем атоме - атоме водорода, объёмно
наряженный шар имеет заряд, равный заряду электрона. Зависимость
напряженности поля, создаваемого этим шаром, от расстояния до центра шара
можно найти, используя теорему Остроградского-Гаусса. Для
точек,
находящихся вне шара ( r>R 0 ), получим
10
e
 Å dS 
или
0
n
En =
1
40
e
r2
Для точек, находящихся внутри шара (r≤R 0 ), получим
q
 Å dS 
n
q  - заряд, сосредоточенный в объеме
 0 , где
шара радиусом r. Тогда En =
e
40 R03
.r
На рисунке показано распределение напряженности
поля, создаваемого положительно заряженным шаром.
Здесь R0 - «радиус» атома. Таким образом, на электрон,
находящийся в шаре, действует сила
F  eEn 


Сила притяжения F  kr (k =
e2
40 R03
e2
40 R03
.r
).
Она направлена к центру шара и является квазиупругой силой, под действием,
4
которой электрон может совершать колебания с частотой

1
2
k
1

m 2
e2
40 mR03
10
Если размеры атома порядка 10 м, то частота излучения такого осциллятора
имеет порядок 10 15 Гц. Таким образом, являясь гармоническим осциллятором,
система может излучать электромагнитные волны в видимой области спектра.
Однако, спектр излучения гармонического осциллятора не соответствует
экспериментально полученному спектру атома водорода и волновые числа не
укладываются в значения, вычисляемые по формуле Бальмера
1
1
  R 2  2  ,
n 
r
Где R=109737.31 см 1 - постоянная Ридберга.
Таким образом, модель Томсона не объясняет сериальные закономерности
спектра атома водорода.
В задачу теории атома должно входить решение следующих проблем:
- строение атома (модель атома),
- объяснение сериальных закономерностей в спектрах атомов,
- стабильность атома.
5
2 ИССЛЕДОВАНИЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ЗАРЯДА В ATOMЕ
Зная закон рассеяния заряжённых частиц атомами, могло сделать вывода о
распределении зарядов в атоме, т.е. экспериментально исследовать строение атома.
Такие опыты были проведены Ленардом (1903г.) по рассеянию  - частиц и
Резерфордом (1910 г.) по рассеянию  - частиц. Какие результаты по рассеянию
заряженных частиц можно ожидать в рамках модели Томсона и "планетарной"
модели?
Прежде чем ответить на этот вопрос, получим необходимые соотношения,
связывающие углы рассеяния и параметры рассеивающего центра.
2.1 РАССЕЯНИЕ ЗАРЯЖЕННЫХ ЧАСТИЦ НА СИЛОВОМ ЦЕНТРЕ
Рассмотрим упругое рассеяние заряженной частицы на силовом кулоновском
центре. Будем полагать, что налетающая частица имеет заряд
q 1 , и массу m 1 ,
неподвижный рассеивающий центр имеет заряд q 2 и массу m 2 , а m 2 >> m 1 .
Кулоновские силы являются центральными силами. При движении в поле
центральных сил выполняется законы сохранения энергии, момента импульса и
импульса. Как известно из механики, в этом случае траектория частицы
представляет собой гиперболу,  асимптоты которой совпадают
с направлением

начального импульса частицы P0 и конечного импульса P . Место нахождения
рассеивающего центра будет внешним фокусом. На рисунке 2.1. изображена
тректория частицы и обозначены параметры:
 - угол рассеяния,
b - прицельный параметр,

Р0 - начальный импульс частицы,

Р - конечный импульс частицы,

Р - изменение импульса частицы.
Рис. 2.1
6
Установим соотношение между углом рассеяния  и прицельным параметром


b . Их закона сохранения энергии следует, | Р0 | = | Р | , так как вдали от ядра
кулоновская энергия взаимодействия мала и нет потери энергии при упругом
рассеянии.
 

По закону сохранения импульса имеем Р0 - Р = Р .
Построим векторную диаграмму импульсов. На рисунке 2.2. имеем
равнобедренный треугольник импульсов, их которого получаем

| Р | = 2 Р0 sin  /2 (2.1.)
С другой стороны, из второго закона Ньютона следует

| Р | =  Fn dt , (2.2.)
Рис. 2.2

где Fn - проекция кулоновской силы на направление вектора Р . Из рисунка
2.1. следует
Fn = Fk cos ψ,
Fk =
q1q 2
.
40 r 2
1
Из геометрии рис. 2.1. и 2.2. получаем
Ψ=φ - θ/2 – π/2,
тогда Fn = Fk cos (φ - θ/2 – π/2)= Fk sin(φ - θ/2).
Подставим в формулу 2.2.

| Р | =
q1 q 2
4 0

sin(    / 2)
dt.
r2
(2.3.)
Заменим интеграл по времени интегралом по углу, используя соотношение
dt =

qq
Получим | Р | = 1 2
4 0



d
d
=
d / dt

sin(    / 2)
dφ
r 2
Величину r 2  определим из закона сохранения момента импульса
Ð0 b = -m r 2 
или r 2  = -
ð0b
m
Знак минус появляется в связи с тем, что угол φ отсчитывается против
часовой стрелки. Получим

| Р | = -
q1q 2 m
40 p0 b



7
sin(φ - θ/2)dφ
или

| Р | =
q1q 2 m
2 cos θ/2
40 p0 b
(2.4.)
Приравнивая формулы 2.1. и 2.4. , получим
tg
p2

1 q1q2
=
, где Wk = 0
2
40 2bWk
2m
Для случая рассеяния  - частиц (q 1 =+2e) на ядре, имеющем заряд +Ze, получим

1 Ze 2
tg =
2
40 bWk
(2.5.)
Применим полученный результат, определяющий угол отклонения при
единичном акте рассеяния частицы, для анализа рассматриваемых выше моделей
атома.
2.2 ОЖИДАЕМЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАССЕЯНИЯ  - ЧАСТИЦ АТОМОМ
ТОМСОНА И «ПЛАНЕТАРНЫМ» АТОМОМ
Какие результаты следовало ожидать по рассеянию -частиц в рамках
модели Томсона и «планетарной» модели?
а) В модели Томсона рассеяние -частиц является следствием кулоновских
сил отталкивания, действующих на частицу со стороны положительно
заряженного шара. Оценим верхнее значение угла рассеяния
-частицы в
результате единичного акта её взаимодействия с томсоновским атомом.
Наибольшие силы отталкивания будут при взаимодействии её заряда +2e с
полностью ионизированным атомом, т.е. с шаром заряда +Zе. Как видно из
рисунка 1, сила, действующая на частицу при
r< R 0 , линейно растет с
увеличением расстояния от центра шара и достигает максимума на поверхности шара
при r= R 0 . Вне шара, т.е. при r> R 0 , сила убывает с расстоянием как 1/ r 2 .
Максимальный угол отклонения для томсоновского атома при единичном акте
рассеяния определяется выражением
tg
 max
2
=
Ze 2
, где b= R 0 ~10 10 м, Z=79.
40bWk
Для энергий -частиц Wk ~ 5 Мэв угол отклонения
 max  0.27 0 (  ~16 )
8
Если же -частица проникает внутрь заряженного шара r< R 0 , сила, действующая
на неё, будет меньше, в силу того, что -частица взаимодействует только с зарядом, ограниченным сферой радиуса r. Таким образом, при единичном акте рассеяния -частиц на
томсоновском атоме возможны лишь малые углы отклонения.
Вероятность же накопления малых углов отклонения в одну
сторону, при котором можно получить большое суммарное
отклонение, в силу случайных процессов рассеяния,
ничтожно мала. Это следует из того, что вероятность
сложного события будет равна произведению
вероятностей одноактных событий. Таким образом, в
рамках модели Томсона не следует ожидать больших
углов отклонения.
б) В планетарном модели положительный заряд сосредоточен в области,
имеющей размеры значительно меньшие, чем размеры атом ( rя <<R 0 ). Причём,
как это следовало из опытов Ленарда по рассеянию β - частиц на атомах, эта
область имеет линейные размеры порядка 10-14м. В талой модели углы рассеяния
могут быть значительными при прицельных параметрах b, близких к rя . В этом
случае сила кулоновского отталкивания растёт с уменьшением r и она может
быть значительной и при r<R 0 , где R 0 - «радиус атома». На рисунке 2.3. дан ход
зависимости кулоновской силы отталкивания от расстояния r. При этом R 0 "радиус" атома, rя - «радиус» ядра. Используя формулу 2.5., можно оценить
размеры области положительного заряда - "радиус" ядра при рассеянии на
большие углы, например,    /2 и Z = 79 (Аu) для прицельного параметра
получим
b=
Ze 2
79 1,6 1019  2
=
~ 10 14 м.
12
6
19
40Wk
4  3,14  8,85 10  5 10 1,6 10
Таким образом, размеры положительно заряженной области rÿ < 10 14 м, тогда
углы рассеяния  - частиц при единичном акте рассеяния могут быть
значительными, более  /2 и возможны близкие к  .
Следовательно, по возможны максимальным углам рассеяния  - частиц можно
сделать вывод о том, какая модель атома соответствует действительному
строению атома.
9
2.3 ОПЫТ РЕЗЕРФОРДА
Непосредственно проверить справедливость формулы 2.5. нельзя, так как в
нее входит параметр b – прицельный параметр, который измерить принципиально
невозможно. Однако, можно найти распределение числа рассеянных частиц в
зависимости от углов рассеяния, вызванного кулоновским взаимодействием  частиц с ядром атома.
Получим соотношении, допускающее экспериментальную проверку.
Из формулы 2.5. следует, что все частицы, прицельные параметры которых лежат в
пределах от b до b ± db , будут рассеяны в пределах углов  и  - d  . В связи с этим
целесообразно использовать понятие эффективного сечения рассеяния. Если ядро
окружить кольцом радиуса b и толщиной db , то эффективное сечение рассеяния
этим ядром в пределах углов  ÷  - d будет (рис.3.2.)
d = 2 b db
Так как прицельный параметр b можно определить из
формулы 2.5.
b=
Ze 2
40Wk tg

=
Ze 2

ctg ,
40Wk
2
2
то, возведя в квадрат это выражение и найдя полный дифференциал левой и
правой части, получим
b db =
1
2
(
Ze 2
ctg  2
)2 2
d
sin  2
40Wk
Здесь учтено соотношение знаков db и d .
Эффективное сечение рассеяния одним центром в пределах углов
 ÷  - d будет иметь вид
d = π (
Ze 2
ctg  2
)2 2
d
sin  2
40Wk
или
10
d = π (
Ze 2
cos 2
)2 3
d .
sin  2
40Wk
Если перейти к телесному углу
dΩ = 2π sin  d ,
то получим
1
d =
4
Ze 2
d
(
)2
sin 4  2
40Wk
Отношения dΩ/ d и d / dΩ называются дифференциальными сечениями
рассеяния центром на углы d и dΩ вблизи угла  .
В случае рассеяния потока  - частиц «тонкой» мишенью вероятность
рассеяния частиц в интервале углов  ÷  - d можно записать в виде Р =
dN 
,
N
где dN  - число частиц, рассеянных в интервале углов от  до  - d , N – число
частиц, падающих на мишень.
С другой стороны, исходя из вероятностного смысла эффективного сечения,
можно записать
dN 
N
= n d =
nSd
S
где n – число рассеивающих ядер на единице поверхности мишени. Тогда
dN 
Ze 2
cos 2
= nπ(
)2 3
d
N
sin  2
40Wk
или
dN 
n
Ze 2
d
= (
)2 4
N
4 40Wk
sin  2
Основным результатом опытов Резерфорда было обнаружение того, что наряду с
рассеянием на малые углы имелись случаи рассеяния  - частиц на углы,
превышающие 900 (примерно одна частица из 8000) и в некоторых случаях
доходящие до 1800 .
Классическая физика была основана на ряде блестящих экспериментов,
среди которых особое место занимают эксперименты Г. Кавендиша, Ш. Кулона и
М.Фарадея. Ими были установлены законы гравитационного и электромагнитного
взаимодействий макроскопических тел. Однако технология эксперимента,
которая использовалась Кавендишем, Кулоном и Фарадеем, в микрофизике
неприменима из-за малых размеров исследуемых объектов.
Новая технология эксперимента, применимая для исследования микросистем, была предложена Э. Резерфордом и начинается с его опытов. Резерфорд
первым разработал и применил способ исследования микросистем с помощью
рассеяния «микросистемой-мишенью» «частицы-снаряда». В своем первом
11
эксперименте Резерфорд использовал рассеяние  - частиц (ядер атомов гелия-4,
испускаемых некоторыми тяжелыми ядрами) на атомах, для того чтобы
установить, как устроен атом. Именно, выяснив, что вероятность рассеяния  частиц на атоме как функция угла рассеяния θ подчиняется формуле для
рассеяния ее на кулоновском центре, теперь называемой формулой Резерфорда —
вероятность рассеяния ~
d
1
Z Z e2
= (  я )2 4
, (2.6.)
d
sin ( 2)
4E
он установил, что в атоме имеется точечный кулоновский центр — атомное ядро, —
сосредотачивающий в себе почти всю массу атома. В формуле (2.6.) Z Z я - заряды
(в единицах элементарного заряда)  - частицы и ядра-мишени, Е — кинетическая
энергия  - частицы.
Пример 1
-частица ( Z = 2) с кинетической энергией Е = 5 МэВ испытывает лобовое
столкновение с ядром золота ( Z я = 79). Рассчитать расстояние максимального
сближения  - частицы с ядром золота.
Решение
На расстоянии максимального сближения  - частицы с ядром ее кинетическая энергия полностью превращается в потенциальную энергию кулоновского
отталкивания
Z eZ я e
откуда
R
2  79e 2
2  79e 2с
Z eZ e
R=  я =
=
= 5  10 12 см
5  с
5МэВ
E
E=
В ядерной физике в формулах, где встречаются электромагнитные величины,
обычно используется Гаусова система единиц. Константа  =
e2
с
играет
фундаментальную роль в атомной физике, известная как постоянная тонкой
структуры  =
e2
1
. В системе СИ  =
.
40с
137
При вычислениях будем использовать следующие соотношения:
e2
1
=
; с =197,3 МэВ  Фм;
с 137
197,3МэВ  Фм
= 1,44 МэВ  Фм
137
Единица измерения сечения рассеяния 1 барн = 1027 см 2  1028 м 2 .
Для характеристики вероятности процессов в микромире пользуются
12
понятиями полного эффективного сечения  и дифференциального эффективного
сечения
d
. Именно эту величину позволяет рассчитать формула Резерфорда
d
(2.6.). Укажем, как можно использовать понятие дифференциального сечения для
описания вероятности процесса взаимодействия частиц. Если мишень содержит М
ядер и вся помешена в поток частиц с плотностью j (j — число частиц, падающих
в единицу времени на единицу поперечной плошали мишени), то число dN(θ)/dΩ
частиц, рассеиваемых мишенью в единицу времени на угол θ в пределах
телесного угла dΩ, дается выражением
dN ( )
d ( )
= jM
d
d
(2.7.)
Полное число частиц, рассеиваемых мишенью в единицу времени под всеми
углами, определяется из соотношения
4
N=
4
dN
d
0 d dΩ= jM 0 d dΩ=jM 
(2.8.)
где
 =
4
d
 d
dΩ
0
- полное эффективное сечение. В свою очередь М = nSl, где п —
концентрация ядер мишени (их число в единице объема), S - облучаемая
поперечная площадь мишени, l - ее толщина в направлении падающего
на мишень пучка частиц.
Пример 2
Протон с кинетической энергией Т = 2 МэВ налетает на неподвижное ядро
197
Аu. Определить дифференциальное сечение рассеяния d  /dΩ на угол θ = 60°.
Как изменится величина дифференциального сечения рассеяния, если в качестве
рассеивающего ядра 27Аl?
Решение
Дифференциальное сечение упругого кулоновского рассеяния на угол θ
определяется формулой Резерфорда
d
1
Z1 Z 2 e 2 2
=(
)
,
4
d
sin ( 2)
4T
где Z1 - заряд налетающей частицы, Z 2 - заряд ядра. Тогда
d
1  79  1,44МэВ  Фм 2 1
=(
)
≈3200Фм 2 /ср=32(б/ср)
4
4  2МэВ
d
(1 / 2)
13
Из формулы Резерфорда следует, что отношение дифференциальных сечений
197
рассеяния при замене ядра
Аu на 27Аl будет определяться отношением
квадратов зарядов этих ядер:
d
R=
d
d
Au /
d
2
Z Au
79 2
= 2 =37
Al =
Z Al2
13
то есть при одинаковых условиях сечение рассеяния на золоте будет в 37 раз
больше, чем на алюминии.
14
КУМУЛЯТИВНЫЕ ЧАСТИЦЫ
В первом приближении строение вещества с позиции кварковой модели
представляется достаточно очевидным: ядра состоят из протонов и нейтронов, а
они - из кварков, следовательно, ядра состоят из кварков. Вопрос, однако, состоит
в том, собираются ли сначала кварки в ядерной материи в нуклоны, из которых
состоят ядра? Такая постановка вопроса, равно как и поиски ответа на него, яркий пример того, как наука (в данном случае физика) формулирует задачу,
решает ее и анализирует полученные ответы на поставленные вопросы. Проще
говоря, это пример того, как добываются сведения (и какой ценой, если иметь в
виду интеллектуальные и материальные затраты) об окружающем нас мире — по
крайней мере для того, чтобы получать представления об общей картине строения
материального мира.
Возвращаясь к проблеме строения ядерной материи, следует отметить, что
обычно информация на этот счет получается при исследовании взаимодействия с
конкретным ядром различного сорта частиц (например, протонов), движущихся с
большими скоростями. Основой такого рассмотрения являются фундаментальные
законы сохранения энергии и импульса, действие которых достаточно наглядно
(учитывая рассматриваемую здесь проблему) можно проиллюстрировать с
помощью следующей модели.
Рассмотрим задачу упругого столкновения двух шариков одинаковой массы,

один из которых покоится, а другой (налетающий на него) имеет импульс р0 .


После столкновения шарики должны приобрести импульсы р1 и р2 . Нетрудно
показать, используя упомянутые законы сохранения, что угол разлета двух
шариков 90°, максимальный угол вылета одного шарика относительно

направления р0 составляет 90° (и то с нулевым импульсом). Релятивистское
рассмотрение принципиально не сказывается на результате взаимодействия, лишь
усугубляя его — максимальный угол разлета уменьшается. Любые неупругие
взаимодействия также делают максимальный угол вылета лишь меньше.
Однако выполненные к настоящему времени эксперименты свидетельствуют,
что (по крайней мере, в ряде случаев) данное условие оказывается нарушенным.
Например, в процессе исследования взаимодействия ядер свинца с протонами,
имеющими энергию 7,5 ГэВ, были обнаружены нейтроны, вылетающие под утлом
119°, т.е. в лабораторной системе координат они двигались назад, куда, согласно
законам сохранения импульса и энергии, вылет запрещен. Наблюдаемые
нейтроны, получившие название кумулятивных, имеют, очевидно, другое
происхождение. Таким образом, кумулятивная частица — это такая частица,
которая не может образоваться (в силу ограничений законов сохранения энергии
и импульса) при взаимодействии налетающей частицы со свободным нуклоном.
Обычно упомянутые нейтроны обладают запасом энергии в сотни мегаэлектронвольт и вылетают из ядер за время процесса в них, длящегося порядка
10 23 с (образующиеся при этом нуклоны, в частности нейтроны, называются
15
быстрыми).
Какому процессу обязано образование быстрых нуклонов? Возвращаясь к
модельному рассмотрению, необходимо иметь в виду, что шарик отлетает назад
при столкновении со стенкой или шариком, который тяжелее его. Чем тяжелее
шарик-мищень, тем больший импульс или большую энергию может иметь шарик,
отлетевший назад. Отсюда следует, что кумулятивные нейтроны могут
образовываться (и образуются, как показывают эксперименты) при столкновении
налетающей частицы с несколькими нуклонами ядра.
Здесь уместно обсудить смысл термина кумулятивная частица, связь его с более
привычным понятием кумулятивный снаряд. Латинский глагол cumulo в основе слова
(накоплять) означает накопление энергии объекта на его какой-то части. В
тяжелом снаряде такая его часть после столкновения будет иметь энергию
большую, чем эта часть имела в движущемся снаряде, соответственно она имеет и
большую скорость, чем снаряд. А это значит, что в системе координат, где покоится
снаряд, появится объект, летящий в сторону, противоположную движению мишени. В
нашем случае роль снаряда отводится ядру, а движущийся назад в системе координат,
где оно покоится, нейтрон выполняет роль кумулятивной частицы.
В выполненных к настоящему времени экспериментах удалось зарегистрировать прямое взаимодействие налетающих протонов с более чем четырьмя
нуклонами. Чтобы обеспечить такое взаимодействие, нуклоны должны
находиться на малых расстояниях, меньших, чем размер нуклона, и меньших, чем
расстояние между кварками в нуклонах. Так что же за объект, который
распадается на кумулятивные частицы? Это тесная группа нуклонов, скорее всего
потерявших индивидуальность и ставших единым квантовым объектом флуктоном - локальной флуктуацией плотности ядерного вещества. Таким
образом, внутри ядра не царит покой. Быстро пролетающая через него частица в
глубинах ядра фиксирует бурно флуктуирующую кварковую материю, и флуктон
- его элементарная частица. Это, по-видимому, очень плотное образование.
Размер флуктона порядка размера нуклона, но в этой области собрано кварков
больше, чем в отдельных нуклонах.
Примечательно, что, начиная с некоторой энергии, процессы (или реакции),
порождающие кумулятивные частицы, обладают свойствами, совокупность
которых получила название ядерного скейлинга. Суть явления состоит в том, что
фиксируемые в ходе экспериментов параметры (спектральные характеристики) не
зависят от сорта и энергии налетающей частицы и атомного номера ядра-мишени.
Это удивительное явление обнаруживается для самых разных ядер. Данное
наблюдение позволяет, в частности, сделать вывод о том, что в реакциях с
образованием кумулятивных частиц изучаются свойства ядерной материи на
уровне флуктонов.
Кроме этого, удается получать и еще более глубинную информацию относительно
свойств материи.
По-видимому, следует считать устоявшимся мнение о том, что нуклон не
менее сложен, чем ядро. Однако дальнейшее рассмотрение проблемы строения
16
ядерной материи уже выходит за рамки программы курса. Действительно, речь
идет о границе, к которой мы приблизились в данной области знаний.
Осмысление строения материи на обсуждаемом здесь уровне — заманчивая идея
многих исследователей в различных странах. В связи с этим строятся большие
установки, прежде всего ускорители частиц (в том числе тяжелых ионов) на
большие начальные энергии.
Ускорители частиц
Главным инструментом, позволяющим изучать структуру вещества, является
ускоритель, создающий частицы столь высокой энергии, что они способны
проникать в глубинные области изучаемого микрообъекта. В настоящее время в
мире работают несколько таких машин, ускоряющих заряженные частицы до
очень высоких энергий. Такие ускорители могут действовать как в режиме
выведенных пучков (когда ускоренные частицы направляются на неподвижную
мишень), так и в режиме коллайдеров (когда две частицы, ускоренные до высоких
энергий, сталкиваются друг с другом). Энергетически более выгодным
оказывается режим коллайдера. Энергия 900 ГэВ каждой из соударяющихся частиц
(в данном случае это протоны) является на сегодня максимальной; она достигнута
на ускорителе в Национальной лаборатории им. Э. Ферми (США). Впервые
коллайдер, в котором сталкивались электроны и протоны, был построен в
Новосибирске (ВЭП-2М). Энергия каждого из пучков достигала 0,7 ГэВ. С 1994 г.
энергия электронов и позитронов в коллайдере равна 6 ГэВ (ВЭП-4М). В
Европейском центре ядерных исследований функционирует комплекс
ускорителей, на котором электроны и позитроны ускоряются до энергии 100 ГэВ.
В США в Стенфордской национальной лаборатории на коллайдере
сталкиваются электроны и позитроны, каждый с энергией до 50 ГэВ. Кроме
коллайдера там до недавнего времени работал линейный ускоритель электронов,
протяженность ускоряющих элементов которого составляла 3 км. На линейном
ускорителе в Стенфорде были выполнены первые эксперименты по изучению
структуры атомных ядер в опытах по рассеянию электронов на ядрах. В Германии,
в лаборатории вблизи Гамбурга, сооружен комплекс электронных ускорителей,
которые могут работать как в режиме выведенных пучков, так и в коллайдерном
режиме. С 1991 г. в этой лаборатории начал работать первый в мире электронпротонный коллайдер HERA (Hadron Electron Ring Accelerator). На этом
ускорителе создана уникальная возможность изучать рассеяние электронов с
энергией 30 ГэВ на протонах с энергией 820 ГэВ.
Для изучения структуры микрообъектов помимо высоких энергий
облучающих частиц желательно, чтобы эти частицы-снаряды были как можно
более простыми - бесструктурными образованиями. На современном уровне наших
знаний такими частицами являются лептоны; среди них электрон наиболее
доступен для экспериментов. По современным представлениям он не имеет
структуры, по крайней мере до расстояний ~ 10-16 см. Схематично опыты по
17
изучению структуры микрообъектов выполняются следующим образом. Пробная
частица-снаряд (например, электрон) налетает на частицу-мишень (например,
атомное ядро). После взаимодействия регистрируют кинетические параметры
частицы-снаряда: энергию, импульс, угол вылета, а также вероятность вылета
электрона в элемент телесного угла dΩ = 2π sinθ dθ. Эта вероятность d  /dΩ, называется эффективным сечением процесса. По этим экспериментально

измеряемым величинам можно определить, какой импульс Р * был передан
частицей-снарядом частице-мишени в процессе взаимодействия. При упругом
рассеянии эта величина вычисляется с использованием угла рассеяния θ * (процесс
столкновения при этом рассматривается в системе центра масс) на основании
следующего выражения Р* = 2Psin (θ*/2), где Р - импульс частицы-снаряда.
Задача 2
1.
Альфа-частицы с кинетической
энергией
Т=6,5
МэВ
испытывают
резерфордовское рассеяние на ядре золота
197
Au.
Определить:
1) параметр столкновения b для альфа-частиц,
наблюдаемых под углом θ=90 0 .
2) минимальное расстояние r min сближения
альфа-частиц с ядром.
3) кинетическую (Т) и
4) потенциальную (Е) энергии альфа-частиц в этой точке.
1) Угол θ, на который рассеивается нерелятивистская заряженная частица в
кулоновском поле неподвижного ядра, определяется соотношением
где Z 1 – заряд частицы, а Z 2 -заряд ядра. Тогда
18
2) Запишем в полярных координатах закон сохранения энергии
и закон сохранения момента импульса
При r = r min производная r = 0. Получаем систему уравнений:
Подставив второе уравнение в первое и учитывая выражение для b, получаем
2 2
Z1 Z 2 e 2
mrm2 b v
mv2
+
=
rm
2 rm4
2
mb 2 v 2 + 2 Z 1 Z 2 e 2 r m - mb 2 r 2m = 0
Z1 Z 2 e 2
r -2
r m - b2 = 0
2
mv
2
m
2
 Z1Z 2e 2 
Z Z e2

  b 2 = 1 2 +
2T
 2T 
rm
Z Z e2
= 1 22 +
mv
=
Z1 Z 2 e 2
(1+ 2 )
2T
19
2
2
 Z1Z 2e 2   Z1Z 2e 2 

  
 =
 2T   2T 
3) Потенциальная энергия частицы в точке наибольшего сближения с ядром
и, соответственно,
4). Кинетическая энергия
Задача 3
Альфа-частица с кинетической энергией Т=2,3 МэВ налетает с прицельным
параметром 90 Фм на покоящееся ядро атома свинца. Найти модуль приращения
вектора импульса рассеянной альфа-частицы.
Когда альфа-частица пролетает вблизи ядра, ее траектория представляет
собой гиперболу, причем угол отклонения альфа-частицы θ, равен углу между
асимптотами гиперболы. Упругое рассеяние означает, что не происходит
изменения внутреннего состояния ядра после рассеяния. Оно не возбуждается. Из
закона сохранения энергии следует, что начальный импульс альфа-частицы по


модулю равен конечному, т. е. P0 = P
Построим векторную диаграмму импульсов. Это будет равнобедренный
треугольник, из которого получаем

P
θ

P

P0



P  2 P0 sin  2 2m T sin ,
2
2
где P0  2m T
Используя связь между прицельным параметром b и углом  . Найдем
выражение для угла рассеяния  .
Запишем выражение, связывающее прицельный параметр и угол рассеяния
20

z1 z2e 2
2
2bT
 2  82 1,44МэВ  Фм
tg 
 0,57
2
2  90Фм  2,3МэВ
tg
Отсюда находим

2

 30 .
Тогда = P = 2m T  2  4 1,66 1027  2,3 1,6 1013  7 1020
кг  м
с
Здесь m  4а.е.м.
Задача 4
Протон с кинетической энергией Т=10 МэВ пролетает на расстояние
b=10пм от свободного покоившегося электрона. Найти энергию, которую
получит электрон, считая, что траектория протона прямолинейная и за время
пролета электрон остается практически неподвижным.
 V0
mp
Fпер
Fk
φ
b
me
Fпар
Разложим кулоновскую силу, действующую на электрон, на две
составляющие: параллельную ( Fпар ) и перпендикулярную ( Fпер ) к траектории
движения. Вклад компоненты Fпар , в приобретаемый электроном импульс, равен
нулю.
Следовательно P e =  Fкул sin dt
Fкул 
ke2
r2
dt 

dr
P = ke2 


0
sin d

r2 
Умножим числитель и знаменатель подинтегрального выражения на
используем закон сохранения момента импульса.
mp и

mpV0b  mp r 2   const
Пусть P0  m p V0 и P0  2m p  T
Тогда P =
2ke2 m p
P0b
Учитывая связь кинетической энергии и импульса и, заменяя P полученным
выражением, имеем
21
Te 
k 2e 4 m p
Tmeb 2
 4 эВ
Задача 5
Найти вероятность того, что альфа-частица с кинетической энергией Т=3
МэВ при прохождении свинцовой фольги, толщиной 1,5 мкм рассеется в
интервале углов 59  61 .
Запишем формулу Резерфорда, которая определяет относительное число
частиц, рассеянных под углами  и   d .
P( ) 
dN ( )
z z e2
2 sin d
 nпов (  я ) 2 

N
4T
sin 4
2
где nпов – число ядер на единицу поверхности рассеивающего слоя, P ( ) -искомая
вероятность.
Поверхностная плотность частиц nпов связана с объемной плотностью nоб
соотношением nпов = nоб  d, где d - толщина мишени. Объемную плотность найдем
по формуле
nоб 
  NA
M
,
где  - плотность, а M - молярная масса вещества мишени, N А - число Авогадро.
Интервал углов d  2 (по условию) соответствует 0,035 рад.
Итак
  NA d
z z я e 2 2 2 sin d
P( ) 
(
) 

M
4T
sin 4
2
3
23
6
11,3 10  6 10 1,5 10
2  82 1,44Фм 2
P( ) 
(
)  3  5,78 105 .
3
207,2 10
43
Задача 6
Золотая пластинка толщиной l=1мкм облучается пучком альфа-частиц с
плотностью потока j=10 5 частиц / см 2  с . Кинетическая энергия альфа-частиц T= 5
МэВ. Сколько альфа-частиц на единицу телесного угла падает в секунду на
детектор, расположенный под углом   170 к оси пучка? Площадь пучка на
мишени S=1 см 2 .
Число частиц, рассеянных в единицу времени в единичный телесный угол
равно N= jSn
d
, где n –число ядер на единицу площади поверхности мишени,
d
22
а
d
– дифференциальное сечение упругого рассеяния.
d
Число на единицу площади поверхности мишени
n
lN A
A
,
где  - плотность вещества мишени, l - ее толщина, A - массовое число вещества
мишени и N A -число Авогадро.
Поток частиц через детектор
Задача 7
Альфа-частицы с кинетической энергией Т= 1,7 МэВ рассеиваются
кулоновским полем ядер атомов свинца. Определить дифференциальные сечения
этих ядер
d d
и
, отвечающих рассеянию на угол   90 .
d d
Если рассматривать рассеяние в телесный угол d , как функцию угла  , то
соответствующее дифференциальное сечение имеет вид
d
z z e2
1
 (  я )2 

d
4T
sin 4
2
d
2  82 1,44Фм 2
(
)  4  4,8 1023 см 2 / ср
d
4 1,7
Выражение для dΩ имеет вид
d = 2 sin d .
После подстановки этого выражения в предыдущую формулу получим
d
z z e2
2 sin  d
 (  я )2 

 2 sin 
d
4T
d

4
sin
2
d
 4,8 10 23  6,28  3 10 22 см 2 / рад
d
23
Задача 8
Вычислить сечение рассеянии альфа-частицы с кинетической энергией Т= 5
МэВ кулоновским полем ядра 208Pb под углами больше 90  .
Искомое сечение получим интегрированием формулы Резерфорда
(барн)
Задача 9
Коллимированный пучок альфа-частиц с энергией Т= 10 МэВ падает
перпендикулярно на медную фольгу толщиной   1мг / см 2 . Частицы, рассеянные
под углом  =30  , регистрируются детектором площадью S =1см 2 ,
расположенным на расстоянии l = 20 см от мишени.
Какая доля от полного
зарегистрирована детектором?
N 
числа
рассеянных
N0 N A
d
 
 
ACu
d
S
d ( )
Zze 2 2
1
(
) 
, где   2

4l
d
4T
sin 4
2
Тогда доля частиц, рассеянных под углом = 30 .
24
альфа-частиц
будет
Задача 10
Рассчитать дифференциальное сечение
d
упругого рассеяния протонов на
d
ядрах золота 197 Au под углом 15  , если известно, что за сеанс облучения мишени
толщиной d  7 мг / см 2 протонами с суммарным зарядом Q=1 нКл на детектор
площадью S= 0,5см 2 , расположенный на расстоянии l=30 см от мишени,
попало N  1,97 105 упруго рассеянных протонов. Сравнить экспериментально
измеренное сечение с резерфордовским.
 B  b называется величина
Дифференциальным сечением реакции a  A 
где n – количество частиц мишени на единицу площади, N- количество попавших
dN
- количество частиц, продуктов данной реакции b,
d
вылетевших в элемент телесного угла d в направлении, характеризуемом
на мишень частиц a ,
полярным θ и азимутным φ углами. Дифференциальное сечение обычно
измеряется в барнах на стерадиан.
dN N
S
Q
d  NA
,где e p -заряд протона, N A -число Авогадро и A
,   2 , N  , n 
d 
l
ep
A
массовое число ядра 197 Au .
Дифференциальное сечение будет
Дифференциальное сечение упругого кулоновского рассеяния по формуле
25
Резерфорда для протонов с кинетической энергией Т= 3 МэВ.
Полученная величина близка к экспериментально измеренному сечению.
Задача 11
При упругом рассеянии электронов с энергией Т=750 МэВ на ядрах 40Ca в
сечении наблюдается дифракционный минимум под углом  min  18 . Оценить
радиус ядра 40Ca .
Положение первого минимума в сечении упругого рассеивания min можно
оценить с помощью формулы для дифракции плоской волны на диске радиуса R
sin  min 
0,6
R
В этой формуле используется связь между энергией и импульсом для
релятивистской частицы и формула де Бройля для определения длины волны
частицы.
PC  T (T  2mc2 ) , T  m0c 2 ( для ультрарелятивистских)
T 2
2c
P 

  
C

T
c  197,3МэВ
 2
e
1
 
 c 137
Учитывая, что электроны ультрарелятивистские, получаем
26
Распределение зарядов в ядре
Простейшим приближением для радиального распределения плотности  (r )
ядерной материи является двухпараметрическое распределение Ферми
 (r ) 
 ( 0)
1  e ( r  R )\a
(рис. 1.9)
где параметр a связан с толщиной поверхностного слоя t соотношением
t  4,4a и приблизительно равен 0,55 Фм.
Поскольку толщина поверхностного слоя не является пренебрежимо малой,
требуется определение того, что называть радиусом ядра. Радиусом ядра R
называют расстояние от его центра до точки, в которой плотность уменьшается в
два раза по сравнению с плотностью в центре.
Конечно, понятие радиуса ядра правомерно в случае его сферической
формы. Большинство же ядер, как оказалось, несферические,
но эта
несферичность невелика, и в первом приближении этой несферичностью можно
пока пренебречь, сохранив понятие радиуса ядра для всех ядер. Вообще же ядра в
основном напоминают либо слегка вытянутые, либо слегка сплюснутые
аксиально-симметрические эллипсоиды.
Опираясь на пропорциональность энергии связи ядра числу нуклонов, было
сделано заключение о том, что размеры ядра растут как A1 / 3 . Поэтому радиус ядра
(исключая самые легкие) приближенно дается формулой :
R  r0  A1 / 3
Сравнение с экспериментальными данными приводит к
r0  (1,0  1,1)Фм
Часто используют другое определение радиуса ядра, аппроксимируя его
сферой однородной плотности (без размытого поверхностного слоя). Такой
ядерный радиус описывается выражением
R  1,2  A1\3Фм
27
Рис.1.8.
Рис. 1.8. показывает  (r ) для нескольких ядер
 (r ) 
 ( 0)
1  e ( r  R )\a
Рис.1.9
28
(1.8)
Задача 12
Оценить плотность ядерной материи.
Масса одного нуклона в ядре mn  1а.е.м.  1,66 1024 г. Плотность ядерной
материи есть масса ядра, деленная на его объем

mn A
3mn A
3mn
3 1,66 1024 г
млн  тонн



 1,8 1014 г \ см3  180
3
3
13
3
4 3 4r 0 A 4r0 4  3,14  (1,3 10 см)
см3
R
3
Плотность ядерной материи не зависит от А.
29
Литература
1. И.М. Капитонов «Введение в физику ядра и частиц». Издательство УРСС.
М. 2005.
2. Б.С. Ишханов, И.М. Капитонов, Н.П. Юдин. Издательство URSS. М. 2007.
3. И.В. Савельев, «Курс общей физики», т.5. М.: Апрель АСЕ, 2003.
4. И.Е. Иродов. «Атомная и ядерная физика» Сборник задач. Издательство
«Лань», М., 2002.
30