Урок по теме «Показательная и логарифмическая функция их Тип урока:

Урок по теме «Показательная и логарифмическая функция их
свойства и применение».
Тип урока: урок изучения нового материала.
Цели урока:
 обеспечить усвоение обучающими знаний о показательной функции и
логарифмической функции, их свойствах;
 формировать умение строить графики показательной и логарифмической
функций;
 научить выявлять свойства логарифмической функции по графику;
 показать практическое значение свойств показательной и логарифмической
функции;
 создать условия для развития умений получать знания посредством
проведения исследовательской деятельности и анализа ситуации.
Задачи урока:
Образовательная:
ознакомить обучающихся с понятиями о показательной и логарифмической
функции;
изучить основные свойства этих функций;
повторить определение логарифма, план исследования свойств функции;
вспомнить график и свойства;
сформировать умение строить графики показательной и логарифмической функции;
формировать навыки самообучения, самоорганизации и самооценки, способствовать
развитию творческой деятельности учащихся.
Развивающая:
Способствовать
развитию сознательного восприятия учебного материала, зрительной памяти,
математической речи обучающихся внимания, развитию логического мышления,
математической интуиции;
умению анализировать, применять знания в нестандартных ситуациях;
обобщать, правильно формулировать задачи и излагать мысли;
развивать межпредметную связь
Воспитательная:
Воспитание познавательной активности, воспитать у обучающихся любовь и
уважение к предмету, научить видеть в ней не только строгость, сложность, но и
логичность, простоту и красоту.
Средства обучения: компьютер, классная доска, слайдовая презентация, учебник
«Алгебра и начала анализа10-11» под редакцией А.Н. Колмогорова, чертёжные
инструменты, карточки.
Время: 90 мин
План урока
Организационный момент
1
Актуализация познавательного интереса к изучаемой теме в форме
2
игры
Подготовка к усвоению нового учебного материала. Проблемная
3
ситуация
Усвоение новых знаний.
4
Первичная проверка понимания учащимися нового материала
5
Применение показательной функции (сообщения студентов)
6
Закрепление новых знаний.
7
Вторая часть урока. Актуализация познавательного интереса к
8
изучаемой теме Логарифмическая функция
9
10
Применение логарифмической функции (сообщения студентов)
Итоговое закрепление. Блиц - опрос – графический диктант
Подведение итогов урока.
Информация о домашнем задании, инструкция о его выполнении
Ход урока.
1. .Организационный . момент. Проверка готовности обучающихся к уроку.
объявление темы, цели и задач урока Вам предстоит сегодня много рассуждать, делать
выводы, спорить
2. Актуализация познавательного интереса к изучаемой теме.
Игра «Самая умная на уроке» слайд 4
Эта игра проводится с целью актуализации знаний обучающихся на уроке изучения
нового материала.
Обучающимся предлагается в течение 1-2 минут отвечать на вопросы. (листочки
розданы заранее). Звание «самой умной на уроке» присваивается тому, кто ответил на
большее количество вопросов. (Итог в конце урока - можно приготовить мини - призы)
Вопросы:
1)
Независимая переменная
(х)
2)
Наглядный способ задания функции
(графический)
3)
График четной функции симметричен относительно оси (Оу)
4)
График квадратичной функции называется
(парабола)
5)
Что обозначают буквой D
(область определения)
6)
Способ задания функции с помощью формулы
( аналитический)
7)
График какой функции - прямая
(линейной)
8)
О какой функции речь? Чем дальше в лес, тем больше дров.
(возрастающая)
9)
Свойство функции f(-x) = f(x )
(четность)
10)
Множество значений, принимаемых независимой переменной
(область
определения)
11) Что обозначают буквой Е ?
(область значений)
12) График нечетной функции симметричен относительно
(начала координат)
13) О чем речь? Чем выше в гору, тем ниже давление.
(убывание)
14) Множество целых чисел обозначается буквой?
(Z)
15) Точки пересечения графики функции с осью Ох (нули функции)
16) Множество действительных чисел обозначается буквой? (R)
17) Свойство функции f(-x) = - f(x) (нечетность)
Проверка ответов слайд 5
3. Подготовка к усвоению нового учебного материала. Проблемная ситуация
На сегодняшнем уроке речь вновь пойдёт о функции. С этим важнейшим
математическим понятием мы встречаемся на протяжение всего курса изучения
математики. Многое о функции мы уже знаем, и многое нам предстоит ещё узнать.
Готовясь к сегодняшнему уроку, вы повторяли определение функции, виды
изученных функций, а также схему исследования функции. Итак, вспоминаем основные
положения темы «Функция»
Вопросы для беседы:
1. Что такое функция?
2. Основные способы задания функции?
3. Что такое область определения функции?
4. Что такое область значений функции?
5. Какие функции вы знаете? – линейная, прямая (обратная пропорциональность),
квадратичная, тригонометрические функции- синус, косинус, тангенс, котангенс
Подведение итога опроса
Слово «функция» происходит от латинского слова (лат. functio — «исполнение,
совершение осуществление»), слайд 6
Более строгое математическое определение функции звучит так: Функция- это
зависимость переменной у от переменной х, при которой каждому значению переменной х
соответствует единственное значение переменной у. Переменную х называют
независимой переменной или аргументом функции, так как её значения выбираются
произвольно, а переменную у называют зависимой, так как значения у зависят от х,
вычисляются по определенному правилу f при заданном значении
Зачем же нужно изучать функции?
 -с помощью функций люди описывают различные явления, происходящие в
природе и обществе.
 -* с помощью линейной функции описывается зависимость пройденного пути
от времени движения при равномерном движении (s=s(t) при v=const);
 с помощью обратной пропорциональности описывается: зависимость плотности
m
вещества от объёма тела  
и т.д.
V
В жизни мы часто сталкиваемся с зависимостями между величин. Оценка
контрольной работе зависит от количества и правильности выполненных заданий,
стоимость покупки от количества купленного товара и цен. Одни зависимости носят
случайный характер, другие постоянны.
Проблемная ситуация
Как будем называть функции такого вида? Рассмотрим следующие зависимости
слайд 7
Рост древесины происходит по закону
A=A0*akt
A- изменение количества древесины во времени;
A0- начальное количество древесины;
t-время, к, а- некоторые постоянные.
Давление воздуха убывает с высотой по закону:P=P0*a-kh
P- давление на высоте h,
P0 - давление на уровне моря,
а- некоторая постоянная.
Изменение количества бактерий N=5t
N-число колоний бактерий в момент времени t
t- время размножения
-Что общее объединяет эти процессы? Слайд 7 -схожесть вида формулы,
задающей закон у=с·акх
4. Усвоение новых знаний.
Определение показательной функции. Основные свойства, график
показательной функции, экспонента слайд 8 -12
4
1
Рассматривая графики на слайде 6 сравнить основания y  ( ) x , y  ( ) x и
6
3
сделать вывод: Чем больше основание, тем более пологий график.
5.Первичная проверка понимания учащимися нового материала слайд 14--12
Задание А1 Из предложенного списка функций, выбрать ту функцию, которая
является показательной
3. y  2 x ;
1. y  2 x; 2. y  x 2 ;
4. y  7 x .
Задание А2 Укажите вид графика
для
функции
слайд 15
Задание А3 Дан график функции. Укажите эту функцию
слайд 16x
x
x
1
1
1. y    ; 2. y    ; 3. y  2 ; 4. y  2 x.
2
3
Задание А4 Выберите функцию возрастающую на R слайд
17
1
1. y   
4
x
1
2. y   
7
x
1
3. y   
2
x
4. y  10 x
Задание А5 Выберите функцию убывающую на R слайд 18
x
x
1
2. y  10 x  1; 3. y   1  ;
1. y  5 ;
4. y     1.
 
2
2
Задание А6 Решите уравнения: слайд 19
1
1
1. 3 х  9 2. 5 х  1 3. ( ) x  16 4. 2 х  0 5. ( ) x  1
2
2
1. х  2 2. х  0 3. х  2 4 и 5. нет решения
1
Задание В1 Укажите область значений функции y  ( ) x  1 слайд 20
3
x
1.  0;   ;
2.  1;   ; 3. 0;   ;
4.  ; 1 .
Задание В2 Какое из указанных чисел входит в область значений функции
y  2  4 слайд 21
1.2
2. 2
3..3
4. 5
х
Решение: для любого х  R 2  0 2 х  4  4 y  4 E ( y)  (4;)
Ответ: 5
Задание В3 Укажите график функции: y  3 х  2 слайд 22
х
y
1
Ответ: 4
Задание В4 График какой функции изображен на рисунке?
1
1. у  ( ) х 2. y  log 5 x 3. y  3 x 4. y  2 х  0 5. log 1 x
3
2
слайд 23
0 1
x
6. Практическое применение показательной функции (сообщения студентов)
Сегодня на уроке, мы должны выяснить где находит применение в практической
деятельности человека показательная функция, и научится применять эти свойства при
выполнении заданий, определенного вида.
Показательная функция является основополагающей при изучении таких тем, как
«Термодинамика», «Электромагнетизм», «Ядерная физика», «Колебания», используется
для решения некоторых задач судовождения.
Показательная функция применяется при описании процессов природы и общества.
Приведём несколько примеров таких процессов.
1. Все, наверное, замечали, что если снять кипящий чайник с огня, то сначала он
быстро остывает, а потом остывание идет гораздо медленнее. Дело в том, что скорость
остывания пропорциональна разности между температурой чайника и температурой
окружающей среды. Чем меньше становится эта разность, тем медленнее остывает
чайник. Если сначала температура чайника равнялась То, а температура воздуха T1, то
через t секунд температура Т чайника выразится формулой: T=(T1-T0)e-kt+T1,
где k - число, зависящее от формы чайника, материала, из которого он сделан, и
количества воды, которое в нем находится.
2. При падении тел в безвоздушном пространстве скорость их непрерывно
возрастает. При падении тел в воздухе скорость падения тоже увеличивается, но не может
превзойти определенной величины.
Рассмотрим задачу о падении парашютиста. Если считать, что сила сопротивления
воздуха пропорциональна скорости падения парашютиста, т.е. что F=kv , то через t секунд
kt
mg
(1  e m ) , где m - масса парашютиста. Через
скорость падения будет равна: v 
k
kt
некоторый промежуток времени e m станет очень маленьким числом, и падение станет
почти равномерным. Коэффициент пропорциональности k зависит от размеров парашюта.
Данная формула пригодна не только для изучения падения парашютиста, но и для
изучения падения капли дождевой воды, пушинки и т.д.
3. Много трудных математических задач приходится решать в теории
межпланетных путешествий. Одной из них является задача об определении массы
топлива, необходимого для того, чтобы придать ракете нужную скорость v. Эта масса М
зависит от массы m самой ракеты (без топлива) и от скорости v0, с которой продукты
горения вытекают из ракетного двигателя. Если не учитывать сопротивление воздуха и
v
притяжение Земли, то масса топлива определиться формулой: M  m(e v0  1) (формула
К.Э.Циолковского). Например, для того чтобы ракете с массой 1,5 т придать скорость
8000 м/с, надо при скорости истечения газов 2000 м/с взять примерно 80 т топлива.
4. Если при колебаниях маятника, гири, качающейся на пружине, не пренебрегать
сопротивлением воздуха, то амплитуда колебаний становится все меньше, колебания
затухают. Отклонения точки, совершающей затухающие колебания, выражается

формулой: s  Aekt (sin t  ) . Так как множитель е-kt уменьшается с течением времени,
2
то размах колебаний становится все меньше и меньше.
5. Когда радиоактивное вещество распадется, его количество уменьшается. Через
некоторое время остается половина первоначального количества вещества. Этот
промежуток времени to называется периодом полураспада. Вообще через t лет масса m
t
1
вещества будет равна: m  m0 ( ) t0 , где m0 - первоначальная масса вещества. Чем больше
2
период полураспада, тем медленнее распадается вещество. Явление радиоактивного
распада используется для определения возраста археологических находок, например,
определен примерный возраст Земли, около 5,5 млрд. лет, для поддержания эталона
времени.
Также с помощью показательной функции описываются процессы размножения
живых организмов, явления «затухания» и «органического роста».
Данные процессы носят общее название процессов органического изменения
величин.
Как видите, во всех приведенных выше исследованиях использовалась
показательная функция.
Вот некоторые из Нобелевских лауреатов, получивших премию за исследования в
области физики с использованием показательной функции:
Пьер Кюри - 1903 г.
Ричардсон Оуэн - 1928 г.
Игорь Тамм - 1958 г.
Альварес Луис - 1968 г.
Альфвен Ханнес - 1970 г.
Вильсон Роберт Вудро - 1978 г.
Показательная функция также используется при решении некоторых задач
судовождения, например, функцию е-x используют в задачах, требующих применения
биноминального закона (повторение опытов), закона Пуассона (редких событий), закона
Релея (длина случайного вектора).
. Вывод: Показательная функция применяется при описании процессов природы и
общества, а также свойства показательной функции применяются при решении
математических задач
7. Закрепление новых знаний
а) Устно.(студенты выбирают верный ответ, обосновывая выбор )
1.«Выбери показательную функцию».
а) Функции заранее записаны на доске
1
13
2
g ( x)  ( ) x ;
y  ( )x ;
;
h( x )  2 x ;
у  0,75 x ;
y  x2 ;
y  x2 ;
7
3
x
x
x
у  1,3 .
y  0,9 ;
у  0,5 ;
б). Из предложенного списка функций, возрастающую показательную функцию,
слайде 37 )
x
x
у  3x
1
f ( x)  0,5 ;
g ( x)    ;
h( x )  2 x ?
4
 
2.Верно ли, что показательная функция:
• имеет экстремумы;
• принимает значение, равное 0;
• принимает значение, равное 1;
• является чётной;
• принимает только положительные значения;
• принимает отрицательные значения?
7. Вторая часть урока. Актуализация познавательного интереса к изучаемой
теме Логарифмическая функция
а) Повторение понятий степени числа и логарифма числа. слайд 38
б) Предлагается решить студентам задания устной разминки – Морской бой. слайд
39 Называя координаты ячейки и открывая её, считаем логарифмы. В некоторых ячейках
есть буквы. После решения всех заданий из этих букв выстраивается фамилия Непер –
математик, изобретатель логарифмов. краткая справка о Джоне Непере слайд 40
№
1
2
3
4
log5 7
a
1
log 2 log 3 81
log 3 3
y  125
log 3 (2 ) Е
4
2
12
b
log 2 2
log 2 2
lg 0,01 Н
7log7 Е
c
log 169 13
4log
log 3 9 1
log 1 125 Р
0, 5
2
5
п
d
4
7
1
log 10 10
log 2 32
log 2 lg 10
( ) log2
2
На слайде 41 появляется портрет великого математика – Леонарда Эйлера и краткая
справка о нём.
Вопрос: Как вы думаете в связи с чем появился портрет этого учёного?
Определение логарифмической функции – это заслуга Леонарда Эйлера.
8. Определение логарифмической функции слайд 42
Определение взаимно-обратной функции, взаимное расположение графиков
взаимно-обратной функции.
Показательная и логарифмические функции являются взаимно-обратными.
График логарифмической функции симметричен графику показательной функции
относительно прямой у = х.
Студентам предлагается сделать эскизы графиков при a > 1 для y  а x и y  log a x
в одной и той же координатной плоскости.
Определите область определения, область значений логарифмические функции, зная
область определения, область значений показательной функции.
Правильность эскизов проверяется с помощью слайд 43.
Практическая работа: построить графики функций y  log 2 x (1 вариант) и
y  log 1 x (2вариант). Правильность табличных результатов и графиков проверяется с
2
помощью слайд 44.
х
y  log 1 x
8
-3
4
-2
2
-1
1
0
0,5
1
0,25
2
0,25
-2
05
-1
1
0
2
1
4
2
8
3
2
х
y  log 2 x
На слайде 45 задание по графику определить функцию
Студентам предлагается сделать эскиз графика функции y  log a x и описать его
свойства при a > 1(1 вариант) и при 0 < a <1 (2 вариант). Проверка – слайд 44.
После проверки свойств графиков функций, учитель просит учащихся сделать
вывод о свойствах логарифмической функции (слайд 46).
Физминутка (исходное положение - сидя, каждое упражнение повторяется 3-4
раза):
1. Откинувшись назад, сделать глубокий вдох, затем, наклонившись вперед, выдох.
2. Откинувшись на спинку стула, прикрыть веки, крепко зажмурить глаза, не
открывая век.
3. Руки вдоль туловища, круговые движения плечами назад и вперёд.
9. Применение логарифмической функции.
Широкое применение нашла логарифмическая функция в астрономии:
Например по ней изменяется величина блеска звезд, если сравнивать
характеристики блеска отмеченные глазом и с помощью приборов, то можно составить
следующий график:
Рис 4 –Величина блеска звёзд
Здесь по вертикальной оси отложим блеск звезд в единицах Гиппарха
(распределение звезд по субъективным характеристикам (на глаз) на 6 групп), а на
горизонтальной - показания приборов.
По графику видно, что объективные и субъективные характеристики не
пропорциональны, а прибор регистрирует возрастание блеска не на одну и ту же
величину, а в 2,5 раза. Эта зависимость выражается логарифмической функцией.
Ещё одно применение логарифмической функции можно найти, если рассматривать
логарифмическую спираль.
Рис 5 Логарифмическая спираль
Спираль, по определению - это плоская линия, образованная движущейся точкой,
которая удаляется по определенному закону от начала луча, равномерно вращающегося
вокруг своего начала. Если начало спирали выбрать за полюс полярной системы
координат, то математически спираль может быть представлена с помощью некоторого
полярного уравнения r = f(j), где r - радиус-вектор спирали, j - угол, откладываемый на
полярной оси, f(j) - некоторая монотонно возрастающая или убывающая положительная
функция. В случае с логарифмической спиралью точка удаляется по экспоненциальному
закону ( , где a произвольное положительное число).
Если взглянуть на форму многих галактик, то можно обнаружить, что некоторые из
них имеют форму логарифмической спирали.
Галактика млечный путь - типичная спиральная галактика.
Но форму логарифмической спирали имеют не только объекты астрономии, но и
например: ракушки многих улиток, рога козлов, паутина паука , семечки подсолнуха.
В физике тоже есть немало примеров применения логарифмической функции и
логарифмов.
Например, подобно оценки блеска звезд, оценивается громкость шума. Единицей
громкости служит «бел», практически его десятая доля – децибел. Последовательные
степени громкости 1 бел, 2 бела и т.д. – составляют для нашего слуха арифметическую
прогрессию. Физическая сила этих шумов составляет геометрическую прогрессию со
знаменателем 10. Разности громкости в 1 бел соответствует отношение силы шумов 10.
Это значит, что выраженная в белах громкость шума, равна десятичному логарифму его
физической силы.
Заметим, что в физике, при проведении научных, экспериментальных расчетов
показательная, логарифмическая функции, экспонента и логарифмы применяются очень
широко, но как правило не как описание отдельного процесса или комплекса процессов, а
входят в состав сложных уравнений и систем уравнений и формул, описывающих данный
процесс.
Также широкое применение нашла логарифмическая функция и в экономике:
Например капитал, приносящий 5%, увеличивается ежегодно в 1,05 раза, не слишком
впечатляющее возрастание, если рассматривать его на небольшом промежутке времени (в
несколько лет), а если рассмотреть размер этой суммы через десять, сто лет или даже
более долгий срок, то увеличение будет более чем значительным.
Задача. Население города возрастает ежегодно на 3%. Через сколько лет население
этого города увеличиться в 1,5 раза? Решение на слайде 60
Логарифмическая функция крайне важна в экономике, физике, при проведении
научных, экспериментальных расчетов, астрономии и др. Форма логарифмической
спирали присуща многим природным объектам
Построить график логарифмической функции
10. Итоговое закрепление. Блиц - опрос – графический диктант, чтобы
проверить себя, на сколько каждый понял изученный материал (слайд 62) .
Необходимо ответить только «да» или «нет». Проверяется сразу.
Вопросы:
1. Ось у является вертикальной асимптотой графика логарифмической функции.
2. Графики показательной и логарифмической функций симметричны относительно
прямой у = х.
3. Область определения логарифмической функции – вся числовая прямая, а
область значений этой функции – промежуток (0;)
4. Монотонность логарифмической функции зависит от основания логарифма.
5. Не каждый график логарифмической функции проходит через точку с
координатами (1; 0).
6. Логарифмическая кривая это та же экспонента, только по-другому
расположенная в координатной плоскости.
7. Выпуклость логарифмической функции не зависит от основания логарифма.
8. Логарифмическая и показательная функции не являются функциями общего
вида.
9. Логарифмическая функция имеет наибольшее значение и не имеет наименьшего
значения при а > 1 и наоборот при 0 < a < 1.
Проверка: да, да, нет, да, нет, да, нет, да, нет. слайд 63
11.Домашнее задание: Учебник, стр.216-218, 229-231 – учить правила
№ 445(а, б),№ 449(б, в), № 504(а, в).
12. Подведение итогов и результатов работы на уроке (рефлексия).
Рефлексия
1. О чем вы не имели представления до сегодняшнего урока и, что теперь вам стало
ясно?
2. Что нового вы узнали о логарифмической и показательной функциях и их
приложениях?
3. Какая информация вас заинтересовала?
4. С какими трудностями вы столкнулись при решении нестандартных заданий?
5. Понравился ли вам сегодняшний урок?
6. Вы считаете, что урок прошел плодотворно, с пользой.
7. Вы научились и можете помочь другим.
8. Вы считаете, что научились, но вам еще нужна помощь.
9. Вы считаете, что было трудно на уроке.
10. Оцениваю тестовую работу, работу по карточкам, устную работу, сообщение,
работу у доски