ГлАВА 3 Надежность восстанавливаемого элемента

ГЛАВА 3 НАДЕЖНОСТЬ ВОССТАНАВЛИВАЕМОГО
ЭЛЕМЕНТА
В главе 2 рассмотрена работа элемента, работающего до первого отказа.
Теперь будем полагать, что после отказа элемент может быть восстановлен.
Восстановление - процесс обнаружения и устранения отказа с целью
восстановления работоспособности объекта.
Восстанавливаемый объект - объект, работоспособность которого в случае
возникновения отказа подлежит восстановлению в рассматриваемой ситуации.
Пример:
Ретранслятор
в
системе
космического
телевидения
может
рассматриваться как восстанавливаемый объект в случае отказов типа сбоев.
При
определении
типа
объекта
(восстанавливаемый
или
невосстанавливаемый) следует учитывать его назначение в данном конкретном
применении. Объекты могут быть в принципе ремонтируемыми, но в данном
рассмотрении невосстанавливаемыми.
Пример.
При
решении
расчетной
задачи
на
ЭЦВМ
она
должна
рассматриваться как невосстанавливаемый объект, так как после восстановления
ЭВМ не может продолжить выполнение возложенных на нее функций
(выполнение расчета).
Процесс восстановления может носить различный характер:
* объект подвергается ремонту;
* заменяется новым.
Замечание 1: Будем считать, что после восстановления объект полностью
восстанавливает все свои исходные свойства. С точки зрения анализа надежности
несущественно, каким образом происходит восстановление, важным является
лишь то, что свойства объекта полностью восстанавливаются.
Математические модели восстанавливаемых объектов:
С точки зрения математических моделей процесса восстановления объектов
ВЭ разделяют на две группы:
* мгновенно восстанавливаемые элементы (МВЭ), у которых время
восстановления пренебрежимо мало по сравнению с временем работы до


отказа   T ;

* элементы с конечным временем восстановления (ЭКВВ), у которых 

и T соизмеримы.
Подразделение
восстанавливаемых
элементов
на
мгновенно
восстанавливаемые и с конечным временем восстановления зависит от
конкретной постановки задачи исследования на надежность.
Пример: при сбоях ретранслятор в системе космического телевидения может
рассматриваться как мгновенно восстанавливаемый элемент; в то же время при
сбоях буферной ЭВМ (см. рис. 4,5) необходимо рассматривать ее как элемент с
конечным временем восстановления, поскольку сбой приводит к значительной
потере рабочего времени центральной ЭВМ.
§ 3.1.
Определение
процесса
восстановления
для
мгновенно
восстанавливаемого элемента (МВЭ)
Оговорим математическую модель процесса восстановления для МВЭ. Пусть
элемент начал работать в момент t=0 и проработав случайное время Т1 отказал в
момент t1= Т1 и тут же мгновенно восстановился. Проработав случайное время Т2
отказал в момент времени t2= Т1+Т2 и тут же мгновенно восстановился. Этот
процесс неограниченно продолжается.
N
Моменты
времени
t N   TN
n1
называются
моментами
отказов
или
восстановлений. Они образуют случайный поток сложных событий, состоящих в
очередном отказе и восстановлении. Этот случайный поток событий назовем
процессом восстановления для МВЭ. Заметим, что этот поток однородный,
поскольку состоит из событий одного типа.
Для определения характеристик потока восстановления необходимо ввести
исходные допущения и предположения:
1. Времена работы до отказа Тn , n=1,2,... - независимые случайные величины.
2. Времена работы до отказа Тn , n=1,2,... - одинаково распределенные
случайные величины с функцией и плотностью распределения соответственно
 n=1,2,...
Fт (t)=P{ Тn  t}=1-P(t),
W(t)=F'т(t)=-P'(t) ,
(3.1)
где P(t) - функция надежности невосстанавливаемого элемента, положенного
в основу модели МВЭ. Отсюда следует, что для определения характеристик
времен до отказа Тn , n=1,2,... мы можем воспользоваться формулами,
полученными в гл. 2 для невосст. эл-та. В частности, средняя длительность
работы восстанавливаемого элемента между (n-1) - ым и n - ым отказом может
быть определена по ф-ле (2.8)



0
0
T n   P( t)dt   [1  F(t)]dt,n  12
, ,...
(3.2)
а дисперсия этой длительности по ф-ле (2.9)


0
0
D Tn  2 t  P( t)dt  [  P( t)dt] 2 ,n  12
, ,...
При
введенных
Существуют
и
др.
допущениях
более
( 3.3)
процесс
сложные
восстановления
математические
наз. простым.
модели
процесса
восстановления для МВЭ, в которых, например, времена Тn , n=1,2,...
распределены неодинаково и являются зависимыми случайными величинами.
§ 3.2. Основные показатели надежности для МВЭ.
1. Распределение числа отказов N(t) на интервале [0,t] и момента tN N-го
восстановления.
Сделаем
сначала замечание о характере случайного процесса N(t) и
случайной величины tN. Условимся считать, что если t=tN, то N-ый отказ
(восстановление) произошел.
Случайный процесс N(t)=max{N: tN  t} имеет ступенчатые непрерывные
справа траектории с единичными скачками в моменты отказа (восстановления).
При фиксированном t N(t) следует рассматривать как дискретную случайную
величину со спектром значений N(t)=0,1,2,,...
N
Случайная величина t N   TN будет непрерывной в силу непрерывности с.в.
n1
Тn , n=1,2,...
Найдем распределение числа отказов N(t) на инт. [0,t]. Поскольку N(t) дискретная с.в., то необходимо найти вероятности
P{N(t)=N} при 0,1,2,...,
которые
исчерпывающе
характеризуют
с.в.
N(t).
Для
этого
определим
вероятность
N
P{N(t)  N}=P{ tN  t}=P{  TN  t }=FN(t)
n 1
(3.4)
где FN(t) - ф-я распределения с.в.
При N=1 получим из (3.4)
P{N(t)  1}= P{ t1  t}= P{ T1  t}=F(t)=1-P(t)= F1(t),
(3.5)
где F(t) и P(t) определяются из (3.1)
N
Пусть теперь N  2. С.в. t N   TN представляет собой сумму N независимых
n1
одинаково распределенных с.в. Тn , n=1,2,... Из теории вероятностей известно, что
ф-я распределения суммы N независимых одинаково распределенных с.в.
определяется N - мерной сверткой их одномерных законов распределений.
Символически N - мерная свертка ф-ий распределения F(t) записывается в виде
FN(t)=F(t)• F(t) •...• F(t)
(3.6)
N раз
а в развернутом
t
FN(t)=(s)  FN1 ( t  )dF( ) , N  2
(3.7)
0
где FN-1( ) - (N-1)-мерная свертка ф-ий распределения F(t). Здесь приведенный
интеграл понимается как интеграл Стилтьеса ф-ии FN-1( ) по ф-ии F( ). Известно,
что если FN-1( ) непрерывна, а F( ) имеет ограниченное изменение
maxF( )  minF( ),  [0, t]


то интеграл Стилтьеса существует. Эти условия в данном случае
выполняются. Также известно, что если FN-1( ) - интегрируема в смысле Римана на
[0,t], а F( ) - непрерывная во всем промежутке [0,t] и имеет в нем, исключая быть
может лишь конечное число точек производную F'(t), которая в [0,t] абсолютно
интегрируема1), то
t

t

FN(t)=(s) FN1 ( t  )dF( ) = (R) FN1 ( t  )F ( )d
0
(3.8)
0
В (3.7) последний интеграл понимается в смысле Римана.
Т.о. найденные соотношения (3.5) - (3.8) определяют ф-ию распределения с.в.
tN. Ее плотность распределения
WN(t)= FN'(t)
(3.9)
Определим хар-р изменения FN(t) с изменением t и N. Из (3.4) следует, что
а) с увеличением t при фиксированном N FN(t) увеличивается и
lim FN (t )  1
t 
FN ( t)  0
б) с увеличением N при фиксированном t FN(t) уменьшается и Nlim

FN(t) по N дискретно, а по t непрерывно
Найдем теперь распределение числа отказов N(t) на инт. [0,t], определив
вероятность появления N отказов на инт. [0,t]
PN ( t)  P{N( t)  N}  P{N( t)  N}  P{N( t)  N  1}  P{ tN  t}  P{ tN1  t} 
 FN ( t)  FN1 ( t),N  01
, ,...
(3.10)
где FN(t) определяется из (3.5)-(3.8) в частности при N=0
P0 (t)  F0 (t)  F1 (t)  1  F(t)  P(t)
где P(t) - ф-я надежности соответствующего невосстанавливаемого элемента.
2. Функция восстановления - среднему числу отказов, происшедших на инт.
[0,t]


n1
n1

H( t)  N( t)  MN( t)   n  Pn ( t)   n  [FN ( t)  FN1 ( t)] 
Можно показать, что H(t) всегда конечна при t   , т.е. ряды сходятся,
причем абсолютно. Тогда можно произвольным образом группировать их члены.

 F1 ( t)  F2 ( t)  2F2 ( t)  2F3 ( t)  3F3 ( t)  3F4 ( t)  Fn ( t)
(3.11)
n1
где Fn ( t) определяются из (3.5)-(3.8). H(t) - неубывающая ф-я.
3. Плотность восстановления. Если существует производная H'(t), то
плотность восстановления


n=1
n1
h( t)  H (t) = ( Fn ( t))    Wn ( t)
(3.12)
Определим физический смысл h(t)
H( t)  H( t)t  o( t)
Отсюда
H( t)  h( t) 
H( t)
,[h( t)]  [ t] 1
t
т.е. h(t) численно равна среднему числу отказов на интервале единичной
длины, при условии, что эта единица мала.
4. Среднее число отказов на [t1, t2]



N( t 1, t 2 )  M [N( t 2 )  N( t 1 )]  N( t 2 )  N( t 1 )  H( t 2 )  H( t 1 )
§
3.3.
Показатели
надежности
МВЭ
(3.13)
при
экспоненциальном
и
нормальном распределении длительностей интервалов между моментами
отказов
Вычисление N - кратных сверток в общем случае представляет значительные
трудности. В конечном виде результаты м.б. получены только для некоторых
элементов надежности. Рассмотрим один из них.
1. Пусть длительности интервалов Тn , n=1,2,... распределены по
экспоненциальному закону
F(t)  1  e  t
При этом поток восстановления будет простейшим (стационарным,
одинарным, без последствия). Для такого потока вероятность того, что на [0,t]
произойдет N событий (отказов) определяется формулой Пуассона.
(t)N t
P{N( t)  N} 
e
N!
(3.14)
т.е. распределение числа отказов на инт. [0,t] найдено сразу.
Ф-я восстановления
(t)n t  (t)n t
H( t)   n  Pn ( t)   n 
e 
e  t
n!
n1
n1
n1 (n  1)!


(3.15)
Плотность восстановления
h(t)=H'(t)= 
(3.16)
Среднее число отказов на [t1, t2]

N( t 1, t 2 )  H(t2)- H(t1)=
 ( t2- t1)
(3.17)
Момент N - го отказа tN распределен по закону Эрланга (N-1) - го порядка
(t)N1 t
WN ( t) 
e
(N  1)!
(3.18)
2. Пусть длительности интервалов Тn , n=1,2,... распределены по нормальному
закону
t


( t  T) 2
tT
F(t) 
  exp{ 
}  Ф(
)
2D T
2D T 
DT
1
Сумма двух независимых нормальных с.в. имеет нормальное распределение
со средним, равным сумме средних слагаемых и дисперсией, равной сумме
дисперсии слагаемых. Тогда по индукции для произвольного числа слагаемых N

t NT

FN ( t)  Ф(
t  NT
ND T
ND T
1
)

2

t2
exp(  )dt
2

P{N( t)  N}  FN ( t)  FN1 ( t)  Ф(

t  nT
n1
n1
nD T
H( t)   Fn ( t)   Ф(

ND T
)  Ф(
t  (N  1) T
(N  1)D T
)




t  nT
n1
nD T
h( t)  H( t)   Ф (
t  NT

)

)

n1
N( t 1, t 2 )  H(t2)- H(t1)=  [Ф(
n1

1
2ND T
exp{ 

t2  n T
nD T
( t  n T) 2
2 nD T
}

)  Ф(
t1  n T
nD T
)]
§ 3.4. Асимптотическое поведение процесса восстановления для МВЭ
Выше нами были получены соотношения, характеризующие процесс
восстановления для МВЭ в общем случае. Было указано, что при этом
вычисление характеристик потока восстановления представляет серьезные
трудности. Эти трудности могут быть в значительной мере преодолены, если
интервал наблюдения [0,t] велик, т.е. когда можно считать, что до момента t
произошло значительное число отказов. Изучение характеристик потока
восстановления при t   связано с рассмотрением его асимптотических свойств.
Рассмотрим некоторые из них. Эти свойства, вообще говоря, будут
приведены при более широких условиях, чем оговоренные ранее (непрерывность
с.в. T и дифференцируемость F(t)).
1. Для любого закона распределения F(t) времени до отказа Т
H( t) 1
 
t t
T
lim
(3.19)


где T  MT  , 1   0, если T  
T
Это свойство м.б. сформулировано следующим образом: для большого
временного интервала среднее число отказов, приходящихся на единицу времени
 величине, обратной среднему времени до отказа элемента. Т.е. среднее число
отказов, приходящихся на единицу времени при t   не зависит от t и =const
2. Теорема Блекуэлла
Если время до отказа Т распределено непрерывно, то при любом t  0
lim[H( t  t)  H( t)] 
t
t
T
(3.20)


Здесь также не требуется, чтобы T было конечным, если T   , то t   0 .
T
Таким образом (3.20) означает, что среднее число отказов, происшедших на
интервале фиксированной длительности t , не зависит от t.
3. Теорема Смита
Если время до отказа Т распределено непрерывно, а R(t) невозрастающая и
интегрируемая (по Риману) на (0,  ) функция (т.е. принадлежащая классу (0,  ) ),
то

t
1
lim  R( t  )dH( )   R( t)dt
t
T0
0
(3.21)

Здесь по прежнему м.б. T   . Эта теорема примечательна тем, что с ее помощью
возможно изучение различных предельных свойств процесса восстановления
путем использования различных ф-ий R(t).
W ( t)  0 , то
4. Если lim
t
lim h( t) 
t
1

T

Здесь также м.б. T   .
5. Вероятность безотказной работы на инт. [t,t+  t]
(3.22)
lim P( t, t  t) 
t 
1

T

1

 [1  F(t)]dt   P( t)dt ,
(3.23)

T
t
t
где P(t) и F(t) - соответственно ф-я надежности и интегральная ф-я распределения
времени Т.
6. Число отказов N(t) имеет асимптотически нормально распределение со
D t
средним t  и дисперсией T  3 , т.е.
T
T
N( t) 
lim P{
DTt
t 
t

T  N} 
 3
N
x2
 exp(  2 )dx
2  
1
(3.24)
T
Сделаем 2 замечания
1.
является
h(t)
точечной
(локальной)
характеристикой
процесса
восстановления, а H(t) - интервальной. Поэтому, очевидно, свойство 4 более
общее, из него должны следовать свойства 1,2. Доказать самостоятельно.
Док-во1-го свойства:
Из определения плотности восстановления
h(t)=H'(t)
t
t
t
0
0
0
 h()d   H( )d  h( )d H( t)
t
H( t)
lim
 lim
t 
t 
t
 h( )d
0
t
 lim h( t) 
t 
1

T
Док-во 2-го свойства:
lim[H( t  t)  H( t)]  lim[
t
t
t  t
 lim
t
 h()d 
t
Произведем замену
t  t
t
0
0
t
t  t
t
0
t
0
 h()d   h()d]  lim[ h()d   h()d   h()d] 
t
y    t  {   tt,yt0,y t , d  dy,   y  t
t
t
0
0
 lim  h( y  t)dy   lim h( y  t)dy 
t 
t 
t

T
2. Свойства 1,2,4,5 выполняются для экспоненциального закона надежности
при произвольном t. Показать самостоятельно
1-е свойство
H( t) t
1

 
t
t
T
2-е свойство
H( t  t)  H( t)  ( t  t)  ( t)    t 
t

T
4-е свойство
h( t)   
1

T
5-е свойство
P( t, t  t) 
1


 e t dt  
T t
1 1  t 
 t
e | t = e
 

T
В то же время из результатов п.1 § 2.1.
P( t, t  t)  e  t
§ 3.5. Определение процесса восстановления для элемента с конечным
временем восстановления (ЭКВВ)
Ранее мы полагали, что восстановление отказавшего элемента происходит
мгновенно. Это, естественно, является идеализированным случаем, поскольку
зачастую восстановление требует времени, которым нельзя пренебречь. Время
восстановления складывается из времени обнаружения неисправного элемента и
времени замены отказавшего элемента новым или его ремонта.
Оговорим математическую модель процесса восстановления для ЭКВВ.
Пусть элемент начал работать в момент времени t=0. Проработав случайное время
Т1 отказал в момент времени t10=Т1. Восстанавливается в случайное время 1 до
момента t1В=Т1+ 1 . Этот процесс неограниченно продолжается. На рис.23
обозначено:
Тn , n=1,2,... - время работы элемента перед n-ым отказом;
 n , n=1,2,... - время n-го восстановления
N1
tN0= ТN +  ( Tn   n ) - момент N-го отказа N=1,2,...
N1
N1
tNB=  ( Tn   n ) - момент N-го восстановления N=1,2,...
N1
Момент времени tN0, tNB образуют случайный поток событий типа “отказ” и
“восстановление”. Этот случайный поток назовем процессом восстановления до
ЭКВВ. Этот процесс будет неоднородным.
Для определения характеристик потока восстановления необходимо ввести
исходные допущения и ограничения:
1. Время работы до отказа Тn , n=1,2,... и времена восстановления  n , n=1,2,...
взаимно независимые случайные величины
2. Времена работы до отказа Тn , n=1,2,... - одинаково распределенные случайные
величины с ф-ей плотностью распределения соответственно
FT ( t)  P{ Tn  t}  1  P( t) , n=1,2,...
(3.25)
WT ( t)  FT  ( t)  P ( t)
где P(t) - ф-я надежности соответствующего невосстанавливаемого элемента,
положенного в основу модели ЭКВВ. Отсюда следует, что в данном случае
справедливы также (3.2), (3.3)
3. Времена восстановления  n , n=1,2,... одинаково распределенные случайные
величины с ф-ей и плотностью распределения соответственно
F ( t)  P{ n  t}
(3.26)
W ( t)  F  ( t)
При введенных ограничениях процесс восстановления для ЭКВВ наз.
простым альтернирующим. Существует и др. более сложные модели процесса
восстановления для ЭКВВ, в которых, например, времена Тn ,  n , n=1,2,...
распределены неодинаково и являются зависимыми случайными величинами.
§ 3.6. Основные показатели надежности для элемента с ЭКВВ
Поток восстановления является неоднородным, Поэтому в общем случае
необходимо было бы изучать вероятностные характеристики числа отказов N0(t)
и числа восстановлений NВ(t), происшедших на интервале [0,t]. Однако, NВ(t)=
N0(t) либо NВ(t)= N0(t)-1, т.е. NВ(t) и N0(t) отличаются не более, чем на 1. Это дает
основание остановиться на рассмотрении одной из названных величин. Далее
будем рассматривать однородный поток событий, происходящих в моменты tNB,
N=1,2,..., т.е. займемся изучением вероятностных характеристик с.в. NВ(t) и
моментов tNB. При этом поток восстановления для ЭКВВ преобразуется к виду
рис. 23б. Из рис. 19,23 видно, что поток восстановления для ЭКВВ визуально
напоминает поток восстановления для МВЭ с той лишь разницей, что Тn
заменяется на Тn+  n . Однако, кроме этого из допущений, принятых в
§ 3.5.
относительно Тn,  n , n=1,2,... следует, что выполняются ограничения для с.в.
Тn+  n , n=1,2,..., аналогичные сформированным относительно с.в. Тn, n=1,2,... в §
3.1. Это замечание дает основание в задачах анализа характеристик потока
восстановления для ЭКВВ использовать результаты, полученные для МВЭ с
учетом замены Тn на Тn+  n , n=1,2,...
1. Распределение числа восстановлений NВ(t) на инт. [0,t] и момента tNB Nго восстановления
Здесь остаются в силе все предварительные замечания, сделанные в п.1 § 3.2.
Руководствуясь сделанным в начале настоящего § замечанием, определим
функцию распределения с.в. Тn+  n , n=1,2,...
t
t
0
0
F(t)   FT ( t  )dF ( )   F ( t  )dFT ( )
из (3.5) - (3.9) получим :
(3.27)
- ф-я распределения момента t1B первого восстановления
P{NB ( t)  1}  P{ t1B  t}  F(t)  F1B ( t)
(3.28)
- ф-я распределения момента tNB, N=2,3,... N-го восстановления
FNB(t)=F(t)• F(t)•... •F(t) (в символическом виде)
t
t
0
0
(3.29)
FNB(t)= (S) FN1 ( t  )dF( )  (R) FN1 ( t  )F ( )d (в развернутом виде) (3.30)
-плотность распределения моментов tNB, N=1,2,...
WNB(t)= F'NB(t)
(3.31)
где F(t) определяется из (3.27), FN-1( ) - (N-1) - мерная свертка ф-ий распределения
F(t)
Т.о. (3.28) - (3.31) определяют закон распределения с.в. tNB, N=1,2,...
Относительно характера изменения FNB(t) с изменением t и N справедливы
замечания, аналогичные сделанным в § 3.2. относительно характера изменения
FN(t).
Из (3.10) вероятность появления N восстановлений на [0,t]
PNB(t)=P{ NB(t)=N}= FNB(t)- FN+1,B(t)
(3.32)
где FNB(t) определяются из (3.28)-(3.30)
2. Функция восстановления равна среднему числу восстановлений,
происшедших на [0,t]. Из (3.11)


n1
n1
H( t)  MNB ( t)   n  P{NB ( t)  n} FnB ( t)
(3.33)
где FnB(t) определяются из (3.28)-(3.30)
3. Плотность восстановления равна среднему числу восстановлений на
интервале единичной длины, при условии, что эта единица мала

h( t)  H( t)  (  FnB ( t))  
n1

W
n1
nB
( t)
(3.34)
где WnB(t) определяется из (3.31)
4. Среднее число восстановлений на [t1, t2]

NB ( t 1 , t 2 )  M[NB ( t 2 )  NB ( t 1 )]  H( t 2 )  H( t 1 )
(3.35)
Среднее
5.
и
дисперсия
времени
между
соседними
моментами
восстановления


M( Tn   n )  T  
(3.36)
D  D T  D
(3.37)
К числу характеристик потока восстановления для ЭКВВ также относятся
коэффициенты готовности и простоя. Определим их несколько ниже, т.к. для их
вывода необходимы некоторые асимптотические свойства.
§ 3.7. Асимптотическое поведение процесса восстановления для ЭКВВ
Определим асимптотические свойства процесса восстановления для ЭКВВ
при t   , используя доказанные асимптотические свойства для МВЭ.
1. Для любого закона распределения F(t) с.в. Тn+  n из (3.19)
H( t)

t 
t
lim

1

где T    ,

1



( T  )
(3.38)

T 

 0 , если T    
2. Теорема Блекуэлла
Если с.в. Тn+  n распределена непрерывно, то при любом t  0 из (3.20)
lim[H( t  t)  H( t)] 
t 

t


T 
(3.39)

где T    
3. Теорема Смита
Если с.в. Тn+  n распределена непрерывно, а R(t) невозрастающая и
интегрируемая (по Риману) на (0,+  ) ф-я (т.е. принадлежит классу L1 (0, ) ), то из
(3.21)
t
lim  R( t  )dH(  ) 
t 


где T    
0

1


T 
 R( t)dt
0
(3.40)
WT   ( t)  0 , то из (3.22)
4. Если lim
t 
lim h( t) 
t 

1

(3.41)

T 

где T    
5. Вероятность безотказной работы на инт. [ t, t  t ] из (3.23)
lim P( t, t  t) 
t 

1


T 
 [1  F
T
( t)]dt
(3.42)
t
где F(t) - ф.р. с.в. Тn, определяемая из (3.27)
6.
Число
восстановлений
распределение со средним
t


( T  )
NB(t)
имеет
и дисперсией


t
NB ( t)    

( T  ) 


lim 

t 
(
D

D
)
t
T







3


(
T


)


асимптотически
нормальное
(D T  D  )t


( T  ) 3
N
x2
 exp(  2 )dx
2  
1
(3.43)
§ 3.8. Коэффициенты готовности и простоя
Различают нестационарный и стационарный коэффициенты готовности.
Нестационарный коэффициент готовности КГ(t) равен вероятности того,
что объект окажется работоспособным в заданный момент времени t.
Стационарный коэффициент готовности КГ(t) равен вероятности того,
что объект окажется работоспособным в момент времени
t   , т.е. в
установившемся стационарном режиме работы.
Найдем КГ(t).
Обозначим А - событие, состоящее в том, что в момент t элемент исправен.
Это событие может иметь место в момент времени t>0 после того, как произошло
N=0,1,2,... восстановлений (рис. 24). Тогда по формуле полной вероятности:

КГ(t)=P{A}=  P{ A NB ( t)  N}P{NB ( t)  N} 
N 0
 t
= P( t)    P{ A,NB ( t)  N
tNB  } WNB ()d
N1 0
(3.44)
Определим
tNB  } = P{TN1  tNB  t tNB  } 
P{A,NB ( t)  N
= P{ TN1  t  tNB tNB  } 

Поскольку ТN+1 не зависит от t NB   Tn   n , то условие можно опустить
n 1
=P { TN1  t  }  P( t  )
(3.45)
Подставляя (3.45) в (3.44) получим
t
t

N1 0
0
N1

КГ(t)= P( t)    P( t  )WNB ( )d  P( t)   P( t  ) WNB ( )d =
h(t)
t
t
t
0
0
0
= P( t)   P( t  )h( )d P( t)   P( t  )H( )d P( t)   P( t  )dH( )
(3.46)
Найдем КГ по определению
t
t


K г ( t)  lim P( t)   P( t  )dH( )  lim P( t)  lim  P( t  )dH( ) =
КГ= lim
t 
t 
t 
0
0

 t
=



1

T 
 P( t)dt 
0
T


T 
(3.47)
Таким образом, может быть второе определение КГ.
Стационарный коэффициент готовности - доля времени, в течении которого
объект находится в работоспособном состоянии на интервале [0,t] при t   .
Действительно,
N
1 N

Tn
lim  Tn

N N
T
n 1
lim N n1

  
N
N
t 
1
1
N
T 
( Tn   n )
lim  Tn  lim   n

N N
N N
n 1
n 1
n 1
Подчеркнем, что полученный результат справедлив для любых законов
распределения Т,  .
Для мгновенно восстанавливаемого элемента КГ(t)= КГ=1
Найдем КГ процесса восстановления при экспоненциальных законах времен
Т,  .


T1
КГ= 
 
1
1 
T  
T  
T 
T
Определим коэффициенты простоя.
Нестационарный коэффициент простоя КП(t) равен вероятности того, что
объект окажется неработоспособным в заданный момент времени
КП(t)=1- КГ(t)
Стационарный коэффициент простоя КП равен вероятности того, что
восстанавливаемый элемент окажется неработоспособным в момент времени
t   , т.е. в установившемся стационарном режиме работы.
K П ( t) =1- КГ
КП= lim
t 
Рассмотренные процессы восстановления в настоящей главе имеют широкое
приложение в качестве математических моделей многих процессов, далеко
выходящих за рамки теории надежности. Например:
а) альтернирующий процесс восстановления м.б. использован в задаче
наблюдения за множеством “целей” с КА. При этом интервалам времени, в
которые цель наблюдается, можно приписать событие “работа” ЭКВВ, а
интервалам времени, в которые цель не наблюдается - событие “восстановление”
ЭКВВ.
б) пусть с помощью счетчика регистрируется кол-во некоторых частиц,
попавших в определенный объем. Тогда, если задать распределение интервала
времени между моментами появления частиц и считать эти интервалы
независимыми, то распределение количества частиц, зарегистрированных на
определенном интервале, м.б. определено как число отказов МВЭ, происшедших
на этом интервале времени.