Операторы квантовой механики. Собственные

1. Понятие волновой функции
Согласно гипотезе Луи де Бройля свободному движению любой частицы можно
поставить в соответствие плоскую волну


i (ωt kr )
 r , t   ce
, (1)

где r - радиус-вектор произвольной точки пространства; t - время. Частота волны ω и

волновой вектор k связаны с энергией и импульсом частицы теми же соотношениями,
что и для квантов света:


E   ,
p  k ,
(2)
h
 1.05  10 34 Дж  с - постоянная Планка.
2

Подставляя ω и k из (2) в (1), получаем выражение для волны де Бройля
свободной частицы:
где  
i

( Et  pr )

 r , t   ce 
, (3)
С другой стороны, атомизм частицы заключается в том, что она всегда действует
как целое. Поэтому частица не может представлять собой образование из волн де
Бройля.
Квантовая механика исходит из статистического толкования волн де Бройля,
согласно которому
интенсивность волны де Бройля в какой-либо точке пропорциональна
вероятности обнаружить частицу в этом месте пространства.
Состояние квантовой системы описывается волновой функцией
 ψ, которая в
общем  случае является комплексной функцией радиус-вектора r и времени t:
   (r , t ) .
Физический смысл волновой функции заключается в том, что
вероятность нахождения частицы в момент времени в объеме
V определяется формулой:
 2
P    r , t  dV , (4)
V
где dV  dxdydz /в декартовой системе координат/.
Так как нахождение частицы в пространстве - событие достоверное, то должно
выполняться соотношение
2
  dV  1, (5)
V
где V - объем всего пространства.
2
Выражение (5) называется условием нормировки. Если интеграл от  сходится,
то волновая функция всегда может быть нормирована соответствующим выбором
постоянного коэффициента при ψ.
Из условия (5) видно, что нормированная функция ψ определена с точностью до
множителя, модуль которого равен единице, т. е. с точностью до множителя e i , где
α - любая действительная, константа. Эта неоднозначность не отражается на
физических результатах, так как математически все физические величины
определяются выражениями, содержащими
произведение ψ на комплексно
сопряженную функцию ψ* например- (4).
Следующим положением, лежащим в основе квантовой механики, является
принцип суперпозиции, который формулируется следующим образом:
Если квантовая система может находиться в состояниях, которые
описываются волновыми функциями ψ1 и ψ2, то она может находиться и в
состояниях, описываемых произвольной линейной комбинацией этих функций:
  c1 1  c2 2 ,
(6)
где C1, С2 - любые, не зависящие от времени комплексные числа.
Из принципа суперпозиции следует, что уравнение, описывающее изменение
волновой функции в пространстве и во времени, должно быть линейно
относительно .
2. Операторы физических величин

В общем случае под оператором ε понимается правило, по которому с каждой из


рассматриваемого класса функций U( r ) сопоставляется другая функция - V( r ). Это


правило символически записывается в виде умножения U( r ) на ε :

 
εU (r )  V (r ), (7)

  
Под ε может подразумеваться, например, умножение на r (ε  r ) ,
 

дифференцирование по координатам ε   , извлечение корня (ε  x ) и т.п.
Из всех возможных операторов для изображения физических величин в
квантовой механике используется лишь класс так называемых линейных
самосопряженных операторов, так как только они могут соответствовать физическим
величинам.

Оператор ε , называется линейным, если он обладает следующим свойством:



ε(C1U 1  C2U 2 )  C1εU 1 C 2 εU 2 , (8)
где U1, U2 - произвольные функции; С1 , С2 - произвольные постоянные.
Необходимость этого свойства непосредственно вытекает из принципа
суперпозиции; применение оператора не должно нарушать этот принцип.

Оператор ε называется самосопряженным, или эрмитовым, если
 

 

U1 * (r )ε U 2 (r )dV  U 2 (r )ε *U1 * (r )dV , (9)
V
V

где интеграл берется по всей области возможного изменения r .
Значение введения операторов в квантовую механику заключается в том, что все
связи между физическими величинами могут быть выражены на языке
операторов.
Основная идея применения операторов заключается в том, что с каждой
физической величиной ε /динамической переменной/ в квантовой механике
сопоставляется изображающий ее линейный /чтобы выполнялся принцип
суперпозиции/ и самосопряженный /чтобы значения были вещественны/

оператор ε .
Связь между операторами и измеряемыми динамическими переменными
устанавливается с помощью выражения для среднего значения величины ε ,
описываемой волновой функцией  :

ε   * ε dV ,
(10)
V

Так как оператор ε эрмитовый, это выражение может быть записано иначе:

ε    ε * * dV ,
(11)
Используя правило (10), запишем выражение для отклонения от среднего
значения в данном состоянии  : Δε  ε  ε и введем соответствующий эрмитов
оператор:
 
Δε  ε - ε, (12)
Теперь можно записать выражение для среднего квадратичного отклонения:
2
 
(ε)   * (ε )(Δε ) dV , (13)

которое, используя самосопряженность оператора ε приведём к виду
2
 2
(ε )   (ε ) dV , (14)
С помощью этого соотношения вычисляется среднее квадратичное отклонение
физической величины в произвольном состоянии.
Чтобы найти такие состояния, при которых ε имеет определенные значения,
приравняем правую часть выражения (l4) нулю:
 2
 (ε ) dV  0.(15)
Поскольку под интегралом стоит положительная величина, то из (15) следует
 2
( ε )  0 .
Модуль комплексного числа равен нулю, только когда само число равно нулю:

(ε )  0.

Учитывая определение оператора ε (12) и то, что в рассматриваемом состоянии
ε имеет определенное значение (ε  ε) , окончательно находим (ε - ε)  0 , или

ε  ε (16)

Так как ε - оператор, соответствующий физической величине ε , то (16)
представляет собой линейное уравнение для нахождения волновой функций 
состояния, в котором эта величина имеет значение ε .

В квантовой механике оператор ε часто является дифференциальным, т.е.
содержит операцию дифференцирования. В этом случае (16) - линейное однородное
дифференциальное уравнение.
В общем случае такое уравнение имеет нетривиальное /т.е. отличное от нуля/
решение только при некоторых определённых значениях Е, которые являются
параметрами (16) . Эти значения параметра ε  ε1 , ε 2 , ε 3 ,...ε n называются
собственными значениями оператора ε . Соответствующие им решения (16)

 1 , 2 , 3 ,... n называются собственными функциями оператора ε .
Параметры n, нумерующие собственные значения и собственные функции,
называются квантовыми числами.
Совокупность собственных значений оператора называется его спектром.
Если оператор имеет дискретные собственные значения, такой спектр
называется дискретным. В этом случае говорят, что величина имеет
квантованные значения.
Если собственные значения пробегают непрерывный ряд значений, такой спектр
его значений называется непрерывным.
Существуют такие состояния физической системы, которые описываются
различными
собственными
функциями
некоторого
оператора,
но
соответствуют одному и тому же собственному значению. Такие состояния
системы называются вырожденными, а число независимых собственных
функций, соответствующих одному и тому же значению оператора, краткостью вырождения.
Итак, мы определили, что

в состоянии, описываемом собственной функцией  оператора ε ,
физическая величина имеет значение, равное собственному значению этого
оператора.
В этом и заключается физическая интерпретация математического формализма
квантовой механики.
Явный вид некоторых операторов не релятивистской квантовой механики
приведен в таблице.
Физическая величина

Координата r ( x, y, z )

Импульс p ( p x , p y , p z )
Оператор
 
r  r ( x, y , z )


p  i

2
T 

2m

U  U ( x, y, z )
p2
Кинетическая энергия T 
2m
Потенциальная энергия
U ( x, y , z )
Полная энергия E 

p2
 U (r )
2m
(17)


2
H 
  U (r )
2m
3. Свойства собственных функций операторов
Собственные функции операторов квантовой механики обладают следующими
общими свойствами.

1. Если оператор ε имеет дискретный спектр собственных значений ε n , то
собственные функции этого оператора  удовлетворяют уравнению

ε n  ε n  n .(18)
Уравнение, комплексно сопряжённое (18) для квантового числа m,

ε * m *  ε m  m * .(19)
Умножаем (18) и (19) слева на  m * и  n соответственно, интегрируем по всей
области пространства и вычитаем из первого второе. В результате получаем
(ε n  ε)  m * n dV  0.
V
Отсюда следует

m
* n dV  0, (20)
при n  m - условие ортогональности собственных функций, соответствующих
разным собственным значениям оператора.
Физический смысл ортогональности собственных функций заключается в том,
что
при измерении физической величины с достоверностью получается значение ε n в
состоянии  n и ε m - в состоянии  m .
Кроме того, в соответствии с (15) функции дискретного спектра всегда могут
быть нормированы на единицу:

n
* n dV  0.(21)
V
Соотношения (20) и (21) могут быть объединены:
 m * n   mn , (22)
где символ Кронекера  mn определяется следующим образом:
1, если n = m;
(23)
0, если n  m.
Набор функций  n удовлетворяющий условию (22) , называется системой
ортонормированных функций, т.е. ортогональных и нормированных.
 mn 
{
2. Второе свойство собственных функций операторов заключается в том, что их
совокупность образует полную систему функций. Это значит, что
любая функция  , определенная в той же области переменных, что и
собственные функции  n , может быть представлена в виде ряда
   a n n , (24)
n
где суммирование выполняется по всем значениям квантового числа n.
Чтобы найти коэффициенты разложения a n , умножим (24) слева на  m и
проинтегрируем по всему пространству:

m
*dV   a n  m * n dV   a n mn  a m
n
n
Меняя индексы m на n, получаем выражение для коэффициентов разложения:
a n   n *dV .(25)
V
Умножим (24) на комплексно сопряженное выражение
 *   a m * m *, (26)
m
и проинтегрируем по всему пространству:
1   *dV   am * an  m * n dV   am * an mn   an
n
или
m
n
a
n
2
n
m
2
n
 1.(27)
Соотношение (27) - критерий того, что система функций  n нормирована
на единицу. Таким образом, в соответствии с (4)
вероятность нахождения физической величины в состоянии со
значением ε n равна квадрату модуля коэффициента a n в разложении
2
(24), т.е. определяется интенсивностью a n , с которой собственное
состояние  n представлено в состоянии  .
4. Уравнение Шрёдингера
Основное уравнение квантовой механики - уравнение Шредингера,
определяющее изменение волновой функции, т.е. состояния системы, в пространстве
и времени:


H  i
, (28)
t

где H - оператор Гамильтона системы; i - мнимая единица.
Это уравнение - основное уравнение динамики в квантовой механике, поскольку
позволяет найти волновые функции в любой момент времена, если известны вид

оператора H и начальные
условия.

Гамильтониан H /в отсутствие магнитного поля/ имеет вид (17) в уравнение
Шредингера (28) может быть записано явно:

2

  U (r , t )  i
.
(29)
2m
t

В случае стационарного, т.е. не изменяющегося во времени, внешнего поля U (r )

 
гамильтониан не зависит от времени H  H (r ) . В этом случае в (29) переменные могут
быть разделены:


 (r , t )  T (t ) (r ).(30)
Подставляя решения в виде (30) в (29) и обозначая постоянную разделения E, находим


H (r )
1 T
 E.
 
 (r )
T (t ) t

Отсюда следуют два уравнения для T и  (r ) :

T
 ET ;
(31)
t



H (r )  E  (r ),
(32)
i
i
E
t

Первое уравнение решается сразу: T (t )  const e
, a второе является уравнением
 
для собственных функций гамильтониана H (r ) . Таким образом, если система имеет
дискретный спектр энергии, то решение (30) имеет вид

 n (r , t )  e
E
i n t
 
n

(r ),
т.е. гармонически зависит от времени с частотой  :
E
 n  n , (34)

где En - собственное значение гамильтониана H .
(33)

Волновые функции  n (r ) , являющиеся решениями уравнения (32),
соответствуют состояниям системы, в которых энергия имеет определенные
значения. Такие состояния системы называются стационарными, а (32)
поэтому называется стационарным уравнением Шредингера.
Его явный вид
 2m


 (r )  2 ( E  U (r )) (r )  0,

(35)
Стационарные уровни энергии E1 , E2 , E3 ,...En нумеруются, как правило, в
порядке возрастания их абсолютного значения.
Стационарное состояние с наименьшим из всех возможных значений энергии
называется основным.
Волновые функции, являющиеся решениями уравнения Шредингера (29), должны
обладать следующими свойствами:
1. Волновые функции должны быть однозначны, непрерывны и конечны во всей
области пространства. Эти требования должны также выполняться, когда потенциал U
имеет поверхности разрыва. Необходимость однозначности и конечности волновой
функции достаточно очевидна из ее физического смысла /см. (4) и (5)/: вероятность
местонахождения частицы должна быть величиной конечной и однозначной. Кроме
того, так как волновая функция является решением дифференциального уравнения
вида (29), то она должна быть неразрывна, а также иметь однозначную, непрерывную и
конечную первую производную.
2. Если существуют области пространства, где U   , то в них везде   0 .
Частица, очевидно, не может находиться внутри этих областей. Непрерывность 
требует, чтобы на границе этой области   0 . Производные от  на границе могут
иметь разрыв.