Многокритериальные задачи принятия решений

72
3.
МНОГОКРИТЕРИАЛЬНЫЕ
РЕШЕНИЙ
ЗАДАЧИ
ПРИНЯТИЯ
3.1. Математическая модель многокритериальной оптимизации
В теории многокритериальной оптимизации (МКО) решаются
задачи принятия решений одновременно по нескольким критериям. Задача
МКО ставится следующим образом: требуется найти числа x1 , x2 ,..., xn ,
удовлетворяющие системе ограничений
(3.1)
g i x1 , x2 ,..., xn   bi , i  1,2,..., m ,
для которых функции
(3.2)
z k  f k x1 , x2 ,..., xn , k  1,2,..., K ,
достигают максимального значения.
Множество точек X  x1 , x2 ,..., xn  , удовлетворяющих системе (3.1),
образует допустимую область D  R n . Элементы множества D
называются допустимыми решениями или альтернативами, а числовые
функции f k , k  1,2,..., K – целевыми функциями, или критериями,
заданными на множестве D.
В формулировке задаче (3.1)-(3.2)
присутствует K целевых функций. Эти функции отображают множество
в множество F  R K , которое называется множеством
D  Rn
достижимости.
В векторной форме математическую модель МКО (3.1)-(3.2) можно
записать следующим образом:
f ( X )  ( f1 ( X ),..., f K ( X ))  max при X  D .
(3.3)

Здесь f ( X ) – вектор-функция аргумента X  D .
Впервые проблема МКО возникла у итальянского экономиста
В.Парето в 1904 г. при математическом исследовании товарного обмена. В
дальнейшем интерес к проблеме МКО усилился в связи с разработкой и
использованием вычислительной техники, и уже позднее стало ясно, что
многокритериальные задачи возникают также и в технике, например, при
проектировании сложных технических систем.
В отличие от задач оптимизации с одним критерием в МКО имеется
неопределенность целей. Действительно, существование решения,
максимизирующего несколько целевых функций, является редким
исключением, поэтому с математической точки зрения задачи МКО
являются неопределенными и решением может быть только
компромиссное решение. Например, при поиске плана предприятия,
макимизирующего прибыль и минимизирующего затраты очевидна
невозможность достижения обеих целей одновременно, так как чем
больше затраты, тем больше должно быть продукции и тем больше
прибыль.
73
Ввиду этого в теории МКО понятие оптимальности получает
различные толкования, и поэтому сама теория содержит три основных
направления:
1. Разработка концепции оптимальности.
2. Доказательство существования решения, оптимального в
соответствующем смысле.
3. Разработка методов нахождения оптимального решения.
3.2. Оптимальность по Парето
Если функции f1 , f 2 ,..., f K достигают максимум в одной и той же
точке X *  D , то говорят, что задача (3.3) имеет идеальное решение.
Случаи существования идеального решения в многокритериальной
задаче крайне редки. Поэтому основная проблема при рассмотрении
задачи (3.3) – формализация принципа оптимальности, т.е. определение
того, в каком смысле «оптимальное» решение лучше других. В случае
отсутствия «идеального решения» в задаче (3.3) ищется компромиссное
решение.
Для всякой альтернативы X  D вектор из значений целевых
функций
является
векторной
оценкой
 f1 X , f 2 X ,..., f K X 
альтернативы X . Векторная оценка альтернативы содержит полную
информацию о ценности (полезности) этой альтернативы для главного
конструктора системы, или, как принято говорить в системном анализе,
лица, принимающего решение (ЛПР). Сравнение любых двух исходов
заменяется сравнением их векторных оценок.
Пусть X 1 , X 2  D . Если для всех критериев f1 , f 2 ,..., f K имеют место
неравенства f k  X 2   f k  X 1  , k  1,2,..., K , причем хотя бы одно неравенство
строгое, то говорят, что решение X 2 предпочтительнее решения X 1 .
Условие предпочтительности принято обозначать в виде X 2  X 1 .
Определение (оптимальность по Парето). В задаче МКО точка
X 0  D называется оптимальной по Парето, если не существует другой
точки X  D , которая была бы предпочтительнее, чем X 0 .
Точки, оптимальные по Парето, образуют множество точек,
оптимальных по Парето (множество неулучшаемых или эффективных
точек) D p  D .
Оптимальные решения многокритериальной задачи следует искать
только среди элементов множества альтернатив D p . В этой области ни
один критерий не может быть улучшен без ухудшения хотя бы одного из
других. Важным свойством множества Парето D p является возможность
«выбраковывать» из множества альтернатив D заведомо неудачные,
74
уступающие
другим по
всем критериям.
Обычно решение
многокритериальной задачи должно начинаться с выделения множества
D p . При отсутствии дополнительной информации о системе предпочтений
ЛПР должно принимать решение именно из множества Парето D p .
В векторной оптимизации кроме множества Парето в общем случае
нет общих правил, по которому варианту X 2 отдается предпочтение по
сравнению с другим вариантом X 1 .
Часто решение многокритериальной задачи состоит в построении
множества Парето-оптимальных точек и дальнейшем выборе одной из них
на основе «здравого смысла» или с помощью какого-либо другого
критерия.
Во всех случаях задача многокритериальной оптимизации каким-то
способом сводится к задаче с одним критерием. Существует много
способов построения такого окончательного критерия, однако ни одному
из них нельзя заранее отдать наибольшее предпочтение. Для каждой
задачи этот выбор должен делаться ЛПР.
Заметим, что целевые функции отображают множество точек,
оптимальных по Парето D p  D  R n в множество Fp  F  R K , которое
называется множеством Парето.
3.3. Построение эффективной области для двух критериев
Пример 3.1. Пусть математическая модель задачи МКО с двумя
критериями имеет вид:
z1  2 x1  x2  max ,
z 2  2x1  3x2  max
при ограничениях:
 x12  x22  100
.

 x1  0, x2  0
Требуется определить множество точек, оптимальных по Парето.
Допустимая область D представляет собой четверть круга радиуса
10 с центром в начале координат, расположенную в 1-ом квадранте (рис.
3.1).
75
Рис. 3.1. Множество Парето-оптимальных точек
Найдем точки, оптимальные по критериям z1 и z 2 в отдельности.
Для этого построим векторы, имеющие направления векторов p1 2;1 и
p2 2; 3 , и перпендикулярно им – линии уровня. По линиям уровня
определяются оптимальные точки A и B , расположенные на окружности.
Проверим произвольную точку C  D на Парето-оптимальность.
Через неё проведём линии уровня целевых функций и рассмотрим конус,
образованный пересечением полуплоскостей, ограниченных этими
линиями и лежащих в направлении увеличения соответствующих целевых
функций (конус доминирования для альтернативы C ). На рис. 3.1 этот
конус закрашен. Очевидно, что точку C можно улучшить по обоим
критериям, и поэтому она не является эффективной. Множество
эффективных точек D p (точек, оптимальных по Парето) расположено на
дуге окружности AB . Таким образом, эффективные точки лежат только
между
точками
оптимума,
полученными
при
решении
многокритериальной задачи отдельно по каждому из критериев.
Найдем координаты точки A . Нормальный вектор к окружности
имеет координаты n1  2x1 ; 2x2  , а к линии уровня 1-ой целевой функции –
n2  2;1 . Из условия коллинеарности векторов следует, что их координаты
пропорциональны, то есть
2 x1 2 x2
. Значит, координаты точки

2
1
A
удовлетворяют системе уравнений
 x1  2 x2
.
 2
2
 x1  x2  100
Из решения системы следует, что точка A имеет координаты A4 5 ; 2 5  .
 20
30 
;
 .
Аналогично найдем, что точка B имеет координаты B
 13 13 
Пример 3.2. Для задачи, сформулированной в примере 3.1,
определить множество достижимости и множество Парето.
76
Рассмотрим, что происходит в пространстве критериев для
отображения с помощью вектора целевых функций.
Составим табл. 3.1, в которой поместим характерные точки
допустимой области и соответствующие им образы в пространстве
критериев.
Таблица 3.1
Точка в
области D
O
M
N
A
B
x1
x2
0
0
10
4 5  8,9
20
 5,5
13
0
10
0
2 5  4,5
30
 8,3
13
Образ точки в
множестве F
O
M
N
A
B
z1  2x1  x2
z 2  2 x1  3x2
0
10
20
10 5  22,4
70
 19,4
13
0
30
20
14 5  31,3
130
 36,1
13
Для двух заданных критериев на рис. 3.2 представлено множество
достижимости F  R 2 и множество Парето F p  F , являющееся образом
множества D p , оптимальных по Парето точек. Эти множества получены на
основе данных табл. 3.1.
Рис. 3.2. Множество достижимости и множество Парето
Множество F p на рис. 3.2 представляет собой дугу AB  . Для двух
критериев это множество образует «северо-восточную» границу
множества достижимости.
Таким образом, решением задачи МКО является множество точек,
оптимальных по Парето D p . Окончательный выбор всегда остается за
ЛПР.
77
3.4. Проблемы и классификация методов решения задач
многокритериальной оптимизации
При решении задач МКО приходится решать специфические
вопросы, связанные с неопределенностью целей и несоизмеримостью
критериев. Перечислим основные проблемы, возникающие при разработке
методов МКО.
1. Проблема нормализации критериев, то есть приведение
критериев к единому (безразмерному) масштабу измерения.
2. Проблема выбора принципа оптимальности, то есть
установление, в каком смысле оптимальное решение лучше всех
остальных решений.
3. Проблема учета приоритетов критериев, возникающая в тех
случаях, когда из физического смысла ясно, что некоторые критерии
имеют приоритет над другими.
4. Проблема вычисления оптимума задачи МКО. Речь идет о том,
как использовать методы линейной, нелинейной, дискретной оптимизации
для вычисления оптимума задач с определенной спецификой.
При решении многокритериальной задачи часто возникает
необходимость нормализации (нормирования) критериев f k ( X ) , то есть
приведение всех критериев к единому масштабу и безразмерному виду. В
дальнейшем будем считать, что все критерии неотрицательны, то есть
f k ( X )  0 для всех X  D .
Наиболее часто используется замена критериев их безразмерными
относительными
величинами:
k ( X ) 
fk (X )
fk
*
,
где
f k*  max f k ( X ) .
X D
Нормализованные критерии обладают двумя важными свойствами: вопервых, они являются безразмерными величинами, и, во-вторых, они
удовлетворяют неравенству 0  k  X   1 для любого X  D . Эти свойства
позволяют сравнивать критерии между собой.
Основные методы, применяемые при решении задач МКО,
представлены на рис. 3.3.
78
Методы решения
многокритериальных задач
Интерактивные
Метод
анализа
иерархий
Метод
эффективных
множеств
Лексикографическая
оптимизация
Метод
уступок
Аддитивные
Метод
главного
критерия
Мультипликативные
Сведение к
однокритериальным
Метод
свертки
Метод
целевого
программирования
Максиминные
Рис. 3.3. Классификация методов решения многокритериальных задач
В следующих пунктах приведенные здесь методы рассматриваются
более подробно.
3.5. Методы, основанные на свертывании критериев
Вместо K частных критериев f1 , f 2 ,..., f K рассматривается один
скалярный критерий, полученный путем комбинации частных критериев.
Различают аддитивный и мультипликативный методы свертывания
критериев.
3.5.1. Метод аддитивной свертки критериев
Пусть критерии соизмеримы, например, нормированы и определен
вектор
весовых
коэффициентов
критериев
  1 , 2 ,..., K  ,
характеризующих важность соответствующего критерия. Это значит, что
 i   j , если критерий f i имеет приоритет над критерием f j . При этом
K

k 1
k
 1 , k  0 .
Для аддитивного метода строится новая целевая функция
K
f  X    k f k  X 
k 1
и решается задача оптимизации скалярного критерия
z  f  X   max при условии X  D .
79
Можно доказать, что решение задачи со скалярным критерием является
эффективным для задачи (3.3).
Пример 3.3. Рассмотрим задачу МКО с двумя критериями
z1  x1  max
z 2  x2  max
при ограничениях
 x1  2 x2  2
.

 x1  0, x2  0
Решим задачу оптимизации по каждому критерию в отдельности.
Используя графический метод (рис. 3.4а), получим оптимальное решение
по первому критерию X 1  2; 0 и оптимальное решение по второму
критерию X 2  0;1 .
Рис. 3.4. Решение задачи оптимизации по двум критериям
На рис. 3.4б изображено множество достижимости F и указаны
значения z1,max  2 и z 2,max  1 . Выполним свертку критериев:
z  1 f1  X    2 f 2  X   1 x1   2 x2  max ,
где 1   2  1, 1  0,  2  0 .
Целевая функция является линейной, поэтому в зависимости от 1
и  2 оптимальными будут угловые точки допустимой области X 1 , или X 2 ,
1
2
или все точки отрезка X 1 X 2 . Полагая, например,  1   2  , получим
оптимальное решение X *  X 1*  2; 0 .
3.5.2. Метод мультипликативной свертки критериев
Для мультипликативного метода подход к решению аналогичен,
только целевая функция имеет вид
K
f  X    f k k  X  , причем
k 1
K
 k  1,
k 1
k  0 .
Основной и очень существенный недостаток методов свертывания
критериев состоит в субъективности выбора коэффициентов  k .
80
3.6. Метод главного критерия
Выбирается основной (главный) среди критериев. Пусть это,
например, f1  X  . Все остальные целевые функции переводятся в разряд
ограничений по приведенному ниже правилу.
В соответствии с требованиями ЛПР на все критерии
накладываются определенные ограничения, которым они должны
~
удовлетворять. Вводится система контрольных показателей
fk ,
относительно которых по всем критериям должны быть достигнуты
~
значения, не меньше заданных значений f k :
~
f k  X   f k , k  1,2,..., K .
После выбора основного критерия и установления нижних границ
для остальных критериев решается задача однокритериальной
оптимизации:
f1  X   max
при условиях
~
 f k  X   f k , k  1,2,..., K
.

X  D
Этот способ наиболее употребителен в инженерной практике.
Пример 3.4. Методом главного критерия решить задачу из
примера 3.3.
~
~
Назначим значения контрольных показателей: f1  0,4 , f 2  0,4 , и
пусть первый критерий выбран в качестве основного. Тогда получим
задачу с одним критерием:
z1  x1  max
при условиях
 x1  2 x2  2

.
 x2  0,4
 x  0, x  0
2
 1
Из
рис. 3.4а ясно, что оптимальным решением является
X  1,2; 0,4 , z max  1,2 . Заметим, что решение, полученное этим методом
может не быть эффективным.
*
3.7. Метод последовательных уступок
Другой способ носит название метода последовательных уступок.
В этом методе критерии нумеруются в порядке убывания важности. Пусть
критерии f1 , f 2 ,..., f K записаны в порядке уменьшения их важности. Тогда
должны быть выполнены следующие действия.
1-й шаг. Решается однокритериальная задача по 1-му критерию:
81
z1*  max f1 ( X ) .
XD
2-й шаг. Назначается разумная с инженерной точки зрения уступка
z1 , составляется и решается новая задача оптимизации по 2-му критерию:
z 2*  max f 2 ( X ) .
X D
f1  X  z1*  z1
3-й шаг. Назначается уступка для 2-го критерия z 2 , составляется и
решается задача оптимизации по 3-му критерию:
z 3*  max f 3 ( X ) .
X D
f1  X  z1*  z1
f 2  X  z 2*  z 2
Процесс назначения уступок по каждому критерию и решения
однокритериальных задач продолжается, пока не дойдем до последнего K
– го шага.
K -й шаг. Назначается уступка для K  1 – го критерия z K 1 ,
составляется и решается задача оптимизации по последнему K – му
критерию:
z*K 
max
fK ( X ) .
X D
f1  X  z1*  z1
f 2  X  z 2*  z 2
....
f K 1  X  z *K 1  z K 1
Основной недостаток методов, использующих ограничения на
критерии, состоит в субъективности выбора контрольных показателей и в
субъективности
выбора
уступок.
При
использовании
метода
последовательных уступок следует помнить, что уступки могут быть
несоизмеримы между собой, поэтому надо предварительно организовать
нормализацию критериев. Кроме того, в общем случае уже со 2-го шага
решение может оказаться не оптимальным по Парето.
Пример 3.5. В примере 2.5 была рассмотрена задача по критерию
максимизации общей прибыли от реализации готовой продукции.
Математическая модель была сформулирована в виде целевой функции
(2.5) и ограничений (2.6)-(2.7). Согласно оптимальному плану предприятие
должно изготовить 12 шкафов и 32 стола, и наибольшая прибыль составит
320 ден.ед.
Дополнительно предположим, что предприятие заинтересовано в
эффективном использовании оборудования. При этом известны цены за 1
час простоя оборудования каждого вида: для строгальных станков – 3
ден.ед., для фрезерных станков – 9 ден.ед., для шлифовальных станков – 2
ден.ед.
Требуется составить задачу оптимизации с двумя критериями и
решить ее методом уступок.
Обозначим через z2 суммарные издержки предприятия за простой
оборудования. Поскольку время простоя равно
82
144  (4x1  3x2 ) – для строгальных станков,
64  (2 x1  x2 ) – для фрезерных станков,
120  (2x1  3x2 ) – для шлифовальных станков,
то суммарные издержки равны
z 2  3144  4x1  3x2   964  2x1  x2   2120  2x1  3x2  ,
или
z 2  34x1  24x2  1248  min .
(3.4)
Система ограничений (2.6)-(2.7) при этом не изменяется:
4 x1  3x 2  144

2 x1  x 2  64 ,
2 x  3x  120
2
 1
x1  0 , x2  0 .
(3.5)
(3.6)
Задача оптимизации по второму критерию (3.4)-(3.6) решается в
Excel с использованием процедуры «Поиск решения» аналогично п.2.3.3.
Исходные данные и результаты оптимизации показаны на рис. 3.5.
Рис. 3.5. Исходные данные и результаты решения задачи (3.4)-(3.6)
Заметим, что целевая функция (3.4) содержит свободный член,
поэтому в ячейку D6 помещается одна из формул табл. 3.2.
Таблица 3.2
= B6*B4+C6*C4+1248
или
=СУММПРОИЗВ(B6:C6;B4:C4)+1248
На рис. 3.5 представлен оптимальный план выпуска мебели по
критерию минимизации издержек за простой оборудования: предприятие
должно изготовить 24 шкафа и 16 столов. При этом минимальные
издержки составят z 2,min  48 ден.ед. Как видим, этот план существенно
отличается от оптимального плана по критерию общей прибыли.
Решим теперь задачу с двумя критериями методом уступок. Для
первого критерия z назначим уступку z  8 , и в математическую модель
(3.4)-(3.6) добавим еще одно ограничение z  320  8  312 . Тогда получим
новую задачу оптимизации по второму критерию:
83
z 2  34x1  24x2  1248  min
(3.7)
при ограничениях
4 x1  3x 2  144
2 x  x  64
 1
2
,

2
x

3
x

120
1
2

8 x1  7 x 2  312
x1  0 , x2  0 .
(3.8)
(3.9)
Организация исходных данных задачи (3.7)-(3.9) на листе Excel
приведена на рис. 3.6.
Рис. 3.6. Исходные данные и результаты решения задачи МКО
В результате получен компромиссный план выпуска мебели,
состоящий в изготовлении 18 шкафов и 24 столов. Издержки за простой
оборудования составят z 2  60 ден.ед., а общая прибыль предприятия будет
равна z  312 ден.ед.
3.8. Методы целевого программирования
Название этой группы методов связано с тем, что ЛПР задает
определенные цели f1 , f 2 ,..., f K для каждого критерия. Задача МКО в этом
случае преобразуется в задачу минимизации суммы отклонений с
некоторым показателем p :
K
z    wk f k  X   f k
 k 1
1
p
p
  min , при XD,

(3.10)
где wk – некоторые весовые коэффициенты, характеризующие важность
того или иного критерия.
Задачу (3.10) можно конкретизировать в зависимости от значений
параметра p и заданных целей. В частности, при p  2 и wk  1 получим
задачу минимизации суммы квадратов отклонений:
84
z
K
 f k  X   f k*
2
 min при XD,
k 1
в которой минимизируется евклидово расстояние от множества
достижимости F до «абсолютного максимума» f *   f1* , f 2* ,..., f l*  в
пространстве критериев. Здесь f k*  max f k  X  .
X D
Осложнения,
обусловленные
несоизмеримостью
величин
f k  X   f k* , можно преодолеть с помощью нормализации критериев,
рассматривая следующую задачу оптимизации:
 f k  X   f k*

z  
f k*
k 1 

K
2


  min при XD.

(3.11)
Пример 3.6. Методом целевого программирования решить задачу
МКО из примера 3.3.
В условиях примера 3.3 имеем f1*  2 , f 2*  1, поэтому задача (3.11)
принимает вид
z
x1  22  x2  12
4

1
 min
при условиях
 x1  2 x2  2
.

 x1  0, x2  0
 x1  2 
2 z 2
При постоянном значении z линии уровня целевой функции
2

 x2  12
z2
 1 представляют собой эллипсы с центром в точке M 2; 1
и полуосями a  2 z и b  z . Необходимо найти минимальное значение z ,
для которого соответствующий эллипс будет иметь общие точки с
областью D. На рис. 3.7 показано графическое решение данной задачи.
Рис. 3.7. Решение задачи методом целевого программирования
 
Оптимальной является точка X *  1; 1 2 .
85
3.9. Методы гарантированного результата
Рассматриваются методы, которые дают наилучший результат даже
для самого наименьшего из критериев, а именно, компромиссное решение
находится путем решения следующей задачи оптимизации:
z  min f k  X   max при X  D .
k 1, 2,...,K
Это есть максиминная задача. С учетом нормализации критериев
методы гарантированного результата образуют наиболее перспективное
направление в решении задач МКО.
Для нормализованных критериев k ( X ) 
fk (X )
fk
*
, где f k*  max f k ( X ) ,
максиминная задача формулируется в виде:
z  min k  X   max при X  D .
X D
(3.12)
k 1, 2,..., K
Остановимся на рассмотрении двух случаев, когда критерии
равнозначны и неравнозначны (с заданным приоритетом).
3.9.1. Равнозначные критерии
Задача (3.12) эквивалентна задаче
z    max
(3.13)
при условиях
  k  X , k  1,2,..., K
.

X  D
(3.14)
Задача (3.13)-(3.14) называется  -задачей. Она имеет линейную
целевую функцию и m  K ограничений. Если все функции f k и g i
линейны, то  -задача относится к линейному программированию. В этом
случае доказано, что оптимальное решение X *  -задачи оптимально по
Парето.
Пример 3.7. Требуется решить задачу из примера 3.3 методом
гарантированного результата с равнозначными критериями. Составим  задачу:
z    max
при условиях
x1

  2

.
  x 2
 x1  2 x 2  2

 x1  0, x 2  0,   0
 
Оптимальное решение этой задачи есть X *  1; 1 2 , *  1 2 .
86
3.9.2. Критерии с заданным приоритетом
Рассмотрим только два критерия f1  X  и f 2  X  , и пусть 1  X  и
2  X  – соответствующие нормализованные критерии. Разобьем
допустимую область на две части D  D1  D2 так, что в области D1
выполняется неравенство 1  X   2  X  , то есть первый критерий имеет
приоритет над вторым, а в области D2 выполняется неравенство
1  X   2  X  , то есть второй критерий имеет приоритет над первым.
Для числовой характеристики приоритета вводится коэффициент
связи p X  : 1  X   p X 2  X  , который показывает, во сколько раз
относительная оценка 1  X  больше 2  X  . Если X * – оптимальная точка
для равнозначных критериев, то pX *   1 .
Если X 1* – точка оптимума по 1-му критерию, то 1 X 1*   1 , 2 X 1*   1 ,
то есть X 1*  D1 , и значит pX 1*   1 . Аналогично, если X 2* – точка оптимума
по 2-му критерию, то 1 X 2*   1 , 2 X 2*   1 , и значит pX 2*   1 .
Предположим, что первый критерий имеет приоритет над вторым.
Тогда коэффициент p X  необходимо задать в интервале 1; pX 1* , а затем
составить и решить  -задачу, включив в систему ограничений равенство
1  X   p X 2  X  . В результате получим точку X * , которая будет
принадлежать множеству D1 , где 1-ый критерий имеет приоритет над 2ым.
Доказано, что для выпуклых задач МКО точка X * , являющаяся
решением  -задачи, единственная и оптимальна по Парето.
Пример 3.8. Требуется решить задачу из примера 3.3 методом
гарантированного результата с неравнозначными критериями при условии,
что 1-ый критерий имеет приоритет над 2-ым.
Так как X 1*  2; 0 , то 1 X 1*   1 , 2 X 1*   0 , следовательно,
 
1
  . В интервале 1;   зададим коэффициент связи p X   2 .
0
x
Тогда 1  X   22  X , или 1  2 x2 . Составим  -задачу:
2
z    max
p X 1* 
при условиях
x1

  2

  x 2
 x
1
.
  2 x2
2

 x1  2 x 2  2

 x1  0, x 2  0,   0

87
В результате решения задачи получим оптимальное решение
X  4 ; 1 , *  1 .
3 3
3
*


Недостаток рассмотренного метода состоит в субъективности
задания коэффициента связи p X  .
Решение задачи МКО методом гарантированного результата, как
правило, проходит следующие этапы.
 Разработка математической модели системы на основе заданных
целей и ограничений; при этом часто используется мнение экспертов.
 Предварительный анализ системы отдельно по каждому критерию;
используются методы и программные средства оптимизации с одним
критерием.
 Нормализация критериев.
 Решение задачи МКО при равнозначных критериях.
 Задание приоритетов критериев и решение задачи МКО с
назначенными приоритетами.