реферат - Исследование Операций. Теория и практика

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ
БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
Гуманитарный факультет
Кафедра информационных технологий
Реферат
Тема: «Многокритериальные задачи исследования операций»
Морозова Виктория Викторовна
Карасик Александр Геннадьевич
Шамко Виолетта Андреевна
Многокритериальные задачи исследования операций
Минск 2013
Многокритериальные задачи исследования операций
На практике во многих случаях успех операции оценивается не по
одному, а сразу по нескольким частным критериям, причем одни из них
следует максимизировать, другие - минимизировать (и наоборот). Такого рода
задачи
носят название многокритериальных, или задач векторной
оптимизации.
Многокритериальная задача затрагивает разнообразные интересы
участников, и характеризуется различными количественными показателями
эффективности ω1, ω2,… ωn. Решение, обращающее в максимум один какойто показатель, как правило, не обращает ни в максимум, ни в минимум
другие.
Поэтому
часто
применяемая
формулировка: «достигнуть
максимального эффекта при минимальных затратах».
Причинами появления многокритериальности являются:





Несколько субъектов
Нечеткость целей
Неопределенность
Динамика
Пример: максимум продукции при минимуме затрат и т.д.
Пример 1. Как осуществить выбор, если множеству Х соответствуют
внутренние точки фигуры на плоскости значений двух критериев ω1 и ω2?
Пример2. Организуется оборона важного объекта от воздушных
налетов. В нашем распоряжении — какие-то средства противовоздушной
обороны, которые надо разумным образом разместить вокруг объекта,
организовать их взаимодействие, распределить между ними цели, назначить
боезапас и т.д. Допустим, что каждый из самолетов противника,
участвующих в налете, является потенциальным носителем мощного
поражающего средства, которое, будучи применено по объекту, гарантирует
его уничтожение. Тогда главная задача операции — не допустить к объекту
ни одного самолета, а естественный показатель эффективности — вероятность
W того, что ни один самолет не прорвется к объекту. Но единственный ли
это важный для нас показатель? Безусловно, нет. При одной и той же
вероятности W мы предпочтем все-таки решение, при котором будет
погибать в среднем побольше самолетов противника. Отсюда второй
показатель эффективности М — среднее число пораженных целей, который
нам тоже хотелось бы максимизировать. Кроме того, нам далеко не все
равно, каковы будут наши собственные боевые потери П — еще один
критерий, который хотелось бы минимизировать. Желательно было бы,
кроме того, сделать поменьше средний расход боеприпасов R, и т. д.
Способы выбора альтернатив в условиях нескольких критериев:

построение обобщенного показателя на основе функций желательности
(полезности)

сведение многокритериальной задачи к однокритериальной

условная оптимизация

введение метрики в пространстве критериев

нахождения множества Парето
Построение обобщенного показателя на основе
функций желательности (полезности)
Обобщенная функция желательности задается
геометрическое частных желательностей.
W (d )  F (d1 ,..., d n )
W ( y )  F ( y1 ( x),..., yn ( x)) → d  f ( y )
j
j
j
0  d j 1
как
среднее
При этом, если какой-либо один отклик является абсолютно
неудовлетворительным обобщенная функция желательности D должна быть
равна 0 независимо от уровня.
Может оказаться, что изложенным условиям удовлетворяют две или
более систем. Тогда для выбора оптимальной из них следует воспользоваться
дополнительными экспертными оценками, например показателем обобщенной
функции желательности.
При этом рассчитывались частные, групповые и обобщенная функции
желательности. Частные функции желательности рассчитаны для каждого
показателя качества. Групповые функции желательности рассчитаны для пяти
групп, в которые выделены показатели качества, наиболее тесно связанные
друг с другом функциональными зависимостями и связями. Обобщенная
функция желательности рассчитана для всех показателей качества.
Виды функций желательности:
W (d )  d1  dn
n
W (d ) 
1
di

n i
d  exp   exp  (a0  a1 y ) 
d  exp   exp  (a0  a1 y  a2 y 2 )  
d 1 d
d  exp   Y 


2 y  ( ymax  ymin )
Y
ymax  ymin
n
0n
Сведение многокритериальной задачи к
однокритериальной с помощью свертки
Этот способ состоит в введении некоего суперкритерия, т.е. скалярной
функции векторного аргумента и называется также линейной сверткой:
W ( x)  F (1 ( x),..., n ( x))
Суперкритерий позволяет упорядочить альтернативы по величине,
выделив тем самым наилучшую (по этому критерию) альтернативу. Вид
функции определяется тем, как мы представляет себе вклад каждого критерия в
суперкритерий.
Обычно при этом используются аддитивные или мультипликативные
функции:
W ( x)  
i i ( x)
extr i ( x)
W ( x)  
xX
i i ( x)
extr i ( x)
xX
W ( x)   ci i ( x),
c  1
i
Коэффициенты ci – отражают содержании компромисса ЛПР.
Задача сводится к нахождению экстремума обобщенного критерия :


x*  arg extrW ( x)  arg max W ( x) или arg min W ( x)
xX
xX
xX
Полное приращение обобщенного критерия из-за изменений факторов:
W  
i
W
i
i
i  
j
i
xij
xij
W  
i
W i
 xij
i j xij
Частное приращение обобщенного критерия из за изменений одного
факторов :
W
W
i
Wi 
i 
xij

i
i j xij
Коэффициент влияния – отношение относительных изменений
обобщенного критерия к изменению одного из частных.
Трудности и недостатки метода. Упорядочение точек в многомерном
пространстве не может быть однозначным и полностью определяется видом
упорядочивающей функции. Роль такой упорядочивающей функции играет
суперкритерий, и даже очень малое его изменение может привести к тому, что
новая оптимальная альтернатива будет очень сильно отличаться от старой.
Линейные комбинации частных критериев придают упорядочению следующий
смысл: «чем дальше от нуля в заданном направлении, тем лучше».
Ранжирование критериев
Пусть все критерии можно ранжировать (строго упорядочить) по
важности так, что при последовательном рассмотрении критериев вначале
используется первый (наиболее важный с точки зрения ЛПР) критерий, затем
второй и т.д. Это позволяет на множестве допустимых решений задать
лексикографическое отношение предпочтения.
Пример 3.Допустимое решение x лексикографически предпочтительнее
допустимого решения x ,если выполняется одно из условий:
1)f1(x’)> f1(x’’)
2)  i  m f ( xj )  f ( xj ) для j=1,…,i и fi+1(x)=fi+1(x)
Если fi(x)=fi(x) для всех i=1,…,m,
то допустимые решения x,x лек-
сикографически эквивалентны.
Допустимое решение
x
лексикографически
оптимальное, если не
существует допустимого решения x, для которого выполняется условие .
Найти лексикографически
оптимальное решение многокритериальной
задачи можно, решив следующую последовательность задач:
1) найти
max f1(x)  f1*
в области
2) найти
max f 2 ( x )  f 2*
в области, задаваемой условиями
x  X;
x  X; f1(x)  f1*;
…………………………………………………………………………………………………………………
m) найти
*
max f m ( x )  f m
в области, задаваемой условия x  X;
fi (x)  fi* , i  1, m  1;
Искомым лексикографически оптимальным является
всякое решение
последней ( m-ой ) задачи. Полученное при этом лексикографически оптимальное решение является одной из эффективных точек, однако выбор порядка
ранжирования существенно влияет на то, какая из эффективных точек будет
найдена.
Так как область допустимых решений очередной задачи представляет
собой множество оптимальных решений предшествующих задач, то она быстро
сужается до одной точки, лишая свободы выбора при максимизации
последующих критериев. Попытка избавиться от этого недостатка предпринята
в методе последовательных уступок.
Метод приписывания баллов
Эксперты оценивают важность частного критерия по шкале [0-10].
Разрешается оценивать важность дробными величинами или приписывать одну
и ту же величину нескольким критериям.
Критерии
Эксперты
w1
wi
…
wm
Сумма
1
h11
h1i
…
h1m
Σh1k
2
h21
h2i
…
h2m
Σh2k
…
…
…
…
…
…
L
hL1
hLi
…
hLm
ΣhLk
…
rm
 оценок
r1
r2
Метод последовательных уступок (компромиссов)
Здесь
вначале
производится
качественный
анализ
относительной
важности критериев. На основании такого анализа критерии нумеруются в
порядке убывания важности.
Ищем максимальное значение f1* первого критерия f  f1( x ) на всем
множестве допустимых решений. Затем назначаем величину «допустимого»
снижения (уступки) 1 критерия f1( x ) и определяем наибольшее значение
* второго критерия
f  f 2 ( x ) при условии, что значение первого
f2
критерия должно быть не меньше, чем f1* - 1. Затем назначаем величину
«допустимого» снижения (уступки) 2 критерия f 2 ( x ) и определяем
наибольшее значение f 3* третьего критерия f  f 3 ( x ) при условии, что
* -  и т. д. Таким
значение второго критерия должно быть не меньше, чем f 2
2
образом, оптимальным решением многокритериальной задачи считается всякое
решение последней из задач последовательности *:
1) найти
2) найти
max f1(x)  f1* в области x  X;
max f 2 ( x )  f 2* в области, задаваемой условиями
……………………………………………………………………………………………………………………….
m) найти
*
*
в области, задаваемой условиям x  X; f i ( x )  f i  i , i  1, m  1;
max f m ( x )  f m
Очевидно, что если все i =0, то метод уступок находит только
лексикографически оптимальные решения, которые доставляют первому по
важности критерию наибольшее на Х значение. В другом крайнем случае, когда
величины уступок
очень велики, решения , получаемые по этому методу,
доставляют последнему по важности критерию наибольшее на Х значение.
Поэтому
величины уступок можно рассматривать как своеобразную меру
отклонения приоритета частных критериев от жесткого лексикографического.
Метод
последовательных уступок не всегда приводит к получению
только эффективных точек, но среди этих точек всегда существует хотя бы
одна эффективная. Это следует из следующих утверждений.
Утверждение 3.
Если XRn
-
множество замкнутое и ограниченное, а
функции fi(x) непрерывны, то решением m-й задачи из (последовательности *)
является, по крайней мере, одна эффективная точка.
Утверждение 4. Если x - единственная (с точностью до эквивалентности)
точка, являющаяся решением m-й задачи из (последовательности *), то она
эффективна.
Метод контрольных показателей
Задается система нормативов
*
*

,...,

 1 n
должно максимизировать функции ωi(x) при условиях
Целевая функция представляется в виде
i ( x)  *i
W ( x)  min
i
W1(X
)
W2(X)
W1(X)
W2(X
)
i ( x)
 *i
Здесь необходимо искать вектор X, который обеспечивает
максимальное
значение
W(X)
(максимизации
минимального
критерия)

i ( x) 
x  max W ( x)  max min * 
i
xX
xX
i 

*
Условная оптимизация
Если различные критерии не равнозначны между собой, но возможно
выделить основной, главный критерий (остальные рассматриваются как
дополнительные, или сопутствующие), то приходим к однокритериальной
задаче
i ( x)  extr max,min, x* =arg extr i ( x)
xX
при ограничениях
i ( x)   *i , i  1, n или i ( x)   *i или i ( x)   *i
Возможен другой вариант этого метода - метод уступок. Если частные
критерии упорядочены в порядке убывания их важности, то можно
найти
наилучшее по критерию ω2 решение - х2* (или по критерию ω1 решение –
х4*). Затем определяется «уступка» qi, т.е. величина, на которую ЛПР готово
уменьшить достигнутое значение самого важного критерия, чтобы за счет
уступки попытаться увеличить значение следующего по важности критерия.
Пример 4. Найти величину уступки Δw1min от w1* при условии
w2(х)>=0.65 и x*.
Решение:
ORIGIN  1
x  00.1 40
w1( x)  0.8  e
 0.05 ( x4)
w2( x)  0.2  e
w1( 8)  0.559
w2( 8)  0.8
2
 0.5 ( x4)
2
 0.2  e
 1 ( x8)
 0.8  e
w1( 4)  0.8
2
 0.2 ( x8)
w2( 4)  0.233
2
Введение метрики в пространстве критериев
Предположим, что решена система однокритериальных задач
i ( x)  extr
и решение этой задачи представляет некоторую точку
в многомерном пространстве – «точку абсолютного экстремума»
W extr  i e x tr 
Если векторы xi* различны, то не существует такого выбора, который
позволил бы достичь этой точки. Таким образом, точка Wextr является точкой
недостижимого абсолютного экстремума в пространстве критериев.
Метрическое расстояние в пространстве целевых функций
W ( x)  (   * )Т R(   * ) , R  [r ij ], j  1, m, i  1, n
p
При p=1 – абсолютное расстояние
n
W ( x)   ri (i ( x)  iextr )
i 1
при р=2 – евклидово расстояние
W ( x) 
 r  ( x)   
i
i
i
extr 2
i
Частный случай
 1 
i    ... 
n 
n
r
i
 1,
i
Примеры(5,6) если w1 и w2 max.
Общий случай
11 ... 1m 
ij    ... ij ... 


n1 ... nm 
n ,m
r
ij
i, j
1
Недостижимая точка в пространстве критериев (w1* , w2*)
Пример 7.
ω2
1  max
2  max
c2=1
x
*
1  cos( x)
X*
2  sin( x)
ω1
c1=1
W ( x)  (1  1) 2  (2  1) 2 ,
где i  0,
12  22  1,
x*  arg min W ( x)
xX
Решение: 1  2  1 ,
2
x*  arcsin(
1

) ,
4
2
min W extr  W ( x* )   2  1
Нахождения множества Парето
Множество Парето – множество допустимых альтернатив в
задаче многокритериальной (векторной) оптимизации,
для
которых
не
существует другой допустимой альтернативы, имеющей по всем критериям не
худшие оценки и хотя бы по одному критерию – строго лучшие. В терминах
самого В. Парето (итальянского математика и экономиста): «Всякое изменение,
которое не приносит убытков, а которое некоторым людям приносит пользу (по
их собственной оценке), является улучшением».
В теории принятия решения существует «принцип Парето» – выбирать в
качестве решений следует только те, которые принадлежат множеству Парето.
Принцип Парето не выделяет единственное решение – он сужает лишь
множество альтернатив.
Пример 8.
Стоимость
Точки
исключаются
сразу.
d
c
a
b
Продуктивность
Пример 9.
В точке А все ресурсы общества отдаются лицу Х и его полезность
максимальна. В точке В максимизируется полезность лица Y. При
перемещении из точки А в точку В имеет место компромисс, когда блага
передаются от лица Х к лицу Y. Обе точки А и В эффективны по Парето, так
как ни в одной, ни в другой ситуации нельзя улучшить положение одной из
сторон, не сделав хуже другой. Они, конечно, несправедливы, но оптимальны
по Парето.
Рассматривая точки C, D и E. Точка С не является оптимальной по
Парето. Двигаясь в направлении вправо вверх, можно улучшать полезность и
лица Х и лица Y.
Оптимум по Парето - благосостояние общества достигает максимума, а
распределение ресурсов становится оптимальным, если любое изменение этого
распределения ухудшает благосостояние хотя бы одного субъекта
экономической системы.
Парето-оптимальное состояние рынка
- ситуация, когда нельзя
улучшить положение любого участника экономического процесса,
одновременно не снижая благосостояния как минимум одного из остальных.
Согласно критерию Парето (критерию роста общественного
благосостояния), движение в сторону оптимума возможно лишь при таком
распределении ресурсов, которое увеличивает благосостояние по крайней мере
одного человека, не нанося ущерба никому другому.
Основное ограничение концепции оптимальности по Парето состоит
в том, что она не дает нам никакого способа проранжировать точки на границе
достижимой полезности. Здесь должны применяться иные способы.
Пример 10. Пусть W и V - критерии, по которым необходимо выбрать
оптимальное решение (при этом желательно по возможности максимизировать
значения W и V). Рассмотрим на плоскости (W, V) множество возможных
решений, которому на рисунке соответствует заштрихованная область.
Каждая точка множества обладает одним из следующих свойств: либо все
точки, ближайшие к ней, принадлежат множеству (такая точка называется
внутренней точкой множества ), либо сколь угодно близко от нее
расположены как точки множества , так и точки, множеству не
принадлежащие (такие точки называются граничными точками множества ).
Граничная точка может как принадлежать, так и не принадлежать множеству
. В дальнейшем мы будем рассматривать только такие множества, которым
принадлежат все точки границы. Множество всех граничных точек
множества называется его границей (обозначим его ).
Пусть М - произвольная точка множества , внутренняя или граничная, и
(W, V) - ее координаты. Поставим следующий вопрос: можно ли, оставаясь в
множестве , переместиться из точки M в близкую точку так, чтобы при этом
увеличились обе ее координаты? Если М - внутренняя точка, то это, бесспорно,
возможно. Если же М - граничная точка, то такое возможно не всегда. Из точек
вертикального отрезка АВ можно переместиться, увеличивая лишь координату
V (координата W при этом остается неизменной). Перемещая точку
горизонтального отрезка CD вправо, мы увеличиваем координату W (при этом
координата V сохраняет свое значение). Что же касается дуги BD,то
перемещение вдоль нее способно лишь увеличить одну из координат при
одновременном уменьшении другой.
Тем самым точки множества можно разбить на три класса:
- к первому классу относятся точки, которые можно сдвинуть так, чтобы
одновременно увеличились обе координаты и при этом точки остались в
множестве (в этот класс попадают все внутренние точки множества и
часть его граничных точек);
- второй класс образуют точки, перемещением которых по множеству
можно увеличить только одну из координат при сохранении значения второй
координаты (вертикальный отрезок АВ и горизонтальный отрезок CD на
границе множества );
- в третий класс попадают точки, перемещение которых по множеству
способно лишь уменьшить хотя бы одну из координат (дуга BD границы
).
Множество точек третьего класса BD (выделено на рисунке 3утолщенной
линией) называется границей (множеством) Парето данного множества .
Говоря нестрого, граница Парето множества - это точки, из которых
нельзя сдвинуться на "север", "восток" либо "северо-восток", оставаясь в том
же множестве .
Другими словами, в множество Парето не включаются такие решения,
которые могут быть улучшены одновременно по обоим критериям.
Пример 11. Найти все множества по Парето.
1  max,
(1) 
2  max.
1  min,
(2) 
2  max.
1  min,
(3) 
2  max.
1  min,
(4) 
2  min.
Тесты:
1.Какие исследования применяют в случае решения крупномасштабных,
сложных операций?
1) Прямые
2) Специальные
3) многокритериальные
2.Как поступить лучше в случае, если приходится оценивать
эффективность операции по нескольким показателям?
1. свести многокритериальную задачу к однокритериальной;
2. свести многокритериальную задачу к дроби;
3. свести многокритериальную задачу к взвешенной сумме частных
показателей;
4. содержание п. 1,2;
5. содержание п. 1,3;
3.Причинами появления многокритериальности являются?
1.Несколько субъектов
2.Нечеткость целей
3.Неопределенность
4.Динамика
5. Все варианты
4.Какие существуют пути построения компромиссного решения?
1. выделить один (главный) показатель W1 и стремиться его обратить в
максимум, а на все остальные W2, W3, ... наложить только некоторые
ограничения, потребовав, чтобы они были не меньше каких-то заданных  1,
 2..;
2. “методом последовательных уступок”;
3. волевым актом “начальника”;
4. выделить один (главный) показатель W1 и стремиться его обратить в
максимум;
5. содержание п. 1,2;
5.Задачи, в которых в большинстве случаях успех операции оценивается
не по одному, а сразу по нескольким частным критериям, причем одни
из них следует максимизировать, другие - минимизировать (и наоборот)
называются :
1.линейные
2. прямые
3. многокритериальные
6.Суперкритерий позволяет упорядочить альтернативы по величине,
выделив тем самым:
1. наилучшую альтернативу
2. наихудшую альтернативу
7.Метод последовательных уступок не всегда приводит к получению
только эффективных точек?
1. всегда
2. не всегда
3. не всегда, но среди этих точек всегда существует хотя бы одна эффективная.
8.Принцип Парето
1. выделяет единственное решение
2. сужает множество альтернатив.
9.Оптимум по Парето
1. благосостояние общества достигает максимума, а распределение ресурсов
становится оптимальным, если любое изменение этого распределения ухудшает
благосостояние хотя бы одного субъекта экономической системы.
2. благосостояние общества достигает минимума, а распределение ресурсов
становится оптимальным, если любое изменение этого распределения улучшает
благосостояние хотя бы одного субъекта экономической системы.
10. Основное ограничение концепции оптимальности по Парето
1. состоит в том, что она не дает нам никакого способа проранжировать точки
на границе достижимой полезности. Здесь должны применяться иные способы.
2. состоит в том, что она дает нам никакого способа проранжировать точки на
границе достижимой полезности. Здесь должны применяться иные способы.
Ответы:
№ Задания
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Ответы
3
1
5
2
3
1
3
2
1
1