Моделирование физических Учебное заведение: Российская Федерация, Московская Область, город Лобня.

Название работы: Моделирование физических
процессов в решении задач по физике
Учебное заведение: Российская Федерация,
Московская Область, город Лобня.
Улица Ленина, дом 29, МБОУ Лицей.
Телефон: 577-05-64
Е-mail: [email protected]
Руководитель:
Парахневич Оксана Александровна (учитель
информатики МБОУ лицей г. Лобня)
Работу выпонили: Горюнов Антон, Масловский
Александр
Is made by: Goryunov Anton, Maslovskiy Alexandr
Телефон:
+7 (915) 306-02-19
+7 (915) 426-64-04
E-mail:
[email protected]
[email protected]
Аннотация: Представлен способ решения задач по
физики, основанный на анализе размерностей.
Исследования направлены учащимся средней школы.
Работа адресована ученикам средних школ.
Цель: представить новый способ решения задач по
физике.
Задачи решаемые для достижения цели проекта:
 Анализ существующих работ по данной теме
 Разработать программу основанную на анализе
размерностей в среде турбо паскаля.
 Разбор методов решения задач
 Применить программу на практике при решении
задач физики
Содержание
 Введение
 Основные понятия
 Математические основы алгоритма
 Примеры решения физических задач
 Приложение
 Заключение
 Использованная литература
АЛГОРИТМ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ФИЗИКИ
АНАЛИЗОМ РАЗМЕРНОСТЕЙ С
ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ
Введение
Анализ размерностей используется для программы
решения задач физики и её технических приложений
[1-11].
Основой анализа размерностей служит очевидное
суждение: размерности обеих частей любого
уравнения физики должны быть одинаковы.
На основе этого суждения, используя универсальный
алгоритм анализа размерностей [4], можно получить
итоговую формулу с точностью до безразмерного
множителя (К).
Для простоты изложения материала ограничимся
рассмотрением решения задач механики.
Постановка задачи механики при решении
анализом размерностей формулируется так [5]:
её
установить
итоговую
формулу,
связывающую
управляемый параметр (механическую величину) f с
управляющими
параметрами
(механическими
величинами) f1, f2 и f3 .
Итоговая формула имеет вид:
f  Kf1x f 2y f 3z
(1)
Обозначения
f – управляемый параметр,
f1, f2, f3 – управляющие параметры,
х, у, z – искомые показатели степеней,
К – безразмерный множитель ([К] = 1)
.
Поскольку К величина безразмерная, то из (1) следует
уравнение размерностей:
[ f ]  [ f1 ]x [ f 2 ] y [ f 3 ]z
(2)
Задача состоит в нахождении числовых значений
показателей степеней х, у, z.
В
данной
работе
предлагаются
программа,
основанная на аксиомах и теоремах аксиоматической
структуры «линеал (линейное пространство)» при
решении задач физики анализом размерностей.
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ
ОСНОВА
(предложенная в работе [5])
АЛГОРИТМА
Очевидно, что выбрав базовую систему размерностей
механических величин (например, L, T, M),
размерность [f] любой механической величины f
можно
выразить
формулой
размерности,
представляющей собой степенной одночлен:
[ f ]  LaT b M c
(3)
Обозначения
f – механическая величина,
[f] – размерность механической величины f,
L, T, M – размерности физических величин (длины l,
времени t и массы m), принятые за базовые.
С
позиций
линейной
алгебры
множество
размерностей механических величин (f, f1, f2, f3 и т.
д.)
представляет
собой
линеал
(линейное
пространство), поскольку все аксиомы линеала по
отношению к этому множеству выполняются.
Из этого суждения следует, что теоремы линейной
алгебры, относящиеся к линеалу, относятся и к
линеалу размерностей механических величин. В
основании теории анализа размерностей физических
величин лежит линейная алгебра. В частности,
ключевая в теории анализа размерностей «π–
теорема» является теоремой линейной алгебры.
С указанных позиций система размерностей L, T, M
является базисом линеала (этот базис здесь назван
«старым»), а показатели степеней (а, b, с) выражения
(3) являются координатами вектора [f] в этом базисе.
С позиций линейной алгебры выражения (2) и (3)
аналогичны.
Если размерности механических величин f1, f2 и f3
являются базисом («новым») линеала, то задача
имеет единственное решение.
Показатели степеней х, у, z уравнения размерностей
(2) с позиций линейной алгебры представляют собой
координаты вектора [f] в новом базисе [f1], [f2],
[f3]линеала.
Нахождение координат х, у, z это известная задача
линейной алгебры о разложении вектора [f] в новом
базисе [f1], [f2], [f3], если известны разложения
векторов [f], [f1], [f2], [f3] в старом базисе L, T, M.
Рассмотрим использование этого
примере решения задач механики.
алгоритма
на
Задача № М1.
Вычислить первую космическую скорость
для Земли.
Процесс решения задачи разобьем на 7 этапов.
1 этап.
Схематизация явления, выбор расчётной
схемы, допущение о перечне управляющих
параметров явления
1.1. Схематизация
схемы
явления,
выбор
расчётной
Необходимо сделать рисунок и указать на нём все
заданные и искомые величины. Это и есть расчётная
схема явления, отражённого физической задачей –
см. рисунок 1. Его также можно назвать и расчётной
схемой задачи.
1.2. допущение
параметров
о
перечне
Пусть
первая
космическая
управляемым параметром.
управляющих
скорость
будет
Предположим, что она может зависеть от следующих
управляющих параметров:
• Радиуса траектории спутника;
• Ускорения свободного падения
круговой орбиты спутника;
• Массы спутника.
на
уровне

Рис. 1. Расчётная схема задачи № 1M
r - радиус орбиты спутника - геометрическая величина
v , g - скорость и ускорение - кинематические
величины
m - масса - динамическая величина
Этап 1. Он завершается формулировкой задачи в
обобщённой форме.
Формулировка задачи в обобщённой форме
Установить связь между величинами v, r, g , m .
Дано :
r, g, m
Найти :
  f ( r , g , m)
Запись (1) отражает
обобщённой форме.
(1)
формулировку
2 этап. Предположим, что функция
f
f
задачи
в
- степенная.
Какой может быть функция
-?
Предположим, что функция
  Kr x g y m z
– степенная. Т. е.
(2)
где
[ ] – размерность
указанной в скобках,
физической
величины,
K – безразмерная постоянная.
[К] = 1
3 этап. Составим уравнение размерностей
x y z
  Kr g m
[ ]  [ K ][ r ]x [ g ] y [m]z
Учитывая, что
размерностей
[К]
=
[r ]x [ g ] y [m]z  [ ]
1,
получим
уравнение
(ур 3)
4 этап. Воспользуемся таблицей размерностей
механических величин
(см. таблицу 1)
Располагая показатели степеней размерностей
механических величин уравнения размерностей (3) по
вертикали (сверху вниз), получим следующую таблицу
решения
уравнения
размерностей
(РУР).
Таблица РУР
Решение
уравнения
формулами Крамера
размерностей
(РУР)
[r]х
[g]у
[m]z
=
Δ=-2
1
1
-2
L
(УР3)
[v]
1
Δх = -1
1 1 -2
0
-2
2
T
-1
-1 -2
2
0
0
1
М
0
0
0
1
1
-2
1
1
0
-2
2
-1
+
-2
Δу = -1
1 1 -2
-
0
-1
2
1
0
0
-2
1
1
2
+
0
-1
Δz = 0
1
1 1
0
-2
-1
1
0
0
0
-2
1
1
1
2
-
+
№ строки
№1
-
№3
№1
+
0
-2
№2
-1
№2
Δ=1(-2)1+0+0-0-0-0= -2
1·x
+0·y +0·z
=
0
0·x
- 2·y +0·z
=
-1
0·x
+1·y +1·z
=
0
х
=
1/2
у
=
1/2
z
=
0
Δх=-2-(-1)= -1
Δу=-1+0+0-0-0-0= -1 Δz=0+0+0-0-0-0= 0
(4)
х=Δх/Δ=-1/-2=1/2 у=Δу/Δ= -1/-2= 1/2 z=Δz/Δ= 0/-2=0 (Фор. Крам.)
(4Р)
Итоговая формула
(ИФ5)
.
(ИФ5)
Пояснения к таблице
Левая часть этой таблицы (слева от символов L, T, M)
есть определитель (Δ) системы трёх линейных
уравнений (4) с тремя неизвестными: х, у, z.
Решение системы (4)
размерностей (УР 3).
есть
решение
уравнения
Решая систему (4) формулами Крамера (Фор. Крам.),
получим искомые значения неизвестных х, у, z.
Определитель (Δ) системы не равен нулю (Δ = - 2),
следовательно, эта система имеет единственное
решение.
Формулы Крамера
x  1
1
x


 2
2
y  1
1
y


 2
2
z
0
z

0
 2
Система (4Р) является решением системы уравнений
(4), или – решением уравнения размерностей (УР 3).
Примечание к этапу 4
В данной работе используется система
размерностей длина, время, масса (LTM).
Этап
5.
Выявление
числового
безразмерной величины К
значения
Решение задачи другими способами (а также
экспериментальные данные) дают значение K, равное
единице. Следовательно, итоговая формула (ИФ5)
примет вид
  K rg *m0
(ИФ 5)
  rg
6 этап. доведем результат до числа
Доведем результат до числа:
r = 6400 км = 6,4 · 106 м
g = 10 м/с2
v = (rg)0,5 = (6,4 · 106 ·10)0,5 = 8 · 103 м/с = 8 км/с
Ответ: v = (rg)0,5 = 8 · 103 м/с = 8 км/с
7 этап. Анализ решения задачи
Будет ли первая космическая скорость зависеть от
массы спутника?
Итоговая формула (ИФ5) показывает, что первая
космическая скорость от массы спутника не зависит!
Показатель степени массы (m) в формуле
размерностей равен нулю (см. первую формулу этапа
5).
Математический аппарат универсального алгоритма
анализа размерностей сам скорректировал наше
допущение о перечне определяющих параметрах
данной задачи и исключил из этого перечня массу
спутника.
На этом решение задачи с использованием АР на
втором уровне считается завершённым.
При постановке рассмотренной задачи педагог
намеренно ввёл «лишний» определяющий параметр –
массу.
Такой
педагогический
приём
можно
назвать
«Преднамеренное введение лишнего определяющего
параметра».
Примечания к этапу 7
Анализ
решения
задачи
можно
нестандартным этапом (творческим).
считать
В рамках этого этапа не только осуществляется
анализ итоговой формулы, но и выявляются
аналогии с другими задачами, формулируется
постановка новых (в том числе более общих) задач.
На этом этапе выдвигаются предположения,
многие
из
которых
могут
оказаться
плодотворными. Используются индуктивные формы
мышления. В связи с этим этот этап выходит за
рамки понятия «анализ».
На этапе 7 физическая интуиция исследователя
так же важна как и на этапе 1.
При решении научных или учебных задач лишние
определяющие
параметры
могут
оказаться
введёнными непреднамеренно.
Можно просто сообщить учащемуся о том, что
«первая космическая скорость не зависит от массы
спутников». Но если поставить задачу в такой форме:
«Показать, что первая космическая скорость не
зависит от массы спутников», то эффективность
обучения во втором случае будет выше. В этом
случае учащийся сам обнаруживает группу явлений,
имеющих общее свойство: первая космическая
скорость
любого
астрономического
объекта
(центрального тела) не зависит от массы спутника, а
зависит от массы астрономического объекта. При
этом подразумевается, что масса спутника во много
раз меньше массы центрального тела.
ПРИМЕР ИСПОЛЬЗОВАНИЯ АЛГОРИТМА
Использование алгоритма анализа размерностей
физических величин в школе
(механика)
Задача №М2
Установить формулу для круговой (циклической)
частоты(ω) колебаний груза массой (m) на пружине
жёсткостью (k) с амплитудой (а).
Решение
Решение этой задачи основано на работах [4 и 5].
• Выполним рисунок – расчётную схему задачи.
Рис. 2 .Расчетная схема задачи №2М
Предположим, что управляемый параметр (ω) есть
функция следующих управляющих параметров:
амплитуды колебаний (а), жёсткости (k) пружины и
массы (m) груза.
(ИФ 1)
Итоговая формула (ИФ 1) примет вид
ω = Ках kу mz
,
(2)
• Уравнение размерностей примет вид
[ω] = [а]х[k]у [m]z
•
[ω]
(УР 3)
,
Составим таблицу.
(УР 3)
=
Δх =
Δ=
Δу =
№
строки
Δz =
0
L
1
0
0
0
0
0
1
0
0
1
0
0
1
-1
T
0
-2
0
-1
-2
0
0
-1
0
0
-2
-1
2
0
M
0
1
1
0
1
1
0
0
1
0
1
0
3
0
0
0
1
0
0
1
0
0
1
-1
-2
0
0
-1
0
0
-2
-1
2
Определитель системы
0  1* x  0 * y  0 * z 

 1  0 * x  2 * y  1* z 
0  0 * x  1 * 7  1* z 

(4)
Координаты векторов выражения (УР 3) в старом
базисе (L, T, M) расположены под выражением (УР 3)
по вертикали, образуя таблицу. Правая часть этой
таблицы (справа от символов L, T, M) есть
определитель (Δ) системы трёх линейных уравнений
(4) для нахождения неизвестных х, у, z.
Решение системы (4)
размерностей (УР 3).
есть
решение
Решая систему (4) методом Крамера,
искомые значения неизвестных х, у, z.
1_ 0 _ 0
  0 _  2 _ 0  2
0 _1_1
уравнения
получим
Определитель
системы
(Δ)
не
равен
нулю,следовательно,
эта
система
имеет
единственное решение. Т. е. тройка векторов [а], [k ],
[m] есть новый базис линеала.
0_0_0
 x  1_  2 _ 0  0
0 _1_1
0
x
0
2
1
y
2
1
z
2
1_ 0 _ 0
 y  0 _  1 _ 0  1
0 _ 0 _1
1_ 0 _ 0
 z  0 _  2 _  1  1
0 _1_ 0
• Итоговая формула (ИФ 2) примет вид

1
2
  Ka 0 k m

1
2
(5)
Формула (5) показывает, что круговая частота (ω)
колебаний не зависитот амплитуды (а).
• Эксперимент и решения иными методами дают
значение К, равное единице (К = 1).
Следовательно, формула (5) примет вид:

k
m
(ИФ 5)
Очевидно, что предложенный алгоритм един для
решения анализом размерностей задачи любого
раздела физики.
Математический
аппарат
линейной
алгебры
позволяет рутинную часть работы алгоритма решения
задач физики анализом размерности возложить на
персональный компьютер.
ИСПОЛЬЗОВАНИЕ АНАЛИЗА РАЗМЕРНОСТЕЙ В
РАЗДЕЛЕ
«МОЛЕКУЛЯРНО-КИНЕТИЧЕСКАЯ
ТЕОРИЯ. ЗАКОНЫ ИДЕАЛЬНОГО ГАЗА»
• ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
Задача №3 МКТ. Найти формулу давления
идеального газа в сосуде (формулу основного
уравнения молекулярно-кинетической теории).
РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ
Решение этой задачи основано на работах [9].
Механической моделью идеального газа в рамках
молекулярно-кинетической теории (далее МКТ) может
служить замкнутое в сосуде ограниченное множество
абсолютно упругих одинаковых точечных физических
объектов (молекул).
Сосуд – это абсолютно упругая оболочка.
Сосуд может иметь дополнительные свойства,
отраженные в условиях конкретной задачи.
Исходя из этой модели, давление на стенки сосуда
есть следствие абсолютно упругого взаимодействия
молекул газа со стенками сосуда. Следовательно,
можно попытаться составить перечень физических
параметров, от которых может зависеть давление.
1.
Давление
газа
(p)
может
зависеть
от
концентрации(n)молекул– числа молекул в единице
объема. Логично предположить, что давление газа
тем больше, чем больше молекул в сосуде заданного
объема.
2. Естественным было бы и предположение о
зависимости давления газа от массы молекулы (m1).
Было бы логичным предположить, что чем больше
масса молекул, тем больше будет давление при
прочих постоянных величинах.
3. Предположим, что давление газа зависит от
осредненной скорости (v) молекул газа.
Логично предположить, что при увеличении скоростей
молекул газа давление газа будет возрастать при
равных прочих величинах.
Указанные соображения (предположения) носят
качественный характер. Они основаны на логике и
интуиции исследователя (в данном случае ученика).
Тем не менее, они позволяют поставить задачу в
обобщенной
форме:
найти
функциональную
зависимость давления газа от концентрации
молекул,их массы и скорости:
p = f (n, m1, v) .
Для
того,
чтобы
выявить
функциональную
зависимость
(1),
воспользуемся
известным
алгоритмом анализа размерностей (далее АР),
представленным в работах [9] и [13].
За определяемый физический параметр примем
давление газа. Тогда определяющими физическими
параметрами будут служить: концентрация молекул,
их масса и осредненная скорость.
Искомую функциональную зависимость будем искать
в виде степенного одночлена:
p= Knxm1yvz ,
(ИФ2)
К = Сonst,
[К] = 1 . (3)
За базисную систему размерностей примем систему
LTM.
L – размерность длины, T – размерность времени, M
– размерность массы, К – безразмерная постоянная
величина.
Формулы размерностей концентрации,
скорости в системе LTM имеют вид:
массы
и
[p] = L-1 T-2M; [n] = L-3; [m1] = M; [v] = L T-1 . (4)
Используя
(2)
размерностей:
и
(3),
L-1T-2M = L-3х Mу LzT-z.
составим
уравнение
(5)
После упрощения уравнение размерностей (5) примет
вид
L-1T-2M= L-3х+zT-zMу.
(УР 6)
Приравнивание
показателей
степеней
при
одинаковых основаниях обеих частей уравнения
размерностей (УР 6) дает систему линейных
уравнений
 3x  z  10

y 1
 z  2

(7)
Решение системы (7) есть решение уравнения
размерностей (УР 6). Решая систему (7), получим:
х = у = 1, z = 2 .
Подставляя (8) в (ИФ2), получим итоговую формулу
р = Knm1v2
(ИФ9)
Мы получили с точностью до постоянного
безразмерного множителя (К) выражение (ИФ9),
называемое основным уравнением МКТ.
Эксперимент и решение задачи иными методами
дают для одноатомного газа следующее значение К:
1
К
3
(ИФ10)
АНАЛИЗ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ
Давление газа, используя (ИФ9), можно выразить и
так:
р = Kρv2
,
ρ = nm1= m / V ,
m = nm1V = Nm1 ,
(ИФ11)
(12)
(13)
где ρ – плотность газа, m – масса газа, V – объем газа
(сосуда), N– число молекул газа.
Формулу (ИФ11) можно получить, если решать эту же
задачу анализом размерностей, предполагая, что
параметрами, определяющими давление, являются
плотность газа (ρ) и осредненная скорость молекул
(v).
Из (ИФ11) и (12) получим
p = Kmv2 / V
. (14)
Эту формулу можно записать иначе
p = K1mv2 / (2V), (15)
К1 = 2K =
,(16)
p = K1Е/V= K1U/V= K1
= K1
, (ИФ17)
где Е – суммарная кинетическая энергия молекул
газа,
– объемная плотность суммарной кинетической
энергии молекул газа,
– объемная плотность внутренней энергии
идеального газа, К1 – безразмерная постоянная
(равная
для одноатомного газа).
Определение. Суммарная кинетическая энергия
молекул газа (Е) называется внутренней энергией
газа (U).
Е = U . (18) Из (ИФ17) и (18) следует
pV= K1Е = K1U . (ИФ19)
Из формулы (ИФ17) следует теорема 1, а из (ИФ19) –
теорема 2.
Теорема
1.
Давление
идеального
газа
пропорционально объемной плотности суммарной
кинетической энергии молекул газа (или объемной
плотности внутренней энергии идеального газа).
Теорема 2. Произведение давления идеального газа
на
его
объем
пропорционально
суммарной
кинетической энергии молекул газа (или внутренней
энергии идеального газа).
Однако существует некоторый коэффициент (K),
который, к сожалению, мы не можем определить в
рамках анализа размерностей.
Задача № М4
Допустим что на некотором астероиде (или планете)
имеется сквозной диаметральный туннель. Бросим в
туннель без начальной скорости какое-нибудь тело
небольшой массы. Нам нужно установить с какова
будет круговая частота свободных колебаний (ω)
этого тела, если мы знаем плотность (ρ) астероида
(или планеты), гравитационную постоянную (G) и
радиус планеты (r)
Выполним рисунок - схему
РЕШЕНИЕ
1 способ : Воспользуемся программой, написаной на
основе анализа размерностей.
Получим в итоговой формуле
  K G*
некий коэфициент К, который мы не
определить в рамках анализа размерностей.
можем
2 способ : Воспользуемся формулой обобщённого
третьего закона Кеплера [3].
r 3 * 2  G * M
4
4
* * r 3 * 2  * * G * M
3
3
 *G * 
  2*
3
Следовательно
K  2*

3
Недостаток анализа размерности состоит в том, что
он не позволяет найти числовое значение этого
коэффициента (К).
Результаты решения задач М1-М4 с помощью
программы представлены в приложении 2.
Приложение
Приложения 1 (LTM)
КЛАССИФИКАЦИЯ МЕХАНИЧЕСКИХ ВЕЛИЧИН ПО ИХ РАЗМЕРНОСТИ (базис LTM)
𝐟 = 𝑳𝒂 𝑻𝒃 𝐌с
Виды величин Показатели Размерность Единица измерения величины в Условные Наименование
системе SI (базис LTM)
обозначения
степеней
величин
величин
c
𝐚
𝒂
𝒄
𝐛
𝒃
Наименование
величин
a b c 𝐋
M
м
кг
𝐓
с
единицы
измерения в SI
Безразмерные
Геометрические
Пифагор (-VI)
Евклид (-IV-III)
1
1
0
0
0
1
2
3
0
0
0
0
0
0
0
1
0
𝑇
с
0
0
0
1
1
0
-1
0
𝑇 −1
с−1
0
-2
0
𝑇 −2
с−2
−2
м
с
−2
м
с−1
𝐿
𝐿2
𝐿3
м
м2
м3
м
м2
м3
η, 𝜑, К
l, d, r, h
S (F, A)
V
с
t
рад
Кинематические
Галилей
Кеплер
Декарт
(XVI-XVII)
Галилей
Кеплер
Декарт
(XVI-XVII)
-2
0
𝐿
𝑇
1
-1
0
𝐿
𝑇 −1
2
-1
0
3
-1
0
2
𝐿
3
𝐿
𝑇
−1
𝑇
−1
м
2
м
3
с
Длина
Площадь
Объём
Время
Угол
𝜑
рад/с
1/с = Гц
рад
м
1
КПД, угол и т.д.
−1
с
−1
с2
с2
м
м2
м3
с
с
с
𝜔
𝜈
𝜀
a, g
v, u
ν
Q
Угловая скорость
Частота
Угловое ускорение
Ускорение
Скорость
Кинематическая
вязкость
Объёмный расход
Постоянная
Кеплера
3
Объёмный
м
Постояннаярасход
−2
−2
с
30 -1
м3 сс−1
Q
-2 00 𝐿3 𝑇𝑇−1
𝛾𝜌
астрон. объекта
Галилей
Кеплер
Постоянная
Энергия, работа
Дж,
−2
−2 кг
32 -2
-2 01 𝐿𝐿32 𝑇𝑇−2
мм32 сс−2
E, W,
М
𝛾 A,M Кеплера
Декарт
Момент силы
Нм
(XVI-XVII)
Стати−2
−2
Постоянная
-2 01 𝐿 𝑇𝑇−2 М
Н
Сила
F (R,Т,N,P)
м
01 -2
сс−2 кг
𝛾𝜌
ческие
астрон.
объекта
−2
−2
Н
Жёсткость
пружины
0 -2 1
k
с
𝑇
М
кг
м
Энергия,
работа
Дж,
2
−2
−2 кг
Архимед (-III)
2-1 -2
-2 11 𝐿−1
E, W,pA,M Давление
м2−1 сс−2
𝑇𝑇−2
М
М
кг Н мНм
2 , Па
Момент силы
2
−3
2
−3
Стати−2
−2
Мощность
Вт
2
-3
1
P
(N)
с
м
𝐿
𝑇
М м
кг
1 -2 1 𝐿
Н
F (R,Т,N,P) Сила
с
𝑇
М
кг
ческие
2
−2
2
−2
Энергия пружины
-2 11 𝐿 𝑇𝑇−2 М
НДж
м сс−2 кг
М
Жёсткость
02 -2
kE
кг
м 2
2
2
−1
−1
Дж∙с=кг∙м
/с
Момент импульса
-1 11 𝐿𝐿−1 𝑇−2 М мм−1 с−2 кг
Архимед (-III)
-12 -2
Давление
pL
с
𝑇
М
кг Н м2 , Па
−1
кг ∙ м ∙ с
−1
−1
-1 11 𝐿2 𝑇𝑇−3
р
Мощность
М
м2 сс−3
кг
Вт∙ с
21 -3
P (N)
Импульс
М
кг
Н
Динами2
−2
2
−2
Энергия
Дж
2
22 -20 11 𝐿𝐿2 𝑇
E
2 с
м
М
кг
Момент инерции
кг ∙ м
I
м
М
кг
ческие
2/с
2
−1
Дж∙с=кг∙м
Момент
20 -10 11 𝐿2 𝑇 −1 М
L
с
м
кг
Масса импульса
кг
m
М
кг
−1
кг ∙кг
м∙с
Плотность
м−3 с−1 кг
3
М м
кг
1-3 -10 11 𝐿𝐿−3 𝑇 −1 М
р𝜌
Импульс
м
Н
∙
с
Ньютон
ДинамиГравитационная
м3
(XVII)
инерции
+3
М−1 мм23 с−2 кг −1
кг(кг
∙ м∙2с2 )
G I(𝛾) Момент
2 0-2 1-1 𝐿𝐿23 𝑇 −2 М
ческие
постоянная
Масса
кг
0 0 1
m
М физической величины
кг
f = 𝐿𝑎 𝑇 𝑏 М𝑐 - формула размерности
fкг,
−3
−3
Плотность
-3 0 размерности
1 𝐿
м
𝜌
М
кг
м3
[ l ] = L - формула
длины,
Ньютон
Гравитационная
м3
[ t ] = T - формула
(XVII)
+3 -2 размерности
-1 𝐿3 𝑇 −2времени,
М−1 м3 с−2 кг−1
G (𝛾)
(кг ∙ с2 )
постоянная
[ m ] = M - формула размерности массы.
3
-2
0
𝐿3
𝑇 −2
м3
с−2
𝛾m
m
Список использованной литературы:
1. Неграш А. С., Мазейкина М.Ю. Анализ
размерностей физических величин и подобие
физических явлений как метод развития мышления
при обучении физике /А.С. Неграш, М.Ю. Мазейкина//
Сб. тр. докладов Всероссийского Съезда учителей
физики. – М.: МГУ. – 2011. – С. 332-334.
2. Неграш А. С., Мазейкина М.Ю. Использование
анализа размерностей в геометрии /А.С. Неграш,
М.Ю.
Мазейкина//
Педагогическое
мастерство:
материалы междунар. заоч. науч. конф. (г. Москва,
апрель 2012 г.). – М.: Буки-Веди, 2012. – С.165-169.
3. Мазейкина М.Ю., Неграш А. С. От кинематических
законов Галилея и Кеплера к динамическим законам
Ньютона:
методика
изложения
классической
механики/ А.С. Неграш, М.Ю. Мазейкина// Молодой
учёный. – 2012. – № 5. – С. 452 – 460
4. Неграш А. С., Мазейкина М.Ю. Использование
алгоритма анализа размерностей физических величин
в школе/ А.С. Неграш, М.Ю. Мазейкина// Молодой
учёный. – 2012. – №6. – С. 411 – 417
5. Неграш, А. С. Алгоритм решения задач физики
анализом размерностей с использованием линейной
алгебры / Неграш, А.С., Мазейкина М.Ю. // Бюллетень
лаборатории математического, естественнонаучного
образования и информатизации: Реценз. сб. науч. тр.
– М.: Научная книга. – 2012. Том III. - С. 232-235.
6.
Неграш,
А.
С., Мазейкина
М.Ю. Анализ
размерностей и теория подобия в астрофизике:
критерии
физического
подобия
пульсаров// Фундаментальные
и
прикладные
исследования: проблемы и результаты: сборник
материалов I Международной научно-практической
конференции / Под общ. ред. С.С. Чернова. Новосибирск: Издательство НГТУ, 2012. - 230 с. - С. 815.
7. Negrash A.S. Gravitational dynamic braking of Pioneer
spacecrafts: criterion of physical similarity of such
phenomena// Европейская
наука
и
технологии: материалы 3ей Международной научнопрактической конференции, октябрь 2012 /. –
Wiesbaden, Germany, 2012
8. Negrash A.S. Theoretical justification of the empirical la
w of Hubble// Европейская
наука
и
технологии: материалы 3ей Международной научнопрактической конференции, октябрь 2012 /. –
Wiesbaden, Germany, 2012
9.
Мазейкина
М.Ю.
Использование
анализа
размерностей в разделе «Молекулярно-кинетическая
теория. Законы идеального газа». // Педагогическое
мастерство II: материалы междунар. заоч. науч. конф.
(г. Москва, ноябрь 2012 г.). – М.: Буки-Веди, 2012.
10. Sedov L.I. Similarity and dimensional methods in
mechanics. – M.: MIR PUBLISHERS, 1982. – 424p.
11. Barenblatt G.I. Scailing. – Cambridge University
Press, 2003. –216 p.