Анализ размерностей

МОДЕЛИРОВАНИЕ КАК МЕТОД ИССЛЕДОВАНИЯ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ
Вопросы. Краткая характеристика курса, история его создания. Значение моделирования в исследованиях, оптимизации и управлении технологическими процессами.
Цели и задачи курса. Содержание понятий "модель" и "моделирование". Виды моделирования: физическое и математическое. Теория подобия - основа физического моделирования. Основные теоремы теории подобия.
История курса "Моделирование и оптимизация технологических процессов"
(МОТП) начинается формально со 2-го апреля 1975 года, когда Учебно-методическим
управлением по высшему образованию при министерстве высшего и среднего специального образования СССР была утверждена программа этого курса для высших учебных заведений по четырем специальностям. Программу этого курса составил д.т.н.
проф. Севостьянов Алексей Григорьевич. Заслуга его в деле введения данного курса в
группу дисциплин, преподаваемых в текстильных ВУЗах, состоит не только в том, что
он , будучи в возрасте 65 лет смог разработать качественно новый предмет, но главным
образом в том, что первым сумел рассмотреть ту тенденцию в развитии и совершенствовании высшего образования, которая возникла благодаря созданию новых технических средств исследования в сфере промышленной технологии.
При проектировании или совершенствовании технологических процессов и объектов возникают задачи, требующие предварительного их исследования. Во многих случаях решение таких задач с применением расчетных или экспериментальных методов
затруднено. В этих случаях применяется метод моделирования. Большим преимуществом моделирования является то, что затраты рабочего времени и материальных
средств на реализацию моделей оказываются менее значительными в сравнении с
натурным экспериментом. Вместе с тем результаты моделирования, как правило, близки
к результатам натурного эксперимента.
Цели изучения дисциплины состоят в изучении научных, технических, методических основ моделирования и оптимизации технологических процессов в текстильной
и легкой промышленности.
Задачи изучения дисциплины
Основными задачами дисциплины в области моделирования являются изучение
его видов, их особенностей и методик построения соответствующих моделей; в области оптимизации – изучение методов решения однокритериальных и многокритериальных задач оптимизации. В результате изучения дисциплины студент должен
иметь представление:
 о моделировании как методе исследования технологических процессов в текстильной
и легкой промышленности и его теоретических основах;
 о задачах оптимизации и их специфике;
 об однокритериальных и многокритериальных задачах оптимизации.
должен знать:
 методику проведения анализа размерностей при исследовании технологических процессов;
 алгоритмы построения математических моделей случайных процессов;
 алгоритмы имитационного моделирования технологических объектов;
 методы определения динамических характеристик объектов;
 методы решения одно- многокритериальных задач оптимизации;
должен владеть:
 методами построения и анализа математических моделей технологических процессов
и объектов;
 методами решения однокритериальных и многокритериальных задач оптимизации.
Моделирование
По существу моделирование есть особая форма эксперимента. В обычном эксперименте средства экспериментального исследования взаимодействуют непосредственно с самим объектом исследования. При моделирований такого прямого контакта нет. Здесь экспериментируют не с самим объектом, а с его заменителем, который и
называют моделью.
ВИДЫ МОДЕЛИРОВАНИЯ
Физическое моделирование
Характеризуется тем, что исследование объектов проводится на стендах, установках, макетах, сохраняющих в той или иной степени физическую природу изучаемых
процессов и моделей. Физическое моделирование имеет следующие достоинства:
1. Более полное по сравнению с математическим моделированием воспроизведение свойств исследуемого процесса или объекта.
2. Исследование процесса более простое, чем исследование на реальном объекте.
Недостатки:
1. Метод менее универсален, т.к. при изменении параметров исследуемого объекта или при воспроизведении нового объекта необходимо переделывать старую или создавать новую модель, что связано с затратами времени и средств.
2. Относительно высокая стоимость моделей сложных объектов.
Математическое моделирование
При математическом моделировании исследование процесса ведется на модели,
имеющей физическую природу, отличную от природы объекта. Метод основан на идентичности математических описаний процессов, протекающих в моделируемой системе
и в моделирующей. Математическое моделирование включает два основных этапа:
1. Математическое описание процесса, т.е. получение математической модели.
2. Исследование этой модели на аналоговой или цифровой ЭВМ.
Наиболее широкое применение получили два вида математического моделирования:
Моделирование с помощью моделей прямой аналогии
В этом случае устанавливается непосредственная взаимосвязь между основными параметрами, которые характеризуют процессы различной природы. Примеры.
1. Перенос тепла вдоль проводника q= λ dT/dx, где q – тепловой поток, dT/dx – градиент температуры, λ – коэффициент теплопроводности среды.
2. Перенос электрических зарядов по проводнику: i= - (1/ ρ) dU/dx, где i – величина
электрического тока, dU/dx – градиент электрического напряжения, ρ – удельное сопро-
тивление проводника.
Цифровое моделирование
Исследование моделей распадается на ряд отдельных арифметических действий с
параметрами процесса, которые представляются в виде дискретных значений, изобрабражаемых числами. Действия над ними наряду с логическими операциями осуществляются на ЭЦВМ.
Если полное математическое описание процесса отсутствует, то этот случай типичен для решения кибернетических задач, когда при наличии неполной информации
об объекте осуществляется параллельно создание математической модели и ее исследование. При кибернетическом моделировании используется модель черного ящика.
Теоретической основой моделирования является теория подобия, одной из задач которой - установление зависимостей между параметрами процессов, протекающих
в объекте и модели. Если объект и модель подобны, то информация о поведении объекта
в заданных условиях может быть получена при исследовании модели в подобных условиях.
Теоремы теории подобия
Основные положения теории подобия содержатся в трех ее теоремах.
1-я теорема: "Подобные системы имеют одинаковые критерии подобия. Критерии подобия - это безразмерные выражения, составленные из параметров, характеризующих процесс или объект.
2-я теорема: (π-теорема). Состоит в доказательстве возможности сведения уравнения, описывающего процесс или объект, к критериальному виду. ( Э. Букингем, 1914
год).
3-я теорема: Подобны явления, имеющие одинаковые определяющие критерии.
3-я теорема определяет пределы распространения результатов единичного опыта.
АНАЛИЗ РАЗМЕРНОСТЕЙ
Анализ размерностей базируется на теореме Букингема. Она свидетельствует о
том, что любое уравнение может быть представлено в критериальном виде – виде, содержащем только безразмерные комбинации. Представим теперь, что введена группа
исходных величин, например: у = f (х1, х2,…, хn-1) (*). Если из этих величин методом
анализа размерностей можно построить группу комбинаций и все эти комбинации окажутся безразмерными, то тогда группа исходных величин является полной, т.е. в форме
(*) соответствует некоторое уравнение (которое мы можем и не знать). Если хоть одна
из комбинаций окажется имеющей размерность, то это означает, что группа исходных
величин построена неверно. В ней либо существует лишние, либо отсутствуют некоторые величины. В связи с этим возникает вопрос, можно ли до проведения анализа размерностей установить, сколько комбинаций может быть получено из группы исходных
величин. Теория дает такую оценку. Пусть группа исходных величин содержит n величин, а m – количество основных единиц размерностей в используемой системе единиц
измерения, то число безразмерных комбинаций, которое может быть получено из этой
группы  подчиняется следующему неравенству:   n – m. В случае, если 1, существует потенциальная возможность сведения всех исходных величин в одну безразмер-
ную комбинацию. В этом случае мы приходим к истинной функции, описывающей изучаемую зависимость. В случае, когда   2,3 и т.д., анализ размерностей не приводит к
функции, описывающей изучаемую зависимость. Однако, как было сказано выше, получаемые и в этом случае две и более безразмерных комбинаций, являясь частями неизвестной функции, тем не менее, дают многое в понимании особенностей взаимосвязи
исходных величин.
Задача. Прочность склеивания А двух материалов путем прессования зависит
от давления Р, температуры прессования Т, времени прессования t и коэффициента теплопроводности склеивания материалов .
Решение. Запишем форму 1: А = f (Р, Т, t, )
(1)
Подставим размерности введенных единиц в системе СИ. Размерности будем обозначать путем заключения обозначения величины в квадратные скобки:
[А] = Н/м, [Р] = н/м2, [t] = с, [Т] = 0К, [] = Дж/(с*м*0К).
(2)
Для построения формул размерностей введем обозначения основных единиц
измерений в системе СИ: кг  М; м L; с θ; 0К К.
(3)
Выражая в соотношениях (2) производные единицы измерений через основные
(единицы массы, длины, времени и температуры) и используя обозначения (3), строим
следующую таблицу:
Величина
Размерность (СИ)
Формула размерностей
2
А
кг/с
М θ -2
Р
(кг/мс2)
МL-1 θ -2
0
Т
К
К
T
С
Θ
30
(кгм)/(с К)
MLθ -3К-1

Оценим число безразмерных комбинаций. При n=5 и m=4 имеем n–m=1. Тогда  =1.
Следовательно имеется возможность свести все исходные величины в одну формулу.
Вводим форму 2, получаемую из формы 1 путем введения безразмерных показателей степеней a, b, c, d: А = f (Ра, Тв, tс, d).
Строим форму 3. Она может быть получена из формы 2) путем замены обозначения величин соответствующими формулами размерностей из таблицы:
Мθ -2 =  { (МL-1θ -2)а, Кв, θс, (MLθ-3К-1)d}
Строим систему соотношений для определения введенных показателей степеней. Для единицы массы М: 1= а+d, для единицы длины L: 0= – a+d,
для единицы времени θ: – 2= – 2а+с – 3d, для единицы температуры К: 0= в–d.
Решением этой системы является следующее: а = в = с = d = 0.5.
Т.к. показатели степеней является конкретными числами, то они могут быть отнесены к обозначению соответствующей величины. Тогда форму 2 можно записать как
форму 4: А1 = f ([P0,5)1, (T0,5)1, (t0,5)1, (0,5)1]. Объединяем величины, имеющие одинаковые показатели степеней, используя два правила объединения: 1) Если объединяемые
величины, находятся в правой части формы 4, то они объединяются в виде произведения; 2) Если величина из левой части формы 4 объединяется с величинами из правой ее
части, то они объединяются в виде дроби, числитель которой – величина из левой части
формы 4, а знаменатель – произведение величин из правой части этой формы. В итоге
A
 const  B . Проверим, является ли найденная комбинация безразP *T * t * 
имеем:
мерной, подставляя в нее формулы размерностей входящих в нее величин:
M * Q 2
1
2
3
1
. Размерности числителя и знаменателя сократи-
M * L *Q * K *Q * M * L *Q * K
лись. Следовательно, полученная единственная безразмерная комбинация может рассматриваться как формула, соответствующая форме 1.
Большинство инженерно - технических задач в текстильной и легкой промышленности не
могут быть отнесены к простым. Это обусловлено, с одной стороны, необходимостью одновременного учета многих факторов, с другой -тем, что характер влияния их на течение технологических процессов и состояние объектов известен, как правило, приближённо, нередко лишь
на качественном уровне. И уж совсем непростой задачей оказывается выявление основных факторов, определяющих изучаемое явление в сфере конкретного производства.
Следует отметить, что практически всегда численные значения параметров, связи между
ними, формы зависимостей во многих случаях известны плохо. Порой ситуация осложняется
тем, что они существенно меняются во времени. Однако целесообразность математического
анализа функций, описывающих связи между параметрами производственных процессов, не
может вызывать сомнений.
Такой анализ представляется еще более оправданным, если учесть, что при математическом описании задач всегда легче оценить роль любого фактора в том или ином явлении, а значили представить себе, с какими последствиями связано его изменение.
Между тем, указанные выше причины порой настолько затрудняют применение хорошо
отработанных математических методов, что создают впечатление практической невозможности математического описания исследуемых взаимосвязей. Этому в большой мере способствует
отсутствие или неполнота теоретических оснований явления вследствие его неизученности.
Для успешного управления технологическими процессами и их оптимизации недостаточно знания отдельных качественных сторон процесса. Требуется количественное описание
по меньшей мере в форме математических моделей. Однако из-за сложности многофакторных
технологических процессов получение математических моделей представляет непростую задачу
даже при определенных допущениях и упрощениях.
Математическое моделирование тесно связано со многими методами научного познания.
Одним из них является анализ размерностей, который всегда рассматривался как наиболее
простой и быстрый (для инженера) метод построения функциональных соотношений между параметрами без применения сложной теории. Поэтому применение анализу размерностей делает
приемы моделирования более оперативными и гибкими, а модели - более реалистичными.
1. Общие сведения об анализе размерностей
При исследовании механико - технологический процессов текстильной и легкой промышленности широкое распространение получило математическое моделирование, тесно связанное
со многими методами научного познания. Одним их них является анализ размерностей. Большое преимущество анализа размерностей состоит в том, что для его проведения не требуется,
постановки каких бы то ни было экспериментов или применения ЭВМ.
Содержание анализа размерностей определяется одной из теорем теории подобия, которая
называется π-теоремой или теоремой Букингема [1]:
Если какое - либо уравнение однородно относительно размерностей, входящих в него величин, то его можно преобразовать к соотношению, содержащему набор безразмерных
комбинаций этих величин.
Однородным относительно размерностей будет то уравнение, вид которого не зависит от
выбора основных единиц измерения.
Безразмерные комбинации представляют собой произведения или отношения величин,
составленные таким образом, что в каждой комбинации размерности величин сокращаются. Такие комбинации ценны тем, что в них отражается вид изучаемой зависимости. Иными, словами,
в некотором смысле безразмерные комбинации - это "части" изучаемой зависимости. Анализ
размерностей дает возможность установить некоторые черты ( особенности) математической
структуры уравнения, описывающего реальный процесс или состояние объекта. Он, как правило,
не дает окончательного ответа на вопрос о точной форме уравнения, но позволяет значительно
его прояснить. Особенно эффективен анализ размерностей, когда число исходных величин невелико. В частности, если группа исходных величин сводится к одной безразмерной комбинации,
то мы определяем вид изучаемой зависимости с точностью до некоторых постоянных. Можно ли
до проведения анализа размерностей установить число безразмерных комбинаций, которые могут быть получены? Да, можно. Если число величин, входящих в изучаемое уравнение, равно n, а
число основных единиц равно т, то число безразмерных комбинаций к определяется следующим выражением: k ≥ n - m .
Для проведения анализа размерностей исследователь должен прежде всего выявить величины, входящие в состав уравнения, отображающего изучаемую зависимость. При этом одну из
величин, исходя из тех или иных соображений, выбирают в качестве выходной переменной,
остальные рассматриваются как независимые входные переменные. Важно отметить , что можно
не знать всех переменных, входящих в уравнение изучаемого процесса, но необходимо представлять себе, что эти переменные и связывающее их уравнение существуют независимо от того,
известны они или нет.
При проведении анализа размерностей необходимо осуществить:
- выбор исходных величин, рассматривая в качестве их также размерные коэффициенты и
физические постоянные (например, ускорение свободного падения);
- выбор системы основных размерностей и составление формул размерностей:
- построение безразмерных комбинаций.
Решение задачи построения безразмерных комбинаций будет правильным, если удовлетворяются следующие условия:
- каждая полученная комбинация исходных величин будет безразмерна;
- число комбинаций не меньше к;
- каждая из исходных величин встречается в комбинациях хотя бы один раз.
Анализ размерностей обладает важной особенностью: если систему безразмерных комбинаций получить не удается, то есть, если хотя бы одна из комбинаций оказывается небезразмерной, то это указывает на то, что какие - то величины были упущены или выбраны неверно, и от них следует отказаться. Во многих случаях результаты анализа размерностей позволяют
скорректировать первоначальную группу величин и сделать в конечном итоге правильный выбор их.
Рассмотрим на конкретных примерах технику проведения анализа размерностей.
1.1. Исследование зависимости натяжения нити при баллонировании в процессе осевого
сматывания от определяющих факторов
Задача 1
Пусть Р - величина, характеризующая натяжение нити при баллонировании в процессе ее
сматывания с паковки. Основываясь на общем представлении о данном процессе, введем функцию:
P = f(w,r,T)
(1)
где w - круговая частота вращения баллона;
r - радиус в сечении, перпендикулярном оси баллона;
Т - линейная плотность нити.
Будем считать, что введенные величины являются определяющими, то есть в решающей
степени влияющими на натяжение сматываемой нити. Представим выражение (1) в форме, содержащей лишь безразмерные комбинации исходных величин. Для этого используем так называемый релеевский метод решения размерных систем [1],
Выразим сначала размерности исходных величин, т.е. величин, входящих в (1). Размерность величины будем обозначать сокращением dim - от английского слова dimension - размерность - с указанием обозначения этой величины. Например, dim P - читается как размерность
величины Р. Используя систему SI, имеем:
dim P = Н = кгм/с2; dim w = с-1; dim r = м; dim T = кг/м
Другим способом обозначения размерности величины является запись ее обозначения в
квадратных скобках и указание через знак равенства ее размерности. Например, [Р] = Н, то есть
размерность силы - Ньютон.
Введем буквенные обозначения размерностей основных единиц с системе SI:
единица массы - М;
единица длины - L;
единица времени - Q.
Используя их, построим так называемые формулы размерностей для рассматриваемых
величин: Р, w, г, Т. С этой целью в выражении, определяющим размерность каждой величины,
принятые обозначения основных единиц заменяем введенными символами. В частности в выражении для размерности натяжения нити заменяем обозначение "кг" на символ М, обозначение "м" - на символ L, обозначение "с" - на символ Q. В результате получаем так называемую
формулу размерности для Р. Аналогично строим формулы размерностей для всех остальных
величин, которые представлены в следующей таблице.
Обозначение величины
Формула размерности
Р
w
r
Т
MLQ-2
Q-1
L
ML-1
Очевидно, что выражение (1) являетcя лишь общей формой записи зависимости между
введенными величинами. В действительности характер влияния аргументов на функцию вообще говоря, неодинаков. Поэтому естественно с точки зрения приближения к истинной зависимости использовать такую форму:
Р = f(wa, rb, Tc}
(2)
где а, b, с - некоторые безразмерные показатели степени, отражающие характер влияния
факторов w, r, T на величину Р. Форма (2) является отправной (исходной) при проведении анализа размерностей релеевским методом. Далее действуем следующим образом.
Подставим в (2) вместо обозначений величин формулы их размерностей, полученные
выше. Имеем:
MLQ-2 = f {(Q-1)a, Lb, (ML-1)c}
(3)
Для того, чтобы последнее соотношение было однородным относительно размерностей,
должны
выполняться
следующие
отношения
между
показателями
степеней:
для М:
для L:
для Q:
1 = с;
1 = b-с;
-2 = - а.
В итоге имеем три уравнения с тремя неизвестными. Решив эту систему, получим: а = 2;
b = 2; с = 1. Подставим найденные значения в форму (2):
Р = f(w2, r2, T}
(4)
Так как показатели степеней всех величин, входящих в соотношение (4), определенны,
то его можно переписать в более удобном виде в целью облегчения выполнения заключительной операции анализа размерностей - построения безразмерных комбинаций;
Р-1 = f{(w2)1, (r2)1, T1}
(5)
Построим теперь безразмерные комбинации. Число их будет: k > n – m. Так как n = 4, а
m = 3, то n – m = 1 и k ≥ 1.
Им получения безразмерных комбинаций используем прием объединения величин, имеющих одинаковые показатели степеней. При этом, если объединяемые величины оказываются
только в правой части соотношения, то они образуют безразмерную комбинацию в виде произведения. Если величины из правой части объединяются с величиной, стоящей в левой части, то
комбинация представляет собой дробь, числитель которой - величина, стоящая в левой части, а
знаменатель -произведение величин из правой части, имеющих показатель степени, равный
единице. В рассматриваемом случае из выражения ( 5 ) следует, что натяжение нити, квадрат
частоты вращения баллона, квадрат радиуса баллона и линейная плотность нити имеют одинаковые показатели степени и равны 1. Поэтому их можно объединить, в одну комбинацию:
P / w2 r2 T = Const = A
(6)
Построенная комбинация оказывается безразмерной. Таким образом, имеем:
P = A w2 r2 T
(7)
то есть получаем формулу, связывающую между собой исходные величины. Имея эту
формулу, можно уточнить содержание величины Р. Из ( 7 ) вытекает, что при r = 0, Р = 0. Итак,
если Р рассматривать в качестве натяжения в произвольной точке баллонирующей нити, то оказывается, что в верхней точке баллона эта величина всегда равна нулю. Это противоречит физической картине движения нити при осевом сматывании с паковки. Можно предположить, что
величина Р функционально связана с натяжением нити в произвольной точке баллона, но не
равна ему. В известной работе [ 1 ] показано, что правая часть (7) есть мера разности мера разности {Ро – Р(г)}, где Ро - натяжение нити в верхней точки баллона, Р(r) - натяжение в произвольной точке баллона, т.е.:
Po-P(r) = 0,5w2 r2 T
(8)
Таким образом, правая и левая части соотношений (7) и (8) совпадают с точностью до
констант. Однако соотношение (8) получено в [2] совсем другим, гораздо более сложным методом.
Рассмотренный пример демонстрирует привлекательные возможности анализа размерностей как метода изучения взаимосвязи технологических параметров. Но он обнажает и его
недостатки, в частности, невозможность различения величин Р, Р(r) и {Ро - Р(r)}, так как их
размерности одинаковы. Поэтому, чтобы установить, какие из них входят в уравнение изучаемой зависимости, требуются другие методы: Тем не менее, если «догадаться», что Ро = Р(r), а
не Р = Р(r), то анализ размерностей немедленно приводит нас к соотношению (8). '
Задача 2
Расширим теперь группу факторов, определяющих натяжение баллонирующей нити,
введя в нее высоту баллона
Р = f (w,г, Т, Н)
(9)
Представим это соотношение в форме, содержащей безразмерные комбинации входящих
в него величин. Число таких комбинаций будет:
π =n–γ=5–3=2
Используя метод, представленный выше, построим формулу размерностей величин, присутствующих в (7).
Обозначение
Формула
Обозначение
Формула
величины
размерности
величины
размерности
Т
ML-1
Р
MLQ-1
Н
L
w
Q-1
г
L
Представим (9) в виде:
P = f(wa, rb, Tc, Hd)
(10)
Определим введенные постоянные безразмерные показатели степеней а, b, с, d релеевским методом.
Подставим в (10) вместо символов величин формулы их размерности из таблицы:
MLQ-1 = f{(Q-1)a, Lb, (МL-1)c, Ld}
(11)
Построим систему соотношений между показателями степеней:
для М: 1 = с
для L: 1 = b - с + d
для Q: -2 = -а
В итоге получаем: а = 2; с = 1 ; b = 2 - d
Перепишем выражение (10), подставив в него найденные значения показателей степеней:
P = f(w2, r2-d, T, Hd)
(12)
Изменим форму записи (12):
P = f {(w2)1, (r2)1, (r –1)d, T1, Hd}
(13)
Объединим теперь величины, имеющие одинаковые показатели степеней:
P/w2r2T = f (H/r)d
(14)
В выражении (14), содержащем две безразмерные комбинации, показатель степени «d» и
вид функции «f» являются неизвестными. Тем не менее, рассматривая (14), можно сделать выводы о тонких особенностях влияния высоты баллона на натяжение сматываемой нити.
Отметим: функция f (Н/r)d имеет своим аргументом отношение H/r или обратное ему
r/Н, что зависит от знака показателя степени d.
Если ввести систему координат ОНг с началом координат в вершине баллона, то в этой
системе величины Н и г оказываются координатными точками баллонирующей нити. Отношение этих, координат в первом приближении можно использовать как меру первой производной,
которая, как известно, связана с формой баллонирующей нити.
Таким образом, высота баллона влияет на натяжение нити в баллоне через его форму:
изменение высоты баллона приводит к изменению его формы, а следовательно, и к изменению
натяжения баллонирующей нити.