Задача 26. Абсолютно твердое тело

1
Цикл 2. (Продолжение)
Интерактивные иллюстрации
Примечание. Смысл иллюстраций связан с контекстом излагаемой ниже теории.
Здесь мы рассмотрим следующие разделы:
Замкнутая система N частиц
Задача 26. Абсолютно твердое тело
Задача 27. Многомерный гармонический осциллятор
Большое число частиц
Замкнутая система N частиц
Задача двух тел имеет аналитическое решение, так как обладает для этого
достаточной симметрией. Следствием этой симметрии являются законы
сохранения, или интегралы движения. Сохранение энергии есть следствие
однородности времени, импульса – однородности пространства, момента
импульса – изотропии пространства. Это – первые интегралы движения, т.е.
результат первого интегрирования уравнений движения как уравнений второго
порядка.
Однородность пространства ведет к произволу в выборе начала координат. Эта
постоянная появляется при интегрировании по времени закона сохранения
импульса P = m1v1 + m2v2 → Pt + const = m1r1 + m2r2. Сохраняющаяся функция
const = m1r1 + m2r2 - Pt, названная «бустером», равна const = μR0, где R0 –
радиус вектор центра масс при t = 0, а μ – полная масса системы. Напомним,
также, что «закон сохранения бустера» является следствием инвариантности
уравнений движения замкнутой системы относительно преобразований
Галилея.
Однородность времени ведет не только к закону сохранения энергии, но и к
произволу выбора начала отсчета времени. Это еще одна постоянная,
являющаяся также интегралом движения.
Наконец, изотропия пространства ведет кроме закона сохранения момента
импульса к произволу в выборе начала отсчета угла поворота около
направления собственного момента импульса.
Итак, у замкнутой механической системы существует семь «основных» законов
сохранения замкнутой механической системы – скалярной энергии и двух
векторных - импульса и момента импульса. Благодаря той же симметрии
имеется еще пять постоянных вторых интегралов. Это вектор положения центра
масс при t = 0 («бустер»), начальный момент времени и начальный угол
поворота системы относительно неизменно направленного собственного
момента импульса. Двенадцати независимых интегралов необходимо и
достаточно для решения задачи двух тел, имеющей 6 степеней свободы.
Имеющейся симметрии и, соответственно, этих же двенадцати интегралов
недостаточно для решения задачи о движении замкнутой системы из трех
частиц, имеющей уже 9 степеней свободы и требующей наличия 18 интегралов
движения. Поэтому в общем случае задача о движении замкнутой системы N>2
частиц решается лишь численно.
В задаче N тел, как и в задаче двух тел, удобно выделить равномерное движение
системы в целом, вводя полную массу и скорость центра масс из определения
импульса P = μVcm. Полную энергию системы N частиц можно так же
©Фомин Георгий Викторович. Механика. РГУ. 2009 г. www.phys.sfedu.ru\~fomin
2
представить в виде суммы кинетической энергии центра масс и внутренней
энергии
E = μV2cm/2 + Eвн,
а полный момент импульса равен сумме орбитального и собственного моментов
импульса
M = μ[RVcm] + S
Здесь, как и выше,
N
   ma - суммарная масса частиц,
a 1
R
1

N
m r
a 1
Vcm 
1
a a
- радиус-вектор центра масс,
N
m v

a 1
a
a
-скорость центра масс.
Внутреннюю энергию и собственный момент импульса можно, как и в задаче
двух тел, записать в инвариантном виде в форме функций относительных
радиус-векторов и относительных скоростей частиц (покажите самостоятельно)
1 N
Eвн 
ma mb ( v b  v a ) 2  U ab ( ra  rb ) (Eint)

4 a,b1
a b
1 N
 ma mb [(rb  ra )( vb  v a )] (Sint)
2 a ,b1
Далее, можно воспользоваться произволом выбора масштабов массы, длины и
времени. Выбор этих масштабов можно проводить по-разному в зависимости от
того, на какой стадии расчетов мы находимся.
Рассмотрим конкретный случай гравитационного взаимодействия Uab = Gmamb/|ra – rb|.
В процессе задания начальных условий удобно работать в лабораторной
системе отсчета и масштабов.
Представьте себе, что мы «строим» систему из N частиц, добавляя в нее
частицы по очереди. В начале было пусто – никаких объектов. Поэтому нет
никаких масштабов, ни систем отсчета.
Создадим первую частицу.
Пространственную точку, куда мы ее поместим в начальный момент времени,
назовем началом лабораторной системы координат. Другими словами,
декартовые координаты первой частицы в начальный момент времени равны
нулю (однородность пространства).
Естественно выбрать массу первой частицы в качестве эталона
~  m /[ M ]  1 . Тогда массы всех частиц будут выражаться в
[M ]  m1 ; m
1
1
единицах массы первой частицы.
В начальный момент наша частица имеет некоторую скорость. Выберем
равномерно и прямолинейно движущегося наблюдателя, для которого
начальная скорость первой частицы равна нулю (инвариантность
относительно преобразований Галилея). В этой системе отсчета в начальный
момент времени первая частица покоится. Все три компоненты ее скорости
равны нулю.
Теперь разместим в пространстве вторую частицу.
Масса второй частицы будет выражаться в единицах массы первой и может
быть произвольной.
S
©Фомин Георгий Викторович. Механика. РГУ. 2009 г. www.phys.sfedu.ru\~fomin
3
Поместим вторую частицу в точку пространства, находящуюся на некотором
расстоянии от первой. Так как других расстояний нет, то естественно выбрать
расстояние между этими двумя частицами за единицу [D] = |r10 – r20|. Так мы
введем масштаб длины в лабораторной системе.
В пространстве возникло выделенное направление – от первой частицы ко
второй. Так как других направлений нет, то мы можем направить одну из осей
координат, например, ось x от первой частицы ко второй. Тогда координаты
второй частицы будут (x = 1; y = 0; z = 0).
Между частицами имеется гравитационное взаимодействие, потенциал которого
содержит в себе масштаб времени. Так как других временных масштабов нет, то
естественно выбрать масштаб времени, положив равной единице постоянную
взаимодействия (гравитационную постоянную G)
~
3
G  1  G /[G ]  G /([ D]3 /([T ] 2 [ M ]))  m1 G[T ] 2 r10  r20 .
Отсюда масштаб времени [T ]  r10  r20
3
m1 G .
Задание начальных состояний всех остальных частиц производится уже на
основе выбранных масштабов в фиксированной нашими условиями
лабораторной системе отсчета.
После задания состояний и параметров всех частиц удобнее использовать иную
систему отсчета и масштабов. Это система центра инерции. В системе центра
инерции равноправно описываются все частицы, входящие в систему.
Начало координат помещаем в центр инерции. Выбираем наблюдателя,
относительно которого центр инерции покоится.
При переходе от лабораторной системы к системе центра инерции имеет смысл
изменить масштабы массы, длины и времени. За единицу массы удобнее
выбрать полную массу системы μ, чтобы не выделять ни одну из частиц. Если
внутренняя энергия и собственный момент импульса системы частиц не равны
нулю, масштабы длины и времени удобнее выбрать так, чтобы модуль
момента импульса S и модуль внутренней энергии Eint равнялись единице.
В такой нормировке из формул размерностей
[E] = [M][D]2/[T]2; [S] = [M][D]2/[T]
получим эталоны длины и времени
[T ] 
[S ]
S
[ S ]2

;[ D] 

[ E ] Eint
[ E ][ M ]
S2
.
 Eint
Именно таким образом в случае гравитационного взаимодействия построены
вычисления в предлагаемом приложении, иллюстрирующем движение замкнутой
системы N частиц. В случае других взаимодействий, представленных в
приложении, - кулоновского Uij = kqiqj/rij и взаимодействия Леннарда – Джонса
Uij = U0[(r0/rij)12 - (r0/rij)6], характерного для молекул в жидкости, выбор
масштабов несколько иной. Об этом подробно написано в справке, доступной
непосредственно из приложения. Независимо, рекомендую, если у Вас Vista или
Windows 7, посмотреть аналогичное приложение, моделирующее задачу N тел.
В общем случае, задача N тел не имеет аналитического решения. Численно
решается задача о движении из каждого начального состояния независимо.
Однако существуют три модели замкнутой системы N частиц, которые имеют
аналитические решения.
Первая модель – это свободная частица. Она применяется, когда размеры
системы |rb- ra| гораздо меньше расстояния до нее (положение центра масс R). В
©Фомин Георгий Викторович. Механика. РГУ. 2009 г. www.phys.sfedu.ru\~fomin
4
этой модели не учитывается относительное движение частиц системы, считая
внутренние масштабы не существенными. Вся система представляет собой
свободную частицу P = μVcm, E = μV2cm/2, M = μ[RVcm]. Внутренняя энергия и
собственный момент импульса у свободной частицы в классической теории
отсутствуют.
Вторая модель применима, если размеры системы учитываются, но полагаются
практически неизменными |rb- ra| = const в ходе движения системы. Эта модель
называется абсолютно твердым телом. В отличие от свободной частицы
абсолютно твердое тело имеет определенную внутреннюю энергию
(кинетическую энергию вращения) и собственный момент импульса. Число
степеней свободы абсолютно твердого тела в общем случае равно шести.
Имеющиеся интегралы движения позволяют аналитически решить задачу о
движении свободного абсолютно твердого тела.
Наконец, третья модель замкнутой системы N частиц, которую можно до конца
аналитически исследовать, соответствует системе, в которой расстояния между
частицами не являются постоянными, но их изменения достаточно малы, чтобы
представить уравнения движения в линейном виде. В этой модели как бы
заменяются «твердые стержни», связывающие частицы в абсолютно твердом
теле, слабо деформируемыми пружинами, подчиняющимися закону Гука. Эта
модель описывает малые колебания системы и называется гармоническим
осциллятором. В модели гармонического осциллятора задачи N тел (например,
молекула или кристалл) 6 степеней свободы описывают динамику абсолютно
твердого тела. Оставшиеся 3N – 6 степеней свободы описывают деформации
системы частиц. Это колебательные степени свободы. Такая система
называется многомерным гармоническим осциллятором.
В качестве примера такого иерархического разделения моделей рассмотрим
задачу двух тел. Как было показано ранее, кинетическая энергия двух частиц
может быть записана в виде
m v 2 m v 2 V 2 mv2
T 11  2 2 

2
2
2
2
Здесь μ = m1 + m2 – полная масса системы, V – скорость центра масс, m = m1m2/μ
– приведенная масса, а v = v1 – v2 – относительная скорость частиц.
По определению, относительная скорость есть производная по времени
разности радиус-векторов частиц, т.е. v = dr/dt, где r = r1 – r2. В полярной
системе координат кинетическая энергия относительного движения двух частиц
принимает вид
mv2 mr 2 mr 2 2
Trel 


2
2
2
Здесь mr2 – так называемый момент инерции. В данном случае это момент
инерции эффективной частицы m относительно центра масс, или центра поля.
Если при движении расстояние между частицами не изменяется, то второе
слагаемое определяет кинетическую энергию вращения пары частиц.
Следовательно, вся кинетическая энергия двух частиц может быть представлена
в форме трех слагаемых – кинетической энергии центра масс μV2/2,
кинетической энергии вращения mr2Ω2/2 (    - угловая скорость вращения)
и кинетической энергии сближения/удаления частиц mr 2 / 2 . Первое слагаемое
описывает пару частиц как одну частицу массы μ, движущуюся со скоростью
©Фомин Георгий Викторович. Механика. РГУ. 2009 г. www.phys.sfedu.ru\~fomin
5
центра масс V. Второе слагаемое описывает ту же пару как вращающееся с
угловой скоростью Ω твердое тело.
Пусть теперь частицы находятся вблизи равновесия, так что расстояние между
ними меняется незначительно. Другими словами, потенциальная энергия
взаимодействия между частицами U(r) находится вблизи некоторого минимума
при r = r0. Разложим потенциальную энергию в ряд U(r) ≈ U(r0) + U’(r0) (r- r0) +
½ U’’(r0) (r - r0)2 вблизи равновесия. Учтем, что условием минимума является
равенство нулю центральной силы, то есть равенство нулю первой производной
потенциальной энергии U’(r0) = 0. Достаточным условием минимума, или
условием устойчивости равновесия является положительность второй
производной U’’(r0) > 0. Обозначим эту вторую производную k ≡ U’’(r0).
Постоянный вклад в потенциальную энергию U(r0) можно не учитывать, т. к. он
не влияет на уравнения движения.
Таким образом, вблизи устойчивого положения равновесия потенциальную
энергию можно представить в виде U(r) ≈ ½ k (r - r0)2. Вместе с кинетической
энергией сближения/удаления частиц получаем полную энергию одномерного
гармонического осциллятора
2
mr 2 k r  r0 
Eosc 

2
2
колеблющегося с частотой ω2 = k/m.
Вопросы для самоконтроля
1. Какие интегралы движения имеют место в задаче о движении замкнутой
системы N частиц?
2. Запишите внутреннюю энергию и собственный момент замкнутой
системы как функции состояний частиц. Почему такая запись названа в
тексте «инвариантной»?
3. Как можно построить лабораторную систему отсчета и масштабов для
замкнутой системы взаимодействующих частиц (пример гравитации)?
4. Опишите систему отсчета центра инерции в этой же задаче. Как
выбираются масштабы?
5. В чем состоят приближенные модели замкнутой системы N частиц?
Задача 26. Абсолютно твердое тело
Это система N частиц, находящихся на неизменных расстояниях друг от друга.
Смещения частиц из равновесных положений в абсолютно твердом теле столь
незначительны, что мы ими пренебрегаем. Такая модель работает, конечно,
лишь в том случае, когда внешние силы малы по сравнению с взаимодействием
между частицами.
Определим число степеней свободы твердого тела.
Первая частица имеет три степени свободы. Вторая частица уже находится на
фиксированном расстоянии от первой и имеет лишь две степени свободы.
Наконец, третья частица должна находиться на фиксированных расстояниях от
двух первых частиц. В общем случае третья частица имеет одну степень
свободы. Все остальные частицы оказываются полностью фиксированными по
отношению к первым трем. Поэтому число степеней свободы твердого тела
равно в общем случае шести.
©Фомин Георгий Викторович. Механика. РГУ. 2009 г. www.phys.sfedu.ru\~fomin
6
Твердое тело из 6 частиц
Если частицы твердого тела находятся на одной прямой (так называемый
ротатор), то все частицы, начиная с третьей, оказываются фиксированными.
Число степеней свободы ротатора равно пяти.
Теория абсолютно твердого тела изложена в 6-ой главе «Механики».
Кинематика твердого тела
Радиус-вектора частиц твердого тела должны быть выражены через шесть
независимых координат, описывающих положение твердого тела в
пространстве. Какие координаты выбрать?
Возьмем произвольную частицу твердого тела. Пусть ее радиус-вектор в
некоторой неподвижной системе координат XYZ равен R. Три компоненты
этого радиус-вектора могут служить первыми тремя координатами.
Поместим начало новой, подвижной системы координат x1x2x3 в выбранную
точку R. Оси этой подвижной системы координат жестко свяжем с точками
(неважно какими) твердого тела. Тогда, при движении твердого тела, новая
система координат будет следовать за ним. Поэтому она называется подвижной.
Так как расстояния между всеми точками твердого тела жестко заданы и
неизменны, то их положения (радиус-вектора ra) в подвижной системе
координат остаются неизменными в процессе движения. Поэтому достаточно
задать ориентацию осей подвижной системы координат относительно
неподвижной (начало координат уже задано вектором R), чтобы знать
положение каждой точки твердого тела относительно неподвижной системы
координат. Три угла, ориентирующие оси подвижной системы относительно
неподвижной будут играть роль второй тройки обобщенных координат. Это так
называемые углы Эйлера, которые будут введены позже.
Обозначим радиус-вектор a - ой частицы твердого тела в неподвижной системе
координат ra. Следует быть внимательным к различию в обозначениях и смысла
радиус-векторов частиц твердого тела в подвижной ra и неподвижной ra системе
координат.
©Фомин Георгий Викторович. Механика. РГУ. 2009 г. www.phys.sfedu.ru\~fomin
7
Найдем бесконечно малое смещение dra каждой частицы твердого тела
относительно неподвижной системы координат. Оно складывается из смещения
начала подвижной системы координат dR (смещение твердого тела в целом) и
поворота подвижной системы координат (поворот твердого тела в целом) на
бесконечно малый угол dφ. Изменение радиус-вектора при повороте твердого
тела относительно оси, проходящей через начало подвижной системы
координат, равно векторному произведению
(dra)rot = [dφ ra] (26.1).
Таким образом, скорость каждой частицы твердого тела может быть выражена
через два вектора скорости
va = V + [Ω ra] (26.2).
Здесь V = dR/dt - скорость поступательного движения твердого тела в целом, а
Ω = dφ/dt - угловая скорость вращения.
Можно доказать, что угловая скорость не зависит от выбора начала подвижной
системы координат. Поступательная скорость зависит. Ведь начало подвижной
системы координат может быть выбрано на одной из частиц твердого тела, а у
разных частиц скорость, вообще говоря, разная.
Вот это доказательство.
Пусть новое начало подвижной системы координат находится в точке с радиусвектором b по отношению к прежнему началу. Тогда радиус-вектора одной и
той же частицы ma по отношению к прежнему началу координат ra и к новому
ra’ связаны соотношением ra = ra’ + b. Так как скорость частицы не зависит от
выбора начала координат, то мы можем записать равенство
va = V + [Ω ra] = V’ + [Ω’ ra’].
Подставим сюда выражение для радиус-вектора ra, записанное выше
va = V + [Ω ra’] + [Ωb] = V’ + [Ω’ ra’].
Так как равенство должно выполняться для произвольной частицы, то есть при
произвольных значениях радиус-вектора ra’, и ни один из параметров равенства
не зависит от этого радиус-вектора, то должны быть равны соответствующие
коэффициенты
Ω = Ω’
V’ = V + [Ωb].
Это и есть доказательство.
Отметим также, что изменяется не весь вектор поступательной скорости, а лишь
та его составляющая, которая перпендикулярна вектору угловой скорости. Ведь
векторное произведение [Ωb] обладает именно этим свойством. Путем
специального выбора вектора сдвига b, удовлетворяющего уравнению
VΩ  [Ωb]  0 (26.3),
можно составляющую поступательной скорости VΩ , перпендикулярную
угловой, сделать равной нулю. Решением уравнения (26.3) является
бесчисленное множество точек, лежащих вдоль оси, параллельной вектору
угловой скорости. Ведь если b решение уравнения (26.3), то и любой вектор
вида b + λ, где λ||Ω, будет также решением этого уравнения (векторное
произведение [Ωλ] равно, естественно, нулю). Из этого можно сделать общий
вывод, что в любой момент времени движение абсолютно твердого тела
представляет собой движение по спирали, разворачиваемой вдоль оси,
являющейся решением уравнения (26.3) и параллельной угловой скорости.
Если, в частности, составляющая линейной скорости вдоль угловой равна нулю,
то спиралевидное движение вырождается в чистое вращение. Решение
©Фомин Георгий Викторович. Механика. РГУ. 2009 г. www.phys.sfedu.ru\~fomin
8
уравнения (26.3) в этом случае определяет, как говорят, ось мгновенного
вращения твердого тела.
Вопросы для самоконтроля
1. Что такое твердое тело, и сколько степеней свободы имеет эта система
(дайте пояснения)?
2. Что представляют собой подвижная и неподвижная система координат в
описании твердого тела, и какие величины служат обобщенными
координатами?
3. Как выражается скорость частицы твердого тела через поступательную и
угловую скорость, и какими свойствами обладают эти скорости в
отношении к выбору начала подвижной системы координат?
4. К чему сводится мгновенное перемещение твердого тела, и что такое
мгновенная ось вращения?
Динамика твердого тела
Функция Лагранжа. Уравнения движения. Момент сил
В начале запишем функцию Лагранжа абсолютно твердого тела.
Система N частиц описывается в общем случае функцией Лагранжа
1 N
L   ma va2  U int ( rb  rc )  U (r1 , r2 ,.., rN , t ) .
2 a 1
Кинетическая энергия может быть записана в форме суммы кинетической
энергии центра масс ½μV2cm и кинетической энергии относительного движения
частиц, как в выражении (Eint). Тогда функция Лагранжа примет вид
1
1 N
2
2
L  Vcm 
ma mb v b  v a   U int ( rb  rc )  U (r1 , r2 ,.., rN , t )

2
4 a ,b1
В условиях твердого тела с неизменными расстояниями между частицами
потенциальная энергия взаимодействия Uint является постоянной, поэтому
может быть отброшена.
В кинетическую энергию относительного движения подставим выражение для
скоростей частиц твердого тела (26.2). Это позволит переписать функцию
Лагранжа в виде
1
1 N
2
L  Vcm2 
ma mb Ωrb  ra   U (r1 , r2 ,.., rN , t ) (LS)

2
4 a ,b1
Кинетическая энергия относительного движения частиц в твердом теле
сводится к кинетической энергии вращения. Она зависит от угловой скорости
вращения, от распределения масс в теле и от ориентации тела по отношению
к оси вращения.
Подставим функцию Лагранжа твердого тела (LS) в уравнения Лагранжа.
Начнем с поступательных степеней свободы
d  L  L


 0.
dt  Vcm  R
Производная по скорости центра масс есть просто полный импульс твердого
тела
©Фомин Георгий Викторович. Механика. РГУ. 2009 г. www.phys.sfedu.ru\~fomin
9
L
 Vcm  P .
Vcm
Чтобы понять смысл производной функции Лагранжа по радиус-вектору центра
L
U

масс
, найдем изменение потенциальной энергии δU при малом
R
R
смещении центра масс δR
N
N
U
U
U   ra   R
a 1 ra
a 1 ra
Здесь учтено, что смещение каждой частицы твердого тела равно смещению
центра масс, если ориентация тела в пространстве не изменяется.
С другой стороны
U
U 
R .
R
Сравнивая эти два соотношения, находим
N
L
U N
 
 fa  F .
R
a 1 ra
a 1
Здесь, по определению, fa - сила, действующая на a-ую частицу, и F - полная
сила, действующая на тело.
Итак, уравнение движения для поступательных степеней свободы абсолютно
твердого тела в неподвижной системе отсчета имеет знакомый из общего курса
вид
dP
F.
dt
Теперь обратимся к вращательным степеням свободы, действуя аналогично.
d  L  L
0.


dt  Ω  
Изменение функции Лагранжа при бесконечно малом изменении угловой
скорости имеет вид, согласно (LS)
1 N
L 
 ma mb Ωrb  ra Ωrb  ra 
2 a,b1
Произведем циклическую перестановку в смешанном произведении
Ωrb  ra Ωrb  ra   rb  ra Ωrb  ra Ω
Учтем общее выражение
L
L 
Ω
Ω
Сравнивая, получаем
L
1 N

 ma mb rb  ra Ωrb  ra 
Ω 2 a ,b1
Точно так же выглядит выражение для собственного момента импульса (Sint)
после подстановки в него скоростей частиц твердого тела (26.2). Таким образом
L
 S - собственный момент импульса абсолютно твердого тела.
Ω
L
U

Производная функции Лагранжа по углу поворота
определяется


изменением потенциальной энергии при бесконечно малом повороте твердого
©Фомин Георгий Викторович. Механика. РГУ. 2009 г. www.phys.sfedu.ru\~fomin
10
U
 . Учтем, что изменение радиус-вектора каждой частицы при

таком повороте равно  ra  [ ra ] . Поэтому то же изменение потенциальной
энергии можно записать в виде
N
N
N
U
U
U
U    ra   [ ra ] [ra
].
ra
a 1 ra
a 1 ra
a 1
Сравнивая два выражения для изменения потенциальной энергии δU, получим
L N
производную функции Лагранжа по углу поворота
  [ra f a ]  K .
 a 1
Здесь вектор K определяет суммарный момент сил, действующих на тело.
Следует подчеркнуть, что момент сил определен в системе координат с началом
в центре масс твердого тела. Из этого, в частности, следует, что момент сил
однородного поля тяжести fa = mag равен нулю (покажите самостоятельно).
Можно рассматривать вектор момента сил K’ относительно произвольного
начала координат. Пусть это начало находится в точке b по отношению к
центру масс. Тогда ra = ra’ + b и, следовательно, K = K’ + [bF], где F –
суммарная сила, действующая на все частицы твердого тела. Из этого равенства
следует, что момент сил не зависит от выбора начала системы координат,
если суммарная сила равна нулю.
Итак, полная система уравнений движения абсолютно твердого тела имеет вид
dP/dt = F; dS/dt = K. (26.4)
Если полная сила F равна нулю, то сохраняется полный импульс P = const. Так
как полный импульс равен произведению массы твердого тела µ на скорость
центра масс Vcm, то из сохранения импульса следует постоянство скорости
центра масс.
Если полный момент сил K равен нулю, то сохраняется собственный момент
импульса S = const. Выражение для собственного момента импульса через
1 N
угловую скорость имеет вид S 
 ma mb rb  ra Ωrb  ra . При движении
2 a ,b1
твердого относительные вектора положения частиц rb - ra вращаются
относительно неподвижной системы координат. Поэтому в общем случае из
постоянства момента импульса S не следует постоянство вектора угловой
скорости Ω.
Следовательно, свободное твердое тело движется поступательно с постоянной
скоростью, но вращается, в общем случае, с переменной угловой скоростью.
Следующие разделы будут посвящены изучению вопроса о вращении твердого
тела.
тела U 
Тензор моментов инерции
Вернемся к выражению для функции Лагранжа (LS) твердого тела, где второе
слагаемое определяет кинетическую энергию вращения
1 N
2
Trot 
ma mb Ωrb  ra 

4 a ,b1
Видно, что кинетическая энергия вращения зависит от вектора угловой
скорости, от того, как распределена масса в твердом теле и какова ориентация
твердого тела по отношению к вектору угловой скорости. Можно придать этому
выражению более компактную форму, если описать распределение масс и
©Фомин Георгий Викторович. Механика. РГУ. 2009 г. www.phys.sfedu.ru\~fomin
11
ориентацию твердого тела в пространстве с помощью так называемого тензора
моментов инерции.
Раскроем квадрат относительной скорости
[Ω (rb – ra)]2 = [Ω rb]2 - 2[Ω rb] [Ω ra] + [Ω ra]2
и подставим это выражение в кинетическую энергию вращения
2
1 N
1  N

2
Trot   ma Ωra  
  ma Ωra  .
2 a1
2  a1

(Проведите самостоятельно выкладки).
В последнем слагаемом присутствует сумма
N
m r
a 1
a a
, равная μR, где R – радиус-
вектор центра масс. Так что слагаемое имеет вид

ΩR 2 .
2
Выбрав начало подвижной системы координат в центре масс, получим R = 0, и,
следовательно, кинетическая энергия вращения равна
1 N
2
ma Ωra 

2 a 1
Вынесем за знак суммирования независящую от частиц угловую скорость Ω. С
этой целью проведем ряд алгебраических преобразований.
1. Выражение [Ω ra]2 можно рассматривать как смешанное произведение вида
A[Ω ra], где A = [Ω ra]. После циклической перестановки, которую допускает
смешанное произведение, его можно записать в виде Ω[ra A] = Ω[ra [Ω ra]].
Следовательно,
1 N
Trot   ma Ω[ra [Ωra ]]
2 a 1
2. Разложим двойное векторное произведение по формуле [a[bc]] = b(ac) – c(ab)
1 N
1 N
m
Ω
[
r
[
Ωr
]]

ma Ω(Ωra2  ra (ra Ω))


a
a
a
2 a 1
2 a 1
3. Запишем квадрат радиус-вектора из правой части в проекциях на оси
подвижной системы координат
ra2  x12a  x 22a  x32a  xla2 по индексу l производится суммирование от 1 до 3;
4. Запишем квадрат угловой скорости из первого слагаемого правой части через
проекции на подвижные оси в виде
ΩΩ = ΩiΩkδik по индексам i, k производится суммирование; δik - единичная матрица, или
символ Кронекера;
5. Два скалярных произведения угловой скорости на радиус-вектор (второе
слагаемое в правой части) запишем также в компонентах на подвижные оси
(Ωra) = Ωixia по индексу i производится суммирование;
(raΩ) = Ωkxka по индексу k производится суммирование. Это, конечно, совершенно
одинаковые произведения. Просто для обозначения повторяющегося индекса
выбраны разные буквы i и k.
Соберем все соотношения вместе
Trot 
©Фомин Георгий Викторович. Механика. РГУ. 2009 г. www.phys.sfedu.ru\~fomin
12
1 N
1 N
2
m
Ω
(
Ω
r

r
(
r
Ω
))

ma  i  k xla2  ik   i  k xia xka 


a
a
a a
2 a 1
2 a 1
Теперь произведение ΩiΩk можно вынести за знак суммы. Это приведет
кинетическую энергию вращения твердого тела к виду
Trot = ½ IikΩiΩk (Trot)
с суммированием по повторяющимся индексам i, k.
Здесь
Trot 
N
I ik   ma ( xla2  ik  xia xka ) (26.5) –
a 1
так называемый тензор моментов инерции абсолютно твердого тела. Эта
внутренняя характеристика твердого тела зависит от распределения
составляющих твердое тело частиц в пространстве и от ориентации осей
подвижной системы координат. Она характеризует инерционные свойства
вращательных степеней свободы твердого тела точно так же, как масса
характеризует инерцию поступательных степеней свободы частицы.
Не следует забывать, что входящий в определение тензора моментов инерции
вектор ra является радиус-вектором частицы ma относительно центра масс. В
то же время, можно определить, как связан тензор Iik’, определенный той же
формулой (26.5), но относительно произвольного начала, с тензором моментов
инерции. Если начало системы координат расположено в точке b по отношению
к центру масс, то ra = ra’ + b. Используя это соотношение в формуле (26.5) для
тензора Iik’, получим (посчитайте самостоятельно) I ik  I ik   (bl2 ik  bi bk ) .
К примеру, пусть у тела есть мгновенная ось вращения, расположенная в точке
с вектором b, проведенным из центра масс. В этом случае скорость центра масс
равна Vcm = -[Ω b], а кинетическая энергия центра масс тела Tcm = ½ μ[Ω b]2.
При этом полная кинетическая энергия T = Tcm + Trot = …(покажите) = ½ I’ikΩiΩk.
Пусть твердое тело является сплошным, то есть состоит из непрерывного
распределения масс. В этом случае следует ввести «бесконечно малые» частицы
с массами dm = ρ(r)dV, где ρ(r) – плотность вещества вблизи точки r твердого
тела. Тогда дискретная сумма (26.5) в определении тензора моментов инерции
превращается в непрерывный интеграл по всему объему V, занятому твердым
телом
I ik    r  xl2 ik  xi xk dV (26.5.1)


V
Ориентация осей в пространстве подвижной системы координат x1x2x3, по
отношению к которой записана матрица тензора моментов инерции (26.5),
произвольна. В этом преимущества тензорной записи. Но вращение осей меняет
компоненты матрицы (26.5).
Действительно, при вращении единичные вектора ei (i = 1,2,3) подвижной
системы испытывают изменения вида ei = tiαe’α (α = 1,2,3 и по этому индексу
проводится суммирование). (Покажите, что tiα есть косинус угла между
векторами ei и e’α). Это влечет за собой изменения компонент вектора угловой
скорости Ωi = (Ωei) = (Ωtiαe’α) = tiαΩ’α. Но это преобразование не меняет самой
энергии (Trot)
Trot = ½ IikΩiΩk = ½ Iiktiαtkβ Ω’αΩ’β
Матрица I’αβ = Iiktiαtkβ является матрицей моментов инерции в новой системе
координат (покажите, что это так непосредственно из определения (26.5)
тензора моментов инерции). Этот закон преобразования компонент тензора
©Фомин Георгий Викторович. Механика. РГУ. 2009 г. www.phys.sfedu.ru\~fomin
13
обеспечивает инвариантность формы записи энергии вращения твердого тела
(Trot)
Trot = ½ IikΩiΩk = ½ I’αβ Ω’αΩ’β
относительно выбора различных направлений осей подвижной системы
координат. Определение тензора как раз и состоит в том, что матрица его
компонент при повороте осей ведет себя по закону I’αβ = Iiktiαtkβ. Или, в
матричной форме, Iˆ  T T IˆT , где знак T означает транспонирование матрицы.
Следует учесть, что вращение декартовой системы координат предполагает, что
вектора прежней системы ei, и вектора e’α новой системы образуют тройки
взаимно перпендикулярных векторов единичной длины. Другими словами,
соблюдаются условия (e’αe’β) = δαβ и (eiek) = δik. Подставляя во второе из условий
преобразование ei = tiαe’α, получим δik = (eiek) = (tiαe’αtkβ e’β) = tiαtkβδαβ = tiαtkα. Или
tiαtkα = δik
Это условие ортогональности матрицы преобразования tiα.
Так как t k  tTk , то условие ортогональности принимает вид
ti tTk   ik , или t k  tk1 (Орт)
и означает, что, если транспонированная матрица равна обратной матрице, то
это ортогональная матрица.
Можно выбрать такую ориентацию осей подвижной системы координат, что
матрица моментов инерции станет диагональной I’αβ = I(α)δαβ. То есть
Iiktiαtkβ = I(α)δαβ
Умножим обе части этого равенства на матрицу t l1 . Получим
I ik ti tk t l1  I ( ) t l1
Так как tk t 1l   kl , то левую часть этого равенства можно записать в виде
I ik ti  kl  I il ti  I liti (левая)
( )
В правой части I  t  I ( )tl1 .
Условие ортогональности (Орт) позволяет переписать правую часть в виде
I ( )tl1  I ( )tl  I ( )ti  li (правая)
Приравнивая (левая) = (правая), получим
I liti  I ( ) ti  li
Таким образом, условие диагонализации матрицы моментов инерции имеет вид
(Ili - I(α)δli)tiα = 0 (Диаг)
Оно представляет собой три (α = 1, 2, 3) системы из трех (l = 1, 2, 3) линейных
однородных уравнений для каждого из столбцов матрицы tiα. Система
однородных линейных уравнений имеет ненулевые решения лишь в том случае,
если определитель матрицы коэффициентов равен нулю. Следовательно,
главные моменты инерции I(α) должны быть корнями уравнения
det|Iik - Iδik| = 0. (I)
Оси e’α, в которых матрица моментов инерции диагональная, называются
главными осями инерции. Диагональные компоненты I(α) матрицы моментов
инерции в главных осях инерции называются главными моментами инерции.
В главных осях инерции кинетическая энергия вращения (Trot) выглядит
особенно просто
Trot = ½ I1Ω12 + ½ I2Ω22 + ½ I3Ω32
Таким образом, задача о поиске главных осей инерции и главных моментов
инерции сводится к следующей последовательности действий
1
 l
©Фомин Георгий Викторович. Механика. РГУ. 2009 г. www.phys.sfedu.ru\~fomin
14

решению кубического уравнения (I), определяющего главные моменты
инерции I(α) (α = 1,2,3);
 решению 3-ех (для каждого из главных моментов) систем линейных
однородных уравнений (Диаг), определяющих столбцы матрицы tiα;
 использованию условий ортогональности (Орт), доопределяющих
найденные столбцы.
В случае твердого тела, обладающего определенной симметрией, задача о
поиске главных осей и главных моментов инерции упрощается.
Простейшим примером твердого тела является ротатор, частицы которого
расположены вдоль одной оси. У ротатора в отличие от общего случая твердого
тела только две вращательные степени свободы. Момент инерции относительно
самой оси ротатора равен нулю. Любое из направлений, перпендикулярных оси
ротатора является главной осью инерции ротатора. Если ось x1 подвижной
системы координат направить вдоль оси ротатора, то I1 = 0, а
N
I 2  I 3   ma x12a .
a 1
Например, рассмотрим простейший случай твердого тела – две частицы m1 и m2
с неизменным расстоянием l между ними (двухатомная молекула). Это частный
случай ротатора. Посчитаем тензор моментов инерции такой молекулы.
Учтем, что координата первой x11 и второй x12 частицы отсчитываются от
центра масс. То есть, m1x11 + m2x12 = 0, откуда x11 = - m2x12/m1. С другой стороны,
расстояние между частицами равно |x11 - x12| = l. Из этих двух равенств получаем
координаты частиц x11 = - m2l/μ, x12 = m1l/μ, если ось направлена от первой
частицы ко второй (μ – суммарная масса частиц). Подставив эти значения в
выражение для главных моментов инерции ротатора, получим для двухатомной
молекулы I2 = I3 = m1x112 + m2x122 = ml2. Здесь m = m1m2/μ – приведенная масса,
встречавшаяся нам в задаче двух тел.
В общем случае объемного твердого тела в зависимости от его симметрии
главные моменты могут быть
 равны друг другу (шаровой волчок);
 равны два из трех (симметрический волчок);
 все различны (асимметрический волчок).
В случае шарового волчка любое направление в твердом теле является главной
осью инерции. Если тело является симметрическим волчком, то любое
направление в плоскости, образованной главными осями с одинаковыми
моментами, является главной осью инерции.
Например, пусть тело является однородным сплошным круговым цилиндром
массой μ, высотой h и радиусом R. Ясно, что это симметрический волчок. Ведь
все направления в плоскости, перпендикулярные оси цилиндра равноправны.
Ось цилиндра (пусть x3) и любые две перпендикулярные ей оси (x1 и x2)
являются главными осями инерции. Главные моменты инерции можно
посчитать по формуле (26.5.1), используя цилиндрические координаты r, φ, x3


I1  I 2    x  x dV 
2
1
2
3
V


R h -h/2
2
2
 dx  rdr  r
h/2
R
3
0
0

h2 
 R 2  
4
3
©Фомин Георгий Викторович. Механика. РГУ. 2009 г. www.phys.sfedu.ru\~fomin
2

cos 2   x32 d 
15


I 3    x12  x22 dV 

h/2
R 2 h h/ 2
2
R
dx3  d  r 3dr 
R 2
.
2
Рекомендую разобрать задачи на определение моментов инерции и
кинетической энергии твердых тел, представленные в конце параграфа «Тензор
инерции» курса «Механика».
V
0
0
Проекции собственного момента импульса твердого тела на оси
подвижной системы координат
Запишем теперь собственный момент импульса (Sint), подставив в него
выражения (26.2) для скоростей частиц
1 N
S
 ma mb (rb  ra )Ω(rb  ra ).
2 a,b1
Раскроем произведение разностей радиус-векторов
[(rb – ra) [Ω (rb – ra)]] = [rb [Ω rb]] – [ra [Ω rb]] – [rb [Ω ra]] + [ra [Ω ra]].
Подставим это выражение в сумму и выберем начало подвижной системы
координат в центре масс, положив
N
m r
a 1
a a
 0 . Тогда собственный момент
импульса твердого тела принимает вид
N
S   ma ra Ωra  .
a 1
Разложим, как и выше, двойное векторное произведение и перейдем к
тензорным обозначениям в проекциях на оси подвижной системы координат.
Получим проекции собственного момента импульса твердого тела на
подвижные оси
Si = IikΩk (26.6)
Если оси подвижной системы координат выбраны вдоль главных осей инерции,
то компоненты момента импульса в подвижных осях имеют вид
S1 = I1Ω1; S2 = I2Ω2; S3 = I3Ω3
Следует подчеркнуть, что записанные компоненты вектора момента импульса
являются его проекциями на подвижные оси. При свободном вращении
твердого тела вектор момента импульса твердого тела сохраняется, но это не
означает, что проекции момента импульса на подвижные оси остаются
неизменными. В следующем разделе этот вопрос рассматривается подробнее.
Уравнения Эйлера
Для использования простой связи компонент момента импульса и угловой
скорости на подвижные оси (26.6) уравнения движения (26.4) для вращательных
степеней свободы удобнее записать в виде уравнений для компонент вектора
угловой скорости в подвижной системе координат. Надо при этом учитывать,
что в разложении вектора S по подвижным осям S = S1e1 + S2e2 + S3e3 меняются
со временем не только компоненты Si, но и направляющие вектора подвижной
системы ei. Поэтому при дифференцировании вектора S по времени следует
дифференцировать также оси ei
dS/dt = ei dSi/dt + Si dei/dt.
Изменение единичного вектора dei при бесконечно малом повороте на угол dφ
равно, как мы видели раньше (26.1), векторному произведению dei = [dφ ei].
Следовательно, dS/dt = ei dSi/dt + [Ω S].
©Фомин Георгий Викторович. Механика. РГУ. 2009 г. www.phys.sfedu.ru\~fomin
16
Уравнения движения твердого тела для вращательных степеней свободы
принимают, таким образом, вид так называемых уравнений Эйлера
ei dSi/dt + [Ω S] = K.
Если выбрать подвижные оси вдоль главных осей инерции, то уравнения
Эйлера в проекциях на главные оси примут вид (умножаем векторное равенство
последовательно на e1, e2 и e3)
d1
I1
 I 3  I 2  2  3  K 1
dt
d 2
I2
 I 1  I 3  3 1  K 2 (26.9)
dt
d 3
I3
 I 2  I 1 1 2  K 3
dt
Углы Эйлера
Для определения закона перемещения твердого тела относительно неподвижной
системы координат XYZ следует математически описать ориентацию осей x1x2x3
подвижной системы координат относительно неподвижной. Наиболее
распространенный способ сделать это – ввести так называемые углы Эйлера.
Это углы θ (между осями e3, eZ), φ (между осью eX и линией пересечения
плоскостей XY и x1x2, так называемой линией узлов eN) и угол ψ (между линией
узлов eN и осью e1).
Найдя зависимость углов Эйлера от времени в задаче о движении твердого тела,
мы определим поведение вращательных степеней свободы в неподвижной
(лабораторной) системе координат.
С этой целью выразим компоненты угловой скорости через углы Эйлера и их
производные по времени. Производные по времени углов Эйлера направлены
вдоль осей, относительно которых эти углы описываются. А именно, угол φ
описывается относительно оси eZ, угол θ – относительно линии узлов eN, угол ψ
©Фомин Георгий Викторович. Механика. РГУ. 2009 г. www.phys.sfedu.ru\~fomin
17
– относительно оси e3 (см. рис.). Вектор угловой скорости можно записать в
виде разложения по осям подвижной системы координат
Ω = Ω1e1 + Ω2e2 + Ω3e3
и в виде разложения
Ω  e Z  e N  e 3 .
Приравняем эти два выражения
1e1   2 e 2   3e 3  e Z  e N  e 3 .
Единичные вектора eZ и eN можно разложить по векторам подвижной системы
e1, e2, e3. Это даст
eZ = cosθ e3 + sinθ (sinψ e1 + cosψ e2); eN = cosψ e1 – sinψ e2.
Подставим эти разложения в правую часть и соберем подобные слагаемые.
Коэффициенты перед e1, e2, e3 и будут соответствующие компоненты Ω1, Ω2, Ω3
1   sin  sin    cos ;  2   sin  cos   sin  ;  3   cos   (26.7)
Подставив выражения (26.7) в выражение для кинетической энергии вращения
(Trot) твердого тела и выбрав оси подвижной системы вдоль главных осей
инерции, получим функцию Лагранжа как функцию обобщенных координат и
скоростей
2
V 2 I 1
L
  sin  sin    cos 
2
2
2
I2

 sin  cos   sin  
(26.8)
2
I
2
 3  cos      U ( X , Y , Z ,  , , )
2
Используя выражение для функции Лагранжа твердого тела, можно получить
функцию Гамильтона этой системы. С этой целью введем обобщающие
обозначения q1 = φ; q2 = θ; q3 = ψ. В этих обозначениях функция Лагранжа
примет вид
V 2 1 3
L
  aij (q 2 , q3 )q i q j  U .
2
2 i , j 1
Здесь симметричная матрица коэффициентов aij получается при раскрытии
квадратов двучленов в выражении (26.8). Она имеет вид
 sin 2  I1 sin 2   I 2 cos2    I 3 cos2  sin  sin  cos I1  I 2  I 3 cos  


2
2
a
I1 cos   I 2 sin 
0



I3


Для получения функции Гамильтона необходимо выразить обобщенные
скорости через импульсы, то есть, разрешить уравнения
3
L
P  V; pi 
  aij q j
q i j 1
относительно V и q j (j = 1,2,3).
В результате получим
3
P

V  ; qi   bij p j ,





j 1
где bij – матрица, обратная aij.
Функция Гамильтона есть полная энергия, в которой скорости выражены через
импульсы. Поэтому полученные выражения для скоростей следует подставить в
©Фомин Георгий Викторович. Механика. РГУ. 2009 г. www.phys.sfedu.ru\~fomin
18
кинетическую энергию, добавив потенциальную. В результате получим
функцию Гамильтона твердого тела
P2 1 3
H
  bij pi p j  U .
2 2 i , j 1
Рекомендую разобрать задачи по движению тяжелого симметрического волчка,
представленные в конце параграфа «Эйлеровы углы» курса «Механика».
Вопросы для самоконтроля
5. Физический смысл кинетической энергии вращения твердого тела и
общий вид функции Лагранжа твердого тела.
6. Уравнения движения твердого тела.
7. Момент сил и его свойства.
8. Тензор моментов инерции и кинетическая энергия вращения,
выраженная через компоненты этого тензора.
9. Главные оси и главные моменты инерции. Классификация твердых тел
по типам симметрии.
10. Проекции собственного момента импульса твердого тела на подвижные
оси.
11. Уравнения Эйлера.
12. Углы Эйлера.
13. Выражение компонент угловой скорости и кинетической энергии
вращения через углы Эйлера.
Свободное движение твердого тела
Нашей задачей в этом разделе будет решение уравнений движения твердого
тела в отсутствии внешнего воздействия. Это движение твердого тела по
инерции – свободное движение.
Правые части уравнений движения (26.4) твердого тела при движении по
инерции равны нулю.
В первом уравнении (26.4) полная сила F = 0, откуда следует, что центр масс
твердого тела движется равномерно и прямолинейно, как свободная частица.
Можно перейти в систему отсчета, относительно которой центр масс покоится,
и поместить начало координат в центр масс твердого тела. Это система отсчета
центра инерции. В системе отсчета центра инерции все движение твердого тела
сводится к вращению подвижных осей относительно неподвижных.
Равен нулю и вектор момента сил K = 0 во втором уравнении движения (26.4). То
есть dS/dt = 0, и, следовательно, S = const. Представив S в неподвижной системе
координат S = SXeX + SYeY + SZeZ, получим SX = const, SY = const, SZ = const. Это
три независимых интеграла движения.
Выберем за направление оси Z неподвижной системы координат направление
вектора момента импульса S. Тогда SX = 0; SY = 0; SZ = S.
Запишем проекции момента импульса на оси подвижной системы, используя
определение углов Эйлера
S1 = S sinθ sinψ;
S2 = S sinθ cosψ;
(26.10)
S3 = S cosθ.
Сохраняющаяся полная энергия твердого тела, вращающегося по инерции, в
системе отсчета центра масс равна кинетической энергии вращения
©Фомин Георгий Викторович. Механика. РГУ. 2009 г. www.phys.sfedu.ru\~fomin
19
1
1
1
I 112  I 2  22  I 3  32 (26.11).
2
2
2
Из уравнений Эйлера (26.9) в частности следует, что если момент импульса
направлен вдоль одной из главных осей инерции (например, S1 = S2 = 0, S3 = S) ,
то вдоль этой же оси инерции направлена и угловая скорость (Ω1 = Ω2 = 0, Ω3 =
S/I3). В этом (и, как окажется, только в этом) случае ось вращения твердого тела
(вектор Ω), движущегося по инерции, не меняет своей ориентации в
пространстве. В любом другом случае инерционное движение твердого тела
оказывается более сложным.
Примечание. Как и в задаче двух тел у свободного твердого тела после исключения движения
E
центра инерции остается три степени свободы. Это три вращательных степени свободы,
которым отвечают обобщенные координаты – углы Эйлера θ, φ, ψ. Углы Эйлера можно
рассматривать как координаты некоторой абстрактной частицы в 3-мерном пространстве.
Непрерывное смещение абстрактной частицы в этом пространстве соответствует реальному
повороту твердого тела. Возможно еще дискретное смещение, отвечающее зеркальному
отражению твердого тела. Именно при преобразованиях поворота и отражения не изменяются
расстояния между реальными частицами твердого тела, и именно условие неизменности
расстояний является тем приближением, которое определяет саму модель абсолютно твердого
тела.
Трехмерное пространство, составленное из вращений и отражений, называется трехмерной
ортогональной группой O(3) (вспомните ортогональные преобразования из нулевого цикла).
Чистому вращению (без отражений) отвечает группа специальных ортогональных
преобразований SO(3).
Итак, вращение твердого тела можно описать как непрерывное перемещение некоторой
эффективной частицы, меняющей свои координаты θ, φ, ψ в пространстве SO(3). Для сравнения,
свободная частица перемещается в «обычном» пространстве. Используя ту же терминологию,
отметим, что «обычному» пространству свободной частицы отвечает группа трансляций T.
Пространство положений центра масс свободного твердого тела также образует группу
трансляций.
Свободное вращение ротатора и шарового волчка
Ротатор
Направим ось x1 подвижной системы координат вдоль оси ротатора. Тогда
моменты инерции ротатора I1 = 0; I ≡ I2 = I3. Направление главных осей инерции
x2, x3 ротатора произвольно. Любая ось, перпендикулярная оси ротатора,
является его главной осью инерции. Так как вращение относительно
собственной оси ротатора не имеет смысла по определению, то любой момент
импульса вращающегося ротатора также перпендикулярен его оси.
Следовательно, момент импульса S вращающегося ротатора направлен вдоль
одной из его главных осей инерции. Это означает, что вдоль той же оси
направлен вектор угловой скорости Ω || S и Ω = S/I = const. Другими словами,
свободный ротатор равномерно вращается вокруг направления момента
импульса.
В терминах углов Эйлера закон движения свободно вращающегося ротатора (x1
– ось ротатора) имеет вид:
угол θ = const (θ = 0, если, например, осью вращения является x3, и θ = π/2, если
это ось x2);
угол φ меняется равномерно по закону φ = S/I t+ φ0.
Конфигурационным пространством ротатора с неподвижным центром масс
является сфера φ, θ. Траекторией свободно вращающегося ротатора является
окружность (θ ≠ 0) или точка (θ = 0) на этой сфере.
©Фомин Георгий Викторович. Механика. РГУ. 2009 г. www.phys.sfedu.ru\~fomin
20
Шаровой волчок
У шарового волчка I ≡ I1 = I2 = I3. Любое направление является главной осью
инерции шарового волчка. Поэтому, как и в случае ротатора, у свободно
вращающегося шарового волчка направления момента импульса и угловой
скорости совпадают и S = IΩ. То есть, свободный шаровой волчок равномерно
вращается вокруг направления момента импульса.
В терминах углов Эйлера закон движения шарового волчка имеет вид:
угол θ = const (θ = 0, если, например, осью вращения является x3);
угол φ меняется равномерно по закону φ = S/I t+ φ0;
угол ψ = const (ψ = 0, если, например, ось x1 совпадает с линией узлов).
У свободно вращающегося ротатора и шарового волчка с неподвижным
центром масс энергия E = S2/2I. Это означает, что при каждом значении модуля
момента импульса ротатора и шарового волчка полная энергия имеет
единственное значение. Энергия ротатора и шарового волчка не зависит от
направления момента импульса. Другими словами, в случае ротатора и
шарового волчка имеется бесконечное число состояний свободного вращения с
одной и той же энергией, но разной ориентацией собственного момента
импульса.
При описании геометрических объектов в «обычном» 3-мерном пространстве,
координатами точек которого являются декартовые координаты x, y, z, часто
имеет смысл рассматривать проекции на плоскости xy, xz, yz. Проекции точек
пространства SO(3) твердого тела определяются уже не на плоскости, а на две
сферы θ[0;π], φ[0;2π]; θ[0;π], ψ[0;2π] и тор φ[0;2π], ψ[0;2π]. Так проекциями
траектории шарового волчка являются:
окружность θ = const на поверхности сферы θ, φ;
точка θ = const, ψ = const на поверхности сферы θ, ψ;
окружность ψ = const на поверхности тора φ, ψ.
Свободное вращение симметрического волчка
Как уже указывалось, в общем случае свободного вращения твердого тела ось
вращения (направление угловой скорости) неподвижна лишь в том случае,
когда она совпадает с направлением одной из главных осей инерции и, тем
самым, с направлением момента импульса. Только в случае ротатора и
шарового волчка это имеет место всегда. Но уже в случае симметрического
волчка направления главной оси инерции и момента импульса могут не
совпадать. В этом случае ось вращения будет менять свою ориентацию в
пространстве. Как именно, рассмотрим подробнее.
Пронумеруем главные оси так, чтобы равные главные моменты имели номера 1
и 2. То есть, I ≡ I1 = I2 . Ось x3 назовем осью симметрии волчка.
Из симметрии следует, что проекция момента импульса S3 на ось симметрии
сохраняется. Тот же результат следует и из последнего уравнения Эйлера.
Сохраняется, естественно, и полный момент импульса. Следовательно, угол
между направлением оси симметрии и направлением полного момента
импульса остается неизменным. Если выбрать ось Z неподвижной системы
координат вдоль направления полного момента импульса, то сохраняющимся
углом будет угол Эйлера θ = const.
Ось симметрии свободно вращающегося симметрического волчка не изменяет
свой угол наклона к направлению момента импульса.
©Фомин Георгий Викторович. Механика. РГУ. 2009 г. www.phys.sfedu.ru\~fomin
21
Отсюда, в частности, следует, что угловая скорость вращения свободного
симметрического волчка лежит в плоскости x3Z, построенной из оси симметрии
и направления момента импульса. Это следует непосредственно из выражения
для угловой скорости через производные углов Эйлера по времени
Ω  e Z  e N  e 3 , которое использовалось выше. Второе слагаемое в правой
части этого выражения равно в данном случае нулю из-за постоянства угла θ.
Оставшиеся два слагаемых являются векторами, лежащими в плоскости x3Z.
Выразим энергию (26.11) через компоненты момента импульса на подвижные
оси
S2
S2
S2
E  1  2  3 . (26.12)
2I1 2I 2 2I 3
Подставим в правую часть выражения (26.10), учтя симметрию волчка
 sin 2  cos 2  
 . (26.13)
E  S 2 

2 I 3 
 2I
Мы видим, что при данном модуле момента импульса свободный
симметрический волчок имеет, вообще говоря, разную энергию в зависимости
от наклона оси симметрии к моменту импульса. Правда, значение энергии
(26.13) не меняется при замене θ на π – θ. Если изменить направление вектора
момента импульса на противоположное (отразить), то произойдет именно это
изменение угла θ. Отсюда следует, что два противоположных направления
момента импульса отвечают одной и той же энергии свободного вращения
волчка.
Замечание. Инвариантность энергии (26.13) относительно замены угла θ на угол π – θ можно
трактовать как ее инвариантность относительно отражения осей подвижной системы
координат относительно начала координат. Ведь преобразование отражения также входит в
определение пространства O(3) твердого тела. При отражении мы оказываемся в пространстве
зазеркалья, и для свободного твердого тела там все должно выглядеть так же, как в
«предзеркалье». Вектор момента импульса отражается вместе с осями, поэтому его компоненты
на оси в зазеркалье такие же, как в предзеркалье. Угол π – θ в предзеркалье превращается в угол
θ в зазеркалье. Поэтому вполне естественно, что энергия имеет то же значение.
Выражение (26.13) показывает также, что энергия свободного симметрического
волчка при данном моменте импульса лежит в определенных пределах [Emin;
Emax]. Максимальная энергия Emax соответствует направлению главной оси с
минимальным моментом инерции вдоль момента импульса. Если, скажем I < I3,
то максимальная энергия Emax = S2/2I соответствует углу θ = π/2. При этом угле
момент импульса лежит в плоскости x1x2. В этой плоскости все направления
симметрического волчка являются главными осями инерции. При тех же
условиях на моменты инерции минимальная энергия равна Emin = S2/2I3. В этом
случае момент импульса направлен вдоль оси симметрии. Если же, наоборот, I3
< I, то максимальной энергии Emax = S2/2I3 соответствует момент импульса,
направленный вдоль оси симметрии, а минимальной энергии Emin = S2/2I
отвечает момент импульса в плоскости перпендикулярной оси симметрии.
Функция Лагранжа свободного симметрического волчка согласно (26.8) имеет
вид
I
I
2
L   2 sin 2    2  3  cos   
2
2
Она не зависит от координат φ и ψ (циклические координаты).
Соответствующие обобщенные импульсы pφ, pψ сохраняются. Это именно те
законы сохранения модуля момента импульса S и его проекции на ось


©Фомин Георгий Викторович. Механика. РГУ. 2009 г. www.phys.sfedu.ru\~fomin
22
симметрии волчка S3, которые уже были отмечены выше. Действительно,
координата φ отвечает углу поворота относительно оси Z. Поэтому обобщенный
импульс pφ имеет смысл проекции момента импульса SZ на эту ось. Но мы
выбрали ось Z вдоль направления момента импульса, поэтому SZ = S.
Обобщенный импульс pψ есть проекция момента импульса на ось, поворот
относительно которой характеризуется углом Эйлера ψ. Это есть ось x3
подвижной системы координат, выбранная нами в качестве оси симметрии.
Поэтому pψ = S3.
Следствием этих законов сохранения является постоянство угла Эйлера θ,
полученное выше: cosθ = pψ/pφ. Используя эти же интегралы движения pφ и pψ,
можно найти зависимости оставшихся углов Эйлера φ и ψ от времени.
Из функции Лагранжа получаем
L
S  S Z  p 
 I sin 2   I 3  3 cos

Подставим в правую часть I3Ω3 = S3 = Scosθ. Это даст выражение
S  I sin 2   S cos 2 
Перенос второго слагаемого в левую часть даст слева S sin2θ. Разделив обе части
на I sin2θ, получим   S I .
Итак, ось симметрии свободного симметрического волчка вращается с
постоянной угловой скоростью, равной S/I, относительно направления
момента импульса.
Это так называемая регулярная прецессия симметрического волчка. Период
регулярной прецессии, соответственно, равен
Tφ = 2πI/S.
Так как вектор угловой скорости Ω (ось вращения) лежит в плоскости Zx3, то
это означает, что ось вращения свободного симметрического волчка вместе с
осью симметрии совершает прецессию с тем же периодом вокруг направления
момента импульса.
Используя вновь выражения для компоненты S3 момента импульса
S 3  I 3  3  I 3  cos     S cos и подставляя сюда найденное значение  ,
получим выражение для угловой скорости вращения свободного
симметрического волчка относительно оси симметрии
 1 1
  S cos    .
 I3 I 
Следовательно, свободный симметрический волчок вращается с постоянной
угловой скоростью вокруг направления своей оси симметрии.
В отличие от скорости  скорость  зависит как от момента импульса S, так и
от полной энергии волчка. Ведь согласно (26.13) угол θ зависит от момента
импульса и энергии. В качестве упражнения, используя выражение для энергии
(26.13), покажите самостоятельно, что для периода свободного вращения
симметрического волчка Tψ вокруг оси симметрии справедлива формула
T 

.
2




S
1
1
 E 

 
2 I  2 I 3 2 I 

Два независимых масштаба времени, определяющих периоды Tφ и Tψ вращения
вокруг направления момента импульса и оси симметрии, зависят от двух
постоянных, интегралов движения - энергии и момента импульса. От этих же
©Фомин Георгий Викторович. Механика. РГУ. 2009 г. www.phys.sfedu.ru\~fomin
23
постоянных зависит вектор угловой скорости Ω. В качестве упражнения
посчитайте его величину и направление по отношению к моменту импульса (ось
Z).
С точки зрения подвижного наблюдателя, жестко связанного с симметрическим
волчком, сохраняется лишь проекция момента импульса на ось симметрии
волчка. Две другие проекции момента импульса S1 и S2 в соответствие с
выражениями (26.10) колеблются в противофазе с частотой  . Другими словами,
для подвижного наблюдателя вектор момента импульса свободного
симметрического волчка (как и его угловая скорость) равномерно вращается
около оси симметрии.
Проекциями траектории симметрического волчка являются окружности θ = const на
поверхностях сфер θ, φ и θ, ψ и некоторая, вообще говоря, не замкнутая кривая на поверхности
тора φ, ψ. Условием замкнутости является рациональная кратность периодов Tψ и Tφ.
Свободное вращение асимметрического волчка
Для простоты дальнейших выкладок зафиксируем некоторые масштабы,
характерные для свободного твердого тела.
Будем считать для определенности, что главные оси инерции выбраны таким
образом, что главные моменты инерции упорядочены I1 < I2 < I3. За единицу
масштаба массы выберем полную массу тела [M] = μ. Масштаб длины выберем
так [D]2 = I2/μ, чтобы средний по величине главный момент в этом масштабе
был равен единице I2 = 1.
С учетом выбранных масштабов подставим выражения для проекций момента
импульса на подвижные оси (26.10) в правую часть энергии (26.12)

 sin 2  cos 2   cos 2  

E  S 2 sin 2  

 (26.14)
2 
2I 3 
 2I1

Обозначив f(θ,ψ) выражение, стоящее в правой части (26.14), можно
рассматривать уравнение некоторой поверхности r = f(θ,ψ) (см. ниже рис.) в
сферических координатах r, θ, ψ. Угол θ отсчитывается в вертикальной
плоскости от зеленой оси, а угол ψ в горизонтальной плоскости от красной оси.
При любых моментах инерции I1 и I3 эта поверхность (светло серая на рис.)
замкнута. Пересечение ее со сферой r = E (темно серой на рис.) соответствуют
условию (26.14). Два замкнутых контура, образованных этим пересечением,
определяют проекцию траектории свободно вращающегося твердого тела из
конфигурационного пространства твердого тела на сферу с координатами θ, ψ.
©Фомин Георгий Викторович. Механика. РГУ. 2009 г. www.phys.sfedu.ru\~fomin
24
На рисунке приведено изображение, иллюстрирующее формулу (26.14) в случае,
когда энергия немного превышает значение S2/2. Энергия S2/2 соответствует
направлению момента импульса вдоль главной оси x2 (красная) со средним
значением момента инерции. Угол ψ отсчитывается слева направо в
горизонтальной плоскости от красной оси, а угол θ сверху вниз в вертикальной
плоскости от зеленой оси. Подумайте, как выглядит проекция при разных
значениях энергии. Как ведет себя волчок, когда его энергия близка к
минимальной Emin = S2/(2I3) (момент импульса направлен вдоль оси x3 с
максимальным моментом инерции), максимальной Emax = S2/(2I1) (момент
импульса направлен вдоль оси x1 с минимальным моментом инерции) и
«средней» E = S2/2? Можете воспользоваться для этого интерактивным
приложением.
Дайте анализ выражения (26.14), определив экстремальные значения углов θ и ψ
как функции энергии и момента импульса. Убедитесь в том, что проекция
траектории свободного твердого тела на сферу θ, ψ представляет собой два
непересекающихся замкнутых контура. При условии E < S2/2 эти контуры лежат
в северном и южном полушарии сферы, а при E > S2/2 – в западном и восточном
полушарии. По углу θ волчок всегда совершает колебания, а по углу ψ
вращается при E < S2/2 и колеблется при E > S2/2.
Замечание. Наличие двух симметрично расположенных замкнутых проекций траекторий на
сферу θ, ψ при одной и той же энергии и величине момента импульса можно трактовать точно
так же, как и в случае симметрического волчка, рассмотренном выше. Это результат
инвариантности уравнений движения свободного твердого тела относительно отражения. В
зазеркалье второй контур выглядит точно так же, как первый в предзеркалье.
Довольно просто получить выражение для периода вращения Tψ по замкнутому
контуру проекции траектории на сферу θ, ψ.
Для этого воспользуемся определением действия
1
J 
p d
2 
Чтобы записать явный вид подынтегральной функции pψ(ψ) в последнем
интеграле, подставим cosθ = pψ/S в правую часть выражения для энергии (26.14).
Разрешая полученное равенство относительно pψ, получим
p ( S , E; )  
S 2 E  E
E  E min
(26.15).
Здесь Eψ = ½cos2ψ + Emaxsin2ψ – функция, меняющаяся в пределах [½; Emax]; Emin
= 1/(2I3); Emax = 1/(2I1) – минимальная и максимальная энергия в единицах S2.
Заметим кстати, что выражение (26.15) является проекцией фазовой
траектории свободно вращающегося твердого тела на фазовую плоскость ψ, pψ.
Для определения периода Tψ подставим (26.15) под интеграл действия Jψ и
продифференцируем обе части по Jψ
J 
1 p
1
d .
J 
2  J 
В подынтегральном выражении (26.15) по Jψ дифференцируется только полная
энергия. Дело в том, что S = pφ = Jφ, а Jφ является независимой переменной при
этом дифференцировании. Производная ∂E/∂Jψ = ωψ = 2π/Tψ – частота вращения
по фазовой траектории в проекции ψ, pψ. В результате получаем период
вращения проекции на сфере θ, ψ в виде
©Фомин Георгий Викторович. Механика. РГУ. 2009 г. www.phys.sfedu.ru\~fomin
25
T ( E , S )  
d

2 E  E min  S 2 E  E

. (26.16)
В качестве упражнений
1. Покажите, что отсюда следует полученное выше выражение для периода
Tψ симметрического волчка;
2. Определите значение Tψ вблизи особых энергий S2Emin, S2Emax и E = S2/2,
когда момент импульса направлен вдоль одной из главных осей.
Замечание. При энергиях E < S2/2 движение по углу ψ представляет собой вращение, и
интеграл (26.16) следует брать в пределах [0; 2π]. При выполнении обратного неравенства для
энергии движение по углу ψ ограничено точками поворота, в которых E = S2Eψ (найдите эти
точки). Поэтому период вычисляется как удвоенный интеграл между этими точками.
Используя то же определение действия Jψ, можно найти интегральное
выражение для периода Tφ изменения угла φ. Для этого продифференцируем
выражение для Jψ по второму действию Jφ, учитывая, что под интегралом стоит
импульс pψ, зависящий от S = Jφ и E. При этом, ∂E/∂Jφ = ωφ = 2π/Tφ.
J 
1 p
0
d .
J 
2  J 
Производная под интегралом, согласно (26.15), равна
p
SE   T
.

J 
E  Emin  S 2 E  E

Отсюда
T ( S , E )  2T

SE d
 E  E S

min
2
E  E

. (26.17)
Отметим, что период изменения угла φ является его периодом вращения. Ниже
будет показано, что изменение угла φ со временем всегда монотонное.
Приведем пример зависимостей Tψ(E) и Tφ(E) при некоторых (найдите, каких)
значениях главных моментов инерции I1 < I2 = 1 < I3 в масштабе S =1.
©Фомин Георгий Викторович. Механика. РГУ. 2009 г. www.phys.sfedu.ru\~fomin
26
В качестве упражнений
1. Покажите, что из (26.17) следует полученное выше выражение для
периода Tφ симметрического волчка;
2. Определите значение Tφ вблизи особых энергий S2Emin, S2Emax и E = S2/2,
когда момент импульса направлен вдоль одной из главных осей.
Замечание. Обобщенный импульс pθ = 0, так как является проекцией момента импульса на
линию узлов, перпендикулярную оси Z, а ось Z выбрана вдоль момента импульса. Поэтому
фазовое пространство свободно вращающегося твердого тела 4-мерно. Постоянные действия Jψ,
Jφ расслаивают это пространство на двумерные торы. Координатами на этих торах являются два
угла wψ и wφ, канонически сопряженные действиям. Углы wψ и wφ меняются с постоянными
скоростями ωψ = 2π/Tψ и ωφ = 2π/Tφ. В общем случае эти угловые скорости не являются
рационально кратными, поэтому фазовые траектории заполняют торы полностью. Обратите
внимание, что финитному движению частицы в центральном поле отвечает фазовое
пространство той же структуры.
Уравнение для угла φ
Исключим из выражений для Ω1, Ω2 в (26.7) зависимость от угловой скорости  ,
умножив первое на sinψ, второе на cosψ и сложив. Получим
 sin    2 cos
  1
sin 
Теперь подставим сюда выражения углов Эйлера ψ, θ через компоненты
угловой скорости (см. (26.10))
S1
I
S2
I 
sin  
 1 1 ; cos 
 2 2
S sin  S sin 
S sin  S sin 
и
S2sin2θ = S12 + S22 = I12Ω12 + I22Ω22.
Получаем выражение для скорости изменения угла φ
I  2  I 2  22
d
 S 12 12
. (26.18)
dt
I 1 1  I 22  22
©Фомин Георгий Викторович. Механика. РГУ. 2009 г. www.phys.sfedu.ru\~fomin
27
Мы видим, что dφ/dt > 0. Это означает монотонное изменение угла φ, то есть
вращение.
Замечание. Заметим, что монотонное поведение угла φ – угла поворота относительно
направления сохраняющегося момента импульса твердого тела вполне аналогично монотонному
изменению подобного угла в задаче о движении в центральном поле.
Закон движения свободного волчка
Масштаб времени [T] в дальнейшем выберем таким образом, что S = 1 при
данных начальных условиях вращения. Другими словами [T] = I2/S.
Из законов сохранения энергии
1
1
1
E  I 112  I 2  22  I 3  32
2
2
2
и момента импульса
S 2  I 12 12  I 22  22  I 32  32
можно выразить две компоненты Ω1 и Ω3 через Ω2
E  Emin   1 / 2  Emin  22
2
1 
, (26.19.1)
I 12 E max  E min 
 E   E max  1 / 2 22
 
(26.19.2).
I 32 E max  E min 
Подставив полученные выражения во второе уравнение Эйлера (26.9), получаем
уравнение первого порядка для Ω2. Оно интегрируется разделением Ω2 и t
(попытайтесь проделать это самостоятельно, или подсмотрите в §27
«Механики»). В результате получаем в неявном виде зависимость Ω2(t)
d 2
t
 t0 .
2 E  E min   (1 / 2  E min ) 22 E max  E   ( E max  1 / 2) 22
Соотношения (26.19) определяют зависимость оставшихся компонент угловой
скорости от времени.
Из (26.10) следует, что
cosθ = I3Ω3;
tgψ = I1Ω1/I2Ω2. (26.20)
Эти соотношения определяют зависимость углов ψ и θ от времени при
свободном вращении тела. Интегрирование уравнения (26.18) при найденных
функциях Ω1(t) и Ω2(t) определит закон движения оставшейся координаты φ(t).
2
3

E max


Подытоживая сказанное, отметим, что свободное вращение асимметрического
волчка представляет собой
1. Монотонное (хотя в общем случае и не равномерное) изменение угла φ
(вращение около направления момента импульса) с периодом Tφ, зависящим
от энергии и момента импульса по формуле (26.17);
2. Вращение по углу ψ при E < S2/2 и колебания при больших энергиях;
3. Колебания по углу θ при любых энергиях. Колебания по углам θ и ψ имеют
общий период Tψ, зависящий от энергии и момента импульса по формуле
(26.16).
Траектория движения в пространстве SO(3) имеет следующие проекции на
двумерные поверхности
1. В общем случае не замкнутая кривая на торе φ, ψ. Условие замкнутости –
рациональная кратность периодов Tψ и Tφ. При энергиях, когда по
координате ψ имеются колебания, траектория заполняет лишь часть тора;
©Фомин Георгий Викторович. Механика. РГУ. 2009 г. www.phys.sfedu.ru\~fomin
28
2. Замкнутый контур на сфере θ, ψ;
3. В общем случае не замкнутая кривая на сфере θ, φ. Условия замыкания те
же, что и для проекции на тор φ, ψ.
В фазовом пространстве траектория накручивается на двумерный тор Jφ = S =
const; Jψ(E,S) = const. Координатами на торе являются равномерно меняющиеся
со временем углы wφ = ωφt + wφ0, wψ = ωψt + wψ0 - канонически сопряженные
переменным Jφ, Jψ. Условие замкнутости фазовой траектории на торе то же, что
и для обычных траекторий.
Существует ряд образов, позволяющих лучше представить себе свободное
движение асимметрического волчка в неподвижных и подвижных осях.
Эллипсоид инерции. Описание движения по Пуансо.
Это описание с точки зрения неподвижного наблюдателя. Все тело заменяется
образом так называемого эллипсоида инерции – абстрактного тела,
обладающего теми же инерционными свойствами по отношению к вращению,
что и реальное. Эллипсоид инерции представляет собой множество точек с
координатами (x1, x2, x3), которые в системе главных осей определяют
поверхность
I1x12 + I2x22 + I3x32 = 1,
имитирующую в какой-то степени геометрию и распределение масс в твердом
теле. Длина i-ой полуоси эллипсоида инерции, как мы видим, равна 1/Ii½.
При свободном вращении твердого тела эллипсоид инерции катится без
скольжения по плоскости, перпендикулярной направлению момента импульса,
описывая кривую, называемую герполодией. В общем случае герполодия не
замкнутая кривая, совершающая колебания с двумя, вообще говоря,
несоизмеримыми частотами 2π/Tψ и 2π/Tφ.

Дело в том, что в точках xi   i , принадлежащих эллипсоиду инерции
2E
(вспомните выражение для полной энергии E = (I1Ω12 + I2Ω22 + I3Ω32)/2),
эллипсоид касается плоскостей, перпендикулярных моменту импульса. Ведь
градиент уравнения эллипсоида ∂(I1x12 + I2x22 + I3x32)/∂xi = 2I(i)xi определяет
нормаль к его поверхности. В указанных точках нормаль коллинеарна моменту
импульса Si = I(i)Ωi. К тому же эти точки принадлежат мгновенной оси вращения
– они лежат на векторе угловой скорости (r || Ω). Поэтому их поступательная
скорость v = [Ωr] равна нулю. Следовательно, эллипсоид катится без
скольжения. На рисунке изображена плоскость (желтая), которая касается

эллипсоида инерции в точке xi   i . (Ось Z направлена вдоль момента
2E
импульса S).
©Фомин Георгий Викторович. Механика. РГУ. 2009 г. www.phys.sfedu.ru\~fomin
29
Герполодия, то есть след, описываемый катящимся эллипсоидом инерции,
может выглядеть следующим образом
Пример герполодии
Эллипсоид энергии и сфера моментов
Другой образ, отражающий свободное вращение волчка, позволяет лучше
представить это движение в подвижных осях, т.е. с точки зрения подвижного
наблюдателя. В пространстве компонент момента импульса S1, S2, S3 закон
сохранения момента импульса изображается сферой с радиусом S:
S2
S2
S2
S 2  S12  S 22  S 32 , а закон сохранения энергии эллипсоидом E  1  2  3
2I1 2I 2 2I 3
с полуосями 2 EI i . Так как имеют место оба эти закона сохранения, то при
движении изображающая кривая, которую описывает вектор момента импульса,
представляет собой пересечение двух этих поверхностей. Например, это может
выглядеть таким образом (эллипсоид энергии серый, сфера моментов зеленая)
©Фомин Георгий Викторович. Механика. РГУ. 2009 г. www.phys.sfedu.ru\~fomin
30
(Сравните последующие рассуждения с описанием проекции траектории на
сферу θ, ψ, рассмотренным выше).
Три предельных случая вращения, именуемые стационарными вращениями,
наблюдаются, когда момент импульса направлен вдоль одной из главных осей
инерции волчка. В этих трех случаях эллипсоид энергии касается сферы
моментов и полная энергия равна в наших масштабах Emin = 1/(2I3) (момент
импульса направлен вдоль оси x3); E = ½ (момент импульса направлен вдоль оси
x2); Emax = 1/(2I1) (момент импульса направлен вдоль оси x1).
Стационарные вращения относительно осей x1, x3 являются устойчивыми –
малые отклонения соответствуют малым замкнутым кривым пересечения
эллипсоида энергии и сферы моментов импульса.
Стационарное вращение относительно x2 не является устойчивым. При малом
отклонении параметров вектор момента импульса движется по большой кривой
типа изображенной на рисунке
Поработайте с интерактивной иллюстрацией, из которой взяты все приведенные в
этом разделе рисунки.
©Фомин Георгий Викторович. Механика. РГУ. 2009 г. www.phys.sfedu.ru\~fomin
31
Вопросы для самоконтроля
14. Опишите свободное движение ротатора и шарового волчка.
15. Опишите свободное вращение симметрического волчка.
16. Опишите качественно свободное вращение асимметрического волчка в
терминах углов Эйлера.
17. Дайте описание свободного вращения твердого тела по Пуансо.
18. Опишите движение свободного твердого тела с точки зрения подвижной
системы.
Движение в неинерциальной системе отсчета
Материал этого раздела изложен в §39 «Механики».
Здесь конспективно дается комментарий к отдельным вопросам этого
параграфа.
Прямолинейно движущаяся ускоренная система отсчета
(См. также цикл 0).
Пусть, для простоты, механическая система является свободной частицей с
массой m. Ее функция Лагранжа относительно инерциальной системы K0
отсчета имеет вид кинетической энергии
L0 = mv02/2. (26.21)
Та же функция Лагранжа выглядит иначе с точки зрения наблюдателя, который
находится в системе отсчета K’, движущейся со скоростью V(t) относительно
K0. Скорость частицы в системе отсчета K’ равна v’ = v0 – V(t). Поэтому
функция Лагранжа для подвижного наблюдателя имеет вид
L’ = L0 = mv02/2 = m(v’ + V)2/2 = mv’2/2 + mv’V + mV2/2.
Если бы скорость движения системы отсчета V была постоянной, второе и
третье слагаемые в этом выражении можно было бы отбросить. Они
выражались бы полной производной по времени от функции mr’V + mV2t/2, что
не привело бы к изменению уравнений движения (принцип относительности
Галилея).
Однако в данном случае мы считаем скорость системы отсчета K’ зависящей от
времени. Поэтому с выделением полной производной по времени следует быть
более аккуратным. Последнее слагаемое mV2/2 в любом случае есть полная
производная по времени от интеграла по времени самой этой функции
mV 2 d mV 2
 
dt ,
2
dt
2
поэтому его можно отбросить. Второе слагаемое mv’V уже таким свойством не
обладает. Но из него можно выделить полную производную, воспользовавшись
правилом дифференцирования произведения. Действительно, mv’V = d(mr’V)/dt
– mr’dV/dt. Здесь первое слагаемое в правой части является полной
производной по времени от заданной функции координат и времени и может
быть отброшено в выражении для функции Лагранжа. Оставшееся слагаемое
должно входить в уравнения движения и его следует оставить в функции
Лагранжа
L’ = mv’2/2 – mr’W. (26.22)
Здесь W = dV/dt – ускорение поступательного движения подвижной системы
отсчета K’.
©Фомин Георгий Викторович. Механика. РГУ. 2009 г. www.phys.sfedu.ru\~fomin
32
По отношению к ускоренному наблюдателю свободная частица движется
ускоренно с тем же по величине, но противоположно направленным
ускорением. Поэтому все происходит так, как если бы частица находилась в
однородном внешнем поле, где на нее действует сила Finerty = –mW – сила
инерции, и частица имеет потенциальную энергию mr’W.
В качестве упражнения подставьте полученную функцию Лагранжа (26.22) в
уравнения Лагранжа и убедитесь, что уравнения движения имеют вид d2r’/dt2 =
-W.
С точки зрения ускоренно движущегося наблюдателя импульс свободной
частицы p’ = mv’ не сохраняется. Его меняет сила инерции. Импульс p’ не равен
импульсу в инерциальной системе отсчета p0 = mv0 = mv’ + mV = p’ + mV.
Полная энергия свободной частицы относительно ускоренно движущейся
системы отсчета E’ = mv’2/2 + mr’W сохраняется, если ускорение подвижной
системы не зависит от времени W = const.
Вращающаяся система отсчета
Пусть система отсчета K вращается с угловой скоростью Ω относительно
системы отсчета K’. Тогда скорость частицы v для вращающегося наблюдателя
складывается из ее скорости v’ относительно K’ и скорости движения системы
отсчета K’относительно вращающейся системы отсчета K. То есть, v = v’ – [Ωr].
Будем считать, что начала координат систем отсчета K и K’ совпадают. Поэтому
r = r’.
При этих условиях функция Лагранжа свободной частицы в системе отсчета K
получается из формулы (26.22) для функции Лагранжа в системе отсчета K’
L = L’ = mv’2/2 – mr’W = m(v + [Ωr])2/2 – mrW.
Или,
L = mv2/2 +mv[Ωr] + m[Ωr]2/2 – mrW. (26.23)
В качестве самостоятельного упражнения получите уравнения движения
свободной частицы в системе отсчета K и покажите, что они имеют вид
dv/dt = -W + [rdΩ/dt] + 2[vΩ] + [Ω[rΩ]]. (26.24)
Как видно с точки зрения вращающейся системы отсчета движение свободной
частицы обладает тремя дополнительными ускорениями, которых нет в системе
отсчета K’:
 Ускорение [rdΩ/dt] связано с неравномерностью вращения системы
отсчета K.
 Ускорение Кориолиса 2[vΩ] направлено по нормали к плоскости,
образованной вектором угловой скорости и скоростью частицы.
 Центробежное ускорение [Ω[rΩ]] перпендикулярно оси вращения и
направлено в сторону от оси (подумайте над этим самостоятельно).
Согласно выражению функции Лагранжа (26.23) импульс свободной частицы в
системе отсчета K равен
L
p
 mv  mΩr  .
v
Уравнения (26.24) говорят о том, что для наблюдателя в системе отсчета K
импульс свободной частицы не сохраняется. Интересно, что, если система
отсчета K лишь вращается относительно инерциальной системы отсчета K0, то
импульсы равны p0 = mv0 = m(v + [Ωr]) = p. Однако с точки зрения
вращающегося наблюдателя импульс частицы вращается со скоростью – Ω
(покажите).
©Фомин Георгий Викторович. Механика. РГУ. 2009 г. www.phys.sfedu.ru\~fomin
33
Энергия в системе отсчета K должна считаться по общей формуле,
определяющей энергию по известной функции Лагранжа. Это тот особый
случай, когда выражение для функции Лагранжа (26.23) не сводится к разности
кинетической и потенциальной энергии. Действительно,
L
mv 2
m
2
Ev
 L  vmv  mΩr 
 mvΩr  Ωr  mWr
v
2
2
или
mv 2 m
2
E
 Ωr  mWr .
2
2
Если ускорение поступательного движения постоянное, а вращение происходит
с постоянной угловой скоростью, то энергия свободной частицы для
наблюдателя из системы отсчета K сохраняется. Однако значение полной
энергии в инерциальной системе отсчета E0 = mv02/2 не совпадает с энергией в
системе отсчета K даже в том случае, когда система K лишь равномерно
вращается относительно K0 (покажите самостоятельно).
Вопросы для самоконтроля
19. Получите функцию Лагранжа и уравнения движения свободной частицы
относительно поступательно движущейся системы отсчета. Дайте
пояснения.
20. Как записываются импульс и энергия свободной частицы относительно
поступательно движущегося наблюдателя? Что и в каком случае
сохраняется?
21. Получите функцию Лагранжа и уравнения движения свободной частицы
относительно произвольно движущейся системы отсчета. Дайте
пояснения.
22. Как записываются импульс и энергия свободной частицы относительно
произвольно движущегося наблюдателя? Что и в каком случае
сохраняется?
Задача 27. Многомерный гармонический осциллятор
Состояние устойчивого равновесия. Линеаризация
Вспомним, что состоянием устойчивого равновесия одномерной системы
является состояние, в котором и вблизи которого система может находиться
сколь угодно долго. В самом состоянии устойчивого равновесия скорость равна
нулю. Состояние устойчивого равновесия может существовать только в
положении q = q0 минимума потенциальной энергии. В этом положении
ускорение также равно нулю. Вблизи минимума ускорение нулю не равно, но
оно направлено к положению минимума. Поэтому скорость все время
ограничена малыми значениями, а координата мало отличается от значения q0.
Система совершает колебания (обычно малые, гармонические колебания)
вблизи состояния устойчивого равновесия.
Рассмотрим общий случай одномерной, консервативной системы с функцией
Лагранжа
a(q)q 2
L
 U (q)
2
Предположим, что в точке q = q0 имеется минимум потенциальной энергии, т.е.
©Фомин Георгий Викторович. Механика. РГУ. 2009 г. www.phys.sfedu.ru\~fomin
34
 d 2U 
 dU 

  0;  2   0 .
 dq  q0
 dq  q0
Поместим систему в окрестность положения равновесия q ≈ q0 с малой
скоростью. Так как система всегда будет иметь координату, близкую q0, и
малую скорость, то можно приближенно записать функцию Лагранжа, разложив
ее в ряд вблизи состояния равновесия с координатой, равной q = q0, и
скоростью, равной нулю, с точностью до членов второго порядка малости
 dU 
a(q0 )q 2
1  d 2U 
 (q  q0 )   2  (q  q0 ) 2 .
L
 U (q0 )  
2
2  dq  0
 dq  0
В выражении справа можно отбросить постоянное значение потенциальной
энергии в равновесии U(q0), так как оно не влияет на уравнение движения.
Также следует учесть равенство нулю первой производной в точке равновесия.
Введя обозначения,
 d 2U 
m  a(q0 ); x  q  q0 ; k   2 
 dq  0
получим функцию Лагранжа задачи 6 нулевого цикла (частица на пружинке,
или гармонический осциллятор)
mx 2 kx2
L( x, x ) 

.
2
2
Уравнение движения гармонического осциллятора
mx  kx
является простым линейным, однородным дифференциальным уравнением
второго порядка. Его решение имеет вид простой гармонической функции x = a
cos(ωt + φ). Здесь частота колебаний осциллятора   k m , а амплитуда a и
начальная фаза φ колебаний определяются начальными условиями движения.
В случае системы с несколькими (пусть s) степенями свободы задача об
определении малых колебаний решается похожим, но более громоздким
способом.
В начале следует линеаризовать уравнения движения вблизи состояния
равновесия. Для этого достаточно разложить функцию Лагранжа
1 s
L   aij (q)q i q j  U (q)
2 i , j 1
вблизи состояния устойчивого равновесия с координатами qi = qi0 и нулевыми
скоростями
1 s
1 s
L   mij x i x j   k ij xi x j (27.1).
2 i , j 1
2 i , j 1
Здесь, по аналогии с одномерным случаем,
  2U 

mij  aij (q0 ); xi  qi  qi 0 ; k ij  
 q q 
 i j 0
Подставив эту функцию Лагранжа в уравнения Лагранжа
d  L  L


 0,
dt  x i  xi
получим систему линейных, однородных уравнений движения s-мерного
гармонического осциллятора
©Фомин Георгий Викторович. Механика. РГУ. 2009 г. www.phys.sfedu.ru\~fomin
35
s
s
j 1
j 1
 mij x j   kij x j .
В этом и состоит процесс линеаризации уравнений движения вблизи состояния
устойчивого равновесия.
Вопросы для самоконтроля
1. Опишите процесс линеаризации системы с несколькими степенями
свободы.
2. Как выглядит функция Лагранжа и уравнения движения многомерного
гармонического осциллятора?
Нормальные колебания многомерного осциллятора
Функцию
Лагранжа
(27.1),
преобразованием координат
записанную
выше,
можно
линейным
s
xi   t i Q
 1
привести к сумме функций Лагранжа одномерных осцилляторов
s
s  2
Q 2 Q2 

 (27.2).
L   L   

2 
 1
 1  2
Новые координаты Qa называются главными, или нормальными координатами,
частоты ωa называются собственными частотами. Для каждой главной
координаты имеется отдельное, независимое от других уравнение движения
d  L  L
   2 Q .


 0 , или Q

 



dt  Q  Q
Поэтому зависимость главных координат от времени выглядит так же, как в
случае одномерного гармонического осциллятора Qa(t) = aa cos(ωat + φa).
Зависимость от времени главных координат определяет нормальные, или
главные колебания многомерного гармонического осциллятора.
Достоинство главных координат в том, что они описывают отклонения от
положений равновесия независимых осцилляторов. Недостаток же в том, что эти
осцилляторы не соответствуют, в общем случае, каким-либо реальным
частицам. Реальные частицы взаимодействуют друг с другом, поэтому их
колебания зависимы и, в общем случае, не совершаются с какой-то
определенной частотой.
Получив решение задачи в главных координатах, мы, естественно, должны
иметь формулы, позволяющие определять зависимость обычных координат xi от
времени. К тому же мы должны научиться определять собственные частоты как
функции известных нам матриц mij, kij. Вот эти соотношения.
Собственные частоты ωa являются корнями алгебраического уравнения
det(mijω2 – kij) = 0 (27.3)
Это так называемое характеристическое уравнение.
Уравнение (27.3) является алгебраическим уравнением s-ого порядка относительно квадрата
частоты. Оба корня, извлекаемые из этого квадрата, равноценны и присутствуют в одном
физическом решении уравнений движения. Так cosωt = (eiωt + e-iωt)/2. Они обязаны своим
существованием инвариантности уравнений малых колебаний (и любого их решения)
относительно отражения времени.
Общее решение задачи о малых колебаниях имеет вид.
©Фомин Георгий Викторович. Механика. РГУ. 2009 г. www.phys.sfedu.ru\~fomin
36
s
xi   t i Q (27.4).
 1
Это выражение того линейного преобразования, которое позволяет привести
исходную функцию Лагранжа к сумме функций Лагранжа независимых
осцилляторов.
Каждый α-ый столбец матрицы коэффициентов tiα должен удовлетворять
системе линейных, однородных алгебраических уравнений
s
 (m    k
2
j 1
ij
ij
)t j  0 (27.5).
Доказательство выписанных соотношений можно получить, если подставить
выражение (27.4) в функцию Лагранжа (27.1) в исходных координатах и
потребовать ее преобразования в (27.2).
Надо понимать, что с геометрической точки зрения нормальные координаты Qα
есть просто удобная система координат в пространстве положений, или, как еще
его называют, пространстве конфигураций. Удобство в том, что в системе
нормальных координат функция Лагранжа распадается на сумму независимых
функций, каждая из которых описывает отдельный гармонический осциллятор.
Системы уравнений (27.5) не определяют столбцы матрицы tiα однозначно.
Геометрически это означает то, что решение системы уравнений (27.5)
определяет лишь направления новых осей координат по отношению к старым
осям. Физически этого достаточно, если речь идет просто о выборе новой
системы координат. Длины ортов, или масштабы вдоль новых осей остаются
произвольными. То требование, чтобы преобразование (27.4) приводило
функцию Лагранжа (27.1) именно к виду (27.2), где массовые коэффициенты в
кинетической энергии равны единице, содержится в дополнительном условии,
которое называется условием нормировки и имеет вид
s
 m t t   1
i , j 1
ij i
j
Использование условия нормировки фиксирует масштабы вдоль новых осей
координат и доопределяет столбцы матрицы преобразования tiα.
Вопросы для самоконтроля
3. Что такое главные координаты и собственные частоты осциллятора?
Опишите, как именно упрощается задача после перехода к главным
координатам.
4. Что такое характеристическое уравнение?
5. Как определяется матрица преобразования от обычных смещений к
нормальным координатам, и как выглядит общее решение задачи о
движении многомерного гармонического осциллятора?
Колебания линейной, симметричной трехатомной
молекулы
Это задача 1 к §24 «Механики». Рекомендую предварительно прочесть §24
«Колебания молекул», достаточно простой для самостоятельного изучения.
В настоящей задаче молекула состоит из трех атомов двух сортов A и B. Два
атома с массами mA расположены по краям молекулы, а атом mB в ее центре. В
равновесии все атомы лежат на одной прямой и отделены расстоянием l друг от
друга. (Это молекула типа CO2).
©Фомин Георгий Викторович. Механика. РГУ. 2009 г. www.phys.sfedu.ru\~fomin
37
Взаимодействие таково, что при смещении вдоль оси молекулы атомы ведут
себя так, как если бы между ними были натянуты пружинки с коэффициентом
упругости k1. При смещениях атомов в направлении, перпендикулярном оси
молекулы, то есть при изгибе, «работает» пружинка с коэффициентом
упругости k2. Она фиксирует угол между направлениями от центрального атома
к крайним.
Можно отделить смещения атомов в поперечном направлении от их смещений в
продольном направлении.
В начале рассмотрим движение вдоль оси молекулы.
Пусть x1, x3 смещения крайних атомов сорта A, а x2 смещение центрального
атома сорта B вдоль этой прямой. Тогда функция Лагранжа имеет вид
m
m
k
2
2
L  A ( x12  x 32 )  B x 22  1 x1  x2   x2  x3 
2
2
2
Запишем матрицы mij, kij в данном частном случае:
0 
 mA 0
 1 1 0 




mij   0 mB 0 ; k ij  k1   1 2  1
 0
 0 1 1 
0 m A 



Прежде чем двигаться дальше выберем масштаб масс так, чтобы эталоном
массы была суммарная масса молекулы [M] = μ = 2mA + mB. Тогда все массы


атомов будут меньше единицы. Пусть эталон времени таков, что [T ] 

k1
~
Отсюда, k1  k1 /[ k ]  k1 /([ M ] /[T ] 2 )  1 .
Теперь запишем матрицу, определитель которой задает характеристическое
уравнение (27.3).
 m A 2  1

1
0


2
1
m B  2
1

. (27.6)

2
0
1
m A  1

Запишем характеристическое уравнение (27.3), раскрыв определитель этой
матрицы
(mAω2 – 1)[( mBω2 – 2) (mAω2 – 1) – 1] - (mAω2 – 1) = 0.
Корни уравнения 1  1 / mA ; 2  1 / mA mB ; 3  0 являются собственными
частотами движения атомов молекулы вдоль ее оси.
Смысл нулевой частоты очень прост. Ведь функция Лагранжа, отвечающая
Q 32
нулевой частоте имеет вид (см. (27.2)) L3 
. Это функция Лагранжа
2
свободной частицы. Следовательно, главная координата, отвечающая нулевой
частоте, зависит линейно от времени Q3 = a3t + b3. В общем случае это либо
равномерное поступательное движение, если Q3 декартовая координата, либо
вращение, если Q3 угол. Скорость a3 и начальное смещение b3 определяются
©Фомин Георгий Викторович. Механика. РГУ. 2009 г. www.phys.sfedu.ru\~fomin
38
начальными условиями. В данном случае смещение Q3 описывает движение
молекулы в целом, как единой частицы, вдоль своей собственной оси.
Чтобы найти закон движения xi(t), следует согласно формуле (27.4) определить
матрицу tia, используя уравнения (27.5). Воспользуемся для записи этих
уравнений уже найденной матрицей (27.6), подставляя в нее последовательно три
найденных собственных частоты:
α = 1; ω21 = 1/mA
0*t11 + t21 + 0*t31 = 0
t11 + (mB/mA – 2)t21 + t31 = 0
0*t11 + t21 + 0*t31 = 0
Обратим внимание на то, что третье уравнение в этой системе совпадает с
первым. Такое может быть в нашей задаче. Матрица коэффициентов уравнений
(27.6) имеет определитель, равный нулю. Следовательно, уравнения являются
линейно зависимыми. В частности, могут совпадать какие-то из уравнений, как
в нашем случае.
Решение системы имеет вид t21 = 0; t11 = - t31 = a. Здесь a - произвольная
постоянная.
Физический смысл этого произвола довольно прост. Каждая из нормальных
координат Qα, к которым преобразуются координаты xi с помощью матрицы tiα,
может измеряться в произвольном масштабе. В частности это относится и к
координате Q1 в данной задаче. В общее решение (27.4) произвольная
постоянная a войдет в произведении с главной координатой Q1, и будет играть
роль произвольного масштабного множителя. Так же, к примеру, декартовая
координата x может измеряться в метрах, сантиметрах или любых других
единицах измерения длины. При этом ее значение будет умножаться на тот или
иной множитель, хотя никак не скажется на физическом значении координаты
x.
Учитывая данный произвол, можно положить a = 1. Тогда столбец ti1 примет
вид
 t11   1 
   
 t 21    0  .
 t    1
 31   
Есть и другие соображения, позволяющие зафиксировать значение a. Можно
потребовать, чтобы в новых, главных координатах Qα функция Лагранжа имела
вид (27.2). В этой записи кинетическая энергия имеет одну особенность - все
массовые коэффициенты равны единице. Как если бы кинетическая энергия
равнялась половине квадрата модуля вектора скорости в ортонормированной
системе координат. (В такой системе координат, как мы помним, квадрат
модуля вектора равен сумме квадратов его компонент). Как отмечалось выше и
строго будет показано ниже, условием такого вида кинетической энергии
является условие нормировки
s
 m t t   1
i , j 1
ij i
j
Другими словами, условие нормировки координаты Qα требует такого
выбора ее масштаба, что вклад в кинетическую энергию от этого колебания
имеет вид Q a2 / 2 .
В нашем случае для столбца ti1, выраженного через константу a, это требование
имеет вид 2mAa2 = 1. Отсюда a  1 / 2m A .
©Фомин Георгий Викторович. Механика. РГУ. 2009 г. www.phys.sfedu.ru\~fomin
39
Второй столбец находим, действуя аналогичным образом
α = 2; ω22 = 1/(mAmB)
(1/mB – 1)t12 + t22 + 0*t32 = 0
t12 + (1/mA – 2)t22 + t32 = 0
0*t12 + t22 + (1/mB – 1) t32 = 0
Из первого и третьего уравнений следует, что
t12 = t32 = b; t22 = -2mAb/mB
По той же причине, что и в предыдущем случае, можно без потерь для
общности положить константу b равной единице. Тогда второй столбец
матрицы tia примет вид
 t12   1 
 
2m A 
.
 t 22    
 t   m B 
 32   1 
Если исходить из требования нормировки, как это мы делали выше, то
постоянная b определится из равенства 2mAb2 + 4mA2/mBb2 = 2mA/mBb2 = 1, или
b  mB / 2mA .
По той же схеме определим и третий, последний столбец матрицы tia.
α = 3; ω3 = 0
-t13 + t23 + 0*t33 = 0
t13 - 2t23 + t33 = 0
0* t13 + t23 - t33 = 0
Отсюда t13 = t23 = t33 = c, где c - произвольная постоянная. Ее так же, как и в
предыдущих двух случаях, можно положить равной единице:
 t13  1
   
 t 23   1
 t  1
 33   
Из условия нормировки следует тот же результат c = 1. Покажите
самостоятельно.
Используя найденную матрицу tia (без нормировочных множителей), запишем
общее решение задачи о движении трехатомной линейной, симметричной
молекулы вдоль ее оси (формула (27.4))
 x1   Q1  Q2  Q3 
 
2m A
Q2  Q3  .
 x2    


m
B
x  
 3    Q1  Q2  Q3 
Для понимания смысла каждого из нормальных колебаний будем задавать
начальные условия так, чтобы оставалась лишь одна из главных координат.
1. Пусть Q2 = Q3 = 0.
Тогда остается только первое колебание с частотой 1  1 / mA . При этом,
как мы видим, средний атом покоится x2 = 0, а крайние совершают колебания
с указанной частотой, одинаковой амплитудой, но в противоположной фазе x1
= -x3 = Q1. Это симметричная мода продольных колебаний молекулы.
©Фомин Георгий Викторович. Механика. РГУ. 2009 г. www.phys.sfedu.ru\~fomin
40
2. Пусть, теперь Q1 = Q3 = 0.
Остается колебание с частотой  2  1 / m A mB . Все три атома совершают
колебания с этой частотой. При этом амплитуды и фазы крайних атомов
совпадают x1 = x3 = Q2, а средний атом колеблется в противоположной с ними
фазе с амплитудой, компенсирующей смещение центра масс x2 = -2mAQ2/mB.
Действительно, mA(x1 + x3) + mBx2 = 0, что означает, что центр масс остается
неподвижным. Это антисимметричная мода продольных колебаний
молекулы.
3. Наконец, положим Q1 = Q2 = 0.
Тогда все три смещения одинаковы x1 = x2 = x3 = Q3 = a3t + b3. Это
равномерное перемещение молекулы в целом.
Теперь рассмотрим поперечные смещения атомов линейной, симметричной
трехатомной молекулы.
При смещениях в поперечном направлении, то есть вдоль оси y, на атомы
действуют силы, пропорциональные отклонению δ угла раствора молекулы от
значения π.
Пусть мы имеем некоторые произвольные поперечные смещения атомов
молекулы y1, y2, y3 из равновесия. Тогда δ = β1 + β3, где β1, β3 это углы, которые
составляют с осью молекулы отрезки, соединяющие центральный атом с
крайними. При малых колебаниях тангенсы этих углов и, в том же
приближении, сами углы равны
β1 = (y1 – y2)/l; β3 = (y3 – y2)/l
Поэтому потенциальная энергия молекулы при поперечных, малых
перемещениях атомов равна
U = k2l2δ2/2 = k2l2(β1 + β3)2/2 = k2(y1 + y3 – 2y2)2/2.
Таким образом, функция Лагранжа поперечных смещений молекулы имеет вид
m
m
L  A ( y12  y 32 )  B y 22 
2
2
k2 2
 ( y1  4 y 22  y32  4 y1 y 2  2 y1 y3  4 y3 y 2 )
2
Как и в предыдущем случае, выберем за эталон массы полную массу молекулы
[M] = μ, за эталон времени [T ]   k 2 . В новом масштабе коэффициент
взаимодействия будет равен единице, а массы атомов будут меньше единицы.
Запишем матрицу масс mij и матрицу коэффициентов взаимодействия kij
0 
 mA 0
 1 2 1 




mij   0 mB 0 ; k ij    2 4  2 
 0
 1 2 1 
0 m A 



Отсюда матрица, определяющая характеристическое уравнение, имеет вид:
©Фомин Георгий Викторович. Механика. РГУ. 2009 г. www.phys.sfedu.ru\~fomin
41
m 
ij
2
 k ij

 m A 2  1
2
1 


2

2
m B  4
2
.
 1
2
m A 2  1

Приравняв определитель этой матрицы нулю, мы получим характеристическое
уравнение
(mAω2 – 1)[(mBω2 – 4) (mAω2 – 1) – 4] –
- 2[2(mAω2 – 1) + 2] – [4 + mBω2 – 4] =
2
= (mAω – 1)ω2(mAmBω2 – 4mA – mB) - 4mAω2– mBω2 =
= ω2[mAω2(mAmBω2 – 4mA – mB) - mAmBω2] =
= mAω4(mAmBω2 – 4mA – 2mB) =
= mAω4(mAmBω2 – 2) = 0
Здесь был учтен выбор масштаба массы
4mA + 2mB = 2μ = 2.
Решение характеристического уравнения имеет два одинаковых корня с нулевой
частотой ω4 = ω5 = 0 (одному физическому решению характеристического
уравнения отвечает одно значение квадрата частоты) и один корень,
отвечающий поперечным колебаниям молекулы
2
.
6 
m A mB
(Мы сохраняем сквозную нумерацию частот и нормальных колебаний).
Мы знаем, что главные координаты, отвечающие нулевым частотам,
изменяются линейно со временем. В данном случае такие решения обусловлены
равномерным перемещением центра масс в поперечном направлении и
равномерным вращением молекулы как целого. Мы сейчас убедимся в этом.
Найдем столбцы матрицы преобразования от обычных координат к главным
координатам.
Первый столбец α = 4; ω4 = 0 удовлетворяет системе линейных, однородных
уравнений
-t14 + 2t24 – t34 = 0
2t14 - 4t24 + 2t34 = 0
-t14 + 2t24 – t34 = 0.
Мы видим, что все три уравнения линейно зависимы. Это связано с тем, что
корень ω = 0 характеристического уравнения является двукратным. Поэтому
ранг матрицы коэффициентов не на единицу, а на две меньше ее порядка.
Если обозначить a = t14; b = t24, то первый столбец искомой матрицы имеет вид
 t14   a 
  

 t 24    b  .
 t   2b  a 
 34  

Точно также будет выглядеть и второй столбец, тоже отвечающий нулевой
частоте
 t15   с 
  

 t 25    d  .
 t   2d  c 
 35  

Все 4 постоянных, определяющих эти два столбца, независимы между собой.
Их можно выбирать произвольно, лишь бы столбцы оставались линейно
независимыми.
©Фомин Георгий Викторович. Механика. РГУ. 2009 г. www.phys.sfedu.ru\~fomin
42
Это последнее требование является важным. Ведь главные координаты Qa должны быть
независимы между собой, как и реальные смещения частиц xi. А это возможно лишь в том
случае, когда матрица tia, связывающая эти координаты (см. (27.4)), будет иметь отличный от
нуля определитель. Другими словами, столбцы (и строки) матрицы tia должны быть линейно
независимыми.
Постоянные a, b, c, d получат конкретные значения, если придать конкретный
физический смысл главным координатам Q4, Q5.
Пусть, например, главная координата Q4 соответствует равномерному
вращению молекулы с неподвижным центром масс, и пусть начальные условия
выбраны таким образом, что молекула только вращается, то есть
Q5 = Q6 = 0
Тогда y1 = aQ4; y2 = bQ4; y3 = (2b – a)Q4. При вращении молекулы центральный
атом находится в покое, в центре инерции. Следовательно, b = 0. Значение
постоянной a можно положить равным единице, как мы это делали раньше.
Тогда первый столбец принимает вид
 t14   1 
   
 t 24    0  .
 t    1
 34   
Если значение a определять из условия нормировки, то результат будет тот же,
что у столбца ti1, т.е. a  1 / 2m A (покажите самостоятельно).
Пусть теперь вторая главная координата Q5 отвечает за смещение центра
инерции без вращения молекулы. При смещении центра масс все атомы
смещаются на одну и ту же величину. Поэтому
y1 = cQ5 = y2 = dQ5 = y3 = (2c – d)Q5
Это возможно лишь при равенстве констант c = d, которые мы также можем
принять равными единице. Условие нормировки приводит к тому же значению
в нашем масштабе масс (покажите самостоятельно).
Следовательно, второй столбец матрицы tia имеет вид (нормированный в нашем
масштабе масс)
 t15  1
   
 t 25   1
 t  1
 35   
Какой физический смысл в существовании четырех независимых произвольных
констант a, b, c, d в рассмотренном случае?
Две независимые константы, как мы видели выше, характеризуют физический
произвол выбора масштабов координат Q4 и Q5. Оставшиеся две постоянных
характеризуют физический произвол выбора направлений изменения координат
Q4 и Q5 в плоскости по отношению к некоторому выделенному направлению.
Этот произвол, однако, ограничен тем условием, что координаты должны быть
линейно независимыми и, следовательно, угол между ними не может быть
равен 0 или π.
В случае трехкратной частоты независимых постоянных уже девять (подумайте
над этим). Три из них определяют физический произвол в выборе масштабов, а
остальные шесть – в выборе трех направлений в трехмерном пространстве. Ведь
направление любой прямой в 3-мерном пространстве определяется двумя
независимыми углами. Таким образом, наличие n-кратной частоты позволяет
выделить во всем пространстве решений лишь n-мерное подпространство,
отвечающее кратной частоте. Все направления в этом подпространстве
©Фомин Георгий Викторович. Механика. РГУ. 2009 г. www.phys.sfedu.ru\~fomin
43
физически эквивалентны, и поэтому остается произвол в выборе n линейно
независимых векторов и их масштабов. Этот произвол и отражается в решении
появлением в нем произвольных констант.
Осталось найти третий столбец
2
.
  6; 6 
m A mB
(2/mB – 1)t16 + 2t26 – t36 = 0
2t16 + (2/mA – 4)t26 + 2t36 = 0
-t16 + 2t26 + (2/mB – 1)t36 = 0.
Вычитая из первого третье уравнение, получим
t16 = t36 = e.
Подставив это в любое из уравнений, получим
t26 = -2emA/mB.
Константа e, как и раньше, может быть принята за единицу. Поэтому третий
столбец матрицы tia имеет вид
 t16   1 
 
2m A 
.
 t 26    
 t   m B 
 36   1 
Нормировочный множитель e  mB / 2mA такой же, как у столбца ti2.
Итак, общее (не нормированное) решение задачи о поперечных смещениях
атомов имеет вид
 y1   Q4  Q5  Q6 
 
2m A
Q6  .
 y 2    Q5 


m
B
y  
 3    Q4  Q5  Q6 
Как мы видим, при поперечных колебаниях крайние атомы испытывают
одинаковые смещения, а средний атом колеблется в противоположной с ними
фазе и амплитудой, компенсирующей смещение центра масс молекулы.
Теперь остановимся на вопросе о выборе системы отсчета и масштабов при
определении частных решений задачи о колебаниях молекулы.
При одновременном участии атомов молекулы в поперечных и продольных
перемещениях для определения частного решения следует задать значения
двенадцати независимых констант aα, φ1, φ2, φ6, b3, b4, b5, где α = 1,…,6.
Задание конкретной системы отсчета и масштабов может зафиксировать
некоторые из этих постоянных. Рассмотрим этот вопрос подробнее.
Как и в общем случае задачи N частиц рассмотрим две системы отсчета –
лабораторную и систему отсчета центра инерции.
В лабораторной системе отсчета будем считать, что в начальный момент
времени
- средний атом в начальный момент покоится и не имеет смещения
(однородность
пространства,
инвариантность
относительно
преобразований Галилея);
- ось молекулы неподвижна (система координат жестко связана с молекулой,
или подвижная, вращающаяся вместе с молекулой система координат);
©Фомин Георгий Викторович. Механика. РГУ. 2009 г. www.phys.sfedu.ru\~fomin
44
-
-
поперечные смещения крайних атомов можно считать равными нулю. Ведь
во вращающейся системе координат смещения этих атомов вдоль оси y
одинаковы в каждый момент времени, и за начальный момент можно
выбрать тот, в который оба этих атома не имеют смещения (однородность
времени).
единицей массы является полная масса молекулы μ;
~ ~
единица времени определятся условием k1  k 2  1 . Тогда общий для всех
колебаний масштаб времени будет
[T ] 

.
k1  k 2
При этом надо не забыть изменить выражения для собственных частот,
записанных выше в других временных масштабах. Это даст
1  k1 mA ; 2  k1 mA mB ; 6  2 k 2 mA mB
где k1, k2 – в единицах k1+ k2.
- масштаб длины остается произвольным.
Эти условия выбора лабораторной системы отсчета фиксируют значения семи
постоянных величин - скорости центра инерции a3, a5, смещения центра
инерции b3, b5, скорости вращения молекулы a4 = 0, ее угла поворота в
начальный момент времени b4 = 0 и начальной фазы поперечного колебания φ6
(подумайте, почему это так!). Задание значений остальных пяти констант –
амплитуд нормальных колебаний a1, a2, a6 и их относительных начальных фаз φ1
– φ6, φ2 – φ6, определит разные частные решения в выбранной системе отсчета.
В системе центра инерции
- неподвижным a3 = a5 = 0 и находящимся в начале координат b3 = b5 = 0
является центр масс;
- начальная фаза φ6 также фиксирована, хотя поперечные смещения крайних
атомов не обязательно равны нулю;
- масштабы массы и времени те же, что и в лабораторной системе;
- можно зафиксировать масштаб длины, полагая равной единице полную
энергию колебаний.
Заметим, что энергия каждого α-ого нормального колебания равна
Q 2  2 Q 2
E      α = 1, 2, 6. (В данном случае имеются в виду нормированные
2
2
нормальные координаты, в которых функция Лагранжа диагональная и все
массовые коэффициенты кинетической энергии равны единицам.) В системе
центра инерции отсутствуют какие-либо перемещения молекулы в целом, то
есть E3 = E4 = E5 = 0. Если молекула не находится в состоянии равновесия
(исключительное и тривиальное решение – все атомы стоят), то полная энергия
колебаний E = E1 + E2 + E6 положительна. Тогда, выбирая ее за эталон энергии
~
[ E ]  E; E  E /[ E ] , можно зафиксировать масштаб длины.
Так как размерность энергии [E] = [M][D]2/[T]2, а эталоны времени

E
и массы [M] = μ уже выбраны, то получаем [ D] 
.
[T ] 
k1  k 2
k1  k 2
В выбранном масштабе вклад в полную энергию частного решения от каждого
a 2 2
нормального колебания E    будет меньше единицы.
2
©Фомин Георгий Викторович. Механика. РГУ. 2009 г. www.phys.sfedu.ru\~fomin
45
Фиксация масштаба длины в системе центра инерции сводит число
независимых величин, определяющих различные частные решения нашей
задачи к четырем – двум относительным амплитудам, например a1/a6, a2/a6, и
тем же относительным начальным фазам φ1 – φ6, φ2 – φ6.
При своем движении атомы молекулы описывают траектории на плоскости XY.
Эти траектории, вообще говоря, не являются замкнутыми кривыми. Но, если
частоты нормальных колебаний, в которых участвуют атомы при заданных
параметрах молекулы, являются рационально кратными ω1/ω2/ω6 = n1/n2/n6, где
n1, n2, n6 - числа натурального ряда, то траектории оказываются замкнутыми
кривыми. Это, так называемые фигуры Лиссажу.
Пусть, для простоты, в колебании участвуют только две моды. Продольной
моде отвечает главная координата Q1, а поперечной моде Q6. За время t фаза w1
первой главной координаты изменится на величину ω1t, а фаза второй w6 на
величину ω6t. Если частоты этих колебаний находятся в отношении ω1/ω6 =
n1/n6, то через время 2πn1/ω1 = 2πn6/ω6 фаза первого колебания изменится на
величину 2πn1, а второго на 2πn6. Другими словами, фазы обеих главных
координат, составляющих колебание, вернутся к своей исходной точке. А это и
означает, что траектория замкнется.
Посмотрите иллюстрацию колебаний линейной, симметричной трехатомной
молекулы, и, если у Вас Vista, иллюстрацию колебаний замкнутых линейных и
нелинейных цепочек.
Вопросы для самоконтроля
6. Решите задачу о продольных колебаниях молекулы.
7. Решите задачу о поперечных колебаниях молекулы.
8. Опишите лабораторную систему отсчета, в которой задаются начальные
условия колебаний молекулы.
9. Опишите систему центра инерции, в которой описываются колебания
молекулы.
10. В чем состоят условия замыкания траекторий атомов (фигуры Лиссажу)?
Общее решение задачи о движении многомерного
осциллятора
Докажем формулы, которыми пользовались при определении собственных частот и общего
решения. Для этого надо подставить линейное преобразование смещений xi 
s
t  Q


1
i
в
функцию Лагранжа
L
1 s
1 s


m
x
x

k ij xi x j ,
 ij i j 2 i
2 i , j 1
, j 1
Эта функция записана вблизи устойчивого положения равновесия системы xi = qi – qi0. Надо
потребовать, чтобы в новых координатах функция Лагранжа имела вид суммы функций
Лагранжа отдельных одномерных осцилляторов
s
s  2
Q
 2Q 2 
L   L        
2 
 1
 1  2
Сделаем это
L
s
s
s
s

1 s 

 k


m
t
Q
t
Q
t
Q
t
Q





ij
i


j


ij
i


j



2 i , j 1  1
 1
 1
 1

©Фомин Георгий Викторович. Механика. РГУ. 2009 г. www.phys.sfedu.ru\~fomin
46

1 s  s
   mij t i t j
2  ,  1  i , j 1
 
 s
Q Q    k ij t i t j



 i , j 1


Q Q 



Математически, нашим требованием является диагонализация квадратичных форм, образующих
функцию Лагранжа, при заданном преобразовании координат от xi к Qa. Оно выполняется, как
мы видим, при одновременном выполнении двух равенств
s
m t t 
ij i
i , j 1
.
s
k
i , j 1
   ;
j
t t
ij i j
    
2
Эти равенства накладывают ограничения на возможные значения величин tia, ωa2. Преобразуем
немного эти равенства.
Умножим первое из них на ωa2 и, вычтя из второго, получим эквивалентные соотношения
s
m t t 
ij i
i , j 1
j
   ;
.
s
 (k
i , j 1
 mij  )t i t j  0
2
ij
Умножим второе равенство на матрицу, обратную матрице tia. Такая матрица существует, так
как совершаемое преобразование координат должно быть неособенным. Ведь новые, главные
координаты Qa должны быть независимы между собой так же, как независимыми являются
смещения xi.
В результате мы получим соотношения
s
m t t 
i , j 1
ij i
i 1
   ;
(1)
.
s
 (k
j
ij
 mij 2 )t i  0 (2)
Соотношение (2) представляет собой s систем линейных, однородных алгебраических
уравнений s-ого порядка для столбцов матрицы tia.
Для того чтобы каждая из этих систем уравнений имела ненулевое решение, то есть, чтобы ни
один столбец матрицы tia не равнялся нулю (иначе нарушится та независимость новых
координат, о которой упоминалось выше), необходимо чтобы определители коэффициентов
всех этих систем равнялись нулю. Другими словами, каждая из частот ωa2 должна быть корнем
уравнения
det(mijω2 – kij) = 0 (3)
Это и есть записанное выше характеристическое уравнение (27.3) для собственных частот
нормальных колебаний.
Найдя корни этого уравнения, подставив их по очереди в каждую из системы (2) при α = 1, 2, …,
s и решив каждую из этих систем, мы найдем все столбцы матрицы преобразования tia.
Так как каждая из систем линейных, однородных уравнений с нулевым определителем
коэффициентов имеет бесконечное количество решений, то каждый из столбцов матрицы tia
будет определен с точностью как минимум до одной произвольной постоянной. Если какаянибудь собственная частота является кратным корнем характеристического уравнения, то ранг
матрицы коэффициентов с ее участием меньше s - 1. Тогда число не определенных констант в
соответствующем столбце больше единицы и равно кратности частоты. Неопределенным
постоянным, остающимся после определения столбцов матрицы tia, могут быть присвоены
любые значения, лишь бы они не нарушали линейной независимости столбцов. Ведь эти
постоянные, как мы видели на примере решенной задачи, являются частью постоянных общего
решения уравнений движения и при задании начальных условий оказываются полностью
определенными.
Формально, для определения констант, входящих в столбцы матрицы tia, могут быть
использованы соотношения (1), которые называются условия ортонормировки. Если частоты
ωα2, ωβ2 однократны, то соответствующие этим частотам столбцы tiα, tiβ автоматически
удовлетворяют условию ортогональности (1) (покажите самостоятельно). В этом случае
©Фомин Георгий Викторович. Механика. РГУ. 2009 г. www.phys.sfedu.ru\~fomin
47
условия нормировки (1), записанные для каждого столбца tiα, tiβ, доопределяют входящие в них
постоянные. В случае кратной частоты условия ортонормировки не фиксируют все постоянные,
но определяют лишь часть из них.
Геометрически все выглядит довольно просто. Решение уравнений (2) в случае однократной
частоты определит одномерное направление в пространстве – прямую линию, на которой лежит
вектор-столбец. Условие нормировки выделит на этом направлении вектор единичной длины,
направленный в ту или другую сторону. Если частота двукратная, то решение (2) выделит
плоскость, где лежат произвольно направленные (но не лежащие на одной прямой – линейная
независимость(!)) и имеющие произвольную длину два вектора-столбца, отвечающие этой
частоте. Условия нормировки ограничат длину векторов единичной, а условие ортогональности
потребует, чтобы вектора были перпендикулярны друг другу. Однако произвол в выборе
ориентации пары ортонормированных векторов на плоскости (угол) останется.
В решенной выше задаче о колебаниях линейной, симметричной трехатомной молекулы нами
были найдены столбцы ti4, ti5 для двукратной частоты ω4 = ω5 = 0. Можно показать, что в том
виде, в котором мы их определили, они ортогональны между собой. Действительно, подставим
элементы этих столбцов в левую часть условия ортонормировки (1). Получим mA(t14t15 + t34t35) +
mBt24t25 = mA(1 - 1) + mB0 = 0.
Определение частного решения задачи о колебаниях многомерного гармонического
осциллятора требует задания начального состояния движения – смещений xi0 и скоростей xi 0 в
начальный момент времени t = 0. Это позволит найти постоянные интегрирования, от которых
зависят нормальные координаты Qα(t). Так, если частота ωα ≠ 0, то постоянными
интегрирования в выражении Qα(t) = aαcos(ωαt + φα) являются амплитуда aα и начальная фаза φα.
Вот как это делается.
s
1.
В левую часть общего решения задачи
xi   t i Q подставляются начальные
 1
смещения, что приводит к системе линейных уравнений
s
t  Q


1
2.
i
0
 xi 0
для начальных значений нормальных координат Qα0 = aαcosφα.
Общее решение дифференцируется по времени и в левую часть подставляются
начальные компоненты скорости, что приводит к системе аналогичных линейных
уравнений
s
t  Q 


1
i
0
 xi 0
для начальных значений скоростей нормальных координат
3.
Q  0   a sin  .
Полученные начальные значения нормальных координат и их скоростей позволяют
найти амплитуды и начальные фазы по формулам


a  Q2 0  Q2 0 / 2 ;    arctan Q 0 /  Q 0 
Описание гармонического осциллятора в переменных
действие-угол
Функция Гамильтона s-мерного осциллятора в нормальных координатах имеет
вид
1 s
H (Q , P )   P2   2 Q2 ; .
2  1
Соответствующие канонические уравнения
H 
H
Q  
; P  
P
Q
принимают после подстановки функции Гамильтона вид
Q   P ; P  2 Q
©Фомин Георгий Викторович. Механика. РГУ. 2009 г. www.phys.sfedu.ru\~fomin
48
и имеют решение Qα = aαcos(ωαt + φα); Pα = - aαωαsin(ωαt + φα).
Каждое из этих решений описывает колебание отдельного гармонического
осциллятора. Каждая из парциальных энергий s-мерного осциллятора Eα
сохраняется. Поэтому на каждой фазовой плоскости Qα; Pα осциллятор
описывает эллипс Eα = Pα2/2 + ωα2Qα2/2 с полуосями 2 E /  ; 2 E .
Площадь эллипса равна Sα = 2πEα/ωα. Ей соответствует переменная «действие»
Jα = Sα/2π = Eα/ωα. Можно перейти от фазовых координат Qα, Pα к координатам
«действие-угол» wα, Jα. Достоинство новых переменных в том, что все новые
«импульсы» Jα сохраняются. Из выражения для Jα следует, что полная энергия,
а, следовательно, функция Гамильтона и канонические уравнения осциллятора в
новых фазовых координатах принимают вид
H    J  ;

H
H
   ; J  
0
J 
w
Закон движения в этих переменных выглядит исключительно просто Jα = const;
wα = ωαt + φα – новые импульсы постоянны, а новые координаты меняются
равномерно со временем. Угловая координата, как видно, является фазой
главного колебания, а действие просто связано с его амплитудой Jα = ωαaα2/2.
Из записанных выше соотношений найдите самостоятельно явные функции,
связывающие прежние фазовые координаты Qα, Pα и новые wα, Jα.
 P 
1
J 
P2  2Q2 ; w   arctan   
2
  Q 
Значения действий Jα определяются начальными условиями движения. Они
фиксируют s – мерную поверхность в фазовом пространстве. Координатами на
этой поверхности являются углы wα, значения которых лежат в интервале [0;2π].
Такая поверхность является s-мерным тором. Таким образом, 2s-мерное фазовое
пространство s-мерного осциллятора расслаивается на s-мерные торы.
Перемещаясь по такому тору, точка, изображающая состояние осциллятора,
образует его фазовую траекторию. Каждый из s углов w1,…,ws меняется со
своей частотой ω1,…,ωs. Если частоты рационально кратные, то фазовая
траектория является замкнутой кривой (резонансный тор).
w  


Вопросы для самоконтроля
11. Опишите фазовые траектории гармонического осциллятора, условия их
замыкания.
12. Как выглядит функция Гамильтона многомерного гармонического
осциллятора в нормальных фазовых координатах и в переменных
«действие-угол»? Дайте комментарий.
Большое число частиц
Рассмотрим совокупность одномерных одинаковых свободных частиц,
имеющих в начальный момент различные состояния. Пусть эти состояния
таковы, что частицы заполняют прямоугольник в фазовом пространстве.
©Фомин Георгий Викторович. Механика. РГУ. 2009 г. www.phys.sfedu.ru\~fomin
49
Со временем частицы перемещаются, и прямоугольник наклоняется, образуя
параллелограмм.
Однако высота параллелограмма и длина основания остаются неизменными.
Поэтому площадь, занятая частицами в фазовом пространстве, остается
неизменной.
В общем случае совокупность одинаковых механических систем, находящихся
в различных состояниях, образует, как говорят, ансамбль Гиббса, или
статистический ансамбль.
Имеется общее утверждение, именуемое теоремой Лиувилля. При движении
ансамбля Гиббса, площадь, занимаемая им в фазовом пространстве, остается
неизменной. Так как число подсистем ансамбля Гиббса неизменно по
определению, то фазовая плотность ансамбля Гиббса ρ(p, q) остается
неизменной.
Пусть мы имеем дело с некоторой замкнутой системой большого числа частиц.
Частицы внутри системы взаимодействуют между собой, переходя из одного
состояния в другое. Если наблюдать за отдельной частицей в течение
длительного промежутка времени, то ее фазовая траектория заплетет некоторую
область. В окрестность площадью dqdp каждой точки q, p этой области частица
будет попадать с той или иной частотностью и проводить в ней то или иное
время. Вероятность обнаружить частицу в такой окрестности пропорциональна
времени, которое частица там проводит. Важным является тот факт, что со
временем устанавливается такое распределение, что вероятность обнаружения
частицы в различных состояниях практически перестает меняться. Это
состояние замкнутой системы большого числа частиц называется
статистическим равновесием.
В нулевом цикле, обсуждая границы применимости принципа детерминизма,
мы видели, что система, состоящая из большого числа частиц, со временем
забывает о своем начальном состоянии. В конечном итоге в такой системе
устанавливается статистическое равновесие. Параметры статистического
равновесия зависят лишь от некоторых глобальных характеристик системы,
таких, как полная энергия и полное число частиц, но не от детальных состояний
частиц, образующих систему.
Построим ансамбль Гиббса из таких частиц. Выберем для этого ансамбля те
состояния, в которых оказывается реальная частица через одинаковые
промежутки времени. Тогда, в областях, где реальная частица бывает чаще,
будет находиться больше подсистем ансамбля, то есть их фазовая плотность
будет больше. Следовательно, вероятность обнаружения реальной частицы в
окрестности каждой фазовой точки пропорциональна также фазовой плотности
построенного таким способом ансамбля Гиббса.
©Фомин Георгий Викторович. Механика. РГУ. 2009 г. www.phys.sfedu.ru\~fomin
50
Со временем фазовая плотность ансамбля Гиббса остается неизменной. Будем
следить за эволюцией построенного ансамбля Гиббса в течение времени пока
частицы, формирующие ансамбль, можно рассматривать как замкнутые
системы. (Эти частицы, хотя и рассматриваются формально одновременно,
являются на самом деле одной и той же реальной частицей, рассматриваемой
реально в разные периоды ее истории). Тогда энергия, импульс и момент
импульса каждой из них сохраняются. Так как фазовая плотность, как и эти
интегралы движения, является функцией состояния и остается постоянной, то
она должна представлять собой некоторую функцию энергии, импульса и
момента импульса
ρ(p, q) = ρ(E(p, q), P(p, q), M(p, q)).
Теперь учтем, что энергия, импульс и момент импульса независимых частиц
являются аддитивными функциями (полная энергия невзаимодействующих
частиц равна сумме энергий каждой из них и т.д.). В то же время, вероятность
обнаружить две независимые частицы в состоянии ab равна произведению
вероятностей обнаружить каждую из частиц в состояниях a и b соответственно.
Поэтому фазовая плотность является мультипликативной функцией состояния.
Логарифм мультипликативной функции есть функция аддитивная.
Следовательно, в общем случае, логарифм фазовой плотности есть линейная
функция энергии, импульса и момента импульса.
Если иметь в виду условия, при которых, как это часто бывает, ни импульс, ни
момент импульса не сохраняются (например, частица помещена в ящик, либо
движется во внешнем поле), то логарифм фазовой плотности будет линейной
функцией только энергии. Следовательно, фазовая плотность будет
экспоненциальной функцией энергии ρ(p, q) = CeβE.
Коэффициент β в этом выражении должен быть отрицательным. В противном
случае вероятность обнаружить частицу в состоянии с большой энергией будет
сколь угодно велика. По определению, β = -1/T. Здесь T - температура той
замкнутой системы, которой принадлежит рассматриваемая частица.
В случае идеального газа, то есть системы, состоящей из большого числа не
взаимодействующих частиц, E = mv2/2 (пусть, для простоты, внешнее поле
отсутствует). Поэтому вероятность обнаружить частицу такого газа в
состояниях, лежащих в объеме фазового пространства dxdvxdydvydzdvz равна

mv 2
2T
dw  Ce
dxdydzdvx dv y dv z (M).
Это так называемое распределение Максвелла (см. Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц
«Статистическая физика», §29).
Коэффициент C называется нормировочным множителем. Его значение
определяется из того условия, что полная вероятность обнаружить частицу в
любой точке занимаемого газом объема, и с любой скоростью должна быть
равна единице. При этом используется табличный интеграл

e
x 2
dx   

Можно записать распределение Максвелла по отдельным компонентам
скорости, например по компоненте vx
mv 2
dwvx 
m  2Tx
e
dv x
2T
или по модулю скорости
©Фомин Георгий Викторович. Механика. РГУ. 2009 г. www.phys.sfedu.ru\~fomin
51
 m 
dwv  4 

 2T 
Вот графики этих функций.
3/ 2
e

mv 2
2T
v 2 dv .
При расчете графиков, единицей масштаба массы была масса частицы, а
единицей энергии служила температура.
Посмотрите приложение, которое демонстрирует кинетику идеального газа.
Приложение содержит подробную справку, с которой следует познакомиться.
Независимо, если у Вас Vista или Windows 7, посмотрите приложение,
моделирующее кинетику больцмановского газа.
Вопросы для самоконтроля
1. Что такое ансамбль Гиббса? Сформулируйте теорему Лиувилля.
2. Опишите,
что
происходит
в
системе
большого
числа
взаимодействующих частиц, и что такое статистическое равновесие?
3. Что такое распределение Максвелла?
Здесь, выбрав курс «Механика», Вы найдете тесты.
©Фомин Георгий Викторович. Механика. РГУ. 2009 г. www.phys.sfedu.ru\~fomin