Квадрат суммы и квадрат разности Возведение в квадрат суммы

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ САМАРСКОЙ ОБЛАСТИ Г
БОУ СПО САМАРСКИЙ СОЦИАЛЬНО-ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ КОЛЛЕДЖ
Исследовательская работа на тему:
Обобщение формул сокращённых умножений
Выполнил:
Исаев Максим Сергеевич
Студент 17 группы,
Специальность 09.02.04
Программирование в компьюте
рных системах
Г. о. Самара, 2014
СОДЕРЖАНИЕ
Введение
Квадрат суммы и разности
Разность квадратов
Сумма и разность кубов
Заключение
Использованная литература
ВВЕДЕНИЕ
В математике достаточно много формул и каждые делятся на группы. Одной
из таких групп являются формулы сокращенного умножения. Благодаря этим
формулам, нам не приходится расписывать слишком длинные выражения.
Формулами сокращенного умножения пользовались еще в III веке до нашей
эры, например ученый Евклид.
В своей исследовательской работе я рассмотрю:
 Формулы
 Применение формул (примеры)
 Словесные формулировки
Квадрат суммы и квадрат разности
Возведение в квадрат суммы и разности двух выражений
Квадрат суммы и квадрат разности являются формулами сокращенного
умножения.
Возведем в квадрат сумму (a + b). Для этого представим выражение (a + b)2 в
виде произведения (a + b)(a + b) и выполним умножение:
(a + b)2 = (a + b)(a + b) = a2 + ab + ab + b2 = a2 + 2ab + b2.
Значит, (a + b)2 = a2 + 2ab + b2.
Это тождество называют формулой квадрата суммы. Эта формула позволяет
проще выполнять возведение в квадрат суммы любых двух выражений.
На словах формула звучит так: квадрат суммы двух выражений равен
квадрату первого выражения, плюс удвоенное произведение первого и
второго выражений, плюс квадрат второго выражения.
Разложение квадратного трехчлена на множители
Разложение квадратного трехчлена, является обратным действием
возведения суммы или разности во вторую степень.
Квадратным трехчленом называется многочлен второй степени, состоящий
из трех членов. Квадратные трехчлены вида (a2 + 2ab + b2)и (a2 - 2ab + b2)
можно разложить на множители с помощью формул квадрата суммы и
квадрата разности.
Действительно, поменяв местами в этих формулах левую и правую части,
получим:
a2 + 2ab + b2 = (a + b)2
a2 - 2ab + b2 = (a - b)2
Разложим для примера на множители трехчлен:
4x2 + 40x + 100
Первое слагаемое представляет собой квадрат выражения (2x), третье квадрат числа 10. Так как второе слагаемое представляет собой удвоенное
произведение (2x) и 10, то этот трехчлен можно представить в виде квадрата
суммы (2x) и 10:
4x2+40x+100=(2x)2+2*2x*10+102=(2x+10)2
Из геометрии
Геометрический смысл формулы квадрата суммы был приведен Эвклидом в
«Началах»: «Если отрезок как-либо разбит на два отрезка, то площадь
квадрата, построенного на всем отрезке, равна сумме площадей квадратов,
построенных на каждом из двух отрезков, и удвоенной площади
прямоугольника, сторонами которого служат эти два отрезка».
Из истории
В некоторых источниках говорится, что создателем формул «квадрат суммы»
и «квадрат разности» является древнегреческий математик Евклид. Это
событие является уникальным, ведь известно, что Евклид жил в III веке до
нашей эры.
Евклид один из первых авторов, чьи трактаты дошли до нас. Его научная
деятельность протекала в Александрии.
Разность квадратов
Умножение разности двух выражений на их сумму
Рассмотрим еще одну формулу сокращенного умножения. Умножим сумму
на разность a и b:
(a - b)(a + b)=a2 + ab - ab + b2=a2 - b2
Следовательно:
(a - b)(a + b)=a2 – b2
Данное тождество позволяет выполнять умножение разности двух
выражений на их сумму. На словах данное выражение звучит так:
«произведение разности двух выражений и их суммы равно разности
квадратов этих выражений»
Покажем на примере использование данной формулы:
(105x – 9y)(105x + 9y) = (105x)2 – (9y)2=11025x2 – 81y2
Разложение разности квадратов на множители
В предыдущем пункте мы умножали разность двух выражений на их сумму,
теперь представим все в обратном порядке:
a2 – b2 = (a – b)(a + b)
Данное тождество называется формулой разности квадратов. В устной
форме, она будет выглядеть так:
«разность квадратов двух выражений равна произведению разности этих
выражений и их суммы»
Приведу пример:
49-144d8 = (7 – 12d4)(7 + 12d4)
Из геометрии
Пусть а и b — положительные числа, причем а > b. Рассмотрим
прямоугольник со сторонами (а + b) и (а – b) (рис. 5). Его площадь равна (а +
b) (а - b). Отрежем прямоугольник со сторонами b и (а – b) и подклеим его к
оставшейся части так, как показано на рисунке 6. Ясно, что полученная
фигура имеет ту же площадь, т. е. (а + b) (а - b). Но эту фигуру можно
построить так: из квадрата со стороной а вырезать квадрат со стороной b (это
хорошо видно на рис. 6). Значит, площадь новой фигуры равна (а2 - b2). Итак,
(а + b) (а - b) = (а2 - b2), т. е. получили формулу.
Сумма и разность кубов
Сумма кубов
Для разложения на множители суммы кубов используется тождество:
a3 + b3 = (a + b)(a2 – ab + b2)
Это тождество называется формулой суммы кубов.
Докажем это тождество перемножив многочлены:
(a + b)(a2 – ab + b2) = a3 + a2b – a2b – ab2 + ab2 + b3 = a3 + b3
Выразим это тождество словесно:
«сумма кубов двух выражений равна произведению суммы этих выражений и
неполного квадрата их разности»
Применим формулу для примера:
27x + y3 = (3x + y)(9x2 – 3xy + y2)
Разность кубов
Разность кубов обратна формуле «сумма кубов»:
a3 – b3 = (a – b)(a2 + ab + b2)
Словесно формула выглядит так:
«разность кубов двух выражений равна произведению разности этих
выражений и неполного квадрата их суммы»
Докажем эту формулу примером:
8x3 – 1 = (2x – 1)(4x2 + 2x + 1)
Заключение
В своей работе я описал поставленные задачи, доказал с помощью решения
верность формул, некоторым формулам нашлось доказательство не только
алгебраическое, но и из геометрии.
Использованная литература
Алгебра. 7 класс. Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк
А. В. Погорелов, Геометрия для 7-11 классов
Алгебра, 7 класс, С. М. Никольский, М. К. Потапов