IV семестр, Теория вероятностей и математическая статистика

ТИПОВОЙ ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЙ БИЛЕТ № 1
ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА
1
2
3
В группе 12 студентов, среди которых 5 отличников. По списку наудачу отобраны 3 студента. Найти вероятность того, что среди
отобранных студентов есть хотя бы один отличник.
. Точечные оценки параметров генеральной совокупности (определение). Требования, предъявляемые к оценкам (несмещенность,
состоятельность, эффективность).
Задана случайная выборка / 3,85; 3,89; 3,82; 3,90; 3,87; 3,86/ – результаты независимых равноточных измерений. Найти оценку математического
ожидания, дисперсии, среднего квадратического отклонения. Построить доверительный интервал для среднего квадратического отклонения с
доверительной вероятностью 0,95.
Непрерывные распределения вероятностей. Функция плотности распределения вероятностей, ее свойства.
Дана функция плотности непрерывной случайной величины Х. Вычислить еѐ математическое ожидание, дисперсию, медиану,
Р(1  Х  4). Найти функцию распределения и построить еѐ график.
0
4
5
6
2
3
x
Оценка математического ожидания при равноточных измерениях, доказать ее несмещенность.
По случайной нормальной выборке объема n = 20 найдена оценка математического ожидания X = 12,4. Проверить гипотезу H0 о
равенстве математического ожидания выборки а значению ао = 14,0 при альтернативной гипотезе H1: а < ao с уровнем значимости а = 0,05, если
оценка σ, найденная по той же выборке, равна S = 2,8.
1) Стандартный вес изделия равен 40 г, а среднее квадратическое отклонение веса σ(Х) = 0,8 г. Вследствие неточностей изготовления
фактический вес изделия - случайная величина, распределѐнная по нормальному закону. Найти вероятность того, что фактический
вес изделия, наудачу выбранного из большой партии, окажется в пределах от 39,4 до 41,2 г.
2) При транспортировке изделие может быть повреждено с вероятностью 0,002. Найти вероятность того, что в партии из 1000 изделий в
пути окажутся повреждѐнными более 3 изделий.
Понятие о корреляционной зависимости. Линейная корреляция.
 2, 00 2, 25 
.
 2, 25 8, 00 
При изучении зависимости величин Х1 и Х2 по серии из п = 20 измерений получена эмпирическая матрица ковариаций 
X1  0,3; X 2  1, 4. Проверить гипотезу о существовании линейной зависимости между X1 и Х2 с уровнем значимости а = 0,05. Сделать
вывод о силе и направлении взаимосвязи между Х1 и Х2. Написать уравнения прямых регрессии
Заведующий кафедрой математики
Б.Г. Разумейко
ТИПОВОЙ ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЙ БИЛЕТ № 2
ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА
1
2
3
4
5
В среднем каждый десятый договор страховой компании завершается выплатой по страховому случаю. Компания заключила 5
договоров. Найти вероятность того, что страховой случай наступит 2 или 3 раза.
Задана случайная выборка / 23,4; 23,9; 23,2; 23,5; 23,7; 23,9/ – результаты независимых равноточных измерений. Найти оценку математического
ожидания, дисперсии, среднего квадратического отклонения. Построить доверительный интервал для математического ожидания и дисперсии
с доверительной вероятностью 0,95.
Непрерывные распределения вероятностей. Функция распределения вероятностей, ее свойства.

 a, x  3
. Найти параметры а, b и функцию
3
1

b
x
,
x

3




Функция распределения непрерывной случайной величины задана в виде F ( x)  
плотности распределения p(x). Вычислить М(Х), D(X), P(2<X<6), Р(Х>6).
Распределение Фишера. Проверка гипотез о равенстве дисперсий.
Для выполнения заказа на поставку стальных прутков диаметром 45 мм необходимо объединить продукцию двух станов. Это
возможно лишь в том случае, если оба прокатных стана обеспечивают одинаковую точность проката. Для принятия решения об
объединении двух партий в одну проконтролировали размеры случайно выбранных: 30 прутков с первого стана и 27 прутков со второго.
Оценки дисперсий полученных выборок получились равными S12 = 0,36 и S 22 = 0,12 соответственно. С уровнем значимости  = 0,05
принять решение о возможности объединения продукции в одну партию. Альтернативная гипотеза: второй стан обеспечивает более
высокую точность
Геометрические вероятности.
1) Найти вероятность того, что квадратное уравнение x 2  px  q  0 имеет действительные корни, если числа p и q выбираются
наудачу из отрезка 0, 2
.
2) Найти вероятность того, что наугад брошенная в круг точка попадѐт во вписанный в круг правильный треугольник. Найти
вероятность того, что из шести точек в треугольник попадут три точки.
. Коэффициент корреляции, его свойства и назначение.
6
 1, 80
 0, 72
Дана матрица ковариаций случайных величин X,Y: 
 ( X , Y ) , б)D(Z), M(Z),где Z=2X–Y+1.
Заведующий кафедрой математики
0, 72 
 . и центр распределения: (10, 2). Найти: а) коэффициент корреляции
0, 80 
Б.Г. Разумейко