Самостоятельная домашняя работа №5

Самостоятельная домашняя работа №5
03.10.2009 – 10.10.2009
Ответы и решения
1. Сын отца профессора разговаривает с отцом сына профессора, причем сам
профессор в разговоре не участвует. Может ли такое быть?
Ответ. Да, может, если профессор - женщина. В таком случае ее брат
разговаривает с ее мужем.
2. Найдите значение дроби В*А*Р*Е*Н*Ь*Е / К*А*Р*Л*С*О*Н, где разные буквы – это разные
цифры, а между буквами стоит знак умножения.
Решение. Число разных букв в записи ребуса – 10, следовательно, использованы все
десять цифр. Но 0 в знаменателе быть не может, следовательно, 0 может стоять
вместо В, или Е, или Ь. В любом из этих вариантов значение дроби равно 0.
Ответ. 0.
3. В комнате стоят трехногие табуретки и четырехногие стулья. Когда на все эти сидячие
места уселись люди, в комнате оказалось 39 ног. Сколько в комнате табуреток?
Подсказка. Заметьте, в комнате находятся пяти- и шестиногие существа, у которых
в сумме 39 ног.
Решение. По условию, в комнате находятся пяти- и шестиногие существа, у которых
в сумме 39 ног. Число ног у пятиногих оканчивается на 0 или 5. Но в данном случае на 0
это число оканчиваться не может, т. к. тогда число ног у шестиногих будет кончаться
на 9. В таком случае пятиногих может быть 1, 3, 5 или 7. Простым перебором
определяем, что пятиногих существ — 3, а шестиногих — 4. То есть в комнате 4 стула
и 3 табуретки.
Ответ. 3 табуретки.
4. В одном стакане было молоко, а в другом - столько же кофе. Из стакана молока
перелили одну ложку в стакан с кофе и размешали. Затем такую же ложку смеси
перелили обратно в стакан с молоком. Чего теперь больше: кофе в стакане с
молоком или молока в стакане с кофе?
Подсказка. Всего кофе в двух стаканах столько же, сколько молока.
Решение. Примем начальный объем жидкости в каждом стакане за 1. Таким образом,
после всего в обоих стаканах имеется единичный объем кофе и единичный объем
молока. Поскольку из первого стакана перелили во второй одну ложку, а затем из
второго в первый перелили такую же ложку, то в конце в каждом стакане снова будет
объем жидкости, равный 1. Пусть объем кофе в первом стакане после переливания
равен x, а во втором стакане - y. Тогда молока во втором стакане - (1-y). Поскольку в
двух стаканах всего единичный объем кофе, x+y=1. Отсюда x=1-y, т.е. кофе в стакане
с молоком и молока в стакане с кофе поровну.
Ответ. Поровну.
5. Игра с 25-ю монетами. В ряд лежат 25 монет. За ход разрешается брать одну или две
рядом лежащие монеты. Проигрывает тот, кому нечего брать.
Решение. Первый берет среднюю 13-ую монету. Если второй берет k монету, то
первый берет 26−k монету; если второй берет две монеты, то и первый берет две
монеты по ранее написанному правилу и выигрывает (симметрия ходов относительно
средней монеты). Таким образом, выигрышную стратегию имеет первый игрок.
6. "То" да "это", да половина "того" да "этого" — сколько это будет процентов от трех
четвертей "того" да "этого"?
Подсказка. Заметьте, "то" да "это" плюс половина "того" да "этого" получится полтора
"того" да "этого".
Решение. "То" да "это", да половина "того" да "этого" — это полтора "того" да "этого", что
в 2 раза больше трех четвертей "того" да "этого", т. е. составляет от них 200%.
Ответ. 200%.