Тела вращения. Объём тела, образованного вращением фигуры вокруг оси Ox . 1) Вычислить объём тела, образованного вращением вокруг оси Ox фигуры, ограниченной линиями x 2 y 2 16 , x 5 . Фигура ограничена правой половинкой гиперболы и прямой: Объём тела, образованного вращением криволинейной трапеции вокруг оси Ox , вычислим по формуле b V y 2 dx . a Вычисляем: x3 V x 16 dx 16 x 3 4 5 5 2 4 5 3 43 13 16 5 16 4 (куб. ед.) 3 3 3 Вычисление интеграла в Mathcad 15: Объём тела, образованного вращением фигуры вокруг оси Oy . 2) Сделайте чертёж и вычислите объём тела, образованного вращением вокруг оси ограниченной линиями Oy фигуры, x 2 2y 0, y 2 0 . 1 Чертёж области, ограниченной заданными линиями: Объём тела, образованного вращением криволинейной трапеции вокруг оси Oy , вычислим по формуле d V x 2 dy . c Вычисляем: 2 2 y2 V x dy 2 y dy 2 2 0 0 2 2 2 2 0 2 4 (куб. ед.) 0 Литература: 1) Письменный Д.Т. "Конспект лекций по высшей математике", 2014, стр. 288. Площадь боковой поверхности тела, образованного вращением фигуры вокруг оси Ox . 3) Найти площадь боковой поверхности тела, образованного вращением вокруг Ox фигуры y ex, 1 x 5 . ► Площадь боковой поверхности вращения определим по формуле b S 2 y 1 y dx 2 a Т.е. 5 S 2 e x 1 e 2 x dx 1 2 Вычислим сначала неопределённый интеграл t sh u x 2 e t 1 u ln t t x 2x 2 e 1 e dx e x dx dt 1 t dt 2 1 t ch u dt ch u du u 1 1 1 1 ch 2 u du ch 2u 1 du sh 2u u C sh u ch u C 2 2 2 2 2 1 1 1 1 t 1 t 2 ln t 1 t 2 C e x 1 e 2 x ln e x 1 e 2 x C 2 2 2 2 Так что 5 S 2 e x 1 e 2 x dx e x 1 e 2 x ln e x 1 e 2 x 1 1 5 e 5 1 e 10 ln e 5 1 e 10 e 1 e 2 ln e 1 e 2 e 5 1 e 10 5 10 2 e 1 e e 1 e ln e 1 e2 69188 (кв. ед.) 3