АВТОНОМНАЯ НЕКОММЕРЧЕСКАЯ ОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ ОРГАНИЗАЦИЯ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ « ИНДУСТРИАЛЬНЫЙ ИНСТИТУТ »

АВТОНОМНАЯ НЕКОММЕРЧЕСКАЯ ОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ ОРГАНИЗАЦИЯ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ « ИНДУСТРИАЛЬНЫЙ ИНСТИТУТ » Кафедра математических и естественнонаучных дисциплин РАБОЧАЯ ПРОГРАММА УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЫ Б2. В. ДВ.1 Вычислительная математика УТВЕРЖДАЮ: Проректор по научно – методической работе__________________М.В.Кузнецова (подпись, расшифровка подписи) «___»__________ 201_ г. (под СОГЛАСОВАНО: Заведующий кафедрой математических и естественнонаучных дисциплин _______________________Т.Ю.Ходаковская (подпись, расшифровка подписи) протокол №_1_от «_»___________201_г. Направление подготовки: 09.03.01(230100.62) «Информатика и вычислительная техника» Профиль: «Программное обеспечение средств вычислительной техники автоматизированных систем» Квалификация (степень) выпускника: бакалавр Форма обучения: очная Курск – 201_ 1 и Составитель: Т.Ю.Ходаковская Рабочая программа предназначена для преподавания дисциплины базовой части математического и естественнонаучного цикла студентам очной формы обучения по направлению подготовки 09.03.01(230100.62) Информатика и вычислительная техника в 5 семестре. Рабочая программа составлена с учетом Федерального государственного образовательного стандарта высшего профессионального образования по направлению подготовки 09.03.01(230100.62) Информатика и вычислительная техника, утвержденного приказом Министерства образования и науки Российской Федерации от 5 ноября 2009 г. № 553. Рабочая программа утверждена на заседании кафедры математических естественнонаучных дисциплин протокол № 1 от «___» _______ 201_ г. и Заведующий кафедрой математических и естественнонаучных дисциплин _____________________ Т.Ю.Ходаковская 2 Содержание Название раздела программы 1 Перечень планируемых результатов обучения по дисциплине (модулю), соотнесенных с планируемыми результатами освоения образовательной программы 2 Место дисциплины в структуре ООП ВПО 3 Объем дисциплины (модуля) в зачетных единицах с указанием количества академических часов, выделенных на контактную работу обучающихся с преподавателем (по видам занятий) и на самостоятельную работу обучающихся 4 Содержание дисциплины (модуля), структурированное по темам (разделам) с указанием отведенного на них количества академических часов и видов учебных занятий 5 Перечень учебно-методического обеспечения для самостоятельной работы обучающихся по дисциплине (модулю) 6 Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю) 7 Перечень основной и дополнительной учебной литературы, необходимой для освоения дисциплины (модуля) 8 Перечень ресурсов информационно-телекоммуникационной сети "Интернет" (далее - сеть "Интернет"), необходимых для освоения дисциплины (модуля)* 9 Методические указания для обучающихся по освоению дисциплины (модуля) 10 Перечень информационных технологий, используемых при осуществлении образовательного процесса по дисциплине (модулю), включая перечень программного обеспечения и информационных справочных систем (при необходимости) 11 Описание материально-технической базы, необходимой для осуществления образовательного процесса по дисциплине (модулю) 3 с. 4 4 5 5 51 51 55 56 56 58 58 1 Перечень планируемых результатов обучения по дисциплине (модулю), соотнесенных с планируемыми результатами освоения образовательной программы В результате освоения дисциплины обучающийся должен овладеть следующими знаниями, умениями и навыками: Коды Результаты освоения Перечень планируемых компетенций ООП результатов обучения по по ФГОС дисциплине ОК-1 владеет культурой мышления, Знать: основные численные методы способен к обобщению, анализу, решения математических задач; восприятию информации, Уметь: проводить вычисления и постановке цели и выбору путей анализировать полученные её достижения результаты; Владеть: численными методами решения систем дифференциальных и алгебраических уравнений. ОК-10 ПК-2 использует основные законы естественнонаучных дисциплин в профессиональной деятельности, применяет методы математического анализа и моделирования, теоретического и экспериментального исследования Знать: принципы построения и ограничения на применение вычислительных методов; Уметь: к конкретной задаче выбрать наиболее оптимальный численный метод в смысле его корректности и экономичности; Владеть: навыками использования аппарата теории множеств, теории графов, теории кодирования в решении профессиональных задач. осваивать методики Знать: представление о использования программных современных информационных средств для решения технологиях, основанных на практических задач использовании компьютера; Уметь: реализовать базовые численные методы с помощью ЭВМ; Владеть: приобрести опыт разработки комплексного документа с применением компьютерных технологий в соответствии с требованиями стандарта организации. 2 Место дисциплины в учебном процессе Дисциплина относится к вариативной части учебного цикла Б.2 – естественнонаучный цикл ООП ВПО по направлению подготовки 09.03.01(230100.62) «Информатика и вычислительная техника». Предшествующие курсы, на которых непосредственно базируется дисциплина «Вычислительная математика» являются:  программирование; 4  алгебра и геометрия;  математический анализ; Вместе с тем курс «Вычислительная математика» является основополагающим для изучения дисциплин кафедры «Математическая логика и теория алгоритмов», а также для ВКР. 3 Объем дисциплины (модуля) в зачетных единицах с указанием количества академических часов, выделенных на контактную работу обучающихся с преподавателем (по видам занятий) и на самостоятельную работу обучающихся Общая трудоемкость дисциплины составляет 6 зачетных единиц (216 часов) Вид работы Трудоемкость в часах 5 семестр Всего Общая трудоемкость Аудиторная работа Лекции (Л) Лабораторные работы (ЛР) Практические занятия (ПЗ) Самостоятельная работа: Подготовка и сдача экзамена Вид итогового контроля 216 90 36 216 90 36 54 90 36 Экзамен 54 90 36 Экзамен 4 Содержание и структура дисциплины 4.1 Содержание разделов дисциплины № раздел а 1 Наименование раздела Содержание раздела 2 3 Форма текущего контроля 4 1 Введение. Учет погрешностей вычислительного эксперимента Схема вычислительного эксперимента. Погрешности алгоритма. Требования к вычислительным методам. Учет погрешностей вычислительного эксперимента ЛР, Т 2 Решение нелинейных уравнений ЛР, Т 3 Решение систем Постановка задачи решения нелинейных уравнений, обусловленность задачи вычисления корня. Задача отделения корней уравнения. Метод бисекций. Метод простых итераций. Условия сходимости метода. Оценка погрешности. Метод Ньютона, модификации метода Ньютона. Условия сходимости метода. Оценка погрешности. Постановка задачи решения систем 5 ЛР, Т нелинейных уравнений нелинейных уравнений. Метод простых итераций. Условия сходимости метода. Оценка погрешности. Метод Ньютона. Условия сходимости метода. Оценка погрешности. Решение систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). Точное и приближенное решение. Точные методы решения систем линейных алгебраических уравнений. Метод Гаусса, вычислительная эффективность метода. Метод Гаусса с выбором главного элемента. Метод Холецкого (квадратных корней). Итерационные методы: Якоби, Зейделя, верхней релаксации, достаточные условия сходимости. Оценка погрешности. Плохообусловленные СЛАУ. Число обусловленности, его свойства. 4 Методы решения систем линейных алгебраических уравнений 5 Решение проблемы собственных значений. Постановка проблемы. Прямые методы. Метод Леверрье. Метод Данилевского. Степенной метод определения первого собственного числа матрицы. Метод обратных итераций вычисления собственного вектора. QR – алгоритм. ЛР, Т 6 Задача приближения функций Постановка задачи приближения (аппроксимации) функций, интерполяция. Интерполяционный многочлен Лагранжа. Оценка погрешности интерполяционного многочлена. Интерполяционные полиномы Ньютона – первая и вторая формулы. Интерполирование сплайнами. Аппроксимация функций методом наименьших квадратов. Ряд Фурье. Преобразование Фурье. Постановка задачи численного интегрирования. Простейшие и составные квадратурные формулы прямоугольников, трапеций, Симпсона, оценка погрешности. Квадратурные формулы Гаусса. Вычисление интеграла в нерегулярных случаях ЛР, Т Постановка задачи Коши. Семейство одношаговых методов решения задачи Коши. Устойчивость разностных схем. Метод Эйлера. Методы РунгеКутта 2-го и 4-го порядка. ЛР, Т 7 8 Численное интегрирование Численные методы решения задачи Коши для обыкновенных дифференциальны 6 ЛР, Т ЛР, Т х уравнений и систем дифференциальны х уравнений Многошаговые разностные методы решения задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений. Определение m- шаговых разностных методов. Устойчивость и сходимость многошаговых разностных методов. Примеры mшаговых разностных методов Адамса. Методы решения жестких систем ОДУ 4.2 Разделы дисциплины, их содержание и виды занятий Количество часов № раздела Наименование разделов Всего Аудиторная работа ПР/ Л/ инте интер.ф р.ф Внеауд . работа СР 1 Введение. Учет погрешностей вычислительного эксперимента. 14 2 8/2 4 2 Решение нелинейных уравнений 22 4/2 8/4 10 3 Решение систем нелинейных уравнений 22 4/2 8/2 10 4 Методы решения СЛАУ 24 6/2 8/2 10 5 Решение проблемы собственных значений. 22 4 8/2 10 6 Задача приближения функций 32 8/2 8/2 16 7 Численное интегрирование 17 2 - 15 8 Численные методы решения задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений и систем дифференциальных уравнений. 27 6/2 6/4 15 Подготовка к сдаче экзамена: 36 Итого 216 36 54 90 4.3 Практические работы Погрешности приближенных вычислений Реализуемые компетенции: ОК-1, ОК-10, ПК-2 Цель работы: научиться производить вычисления с использованием абсолютной и относительной погрешности. Задание 1. Величина подъемной силы крыла самолета оценивается по формуле , где S – площадь проекции крыла на горизонтальную плоскость, v – скорость натекания воздуха на крыло,  – плотность атмосферы на 7 заданной высоте,  – угол атаки, отсчитываемый от направления нулевой подъемной силы, c – коэффициент, зависящий от формы крыла. Требуется вычислить F и при заданных значениях c, , , v, S и заданных абсолютных и относительных погрешностях этих величин. Результат записать с сохранением только верных значащих цифр. Исходные данные приведены в таблице 1 (для нечетных вариантов задано и , для четных и ). Задание 2. Найти абсолютную и относительную погрешности вычисления функции при заданных значениях аргумента. Функции и приближенные значения аргументов приведены в таблице 2. Задание 3. Получить формулы для оценки абсолютной погрешности функции двумя способами: а) используя формулы для абсолютных погрешностей арифметических операций; б) используя формулу для абсолютной погрешности функции многих переменных. Функции приведены в таблице 3. Пояснения. В качестве примера получим формулы для определения абсолютной погрешности функции: . а) с помощью формул для абсолютных погрешностей арифметических операций: , , , . б) используя переменных: формулу для абсолютной погрешности функции многих , , , . . Вариа нт 1 2 c c     v 0.0 05 0.0 04 0.0 01 0.0 01 1 5 1 5 0. 01 0. 01 0. 99 0. 98 0. 01 0. 01 20 0 17 0 8 v или v 3 0.01 Таблица 1. S или S S 2 0.001 0 2 0.04 0 0.0 05 0.0 04 0.0 05 0.0 04 0.0 05 0.0 04 0.0 05 0.0 04 0.0 05 0.0 04 0.0 05 0.0 04 0.0 05 0.0 04 0.0 05 0.0 04 0.0 05 0.0 04 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 Вариант 0.0 01 0.0 01 0.0 01 0.0 01 0.0 01 0.0 01 0.0 01 0.0 01 0.0 01 0.0 01 0.0 01 0.0 01 0.0 01 0.0 01 0.0 01 0.0 01 0.0 01 0.0 01 1 5 1 5 1 2 1 0 1 5 1 2 1 0 1 5 1 5 1 5 1 5 1 5 1 2 1 0 1 5 1 2 1 0 1 5 0. 01 0. 01 0. 01 0. 01 0. 01 0. 01 0. 01 0. 01 0. 01 0. 01 0. 01 0. 01 0. 01 0. 01 0. 01 0. 01 0. 01 0. 01 0. 99 0. 98 0. 99 0. 98 0. 99 0. 98 0. 99 0. 96 0. 95 0. 95 0. 95 0. 95 0. 95 0. 95 0. 95 0. 95 0. 95 0. 95 Функция 0. 01 0. 01 0. 01 0. 01 0. 01 0. 01 0. 01 0. 01 0. 01 0. 01 0. 01 0. 01 0. 01 0. 01 0. 01 0. 01 0. 01 0. 01 20 0 19 0 20 0 19 5 20 0 20 5 20 0 21 0 20 0 21 5 20 0 22 0 20 0 22 5 20 0 21 0 20 0 20 0 2 0 2 0.01 0 2 3 0 2 0.01 0 1 2 5 1 0.01 5 1 3 5 2 0.01 0 2 3 0 2 0.01 0 2 2 0 2 0.01 0 2 3 0 2 0.01 0 1 2 5 1 0.01 5 1 3 5 2 0.01 0 Таблица 2. 2 Аргументы 1 2 9 0.001 0.02 0.001 0.04 0.001 0.02 0.001 0.04 0.001 0.02 0.001 0.04 0.001 0.02 0.001 0.04 0.001 0.02 Вариант Функция Аргументы 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 10 Вариант Функция Аргументы 14 15 16 17 18 19 20 Таблица 3. Вар . Функция Вар . Вар . Функция Функци я Вар . 1 6 11 16 2 7 12 17 3 8 13 18 4 9 14 19 5 10 15 20 Функция Литература 1. Петров И.Б. Лекции по вычислительной математике [Электронный ресурс]: учебное пособие/ Петров И.Б., Лобанов А.И.— Электрон. текстовые данные.— М.: 11 БИНОМ. Лаборатория знаний, Интернет-Университет Информационных Технологий (ИНТУИТ), 2006.— 523 c.— ЭБС. 2. Пантина, И. В. Вычислительная математика [Электронный ресурс] : учебник / И. В. Пантина, А. В. Синчуков. - 2-е изд., перераб. и доп. - М.: МФПУ Синергия, 2012. - 376 с. (Университетская серия)- ЭБС. 3. Рябенький В.С. Введение в вычислительную математику [Электронный ресурс]: учебное пособие/ Рябенький В.С.— Электрон. текстовые данные.— М.: Физматлит, 2008.— 288 c.— ЭБС. Решение нелинейных уравнений Реализуемые компетенции: ОК-1, ОК-10, ПК-2 Цель работы: изучение возможностей пакета Ms Excel при решении нелинейных уравнений и систем. Приобретение навыков решения нелинейных уравнений и систем средствами пакета. 1. Найти корни полинома x3 - 0,01x2 - 0,7044x + 0,139104 = 0. Для начала решим уравнение графически. Известно, что графическим решением уравнения f(x)=0 является точка пересечения графика функцииf(x) с осью абсцисс, т.е. такое значение x, при котором функция обращается в ноль. Проведем табулирование нашего полинома на интервале от -1 до 1 с шагом 0,2. Результаты вычислений приведены на рис. 7.1., где в ячейку В2была введена формула: = A2^3 - 0,01*A2^2 - 0,7044*A2 + 0,139104. На графике видно, что функция три раза пересекает ось Оx, а так как полином третьей степени имеется не более трех вещественных корней, то графическое решение поставленной задачи найдено. Иначе говоря, была проведена локализация корней, т.е. определены интервалы, на которых находятся корни данного полинома: [-1,-0.8], [0.2,0.4] и [0.6,0.8]. Рис. 7.1 Теперь можно найти корни полинома методом последовательных приближений с помощью команды Сервис Подбор параметра. Относительная погрешность 12 вычислений и предельное число итераций (например, 0,00001 и 1000) задаются на вкладке Сервис Параметры. После ввода начальных приближений и значений функции можно обратиться к пункту меню Сервис Подбор параметра и заполнить диалоговое окно следующим образом (см. рис. 7.2). Рис. 7.2 В поле Установить в ячейке дается ссылка на ячейку, в которую введена формула, вычисляющая значение левой части уравнения (уравнение должно быть записано так, чтобы его правая часть не содержала переменную). В поле Значение вводим правую часть уравнения, а в поле Изменяя значения ячейки дается ссылка на ячейку, отведенную под переменную. Заметим, что вводить ссылки на ячейки в поля диалогового окна Подбор параметров удобнее не с клавиатуры, а щелчком на соответствующей ячейке. После нажатия кнопки ОК появится диалоговое окно Результат подбора параметра (см. рис. 7.3) с сообщением об успешном завершении поиска решения, приближенное значение корня будет помещено в ячейку А14. Рис. 7.3 Два оставшихся корня находим аналогично. Результаты вычислений будут помещены в ячейки А15 и А16 (см. рис. 7.4). Рис. 7.4 2. Решить уравнение ex - (2x - 1)2 = 0. Проведем локализацию корней нелинейного уравнения. 13 Для этого представим его в виде f(x) = g(x) , т.е. ex = (2x - 1)2 или f(x) = ex, g(x) = (2x - 1)2, и решим графически. Графическим решением уравнения f(x) = g(x) будет точка пересечения линий f(x) и g(x). Построим графики f(x) и g(x). Для этого в диапазон А3:А18 введем значения аргумента. В ячейку В3 введем формулу для вычисления значений функции f(x): = EXP(A3), а в С3 для вычисления g(x): = (2*A3-1)^2. Результаты вычислений и построение графиков f(x) и g(x) в одной графической области (см ПРИМЕР 4.5 и 4.6) показаны на рис. 7.5. Рис. 7.5 На графике видно, что линии f(x) и g(x) пересекаются дважды, т.е. данное уравнение имеет два решения. Одно из них тривиальное и может быть вычислено точно: Для второго можно определить интервал изоляции корня: 1,5 < x < 2. Теперь можно найти корень уравнения на отрезке [1.5,2] методом последовательных приближений. Введём начальное приближение в ячейку Н17 = 1,5, и само уравнение, со ссылкой на начальное приближение, в ячейку I17 = EXP(H17) - (2*H17-1)^2(см. рис. 7.5). Далее воспользуемся пунктом меню Сервис диалоговое окно Подбор параметра (см. рис.7.6). 14 Подбор параметра и заполним Рис. 7.6 Результат поиска решения будет выведен в ячейку Н17 (см. рис. 7.7). Рис. 7.7 3. Решить систему уравнений: Рассмотрим, как можно решить систему уравнений: F1(x)=0, F2(x)=0, … Fn(x)=0 с помощью решающего блока (пункт меню Сервис Поиск Решения), который позволяет решать не только оптимизационные задачи, но и обычные уравнения и системы уравнений. Для решения этой задачи ее можно сформулировать одним из следующих способов: 1. Найти минимум (максимум) функции 2. при системе ограничений, заданной в виде равенств Fi(x) = 0; 3. Найти минимум функции 4. В этом случае задача решается без ограничений. 1-й способ. В ячейки А1 и А2 вводим числа 0 (здесь мы будем хранить x1 и x2). В ячейки В1 и В2 вводим ограничения: В1 = 2*А1-3*А2, В2 = А1+А2. В ячейку С1 введем 15 функцию цели (эту ячейку мы будем минимизировать): С1 = СУММ(B1:B2). Воспользуемся командой Сервис Поиск Решения и заполним появившееся диалоговое окно так, как показано на рис. 7.8. В результате решения поставленной задачи получим решение системы исходных уравнений: x1 = 1,6, x2 = 2,4. Рис. 7.8 2-й способ. В ячейках D1 и D2 будем хранить переменные x1 и x2. В ячейки E1 и E2 введем уравнения системы: E1 = 2*D1-3*D2+4, E2=D1+D2-4. В качестве функции цели в ячейку F1 введем формулу = E1^2+E2^2. Обратимся к решающему блоку (см. рис. 7.9) и введём условие задачи оптимизации. В результате получаем следующее решение системы: x1 = 1,600000128, x2 = 2,39999949. Рис. 7.9 4. Решить систему уравнений: 16 Прежде чем воспользоваться описанными выше методами решения систем уравнений, найдем графическое решение этой системы. Отметим, что оба уравнения системы заданы неявно и для построения графиков, функций соответствующих этим уравнениям, необходимо разрешить заданные уравнения относительно переменной y. Для первого уравнения системы имеем: Выясним ОДЗ полученной функции: Второе уравнение данной системы описывает окружность. Подробно о построении подобных линий см. в ПРИМЕРЕ 4.5. На рис.7.10 приведен фрагмент рабочего листа MS Excel с формулами, которые необходимо ввести в ячейки для построения линий, описанных уравнениями системы. Точки пересечения линий изображенных на рис.7.11 являются графическим решением системы нелинейных уравнений. Рис. 7.10 Рис. 7.11 17 Не трудно заметить, что заданная система имеет два решения. Поэтому процедуру поиска решений системы необходимо выполнить дважды, предварительно определив интервал изоляции корней (см. ПРИМЕРЫ 7.1 и 7.2) по осям Оx и Oy . В нашем случае первый корень лежит в интервалах (-0.5;0)x и (0.5;1)y, а второй - (0;0.5)x и (-0.5;-1)y. Далее поступим следующим образом. Введем начальные значения переменных x и y, формулы отображающие уравнения системы и функцию цели, так как показано на рис 7.12. Рис. 7.12 Теперь дважды воспользуемся командой Сервис Поиск решения, появляющиеся диалоговые окна, так как показано на рис. 7.13 и 7.14. Рис. 7.13 18 заполняя Рис. 7.14 На рис.7.15 приведены результаты вычислений. Сравнив полученное решение системы с графическим, убеждаемся, что система решена верно. Рис. 7.15 ВАРИАНТЫ ЗАДАНИЙ ЗАДАНИЕ 1. Найти корни полинома. № уравнение № уравнение 1 16 2 17 3 18 4 19 5 20 19 6 21 7 22 8 23 9 24 10 25 11 26 12 27 13 28 14 29 15 30 ЗАДАНИЕ 2. Найти решение нелинейного уравнения. № уравнение № уравнение № уравнение 1 10 19 2 11 20 3 12 21 4 13 22 5 14 23 20 6 15 24 7 16 25 8 17 26 9 18 27 ЗАДАНИЕ 3. Найти решение системы нелинейных уравнений. № Система уравнений № Система уравнений № Система уравнений 1 11 21 2 12 22 3 13 23 4 14 24 5 15 25 6 16 26 21 7 17 27 8 18 28 9 19 29 10 20 30 Литература 1.Петров И.Б. Лекции по вычислительной математике [Электронный ресурс]: учебное пособие/ Петров И.Б., Лобанов А.И.— Электрон. текстовые данные.— М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, Интернет-Университет Информационных Технологий (ИНТУИТ), 2006.— 523 c.— ЭБС. 2.Пантина, И. В. Вычислительная математика [Электронный ресурс] : учебник / И. В. Пантина, А. В. Синчуков. - 2-е изд., перераб. и доп. - М.: МФПУ Синергия, 2012. - 376 с. (Университетская серия)- ЭБС. 3. Рябенький В.С. Введение в вычислительную математику [Электронный ресурс]: учебное пособие/ Рябенький В.С.— Электрон. текстовые данные.— М.: Физматлит, 2008.— 288 c.— ЭБС. Решение СЛАУ итерационными методами Реализуемые компетенции: ОК-1, ОК-10, ПК-2 Цель работы: проверить выполнение условия сходимости итерационного процесса. Найти решение СЛАУ, задавая различные значения вектора начального приближения к решению x (0) и фиксируя количество итераций, необходимых для достижения решения с заданной точностью. Построить графики xi (k), i=1,n решения в зависимости от номера итерации k. Варианты заданий к теме "Решение СЛАУ методом итераций" № варианта 1 D C 0.23 -0.04 0.21 -0.18 1.24 0.45 -0.23 0.06 0.00 -0.88 0.26 0.34 -0.11 0.00 0.62 22 2 3 4 5 6 7 8 0.05 -0.26 0.34 -0.12 -1.17 0.21 0.12 -0.34 -0.15 -0.64 0.34 -0.08 0.17 -0.18 1.42 0.16 0.34 0.15 -0.31 -0.42 0.12 -0.25 -0.08 0.25 0.83 0.32 -0.18 0.02 0.21 1.83 0.16 0.12 -0.14 0.27 0.65 0.37 0.27 -0.02 -0.24 2.23 0.12 0.21 -0.18 0.25 -0.13 0.42 -0.52 0.03 0.00 0.44 0.31 -0.25 -0.36 0.00 1.42 0.10 0.08 -0.14 -0.24 -0.83 0.15 -0.35 -0.18 0.00 -1.42 0.18 -0.34 -0.12 0.15 -1.33 0.11 0.23 -0.45 0.32 0.84 0.05 -0.12 0.14 -0.18 -1.16 0.12 0.08 0.06 0.00 0.57 0.13 0.23 -0.44 -0.05 2.13 0.24 0.00 -0.31 0.15 -0.18 0.06 0.15 0.00 -0.23 1.44 0.52 -0.08 -0.05 0.00 2.42 0.17 0.31 -0.18 0.22 -1.71 -0.21 0.00 0.33 0.22 0.62 0.32 -0.18 0.05 -0.19 -0.89 0.12 0.28 -0.14 0.00 0.94 0.13 0.27 -0.22 -0.18 1.21 -0.21 0.00 -0.35 0.18 -0.33 0.12 0.13 -0.33 0.10 -0.48 0.33 -0.05 0.05 -0.28 -0.17 Варианты заданий к теме "Решение СЛАУ методом итераций" № варианта 9 10 D C 0.19 -0.07 0.38 -0.21 -0.81 -0.22 0.08 0.11 0.33 -0.64 0.51 -0.07 0.09 -0.11 1.71 0.33 -0.41 0.00 0.00 -1.21 0.00 0.22 -0.11 0.31 2.70 0.38 0.00 -0.12 0.22 -1.50 23 11 12 13 14 15 16 0.11 0.23 0.00 -0.51 1.20 0.17 -0.21 0.31 0.00 -0.17 0.07 -0.08 0.11 -0.18 -0.51 0.18 0.52 0.00 0.21 1.17 0.13 0.31 0.00 -0.21 -1.02 0.08 0.00 -0.33 0.28 -0.28 0.05 -0.06 -0.12 0.14 -2.17 0.04 -0.12 0.68 0.11 1.40 0.34 0.06 -0.06 0.44 -2.10 0.11 0.12 0.00 -0.03 -0.80 0.08 -0.03 0.00 -0.04 -1.20 0.00 0.51 0.27 -0.08 0.81 0.33 -0.37 0.00 0.21 -0.92 0.11 0.00 0.03 0.58 0.17 0.12 -0.23 0.25 -0.16 1.24 0.14 0.34 -0.18 0.24 -0.89 0.33 0.03 0.48 -0.32 1.15 0.12 -0.05 0.00 0.15 -0.57 0.23 -0.14 0.06 -0.12 1.21 0.12 0.00 0.32 -0.18 -0.72 0.08 -0.12 0.23 0.32 -0.58 0.25 0.22 0.14 0.00 1.60 0.14 0.23 0.18 0.17 -1.42 0.12 -0.14 0.08 0.09 -0.83 0.16 0.24 0.00 -0.35 1.21 0.23 -0.08 0.55 0.25 0.65 Варианты заданий к теме "Решение СЛАУ методом итераций" № варианта 17 18 D C 0.24 0.21 0.06 -0.34 1.42 0.05 0.00 0.32 0.12 -0.57 0.35 -0.27 0.00 -0.05 0.68 0.12 -0.43 0.34 -0.21 -2.14 0.17 0.27 -0.13 -0.11 -1.42 24 19 20 21 22 23 24 0.13 -0.12 0.09 -0.06 0.48 0.11 0.05 -0.02 0.12 -2.34 0.13 0.18 0.24 0.43 0.72 0.00 0.28 -0.17 0.06 0.21 0.52 0.00 0.12 0.17 -1.17 0.17 -0.18 0.21 0.00 -0.81 0.11 0.22 0.03 0.05 0.72 0.15 0.05 -0.08 0.14 -0.48 0.32 -0.43 -0.12 0.11 1.24 0.17 0.06 -0.08 0.12 1.15 0.21 -0.16 0.36 0.00 -0.88 0.00 0.52 0.08 0.13 -0.22 0.07 -0.38 -0.05 0.41 1.80 0.04 0.42 0.11 -0.07 -1.30 0.17 0.18 -0.13 0.19 0.33 0.00 0.17 -0.33 0.18 -1.20 0.00 0.18 0.43 -0.08 0.33 0.22 0.18 0.21 0.07 0.48 0.08 0.07 0.71 0.04 -1.20 0.01 0.02 -0.62 0.08 -1.30 0.03 0.28 0.33 -0.07 1.10 0.09 0.13 0.42 0.28 -1.70 0.19 -0.23 0.08 0.37 1.50 0.03 -0.05 0.22 -0.33 0.43 0.22 0.55 -0.88 0.07 -1.80 0.33 0.13 -0.08 -0.05 -0.80 0.08 0.17 0.29 0.33 1.70 Варианты заданий к теме "Решение СЛАУ методом итераций" № варианта 25 D C 0.13 0.22 -0.33 0.07 0.11 0.00 0.45 -0.23 0.07 -0.33 0.11 0.00 -0.08 0.78 0.85 0.08 0.09 0.33 0.21 -1.70 25 26 27 28 29 30 0.32 -0.16 -0.08 0.15 2.42 0.16 -0.23 0.11 -0.21 1.43 0.05 -0.08 0.00 0.34 -0.16 0.12 0.14 -0.18 0.06 1.62 0.00 0.08 -0.23 0.32 1.34 0.16 -0.23 0.18 0.16 -2.33 0.15 0.12 0.32 -0.18 0.34 0.25 0.21 -0.16 0.03 0.63 0.06 0.18 0.33 0.16 2.33 0.32 0.00 0.23 -0.35 -1.12 0.16 -0.08 0.00 -0.12 0.43 0.09 0.22 -0.13 0.00 0.83 0.00 0.34 0.23 -0.06 1.42 0.11 -0.23 -0.18 0.36 -0.66 0.23 -0.12 0.16 -0.35 1.08 0.12 0.12 -0.43 0.18 1.72 0.32 -0.23 0.41 -0.06 0.67 0.18 0.12 -0.33 0.00 -0.88 0.12 0.32 -0.35 0.67 -0.18 0.05 -0.11 0.09 -0.12 1.44 Литература 1.Петров И.Б. Лекции по вычислительной математике [Электронный ресурс]: учебное пособие/ Петров И.Б., Лобанов А.И.— Электрон. текстовые данные.— М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, Интернет-Университет Информационных Технологий (ИНТУИТ), 2006.— 523 c.— ЭБС. 2.Пантина, И. В. Вычислительная математика [Электронный ресурс] : учебник / И. В. Пантина, А. В. Синчуков. - 2-е изд., перераб. и доп. - М.: МФПУ Синергия, 2012. - 376 с. (Университетская серия)- ЭБС. 3. Рябенький В.С. Введение в вычислительную математику [Электронный ресурс]: учебное пособие/ Рябенький В.С.— Электрон. текстовые данные.— М.: Физматлит, 2008.— 288 c.— ЭБС. Решение плохо обусловленных СЛАУ Реализуемые компетенции: ОК-1, ОК-10, ПК-2 Цель работы: решение плохо обусловленных систем линейных алгебраических уравнений методом регуляризации. Входные параметры: n—целое положительное число, равное порядку n системы; а — массив из n х n действительных чисел, содержащий матрицу коэффициентов системы; b — массив из n действительных чисел, содержащий столбец свободных членов системы (b(1) = b1, b(2)=b2,…b(n)=bn). 26 Выходные параметры: х – решение системы ; p—количество итераций. Схема алгоритма приведена на рисунке 1. Пример. Решить систему уравнений Текст программы: procedure regul(N:Integer;a:Tmatr;b:Tvector;var X:Tvector; var p:integer); var a1,a2:tmatr; b1,b2,x0:tvector; alfa,s1,s:real; max,eps:real; i,j,k,l:integer; begin eps:=0.01; Out_Slau_T(n,a,b); For I:=1 To n Do {получение АТА} Begin For K:=1 To N Do Begin S:=0.0; For J:=1 To N Do S:=S+A[j,i]*A[j,k]; A1[i,k]:=S; End; End; For I:=1 To N Do {получение АТВ} Begin S:=0.0; For J:=1 To N Do Begin S:=S+A[j,i]*B[j]; End; b1[i]:=S; End; alfa:=0; {нач-ое знач-е альфа} k:=0; {кол-во итераций} repeat alfa:=alfa+0.01; inc(k); a2:=a1; for i:=1 to N do a2[i,i]:=a1[i,i]+alfa; {получение АТА+alfa} for i:=1 to N do b2[i]:=b1[i]+alfa*x0[i]; {получение АТВ+alfa} a1:=a2; b1:=b2; SIMQ(n,a2,b2,l); a2:=a1; X:=b2; x0:=X; b2:=b1; vozm(N,eps,a2,b2); simq(n,a2,b2,l); max:=abs(b2[1]-X[1]); for i:=2 to n do if abs(b2[i]-X[i])>max then max:=abs(b2[i]-X[i]); until max<eps;< p=""></eps;<> p:=k; end; Вычисления по программе привели к следующим результатам: X1 = 1.981 X2 = 0.4735 27 Рисунок 1 - Схема алгоритма метода регуляризации 28 Варианты заданий для решения плохо регуляризации приведены в таблице. Метод вращения (Гивенса) Схема алгоритма приведена на рисунке 2. Пример. Решить систему уравнений обусловленных Текст программы: PROCEDURE Vrash; Var I,J,K: Integer; M,L,R : Real; F1:TEXT; Label M1,M2; Begin Out_Slau_T(nn,aa,b); for i:=1 to Nn do aa[i,0]:=b[i]; M:=0.0; For I:=1 To Nn-1 Do Begin For K:=I+1 To Nn Do Begin If (Aa[i,i]<>0.0) Then Goto M1;If (Aa[k,i]<>0.0) Then Goto M1; M:=1.0;L:=0.0; Goto M2; 1:M:=Sqrt(Aa[i,i]*Aa[i,i]+Aa[k,i]*Aa[k,i]); L:=-1.0*Aa[k,i]/M; M:=Aa[i,i]/M; M2:For J:=1 To Nn Do Begin R:=M*Aa[i,j]-L*Aa[k,j]; Aa[k,j]:=L*Aa[i,j]+M*Aa[k,j]; Aa[i,j]:=R; End; R:=M*Aa[i,0]-L*Aa[k,0]; Aa[k,0]:=L*Aa[i,0]+M*Aa[k,0]; Aa[i,0]:=R; End; End; For I:=Nn Downto 1 Do Begin M:=0.0; For K:=0 To Nn-I-1 Do Begin M:=M+Aa[0,nn-k]*Aa[i,nn-k]; End; Aa[0,i]:=(Aa[i,0]-M)/Aa[i,i]; End; for i:=1 to Nn do x[i]:=Aa[0,i];End; Вычисления по программе привели к следующим результатам: X1 = 1.981 X2 = 0.4735 29 систем методом 30 Рисунок 2- Схема алгоритма метода Гивенса (вращения) Варианты заданий № Матрица A Вектор Вектор B № 16 1,03 0,991 B 2,51 17 0,991 1,03 0,943 0,991 2,40 2,62 18 0,991 1,03 0,943 0,991 2,41 2,73 19 0,991 1,03 0,943 0,991 2,42 2,84 20 0,991 1,03 0,943 0,991 2,43 2,95 21 0,991 1,03 0,943 0,991 2,41 2,56 22 0,991 1,03 0,943 0,991 2,41 2,57 23 0,991 1,03 0,943 0,991 2,49 2,58 24 0,991 1,03 0,943 0,991 2,48 2,59 25 0,991 1,03 0,943 0,2973 2,47 2,50 26 0,991 1,03 0,2829 0,2973 2,46 2,51 27 0,991 1,03 0,2829 0,2973 2,45 2,51 28 0,991 1,03 0,2829 0,2973 2,44 2,51 29 0,991 1,03 0,2829 0,2973 2,43 2,51 1 1,03 0,991 2,51 2 0,991 1,04 0,940 0,992 2,41 2,52 3 0,991 1,05 0,941 0,992 2,42 2,53 4 0,991 1,06 0,942 0,994 2,43 2,54 5 0,991 1,07 0,943 0,995 2,44 2,55 6 0,991 1,08 0,944 0,996 2,45 0,502 7 0,991 1,09 0,944 0,997 0,482 0,502 8 0,991 1,03 0,945 0,998 0,482 0,502 9 0,991 1,03 0,946 0,999 0,482 0,502 10 0,991 1,03 0,947 0,996 0,482 0,502 11 0,991 1,03 0,948 0,995 0,482 2,51 12 0,991 1,03 0,949 0,994 2,45 2,52 13 0,991 1,03 0,951 0,993 2,44 2,53 14 0,991 1,03 0,953 0,992 2,43 2,54 31 Матрица A 15 0,991 1,03 0,952 0,991 2,42 2,55 0,991 0,940 2,41 30 0,991 1,03 0,2829 0,2973 2,42 2,51 0,991 0,2829 2,41 Литература 1.Петров И.Б. Лекции по вычислительной математике [Электронный ресурс]: учебное пособие/ Петров И.Б., Лобанов А.И.— Электрон. текстовые данные.— М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, Интернет-Университет Информационных Технологий (ИНТУИТ), 2006.— 523 c.— ЭБС. 2.Пантина, И. В. Вычислительная математика [Электронный ресурс] : учебник / И. В. Пантина, А. В. Синчуков. - 2-е изд., перераб. и доп. - М.: МФПУ Синергия, 2012. - 376 с. (Университетская серия)- ЭБС. 3. Рябенький В.С. Введение в вычислительную математику [Электронный ресурс]: учебное пособие/ Рябенький В.С.— Электрон. текстовые данные.— М.: Физматлит, 2008.— 288 c.— ЭБС. Решение проблемы собственных значений Реализуемые компетенции: ОК-1, ОК-10, ПК-2 Цель работы: изучение частичной проблемы собственных значений, вычисление максимального собственного значения самосопряженной матрицы. Постановка задачи Пусть А - квадратная матрица размера n*n. Частичной проблемой собственных значений называется нахождение некоторой части собственных значений λ и, возможно, соответствующих собственных векторов х матрицы А из однородного уравнения А х = λ х. Одной из задач проблемы собственных значений является рассматриваемая в данной работе задача нахождения максимального по модулю собственного значения матрицы А. Далее будем полагать, что А - действительная симметричная матрица. Самосопряженная матрица А имеет полную систему (базис) ортогональных нормированных собственных векторов ei (i= 1,2,...,n), являющихся решением задачи Aei=λiei, 1 ei e j   ij   0 i  j  i  j  , где  ij - символ Кронекера. Предположим также, что максимальное собственное значение матрицы А 1  A  max i  A - простое (не кратное). i Тогда λ1(А) можно найти с помощью следующего называемого степенным методом: итерационного процесса,  x k 1  x k 1 , x k 1 1/ 2 ,   k 1 e k 1  x , 1 x k 1   k   k 1  x  Ae1 , 1k   x k  , e1k 1  k  1,2.... Здесь k - номер итерации, а в качестве x(0) принимается произвольный, например 32 случайный вектор. При k   итерационный процесс сходится линейно, т.е. 1 k   1  A  , со скоростью геометрической прогрессии, имеющей знаменатель 2  A / 1  A , где λ2(А) следующее по модулю собственное значение матрицы А. Если значения |λ2(А)| и |λ1(А)| близки, то сходимость будет медленной. Смысл данного итерационного процесса можно пояснить следующим образом. Поскольку собственные векторы в нашем случае образуют полную систему, то любой вектор можно представить в виде y  c1 x1  c2 x2  .......  cn xn , где x – собственные векторы, а с – константы. i i Умножим обе части равенства на матрицу А n n i 1 i 1 Ay   ci Axi   ci i xi . Производя такое умножение k раз, получим n n i 1 i 1 Ak y   ci Ak xi   ci i k xi . Таким образом, после k умножений вектор y имеет компоненту вдоль каждого собственного вектора, пропорциональную k –ой степени соответствующего значения λi. Теперь, если 1  i для i =2,3,….,n, то при k→∞ Ak y  c11k x1 , т.е. вектор y оказывается почти коллинеарен собственному вектору x1. Рассмотрим отношение Ak 1 y c11k 1 x1   1. Ak y c11k x1 Можно ожидать, что в пределе каждая компонента нашего вектора будет умножаться на одно и то же число λi. На практике рекомендуется нормировать получающийся вектор на каждом шаге так, чтобы наибольшая его компонента была равна 1. На последнем шаге нормирующий множитель даст величину наибольшего по модулю собственного значения. При этом заодно получается и собственный вектор. Варианты заданий (n=5÷10; p,q=1÷4; r,t=0.1÷1.2; b=0.01÷0.1) 1. aii  5i p /2 , a ij  b i p /2  j p /2  , i  j  ; 1/ q 2. aii  15i p /3 , a ij  b  ij  3. aii  10i p /2 , a ij  b i / j p  j / i p  ,  q /2 i  j  ; , 1/ q 4. aii  8i p /3 , a ij  b i p  j p  5. aii  6i p /3 , a ij  b i p /2  j p /2  1/ q i  j  ; , 1/ q i  j  ; , i  j  ; 33 6. aii  6.5i p /3 , 7. aii  12i p /3 , 8. aii  11i p /4 , 9. aii  8.5i p /4 , 10. aii  13i p /3 ,  r  a ij  b exp    , i  j  ;   i  j t     r  a ij  b  sh   , i  j  ;   i  j t     r  a ij  b sin   , i  j  ;  2  i  j t    a ij  b  sh i  j a ij  b i p  j p 1/ q 1/ q , , i  j  ; i  j . Программирование Блок-схема программы представлена на Рис.1. В циклах 3-8 вычисляются элементы матрицы A и начальный вектор x(0), в блоках 10-13 реализован степенной метод, в блоках 9,14 выводятся промежуточные и конечные результаты. В качестве x(0) следует принять случайный вектор, элементы которого представляет собой случайные числа, равномерно распределенные в интервале (0,1). Для выработки таких чисел в программном обеспечении компьютера имеется специальный генератор (датчик). Итерации следует заканчивать при выполнении какого-либо из двух условий  ( k )   ( k 1)   , k  kmax , где ε= 0.1÷0.001 - заданная погрешность, kmax- максимальное число итераций. Окончание итераций при выполнении последнего условия означает, что за kmax итераций заданная погрешность не достигнута. Проверку программы рекомендуется провести на тестовой диагональной матрице с элементами aii=i, aij=0 (i,j=1,2,…,n), для которой 1  A  n. Содержание отчета Отчет должен содержать:  формулы для конкретного варианта;  текст программы;  результаты решения: исходная матрица, значение λ1(A) и число итераций k. Контрольные вопросы 1. Что понимается под частичной проблемой собственных значений? 2. Как строятся степенной метод вычисления максимального по модулю собственного значения? 3. Какие методы решения полной проблемы собственных значений вы знаете? 4. Что такое характеристический полином? 34 Начало 1 12 Начальные 2 данные Цикл по i = 1,n 3 4 13 Цикл 5 10 1 Нет по j = 1,n 6 aij(i≠j ) 7 Цикл по j 8 Цикл по i 9 A,b,n Да 14 Конец 15 k=1 Рис.1.Блок-схема степенного метода. Литература 1.Петров И.Б. Лекции по вычислительной математике [Электронный ресурс]: учебное пособие/ Петров И.Б., Лобанов А.И.— Электрон. текстовые данные.— М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, Интернет-Университет Информационных Технологий (ИНТУИТ), 2006.— 523 c.— ЭБС. 2.Пантина, И. В. Вычислительная математика [Электронный ресурс] : учебник / И. В. Пантина, А. В. Синчуков. - 2-е изд., перераб. и доп. - М.: МФПУ Синергия, 2012. - 376 с. (Университетская серия)- ЭБС. 3. Рябенький В.С. Введение в вычислительную математику [Электронный ресурс]: учебное пособие/ Рябенький В.С.— Электрон. текстовые данные.— М.: Физматлит, 2008.— 288 c.— ЭБС. Интерполяция функций Реализуемые компетенции: ОК-1, ОК-10, ПК-2 Цель работы: Ознакомление с интерполяционными формулами Лагранжа, Ньютона, рекуррентным соотношением Эйткена, методами оценки погрешности интерполяции. 35 Теоретические основы 1. Постановка задачи Пусть некоторая функция f(x) задана своими значениями yj=f(xj) на дискретном множестве точек xj., j=0,…,m. Требуется приближенно определить аналитический вид этой функции и тем самым получить возможность вычислить ее значения в промежуточных точках x(xj,xj+1). График, иллюстрирующий данную задачу, изображен на рис. 1.1. Рис. 1.1. К задаче интерполяции функций. Интерполирующую функцию будем искать в виде алгебраического многочлена Pn ( x)  n  ai x i . (1.1) i 0 Поскольку многочлен Pn (x ) в узловых точках должен совпадать с заданными значениями функции, то задача сводится к решению системы линейных алгебраических уравнений n  ai xij  y j , j  k ,, k  n (1.2) i 0 относительно неизвестных ai (k – номер начальной узловой точки, используемой в данном расчете). Эта система уравнений имеет единственное решение (если mn+k, и все xj различны), так как определитель этой системы – определитель Вандермонда - не равен нулю. 2. Методы решения задачи Интерполяционный многочлен Лагранжа. Решение системы уравнений (1.2) можно представить в форме интерполяционного многочлена Лагранжа: Pn x   Ln x   k n k n  j k yj  ik i j x  xi . x j  xi В частном случае n=1 (линейная интерполяция) L1  x   x  x k 1 x  xk yk  y k 1 , x k  x k 1 x k 1  x k 36 (1.3) а при n=2 L2  x   x  xk 1 x  xk 2  x  xk x  xk 2  yk  y  xk  xk 1 xk  xk 2  xk 1  xk xk 1  xk 2  k 1 x  xk x  xk 1  .  y xk 2  xk xk 2  xk 1  k 2 Нетрудно заметить, что структура этих формул такова, что для каждой узловой точки x=xj из входящих в набор используемых формулой узловых точек, только одно слагаемое отлично от нуля и именно то, в которое входит yj. Кроме того, дробь, входящая в это отличное от нуля слагаемое, при x=xj равна единице. Поэтому Ln x j  y j .   Интерполяционный многочлен Ньютона. Сначала необходимо дать несколько определений. Для упрощения записи введем обозначение: fk=f(xk). Конечной разностью первого порядка функции f в точке xk называется величина f k  f k 1  f k , а конечной разностью n-го порядка (n>1) величина n f k  n1 f k 1  n1 f k . (1.4) Отсюда, в частности, следует, что разность второго порядка 2 f k  f k 1  f k  ( f k 2  f k 1 )  ( f k 1  f k )  f k  2 f k 1  f k 2 . Разделенными разностями нулевого порядка называются значения функции fk. Разделенной разностью первого порядка называется величина f  x k , x k 1   f  x k 1 , x k   f k 1  f k fk f k 1   . x k 1  x k x k  x k 1 x k 1  x k Разделенная разность n-го порядка определяется через разделенные разности n-1-го порядка по рекуррентной формуле f  x k , x k 1 , x k  n   f  x k 1 , x k  2 , x k  n   f  x k , x k 1 , x k  n1  . xk n  xk (1.5) Другое выражение разделенной разности n-го порядка f  x k , x k 1 , x k  n   k n  j k   k n f j   x j  xi  i k  i j   1    .     (1.6) Интерполяционным многочленом Ньютона называется алгебраический многочлен l n  x   f  x k    x  x k  f  x k , x k 1    x  x k  x  x k 1  f  x k , x k 1 , x k  2    .    x  x k  x  x k 1   x  x k  n1  f  x k , x k 1 , , x k  n  . 37 (1.7) Этот многочлен тождественно равен многочлену n-й степени, записанному в форме Лагранжа или в какой-то другой форме в силу единственности интерполяционного многочлена. Однако такая форма записи позволяет при необходимости увеличения степени многочлена не перестраивать весь многочлен заново, а только добавлять дополнительные слагаемые. Методы оценки погрешности интерполяции 1. Оценка погрешности метода Теоретическая оценка погрешности интерполяции. Справедлива следующая оценка погрешности интерполяции [1-4] k n f  x   Pn  x    x  x j  j k n  1! f n 1  , (1.8) где xj - узлы сетки,   xk , xn  k , x – значение аргумента, где оценивается погрешность интерполяции. Для непосредственного применения этой формулы необходимо иметь верхнюю оценку модуля n+1-й производной функции f  x  . Если речь идет об интерполяции известной функции по ее табличным значениям, то такая оценка может быть получена аналитически. Например, производная любого порядка от функций sinx и cosx по модулю не превышает единицы. Необходимо отметить, что значения n  x  между узлами xj вблизи концов интервала интерполяции существенно больше (по модулю), чем в середине. Кроме того, при увеличении n значения n  x  быстро растут. Отсюда следует, что повышение степени многочлена может привести к увеличению погрешности интерполяции, если с увеличением порядка производной достаточно быстро увеличивается ее величина. Практическая оценка погрешности интерполяции по результатам численного эксперимента. В случае, когда интерполируемая функция является результатом численного решения некоторой задачи, вся информация об искомой функции исчерпывается ее значениями в узловых точках. Задача интерполяции при этом является некорректной, поскольку может существовать сколько угодно функций, графики которых проходят через данные точки (рис 1.2а). То есть, решение задачи может быть получено только с точностью до произвольной аддитивной составляющей, имеющей нулевые значения во всех заданных узловых точках. В оправдание этого можно сказать, что если сетка выбирается произвольно, то существование функции, равной нулю именно в узловых точках этой сетки, маловероятно. Можно также указать разные способы использования нескольких сеток для повышения надежности получаемых результатов. В случае, рассмотренном на рис 1.2б, функция имеет резкий всплеск на одном из частичных отрезков. При этом интерполяционная формула может просто «не заметить» этого всплеска, так как в узловых точках его влияние может быть очень малым. «Почувствовать» такой всплеск можно только при уточнении результата (например, путем повышения степени интерполяционного многочлена, сгущением сетки). 38 б) а) Рис. 1.2. Некорректность задачи интерполяции Таким образом, хотя полностью исключить возможность ошибки (указания неправильной оценки погрешности результата), связанной с некорректностью задачи нельзя, но есть пути уменьшения такой возможности. Рассмотрим способ оценки погрешности интерполяции, не требующий использования никакой другой информации, кроме значений функции в узловых точках. Для этого на основании (1.8) представим математическую модель погрешности интерполяции в следующем виде Pn1  x   f  x   c k1  n  j  k1 x  x1j  1x . (1.9) 1 Здесь x j - узлы некоторой сетки; j=0,..., N 1 , c - величина, предполагаемая независимой от положения узлов; k1 - номер начального узла, используемого интерполяционной формулой; 1(x) - дополнительная часть погрешности, полагаемая малой величиной по сравнению с первым слагаемым. 2 Теперь изменим сетку, используя новые узлы x j , j=0,..., N 2 . Тогда получим второе уравнение для нахождения неизвестных c и f(x) Pn2  x   f  x   c k2  n  x  x 2j  2 x . (1.10) j k2 Вычитая (1.9) из (1.10) и пренебрегая малыми, найдем c   ki  m Pn2  x   Pn1 x  i c , i   x  x j ,  2  1 j  ki (1.11) оценку погрешности интерполяции Pn1  Pn2  x   Pn1  x 1 x   f x    2  1 и более точное значение функции 39 (1.12) f  x  Pn1 x  2  Pn2  x 1  2  1 . (1.13) Формировать разные сетки можно различными способами (например, уменьшением шага в 2 раза, выбором закона распределения узлов). В том числе для оценки интерполяции можно использовать значения функции в других узлах той же самой сетки. Последнее может оказаться более удобным с практической точки зрения. Способ выбора узлов также может быть различным. 2 1 Рассмотрим случай, когда второй набор x j состоит из узлов x j с номерами от k+1 до n+k+1 (т.е. k1=k, k2=k+1). В этом случае согласно (1.12) погрешность оценивается по формуле Pn1  x   f  x    P 2 n x   Pn1 x   x  x j  k n k  n 1 j k k n j  k 1 j k  x  x j    x  x j  x   Pn2  x   Pn1  x  x  xk k  n 1  x k  , (1.14) а (1.13) принимает вид f x   x k  n 1  x 1 x  xk Pn  x   Pn2  x   Pn 1  x  . x k  n 1  x k x k  n 1  x k (1.15) Функция (1.15) в действительности представляет собой интерполяционный многочлен степени n+1, так как: - Pn 1  x  является алгебраическим многочленом степени n+1; 2 1 - в узлах с номерами от i=k+1 до i=k+n оба многочлена Pn  xi  и Pn  xi  , а, следовательно, и Pn 1  xi  , совпадают с f  xi  ; 1 - Pn 1  xk   Pn  xk   f  xk  ; 2 - Pn 1 xn  k 1   Pn xn  k 1   f xn  k 1  . Рекуррентная формула (1.15) используется при интерполяции по схеме Эйткена [1]. Таким образом, данный способ оценки погрешности интерполяции сводится к построению интерполяционного многочлена Pn1 x и сравнению проверяемых значений Pn  x с Pn1 x как с более точными. 2. Оценка погрешностей исходных данных и округления Кроме погрешности интерполяции необходимо учитывать погрешность, которая обусловлена ошибками самих используемых значений функции. Эту погрешность, согласно (1.3), можно оценить по формуле 40  n x   k n  j Aj , j k Aj  k n  ik i j x  xi x j  xi (1.16) или по рекуррентному соотношению  n 1 x   xk  n 1  x 1 x  xk  n x   2n  x  , xk  n 1  xk xk  n 1  xk (1.17) 10 x    k , 20 x    k 1 , где  j - известные оценки погрешности значений yj. Если yj=f(xj) – вычисленные значения известной функции, то [5]  j  y j 10  M 1 , (1.18) (M – число десятичных разрядов мантиссы машинного слова). Ошибку округления при применении интерполяционной формулы Лагранжа можно оценить следующим способом. Если при программной реализации этого способа интерполяции проводится суммирование методом накопления, то величина погрешности округления примерно в n раз больше, чем та, которая получается из (1.16) с учетом (1.18) [5]. При применении рекуррентной формулы (1.15) происходит попарное сложение и накопление частичных сумм по схеме бинарного дерева. Если при каждом суммировании слагаемые примерно равны друг другу, то накопления погрешности округления, связанной с выравниванием порядков существенно отличающихся между собой слагаемых, не происходит. Общую погрешность, связанную с машинным представлением чисел можно тогда оценить по формуле (1.17). Отметим, что в практических расчетах степень интерполяционного многочлена, как правило не превышает 10, поэтому погрешность округления не превосходит намного погрешность исходных данных. Однако существует возможность того, что слагаемые суммы имеют большие по модулю величины и разные знаки, так что сумма имеет существенно меньшее значение. Тогда относительная погрешность округления может оказаться очень большой. Критерий качества оценки погрешности Поскольку оценки (1.12)-(1.15) выведены при допущении, что величины i(x) малы, то необходима проверка справедливости этого допущения. Это можно сделать следующим образом. Оценка погрешности по формуле (1.15) сводится к сравнению значения Pn(x) со значением, полученным при интерполировании многочленом (n+1)-й степени Pn+1(x). Поэтому процесс увеличения степени можно продолжить и получить значение Pn+2(x). Разность n=Pn(x)-Pn+1(x) представляет собой оценку погрешности интерполяции значения Pn(x). Разность n=Pn+1(x)-Pn+2(x) является оценкой погрешности оценки погрешности (рис. 1.3). Отношение  n   n  n имеет смысл относительной размытости оценки погрешности. 41 Если n<<1, то это означает, что относительная размытость оценки  n мала, и такой оценке можно доверять. Если же n >0.3-0.4, то ширина области размытости сравнима с  n и такую оценку следует отвергнуть. Рис. 1.3. Размытость оценки погрешности Численный эксперимент Применим этот способ оценки к конкретной задаче интерполяции. Пусть f  x   sin x , x j  j  , m2   yj  f xj , j  0,, m . Результаты интерполяции и оценки погрешности удобно представлять на графике в виде зависимости  lg Pn  Pn1 (десятичного логарифма правой части (1.14)) от  x  x  xj  x j 1  x j . На рис. 1.4 разные кривые соответствуют различным n (при j=2). Отметим, что увеличение ординаты кривой на единицу при увеличении степени интерполяционного многочлена означает уменьшение погрешности в 10 раз. Сближение кривых означает то, что за счет дальнейшего увеличения степени точность повысить не удается. Попарное сближение кривых объясняется тем, что функция sinx – нечетная, и в ее разложении по степеням x присутствуют только нечетные члены. а) б) Рис. 1.4. Результаты интерполяции Из рис. 1.4а видно, что в результате интерполяции данных этого примера при m=20 могут быть получены значения с погрешностью порядка 10-13 с относительной размытостью около 0.01. На рис. 1.4б изображены кривые, аналогичные приведенным на рис. 1.4а, только для оценки погрешности использованы точные значения функции sinx. Видно, что отличие графиков на обоих рисунках незначительны, что говорит о высокой точности оценки погрешности по данному методу. 42 На рис. 1.5 а приведены оценки погрешности (1.16), которая вызвана ошибками 15 используемых значений функции  j  sin x j  10 (здесь использована двойная точность). Эта погрешность, как нетрудно заметить, существенно превышает значения j. При интерполяции на отрезках, близких к середине таблицы эта погрешность значительно меньше (рис. 1.5б). б) а) Рис. 1.5. Влияние погрешности исходных данных при интерполяции В табл. 1.1 даны результаты расчетов для этого же примера для точки, расположенной посередине между узлами. Величина n=Pn(x)-Pn+1(x) представляет собой оцененную по формуле (1.14) погрешность интерполяции;  n exact - разность между интерполированным и точным значениями; k   1  exact  n - имеет смысл коэффициента уточнения интерполированного n значения и он же равен долевой оценке погрешности оценки погрешности (1.14), т.е. фактической размытости оценки (1.14). Табл. 1.1. exact n n n 1 2 3 4 5 6 7 -4 -1.210 -3.010-5 -1.410-7 -3.410-8 -2.710-10 -4.310-11 6.110-13 -4 -1.510 -3.010-5 -1.710-7 -3.410-8 -2.210-10 4.410-11 5.210-13 0.25 0.01 0.25 0.01 -0.16 0.01 -0.15 exact n n n k 8 9 10 11 12 13 Из таблицы видно, что при k   0.01 значения n и  n -14 -9.010 -1.810-15 1.910-16 5.610-17 2.810-17 8.310-17 exact -14 -9.110 -1.610-15 2.410-16 4.310-17 -1.210-17 -4.010-17 k 0.02 -0.13 0.22 -0.22 -1.44 -1.48 практически совпадают. При 0.2  k   0.3 значения n и exact заметно различаются, но при оценке погрешности n такие различия могут считаться допустимыми. При k   0.3 значения n и  n различаются существенно, и оценку погрешности при таких условиях нельзя считать удовлетворительной. Таким образом, применение рассмотренного способа оценки погрешности интерполяции позволяет не только с высокой точностью оценить эту погрешность (пользуясь только информацией, заложенной в табличных данных), но и приближенно определить долю exact 43 погрешности, содержащейся в этой оценке. Это позволяет судить о качестве оценки и в случае неудовлетворительного результата отвергнуть такую оценку. Порядок решения задачи на ЭВМ 1) По указанию преподавателя выбрать метод интерполяции (многочлены Лагранжа (1.3), Ньютона (1.7) или рекуррентное соотношение Эйткена (1.15)). 2) Составить подпрограмму, реализующую данный метод. 3) Предусмотреть в программе оценку погрешности на основе сравнения значений, полученных с помощью интерполяционных многочленов разной степени. 4) Оценить размытость оценки погрешности согласно п. 6. 5) Отладить программу путем интерполяции функции sinx (см. раздел 7 «Численный эксперимент»). 6) Применить программу для интерполяции функции, данной преподавателем. Результат оценки погрешности представить в виде графика (рис. 1.4, 1.5) и для одного из значений x в виде таблицы 1.1. Требования к отчету по лабораторной работе Отчет по лабораторной работе должен содержать: 1) файл исходного текста программы; 2) файлы результатов для тестового примера и для интерполяции заданной функции; 3) описание алгоритма расчета (в текстовой форме и в виде блок-схемы) в электронном и распечатанном виде; 4) распечатку файлов п. 2) с комментариями; 5) общие выводы по результатам работы, включающие результаты тестирования, полученные оценки погрешности результатов и обоснование этих оценок. Вопросы для самопроверки 1) Преимущества и недостатки разных методов интерполяции. 2) Оценка эффективности разных способов оценки погрешности интерполяции с точки зрения их надежности и практической применимости. 3) Влияние погрешности исходных данных и округления на результат интерполяции. 4) Способы уменьшения погрешностей при интерполяции. 5) Способы повышения надежности оценки погрешности интерполяции. Литература 1.Петров И.Б. Лекции по вычислительной математике [Электронный ресурс]: учебное пособие/ Петров И.Б., Лобанов А.И.— Электрон. текстовые данные.— М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, Интернет-Университет Информационных Технологий (ИНТУИТ), 2006.— 523 c.— ЭБС. 2.Пантина, И. В. Вычислительная математика [Электронный ресурс] : учебник / И. В. Пантина, А. В. Синчуков. - 2-е изд., перераб. и доп. - М.: МФПУ Синергия, 2012. - 376 с. (Университетская серия)- ЭБС. 3. Рябенький В.С. Введение в вычислительную математику [Электронный ресурс]: учебное пособие/ Рябенький В.С.— Электрон. текстовые данные.— М.: Физматлит, 2008.— 288 c.— ЭБС. Решение задачи Коши для системы ОДУ многошаговыми методами Реализуемые компетенции: ОК-1, ОК-10, ПК-2 Цель работы: решение обыкновенных дифференциальных уравнений многошаговыми методами. 44 Решение обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) широко применяется в практике научно-технических расчетов. Хотя линейные ОДУ могут иметь решения в виде специальных функций, многие физические системы нелинейны и описываются нелинейными ОДУ, не имеющими аналитического решения. В этом случае приходиться использовать численные методы решения ОДУ. Чтобы решить ОДУ, необходимо знать значения зависимой переменной и (или) производных при некоторых значениях независимой переменной. Если эти дополнительные условия задаются при одном значении независимой переменной, то такая задача называется задачей Коши. Если же условия задаются при двух или более значениях независимой переменной, то задача называется краевой. Задача Коши Задачу Коши можно сформулировать следующим образом: пусть дано ОДУ: (1) и начальное условие . Требуется найти функцию , удовлетворяющую как указанному уравнению, так и начальному условию. Численное решение задачи Коши состоит в построении таблицы приближенных значений y1, y2, ..., yn решения уравнения в точках x1, x2, ..., xn. Чаще всего хi = x0 + ih, i = 0, 1, ..., n, где h - шаг приращения переменной x, n - число интервалов решения с шагом h. Рассмотрим здесь две группы численных методов решения задачи Коши: одношаговые и многошаговые. Одношаговые методы Одношаговые методы - это методы, в которых для нахождения следующей точки на кривой y = f(x) требуется информация лишь об одном предыдущем шаге. Простейшим из одношаговых методов является метод Эйлера: (2) , i = 0, 1, ..., n - 1. Метод Эйлера имеет невысокую точность (порядка h). Для достижения более высокой точности (порядка h4) используют метод РунгеКутта четвертого порядка: , где (3) Многошаговые методы В многошаговых методах для отыскивания следующей точки кривой у = f(x) требуется информация более чем об одной из предыдущих точек. Пусть найдены значения в четырех последовательных точках. При этом имеются также вычисленные ранее значения правой части уравнения (1) Тогда схему метода Адамса можно представить в виде: (4) , i = 3, 4, ..., n - 1. где конечные разности в точке имеют вид: 45 . (5) Решение задачи Коши средствами Mathcad Инструментарий для решения ОДУ (систем ОДУ) различного порядка в Mathcad представлен широким спектром встроенных функций, работа одной из которых (rkfixed метод Рунге-Кутта (rk) четвертого порядка с фиксированным (fixed) шагом интегрирования) показана на Рисунке 9. Рисунок 9. Решение ОДУ 1-го порядка rkfixed(y, a, b, n, Возвращает матрицу с р + 1 столбцами и n + 1 строками (р D) количество уравнений или порядок уравнения, n - число шагов на интервале [a, b]) - таблицу решений системы: первый столбец - это значения аргумента х, а последующие столбцы - значения ординат решения. y - вектор начальных условий размерности n. D(x, y) функция-вектор изn элементов, содержащая первые производные неизвестных функций. Можно решить задачу более точно (более быстро), если уменьшить шаг h там, где производная меняется быстро, и увеличить шаг там, где она ведет себя более спокойно. Для этого предусмотрена функция Rkadapt (adaption - адаптация). Аргументы и матрица, возвращаемая функцией Rkadapt, такие же, как при rkfixed (см. Рисунок 9). Решение системы ОДУ показано на Рисунке 11 (Пример 2). 46 Краевые задачи Краевая задача формулируется следующим образом: пусть на отрезке [a, b] требуется найти решение дифференциального уравнения (для простоты изложение будем вести на примере ОДУ второго порядка): (6) , при граничных условиях у(а) = А, у(b) = В. В этом случае Mathcad предлагает использовать функцию sbval, чтобы найти недостающие начальные условия в точке а. Рисунок 10. Решение краевой задачи Sbval(v, а, b , D, load , Возвращает вектор, содержащий недостающие начальные score) условия в точке а. Вектор v задает начальные приближения,а, bграничные точки интервала решений,D(x, y) функция-вектор с первыми производными неизвестных функций.load(а, v) - функциявектор, возвращающая значение начальных условий в точке а. score(b, y) - функция-вектор, каждый элемент которого содержит разность между начальным условием заданным в точке b, и значением искомого решения в этой точке. После того, как эти недостающие начальные условия будут получены, можно решать обычную задачу с начальными условиями -задачу Коши, используя любую из функций, описанных выше (Рисунок 9).Пример решения краевой задачи показан на Рисунке 10. 47 Символьное решение линейных дифференциальных уравнений Для получения аналитического решения линейных ОДУ в Mathcad необходимо выполнить следующие действия (Пример 1 Рисунка 11): Если вы работаете с пакетом Mathcad 5.0, не забудьте предварительно выполнить команду Symbolic ? Load Symbolic Processor для загрузки символьного процессора.. Пропустите этот пункт, если вы работаете с пакетом Mathcad 6.0.     Напечатать исходное уравнение, используя операторы дифференцирования и комбинацию клавиш [Ctrl]= для печати символа =. Отметив независимую переменную, выполнить прямое преобразование Лапласа Symbolic Ю Transforms Ю Laplaсе Transform (Преобразование Лапласа). Результат для ОДУ выше 1-го порядка будет помещен в буфер обмена. Вызовите его нажав клавишу F4. По результатам преобразования Лапласа “вручную” составить алгебраическое уравнение, приняв обозначенияL = laplace(y(t), t, s), C1 = y(0) и C2 = diff(y(0), 0). Решить составленное алгебраическое уравнение относительно переменной L, используя команду Symbolic Ю Solve for Variable (Решить относительно переменной). Рисунок 11. Некоторые возможности решения ОДУ в Mathcad 48  Отметить переменную s и произведя обратное преобразование Лапласа Symbolic Ю Transforms Ю Inverse Laplace Transform (Обратное преобразование Лапласа) получить решение заданного ОДУ в виде временной зависимости. Порядок выполнения лабораторной работы Задание 1. Решить задачу Коши: с шагом h = 0.1 на отрезке [0, 1]:     , y(0) = 1 методом Эйлера; методом Рунге-Кутта (коэффициенты ki задать как функции от x и y); методом Адамса; используя функцию rkfixed. Варианты задания 1 № f(x, y) № f(x, y) № f(x, y) варианта варианта варианта x+ y 2 y - cos 2 x 2 y + 3 e -x 1 6 11 2x2+2y y - e x/2 + 2 y / 2 - e -x 2 7 12 ex-3y 3 y - 2 sin x y + (cos x) /3 3 8 13 2x y - sin x e -y y-4x+5 4 9 14 y/3-x2 2 sin x + y 2x-y/3-ex 5 10 15 Задание 2. Построить графики решений, полученных методами Эйлера, РунгеКутта, Адамса и с помощью функции rkfixed. Вычислить в точке х = 1 относительную погрешность для каждого метода. Задание 3. Найти аналитическое (точное) решение ОДУ из задания 1 с помощью преобразований Лапласа (команды SymbolicЮ Transforms Ю Laplaсе Transform и Inverse Laplace Transform). Задание 4. Решить задачу Коши для системы ОДУ при заданных начальных условиях на отрезке [0, 2] c шагом h = 0.2. Решать с помощью функции rkfixed. Построить графики функций u(t) и v(t). Варианты задания 4 № Система ОДУ Начальные № Система варианта условия варианта ОДУ u(0) u’(0) v(0) v’(0) 1.5 1.5 1 1 1 9 Начальные условия u(0) u’(0) v(0) v’(0) 2 0 -1 1 2 -1 1 -1.5 3 10 -1 3 1.5 1.5 1 1 11 1.5 1.5 -1 -1 4 1 1.5 0 2 12 -1 0 -2 49 2 1.5 -1.5 0 5 0.5 1.5 -1 2 13 -0.5 1 -1 2 6 0.5 2 1 2 14 0 -2 0 2 7 5 5 -1 1 15 3 3 -1 1 8 1.5 1 3 1 Задание 5. На отрезке [a, b] с использованием функций load, score и sbval преобразовать краевую задачу: = f(x, y, y’) при граничных условиях y(a) = А, y(b) = В к задаче Коши и найти решение заданного ОДУ в 10 промежуточных точках с функции rkfixed. Варианты задания 5 № f(x, y, y’) Граничные варианта условия a b y(a) ex y + cos x 1 2 0 1 -x y sin x + e 2 3 1 2 y cos x + tg x 0 1 0 3 3 x y + cos x 0 1 1 4 x x + e y/(1 - x) 2 4 1 5 x2 y + 1/(1 + x) 1 3 0 6 2 y cos x + cos x 1 2 0 7 (2 + x) y + arctg x 0 3 0 8 (5 - x) y + x 2 4 0 9 -x -x e y+2e 0 1.5 2.4 10 -x e y/x + x -3 -2 3 11 2 2 (x + 1/x) y + 1/x 2 3 0 12 (10 - x) y + x -1 0 2 13 y/x2 + x 1 3 1.5 14 y ln x + 1 + x 7 8 0 15 помощью y(b) 0 0 0.45 0 0.14 0.17 0 0.22 -1.2 0 0 0 0 0 0 Литература 1.Петров И.Б. Лекции по вычислительной математике [Электронный ресурс]: учебное пособие/ Петров И.Б., Лобанов А.И.— Электрон. текстовые данные.— М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, Интернет-Университет Информационных Технологий (ИНТУИТ), 2006.— 523 c.— ЭБС. 2.Пантина, И. В. Вычислительная математика [Электронный ресурс] : учебник / И. В. Пантина, А. В. Синчуков. - 2-е изд., перераб. и доп. - М.: МФПУ Синергия, 2012. - 376 с. (Университетская серия)- ЭБС. 3. Рябенький В.С. Введение в вычислительную математику [Электронный ресурс]: учебное пособие/ Рябенький В.С.— Электрон. текстовые данные.— М.: Физматлит, 2008.— 288 c.— ЭБС. 50 4.4 Образовательные технологии Семестр 5 Вид занятия (Л, ПЗ, ЛР) Л Используемые интерактивные образовательные технологии Проблемная лекция. Количество часов 10 Лекция визуализация. Лекция с ошибками. Лекция – пресс – конференция. ПЗ Работа в группах. Итого: 18 28 5 Перечень учебно-методического обеспечения для самостоятельной работы обучающихся по дисциплине Зализняк, В. Е. Теория и практика по вычислительной математике [Электронный ресурс] : учеб. пособие / В. Е. Зализняк, Г. И. Щепановская. - Красноярск : Сиб. федер. унт, 2012. - 174 с. Гусева, Е. Н. Математика и информатика. Практикум [Электронный ресурс] : Учеб. пособ. / Е. Н. Гусева и др. - 3-е изд., стереотип. - М. : Флинта, 2011.- 406 с. 6 Оценочные средства для текущего контроля успеваемости и промежуточной аттестации Итоговыми формами контроля знаний, умений и навыков по дисциплине является экзамен. Экзамен проводится по вопросам, которые включают два теоретических вопроса и одну практическую задачу. Оценка знаний студентов производится по следующим критериям:  оценка «отлично» выставляется студенту, если он глубоко и прочно усвоил программный материал курса, исчерпывающе, последовательно, четко и логически стройно его излагает, умеет тесно увязывать теорию с практикой, свободно справляется с задачами и вопросами, причем не затрудняется с ответами при видоизменении заданий, правильно обосновывает принятые решения, владеет разносторонними навыками и приемами выполнения практических задач;  оценка «хорошо» выставляется студенту, если он твердо знает материал курса, грамотно и по существу излагает его, не допуская существенных неточностей в ответе на вопрос, правильно применяет теоретические положения при решении практических вопросов и задач, владеет необходимыми навыками и приемами их выполнения;  оценка «удовлетворительно» выставляется студенту, если он имеет знания только основного материала, но не усвоил его деталей, допускает неточности, недостаточно правильные формулировки, нарушения логической последовательности в изложении программного материала, испытывает затруднения при выполнении практических задач;  оценка «неудовлетворительно» выставляется студенту, который не знает значительной части программного материала, допускает существенные ошибки, 51 неуверенно, с большими затруднениями решает практические задачи или не справляется с ними самостоятельно. 6.1 Вопросы для экзамена 1. Схема вычислительного эксперимента. ОК-1, ОК-10 2. Вычислительный алгоритм. ОК-1, ОК-10 3. Погрешности алгоритма. ОК-1, ОК-10 4. Требования к вычислительным методам. ПК-2 5. Постановка задачи решения нелинейных уравнений. ОК-10 6. Метод бисекций. ПК-2 7. Метод простых итераций. Условия сходимости метода. Оценка погрешности. ПК-2 8. Метод Ньютона. Условия сходимости метода. Оценка погрешности. ПК-2,ОК10 9. Решение систем нелинейных уравнений. Постановка задачи. ПК-2,ОК-10 10. Метод простых итераций. Условия сходимости метода. Оценка погрешности. ПК-2,ОК-10 11. Метод Ньютона. Условия сходимости метода. Оценка погрешности. ПК2,ОК-10 12. Решение систем линейных алгебраических уравнений. Точное и приближенное решение. ПК-2,ОК-10 13. Метод Гаусса. Связь метода Гаусса с разложением матрицы на множители. Теорема об LU разложении. ПК-2,ОК-10 14. Метод Гаусса с выбором главного элемента. ОК-10 15. Метод Холецкого (квадратных корней) ОК-10 16. Общая схема итерационных методов. ПК-2 17. Метод Якоби, достаточные условия сходимости. ПК-2 18. Метод Зейделя, достаточные условия сходимости. ПК-2,ОК-10 19. Постановка проблемы собственных значений. ПК-2,ОК-10 20. Прямые методы. Метод Леверрье. ОК-10 21. Степенной метод. ПК-2,ОК-10 22. Метод обратных итераций вычисления собственного вектора. ПК-2,ОК-10 23. Интерполяционный многочлен Лагранжа. Оценка погрешности интерполяционного многочлена. ОК-10 24. Интерполяционные полиномы Ньютона. Интерполяционный многочлен Ньютона для равноотстоящих узлов. Вторая интерполяционная формула Ньютона. Оценка погрешности. ПК-2,ОК-10 25. Интерполирование сплайнами. Сходимость процесса интерполирования кубическими сплайнами. ПК-2,ОК-10 26. Аппроксимация функций методом наименьших квадратов. Постановка задачи. Обобщенный алгоритм. Линейная задача МНК. Применение степенных базисных функций. Сведение нелинейной задачи к линейной. ПК-2,ОК-10 27. Обобщенный многочлен Фурье. ПК-2,ОК-10 28. Постановка задачи численного интегрирования. Простейшие квадратурные формулы прямоугольников, трапеций, Симпсона, оценка погрешности. ОК-1,ОК-10 29. Составные квадратурные формулы прямоугольников, трапеций, Симпсона 30. Квадратурные формулы Гаусса. ПК-2 31. Первая, вторая, третья формулы численного дифференцирования. ПК-2,ОК10 32. Метод неопределенных коэффициентов. ПК-2,ОК-10 33. Постановка задачи Коши. ПК-2,ОК-10 52 34. 35. 36. 37. 38. Семейство одношаговых методов решения задачи Коши. ОК-10 Метод Эйлера. ПК-2,ОК-10 Методы Рунге-Кутты 2-го и 4-го порядка. ПК-2,ОК-10 Понятие многошаговых разностных методов. ПК-2,ОК-10 Устойчивость и сходимость многошаговых разностных методов. ПК-2,ОК- 39. 40. Примеры m-шаговых разностных методов Адамса. ПК-2 Понятие и решение жестких систем ОДУ. ПК-2 10 6.2 Примеры тестов Вариант № 1 1.  0.06 0.02   0 0.05  ,    0.01 0.02 0    0 Вычислите норму матрицы А=   0.03 соответствующую норме вектора ||x||=max|xi|, 1≤i≤n А) ||A||= 0.07 В) ||A||= 0.08 С) ||A||= - 0.04 D) ||A||= 0.04 E) ||A||= - 0.08 2. Вычислите первое приближение х(1) для решения системы 100 x1  6 x 2  2 x3  200  (0) Т 6 x1  200 x 2  10 x3  600 по методу Якоби, при начальном приближении х =(2,6,5)  x  2 x  100 x  500 2 3  1 (1) А) х1 = 2,39; х2(1) =2.98; х3(1) =4.87 В) х1(1) =1.89; х2(1) =3.23; х3(1)=5.19; С) х1(1) = 1.74; х2(1) = 3.19; х3(1) =5.1; D) х1(1) = 1.74; х2(1) = 3.18; х3(1) =5.0; (1) (1) (1) E) х1 =1.79; х2 =3.13; х3 =5.09; 3. Вычислите первое приближение х(1) для решения системы x1  3 8 x1 x2  x23 , x x x2  x2  2  1 . ln x2 ln x1 по методу простых итераций, при начальном приближении x13.8, x22 А) x1(1) =3.751 x2(1) =2.038 В) x1(1) =3.800 x2(1) =2.000 С) x1(1) =3.751 x2(1) =2.077 D) x1(1) =3.711 x2(1) =2.028 E) x1(1) =3.751 x2(1) =2.067 4.Продолжите предложение: «Метод Холецкого применим к …» А) решению СЛАУ В) решению СЛАУ с симметричной матрицей С) решению нелинейных уравнений D) решению систем нелинейных уравнений Е) решению СЛАУ с трехдиагональной матрицей 53 f ( xk ) соответствует методу f ( xk ) А) Ньютона решения нелинейных В) Якоби уравнений С) простых итераций D) хорд Е) бисекций решения нелинейных уравнений 5.Итерационная формула xk 1  xk  6. Выберите верное утверждение для записи А) Матрица А - верхнетреуголная |a m |  | a | jj ij i 1 i j В) Матрица А - симметричная и положительно определенная матрица D) Матрица А - симметричная и положительно определенная матрица с диагональным преобладанием С) Матрица А - симметричная матрица Е) Матрица А - ортогональная 7. Выберите метод, для которого справедливо утверждение: «В исходной системе f(x)=0, x=(x1,…,xm)T, f=(f1,…,fm)T, каждую функцию f i ( x1 , x2 ,..., xn ), где i= 1, m , раскладывают в ряд Тейлора в точке х(n) и заменяют линейной частью её разложения»: А) Метод простых итераций решения В) Метод наискорейшего спуска систем нелинейных уравнений решения систем нелинейных уравнений С) Метод простых итераций решения D) Метод Зейделя решения систем систем линейных уравнений линейных уравнений E) Метод Ньютона решения систем нелинейных уравнений  0.06 0.02   0   8. Вычислите норму матрицы А=   0.03  0.05 0.05  , соответствующую норме   0.01 0.04 0   n вектора ||x||=  | xi | i 1 А) ||A||= 0.07 В) ||A||= 0.13 С) ||A||= 0.15 D) ||A||= - 0.13 E) ||A||= - 0.15 9. Используя метод Ньютона, найдите первое приближение уравнения 4(1  x 2 )  e x  0 , если x ( 0)  0.5 и   0.0001 A) 0.73 B) 0.70424 C) 0.73921 D) 0.7034 E) 0.70343 10. Выберите верное утверждение А) В качестве начального приближения В) Метод Якоби сходится быстрее, чем для метода Гаусса принимают вектор метод Зейделя правых частей 54 С) В качестве начального приближения D) В качестве начального приближения решения СЛАУ для метода простых решения СЛАУ для метода Якоби лучше итераций можно взять абсолютно любой взять вектор правых частей нормальной вектор системы Е) Для решения любых СЛАУ всегда лучше использовать метод Якоби, чем метод Гаусса 7 Учебно-методическое обеспечение дисциплины 7.1 Основная литература 1.Петров И.Б. Лекции по вычислительной математике [Электронный ресурс]: учебное пособие/ Петров И.Б., Лобанов А.И.— Электрон. текстовые данные.— М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, Интернет-Университет Информационных Технологий (ИНТУИТ), 2006.— 523 c.— ЭБС. 2.Пантина, И. В. Вычислительная математика [Электронный ресурс] : учебник / И. В. Пантина, А. В. Синчуков. - 2-е изд., перераб. и доп. - М.: МФПУ Синергия, 2012. - 376 с. (Университетская серия)- ЭБС. 3. Рябенький В.С. Введение в вычислительную математику [Электронный ресурс]: учебное пособие/ Рябенький В.С.— Электрон. текстовые данные.— М.: Физматлит, 2008.— 288 c.— ЭБС. 7.2 Дополнительная литература 1. Бахвалов, Н. С. Численные методы [Текст] : учеб. пособие для вузов / Н. С. Бахвалов, Н. П. Жидков, Г. М. Кобельков ; МГУ им. М. В. Ломоносова.- 6-е изд. - М. : Бином, 2008. - 636 с. - (Классический университетский учебник). - Библиогр.: с. 624-628. Предм. указ.: с. 629-632. - ISBN 978-5-94774-8152. Боглаев Ю.П. Вычислительная математика и программирование, 1990г. 3. Вержбицкий, В. М. Основы численных методов [Текст] : учеб. для вузов / В. М. Вержбицкий . - М. : Высш. школа, 2002. - 840 с. : ил. - ISBN 5-06-004020-8. 4. Каханер, Д. Численные методы и программное обеспечение = Numerical Methods and Software [Текст] / Д. Каханер, К. Моулер, С. Нэш ; пер. с англ. под ред. Х. Д. Икрамова .- 2-е изд., стер. - М. : Мир, 2001. - 575 с. : ил.. - Парал. тит. л. на англ. яз. Библиогр.: с. 555-559. - Указ.: с. 560-570. - ISBN 5-03-003392-0. 5. Козлов, В. Н. Основы вычислительной математики [Текст] : учеб. пособие для студентов вузов / В. Н. Козлов, А. И. Акимов, В. В. Тугов; М-во образования и науки Рос. Федерации, Федер. агентство по образованию; Гос. образоват. учреждение высш. проф. образования "Оренбург. гос. ун-т". - Оренбург : ИПК ГОУ ОГУ, 2009. - 112 с. : ил. Библиогр.: с. 111. - ISBN 978-5-7410-1015-0. 6. Копченова, Н. В. Вычислительная математика в примерах и задачах [Текст] : учеб. пособие для студентов вузов / Н. В. Копченова, И. А. Марон .- 3-е изд., стер. - СПб. : Лань, 2009. - 368 с. - (Классическая учебная литература по математике). - Библиогр.: с. 365-367. ISBN 978-5-8114-0801-6. 7. Костомаров, Д. П. Вводные лекции по численным методам [Текст] : учеб. пособие для вузов / Д. П. Костомаров, А. П. Фаворский . - М. : Логос, 2006. - 184 с. : ил.. (Классический университетский учебник). - Предм. указ.: с. 181-182. - Имен. указ.: с. 183. - Библиогр.: с. 184. - ISBN 5-98704-160-0. 8. Лебедев, В. И. Функциональный анализ и вычислительная математика [Текст] : учеб. пособие для вузов / В. И. Лебедев .- 4-е изд., испр. и доп. - М. : Физматлит, 2000. 296 с. : ил.. - Библиогр.: с. 285-287. - Предм. указ.: с. 288-292. - ISBN 5-9221-0092-0. 55 9. Марчук, Г. И. Методы вычислительной математики [Текст] : учеб. пособие / Г. И. Марчук.- 4-е изд., стер. - СПб. : Лань, 2009. - 608 с. - (Классическая учебная литература по математике). - Библиогр.: с. 575-608. - ISBN 978-5-8114-0892-4. 10. Петухова, Т. П. Сборник тестовых вопросов для самоконтроля по дисциплине "Вычислительная математика" [Текст] / Т. П. Петухова, Г. В. Ефимушкина. Е. А. Шнякина; М-во образования и науки Рос. Федерации, Федер. агентство по образованию, Гос. образоват. учреждение высш. проф. образования "Оренбург. гос. ун-т". - Оренбург : ГОУ ОГУ, 2005. - 76 с 11. Плис А.И., Сливина Н.А. Лабораторный практикум по высшей математике – М.: Высшая школа, 1994 – 416 с. 12. Поршнев, С.В. Вычислительная математика [Текст] : курс лекций: учеб. пособие для вузов / С. В. Поршнев . - CПб. : БХВ-Петербург, 2004. - 320 с. - Библиогр.: с. 303-304. ISBN 5-94157-400-2. 13. Фаддеев, М. А. Основные методы вычислительной математики [Текст] : учеб. пособие / М. А. Фаддеев, К. А. Марков . - СПб. : Лань, 2008. - 155 с. : ил.. - (Учебники для вузов. Специальная литература). - Прил.: с. 146-151. - Библиогр.: с. 152. - ISBN 978-58114-0813-9. 7.3 Периодические издания Журнал: «Информационные технологии» 8. Перечень ресурсов информационно-телекоммуникационной сети "Интернет" (далее - сеть "Интернет"), необходимых для освоения дисциплины (модуля) 1 http://num-meth.srcc.msu.ru/ Журнал вычислительные методы и программирование 2 http://elibrary.ru/query_results.asp?pagenum=2 Библиотека статей в разных журналах 3 http://www.en.edu.ru/catalogue/766 Естественно-научный образовательный портал. Вычислительная математика 4 http://ru.wikipedia.org/wiki/Вычислительная_математика Многоязычная энциклопедия - Википедия 5 http://www.intuit.ru/catalog/mathematics/ Интернет-университет информационных технологий. Курсы по математике 9. Методические указания для обучающихся по освоению дисциплины (модуля) Общие рекомендации по самостоятельной работе студентов 1. Советы по планированию и организации времени, необходимого для изучения дисциплины. При контроле знаний основное внимание уделяется способности студентов применять полученные знания на практических задачах. Поэтому при самостоятельной работе студент должен уделять внимание решению задач. Обычно, самостоятельной работе предшествуют занятия в аудитории. При решении задач необходимо анализировать те или иные алгоритмы, которые применялись при решении подобных задач на аудиторных занятиях, пытаться построить логическую схему доказательства. Если задача сразу не получается, то отложить ее на некоторое время, рассмотреть другие задачи, но обязательно вернуться и попытаться решить отложенную задачу попозже. Усвоить материал раздела курса можно только решив достаточный по объему набор задач по данному разделу. При чтении теоретического материала необходимо попытаться вникнуть в содержание определений, 56 попробовать построить собственные примеры на данное определение. Необходимо уметь связывать различные определения и понятия в одно целое. Рекомендуется следующим образом организовать время, необходимое для изучения дисциплины: Изучение конспекта лекции в тот же день, после лекции – 10-15 минут. Изучение конспекта лекции за день перед следующей лекцией – 10-15 минут. Изучение теоретического материала по учебнику и конспекту – 1 час в неделю. Подготовка к практическому занятию – 1 час. Всего в неделю – 3 часа 25 минут. 2. Описание последовательности действий студента («сценарий изучения дисциплины»). При изучении дисциплины «Вычислительная математика» очень полезно самостоятельно изучать материал, который еще не прочитан на лекции. Тогда лекция будет гораздо понятнее. Однако легче при изучении курса следовать изложению материала на лекции. Для понимания материала и качественного его усвоения рекомендуется такая последовательность действий: 1. После прослушивания лекции и окончания учебных занятий, при подготовке к занятиям следующего дня, нужно сначала просмотреть и обдумать текст лекции, прослушанной сегодня (10-15 минут). 2. При подготовке к лекции следующего дня, нужно просмотреть текст предыдущей лекции, подумать о том, какая может быть тема следующей лекции (10-15 минут). 3. В течение недели выбрать время (1 час) для работы с литературой по вычислительной математике в библиотеке или сети Интернет. 4. При подготовке к практическим занятиям следующего дня, необходимо сначалапрочитать основные понятия и теоремы по теме домашнего задания. При выполнении упражнения или задачи нужно сначала понять, что требуется в задаче, какой теоретический материал нужно использовать, наметить план решения задачи. Если это не дало результатов, и Вы сделали задачу «по образцу» аудиторной задачи, или из методического пособия, нужно после решения такой задачи обдумать ход решения и опробовать решить аналогичную задачу самостоятельно. 3. Рекомендации по использованию материалов учебно-методического комплекса. Рекомендуется использовать текст лекций преподавателя. Кроме того, в материалах УМК представлены примерные варианты проверочных работ, что позволит студенту быть более готовым к их выполнению на очередном практическом занятии. 4. Рекомендации по работе с литературой. Теоретический материал курса становится более понятным, когда дополнительно к прослушиванию лекции и изучению конспекта, изучаются и книги по вычислительной математике в библиотеке. Полезно использовать несколько учебников. Однако легче освоить курс, придерживаясь одного учебника и конспекта. Рекомендуется, кроме «заучивания» материала, добиться состояния понимания изучаемой темы дисциплины. С этой целью рекомендуется после изучения очередного параграфа выполнить несколько простых упражнений на данную тему. 5.Советы по подготовке к зачету. Прежде всего необходимо ознакомится со списком экзаменационных вопросов. Затем разбить список на столько равных частей, сколько дней отведено для подготовки к экзамену. В каждый день подготовки, не отвлекаясь, необходимо выучить определенное графиком число экзаменационных вопросов. Если материал не понятен, отметить это место в конспекте закладкой, с целью уточнения у преподавателя на консультации перед экзаменом. В последний день подготовки желательно выделить время для повторения выученного материала. 6. Указания по организации работы с контрольно-измерительными материалами, по выполнению домашних заданий. При выполнении домашних заданий необходимо сначала прочитать основные понятия и теоремы по теме домашнего задания. При выполнении упражнения или задачи нужно сначала понять, что требуется в задаче, какой 57 теоретический материал нужно использовать, наметить план решения задачи. Если это не дало результатов, и Вы сделали задачу «по образцу» аудиторной задачи, или из методического пособия, нужно после решения такой задачи обдумать ход решения и опробовать решить аналогичную задачу самостоятельно. 7. Методические рекомендации по выполнению учебных проектов. Учебные проекты готовятся студентами индивидуально или небольшими группами по 2-3 человека. По результатам разработки проекта готовится презентация в Microsoft PowerPoint (10-15 слайдов) и доклад (в пределах 5 минут). На слайды презентации рекомендуется выносить рисунки, таблицы, схемы, в виде текста только основные положения доклада. Студенты выбирают темы учебных проектов согласно порядковому номеру в журнале. Структура презентации учебного проекта студентов данных специальностей: титульный лист (1 слайд); теоретическая часть, раскрывающая суть темы (8-13 слайдов); заключение, в котором излагаются собственные выводы и предложения автора (1 слайд). Защита проекта происходит в форме краткого доклада на занятии и ответов на вопросы преподавателя и студентов по данному докладу. Критериями оценки учебных проектов являются оформление, содержание (концептуальность, логичность и конструктивность работы) и форма подачи (доклад, ответы на вопросы). 10. Перечень информационных технологий, используемых при осуществлении образовательного процесса по дисциплине (модулю), включая перечень программного обеспечения и информационных справочных систем (при необходимости) В процессе лекционных и семинарских занятий используется следующее про граммное обеспечение: - программы, обеспечивающие доступ в сеть Интернет (например, «Google chrome»); - программы, демонстрации видео материалов (например, проигрыватель « Windows Media Player»); - программы для демонстрации и создания презентаций (например, «Microsoft PowerPoint»). 11. Описание материально-технической базы, необходимой для осуществления образовательного процесса по дисциплине (модулю) 1. Компьютерный класс, оснащенный современной техникой (PENTIUM 3, PENTIUM 4, INTEL CORE 2) 2. LCD – проектор EPSON EMP-X3; 3. Ноутбук ASUS A6RP; 4. Экран для проектора ЭКСКЛЮЗИВ MW 213*213. 58

АВТОНОМНАЯ НЕКОММЕРЧЕСКАЯ ОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ ОРГАНИЗАЦИЯ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ « ИНДУСТРИАЛЬНЫЙ ИНСТИТУТ »

Похожие документы

Разделы

Поддержка

АВТОНОМНАЯ НЕКОММЕРЧЕСКАЯ ОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ ОРГАНИЗАЦИЯ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ « ИНДУСТРИАЛЬНЫЙ ИНСТИТУТ »

Похожие документы

Добавить этот документ в коллекции

Добавить этот документ в сохраненные

Предложите, как улучшить StudyLib