Экстремумы ФНП, наиб. и наим. значения

§ 8. ЭКСТРЕМУМЫ, НАИБОЛЬШЕЕ И НАИМЕНЬШЕЕ
ЗНАЧЕНИЯ ФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ.
1. Экстремумы функций нескольких переменных.
Пусть функция двух переменных z  f ( x, y ) определена в некоторой
области D плоскости XOY , M 0 ( x0 , y 0 ) – точка этой области.
Точка M 0 ( x0 , y 0 ) называется точкой максимума функции
f ( x, y ) , если для любой точки M ( x, y) из некоторой окрестности точки
M 0 выполняется неравенство
f ( x, y )  f ( x0 , y 0 ) .
Аналогично точка M 0 ( x0 , y 0 ) называется точкой минимума
функции f ( x, y ) , если для любой точки M ( x, y) из некоторой окрестности точки M 0 выполняется неравенство
f ( x, y )  f ( x0 , y 0 ) .
Замечания. 1) По смыслу определений функция f ( x, y ) должна быть
определена в некоторой окрестности точки M 0 . Т.е. точкой максимума и точкой минимума функции f ( x, y ) могут быть только внутренние точки области D .
2) Если существует окрестность точки M 0 ( x0 , y 0 ) , в которой
для любой точки M ( x, y) отличной от M 0 выполняется неравенство f ( x, y )  f ( x0 , y 0 ) ( f ( x, y )  f ( x0 , y 0 ) ), то точку M 0 называют точкой строгого максимума (соответственно точкой строгого
минимума) функции f ( x, y ) . В связи с этим, определенные выше
точки максимума и минимума называют иногда точками нестрого
максимума и минимума.
Точки максимума и минимума функции называются ее точками
экстремума. Значения функции в точках максимума и минимума называются соответственно максимумами и минимумами, или, короче,
экстремумами этой функции.
Понятия экстремумов носят локальный характер: значение функции в
точке M 0 ( x0 , y 0 ) сравнивается со значениями функции в достаточно
близких точках. В данной области функция может совсем не иметь экстремумов, а может иметь несколько минимумов, несколько максимумов и
даже бесчисленное множество и тех и других. При этом некоторые минимумы могут оказаться больше некоторых ее максимумов. Не следует смешивать максимумы и минимумы функции с ее наибольшим и наименьшим
значениями.
36
Найдем необходимое условие экстремума. Пусть, например,
M 0 ( x0 , y 0 ) – точка максимума функции z  f ( x, y ) . Тогда по определеM 0 ( x0 , y 0 )
нию существует
такая, что
 -окрестность точки
f ( M )  f ( M 0 ) для любой точки M из этой окрестности. В частности,
f ( M1 )  f ( M 0 )
(1)
где M1 ( x, y0 ) , x  ( x0   , x0   ) , и
f (M 2 )  f (M 0 )
(2)
где M 2 ( x0 , y ) , y  ( y0   , y0   ) . Но (1) означает, что функция одной
переменной f ( x, y0 ) имеет в точке x0 максимум или является на интервале ( x0   , x0   ) постоянной. Следовательно,
df ( x, y0 )
df ( x, y0 )
 0 или
– не существует,
dx
dx
x  x0
x  x0
f ( x0 , y0 )
f ( x0 , y0 )
– не существует.
 0 или
x
x
Аналогично из (2) получаем, что
f ( x0 , y0 )
f ( x0 , y0 )
– не существует.
 0 или
y
y
Таким образом, справедлива следующая теорема.
⇒
ТЕОРЕМА 8.1. (необходимые условия экстремума). Если функция
z  f ( x, y) в точке M 0 ( x0 , y 0 ) имеет экстремум, то в этой точке либо
обе ее частные производные первого порядка равны нулю, либо хотя бы
одна из этих частных производных не существует.
Геометрически теорема 8.1 означает, что если M 0 ( x0 , y 0 ) – точка
экстремума функции z  f ( x, y ) , то касательная плоскость к графику этой
функции в точке P0 ( x0 , y0 , f ( x0 , y0 )) либо параллельна плоскости XOY ,
либо вообще не существует. Чтобы убедиться в этом, достаточно вспомнить, как найти уравнение касательной плоскости к поверхности (см. формулу (4.6)).
Точки, удовлетворяющие условиям теоремы 8.1, называются критическими точками функции z  f ( x, y ) . Также как и для функции одной
переменной, необходимые условия экстремума не является достаточным.
Т.е. не всякая критическая точка функции будет ее точкой экстремума.
ПРИМЕР. Рассмотрим функцию z  x 2  y 2 . Точка (0; 0) является
для этой функции критической, так как в этой точке обе ее частные производные первого порядка z x  2 x и z x  2 y равны нулю. Однако она не
будет точкой экстремума. Действительно, z(0; 0)  0 , но в любой окрестности точки (0; 0) есть точки, в которых функция принимает положитель37
ные значения и точки, в которых функция принимает отрицательные значения. В этом легко убедиться, если построить график функции – гиперболический параболоид.
Для функции двух переменных наиболее удобные достаточные условия дает следующая теорема.
ТЕОРЕМА 8.2. (достаточные условия экстремума функции двух переменных). Пусть M 0 ( x0 , y 0 ) – критическая точка функции z  f ( x, y )
и в некоторой окрестности точки M 0 ( x0 , y 0 ) функция имеет непрерывные частные производные до второго порядка включительно. Обозначим
A  f xx ( x0 , y 0 ) , B  f xy ( x0 , y0 ) , C  f yy ( x0 , y0 ) .
Тогда
1) если A  C  B 2  0 , то точка ( x0 , y0 ) не является точкой
экстремума;
2) если A  C  B 2  0 и A  0 , то в точке M 0 ( x0 , y 0 ) функция
имеет минимум;
3) если A  C  B 2  0 и A  0 , то в точке M 0 ( x0 , y 0 ) функция
имеет максимум;
4) если A  C  B 2  0 , то никакого заключения о критической
точке M 0 ( x0 , y 0 ) сделать нельзя и требуются дополнительные исследования.
Если с помощью теоремы 8.2 исследовать критическую точку ( x0 , y0 )
не удалось (т.е. если A  C  B 2  0 или функция вообще не имеет в
окрестности точки M 0 ( x0 , y 0 ) непрерывных частных производных нужного порядка), ответ на вопрос о наличии в точке M 0 ( x0 , y 0 ) экстремума
даст знак приращения функции в этой точке.
Действительно, из определения следует, что если функция z  f ( x, y )
имеет в точке M 0 ( x0 , y 0 ) строгий максимум, то
f ( x, y )  f ( x0 , y 0 )  0
для всех точек ( x, y ) из некоторой окрестности точки M 0 ( x0 , y 0 ) , или,
f ( x0 , y 0 )  0
иначе
при всех достаточно малых x и y . Аналогично, если M 0 ( x0 , y 0 ) –
точка строгого минимума, то при всех достаточно малых x и y будет
f ( x0 , y 0 )  0 .
выполняться неравенство
Таким образом, чтобы выяснить, является ли критическая точка
M 0 ( x0 , y 0 ) точкой экстремума, необходимо исследовать приращение
функции в этой точке. Если при всех достаточно малых x и y оно
38
будет сохранять знак, то в точке M 0 ( x0 , y 0 ) функция имеет строгий экстремум (минимум, если f ( x0 , y 0 )  0 , и максимум, если f ( x0 , y 0 )  0 ).
Замечание. Правило остается верным и для нестрого экстремума, но с поправкой, что при некоторых значениях x и y приращение функции будет нулевым
ПРИМЕР. Найти экстремумы функций:
1) z  x 3  y 3  3xy ;
2) z  ( x  y ) 2  ( y  1) 3 .
1) Функция z  x 3  y 3  3xy определена всюду. Ее частные производные первого порядка z x  3x 2  3 y и z y  3 y 2  3x тоже существуют всюду. Решая систему уравнений z x  0 , z y  0 найдем две критические точки M 1 (1; 1) и M 2 (0; 0) .
Для исследования критических точек применим теорему 8.2. Имеем:
z xx  6 x , z xy  3 , z yy  6 y .
Исследуем точку M 1 (1; 1) :
A  z xx x 1, y 1  6 , B  zxy
 3 , C  zyy
 6,
x 1, y 1
x 1, y 1
2
A  C  B  36  9  27  0 ; A  0 .
Следовательно, в точке M 1 (1; 1) данная функция имеет минимум, а
именно z min  z (1;1)  1 .
Исследуем критическую точку M 2 (0; 0) :
A  0 , B  3 , C  0 ,  A  C  B 2   9  0 .
Следовательно, вторая критическая точка не является точкой экстремума функции.
2) Функция z  ( x  y ) 2  ( y  1) 3 определена всюду. Ее частные производные первого порядка z x  2( x  y ) и z y  2( x  y )  3( y  1) 2 тоже
существуют всюду. Решая систему уравнений z x  0 , z y  0 найдем
единственную критическую точку M 1 (1; 1) .
Для исследования критической точки применим теорему 8.2. Имеем:
z xx  2 , z xy  2 , z yy  2  6( y  1) ,
 A  C  B2  0 .
A  2 , B  2 , C  2 ,
Установить наличие или отсутствие экстремума в точке M 1 (1; 1) с
помощью теоремы 8.2 не удалось.
Исследуем знак приращения функции в точке M 1 (1; 1) :
z ( M 1 )  f (1  x;1  y )  f (1;1) 
39
 (1 x )  (1 y )   (1 y ) 1  0  ( x  y ) 2  ( y ) 3 .
z ( M 1 )  ( y ) 3  0 ;
Если x  y  0 , то
2
3
z ( M 1 )  ( y ) 3  0 .
если x  y  0 , то
Поскольку z ( M 1 ) не сохраняет знак в окрестности точки M 1 (1; 1) ,
то в этой точке функция не имеет экстремума.
Определения максимума и минимума и необходимые условия экстремума легко переносятся на функции трех и более числа переменных. Достаточные условия экстремума для функции n ( n  2 ) переменных ввиду
их сложности в данном курсе не рассматриваются. Определять характер
критических точек в этом случае мы будем по знаку приращения функции.
2. Наибольшее и наименьшее значения функции.
Пусть функция двух переменных z  f ( x, y ) определена в некоторой
области D плоскости XOY , M 1 ( x1 , y1 ) , M 2 ( x2 , y2 ) – точки этой области.
Значение функции в точке M 1 ( x1 , y1 ) называется наибольшим, если для
любой точки M ( x, y) из области D выполняется неравенство
f ( x, y )  f ( x1 , y1 ) .
M 2 ( x2 , y2 ) называется
Аналогично значение функции в точке
наименьшим, если для любой точки M ( x, y) из области D выполняется неравенство
f ( x, y )  f ( x2 , y 2 ) .
Ранее, мы уже говорили, что если функция непрерывна, а область D –
замкнута и ограничена, то функция принимает в этой области свое
наибольшее и наименьшее значения. При этом точки M 1 ( x1 , y1 ) и
M 2 ( x2 , y2 ) могут лежать как внутри области D , так и на ее границе. Если
точка M 1 ( x1 , y1 ) (или M 2 ( x2 , y2 ) ) лежит внутри области D , то это будет точка максимума (минимума) функции z  f ( x, y ) , т.е. критическая
точка функции внутри области D . Поэтому для нахождения наибольшего
и наименьшего значений функции z  f ( x, y ) в области D нужно:
1) найти все критические точки функции внутри области D ;
2) вычислить значения функции в критических точках;
3) найти наибольшее и наименьшее значения функции на границе области D ;
4) из всех полученных таким образом значений функции выбрать
наибольшее и наименьшее.
40
ПРИМЕР. Найти наибольшее и наименьшее значения функции
z  3x 2  3 y 2  2 x  2 y  2 в замкнутой области, ограниченной линиями
x  0 , y  0 , x  y  1.
1) Ищем критические точки функции внутри области. Имеем:
z x  6 x  2 ,
z y  6 y  2
 z x  6 x  2  0
1
1
 x , y .
 
3
3
z y  6 y  2  0
1 1
Итак, внутри области находится только одна критическая точка M 1  ;  .
 3 3
4
Значение функции в этой точке z( M 1 )  .
3
2) Найдем наибольшее и наименьшее значения функции на границе
области. Область – треугольник с вершинами A(0;1) , O(0; 0) , B(1; 0) . Граница состоит из трех отрезков, каждый из которых задается своим уравнением. Необходимо рассмотреть каждый из этих отрезков.
Рассмотрим отрезок OA . Его уравнение x  0 , т.е. на этом отрезке
z  3 y 2  2 y  2 ( 0  y  1). Это функция одной переменной y и она
может достигать своего наибольшего и наименьшего значений либо на
концах отрезка, т.е. при y  0 или y  1 , либо в тех точках, в которых
ее производная z   6 y  2 обращается в ноль. В итоге получили, что
наибольшее и наименьшее значения исходная функция может принять на
1
отрезке OA в трех точках: O(0; 0) , A(0;1) и M 2  0;  . Вычислим в них
 3
5
значения функции: z(O)  2 , z( A)  3 , z( M 2 )  .
3
Рассмотрев аналогичным образом отрезки OB и AB , мы получим
1
1 1
еще три «подозрительные» точки: B(1; 0) , M 3  ; 0  и M 4  ;  . Значе3 
2 2
5
5
ния функции в этих точках: z( B)  3 , z( M 3 )  , z ( M 4 )  .
2
3
Сравнивая значения функции во всех найденных точках, приходим к
выводу, что наибольшее значение функция z  3x 2  3 y 2  2 x  2 y  2 в
данной области равно 3 и достигается в точках A и B , а наименьшее
4
значение равно
и достигается в точке M 1 .
3
41