Дополнительные разделы математического анализа

РОССИЙСКАЯ ФЕДЕРАЦИЯ
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
ТЮМЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
«УТВЕРЖДАЮ»:
Проректор по учебной работе
_______________________ /Л.М.Волосникова/
__________ _____________ 2013г.
ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ РАЗДЕЛЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА
Учебно-методический комплекс.
Рабочая программа для студентов очной формы обучения
специальности 090301.65 «Компьютерная безопасность»
«ПОДГОТОВЛЕНО К ИЗДАНИЮ»:
Автор работы
/Латфуллин Т.Г. /
«______»___________2013 г.
Рассмотрено на заседании кафедры математического анализа и теории функций,
протокол № от
«РЕКОМЕНДОВАНО К ЭЛЕКТРОННОМУ ИЗДАНИЮ»:
Соответствует требованиям к содержанию, структуре и оформлению.
Объем стр.
Зав. кафедрой
________/ Хохлов А.Г./
Рассмотрено на заседании УМК
Соответствует ФГОС ВПО и учебному плану образовательной программы.
«СОГЛАСОВАНО»:
Председатель УМК ________________________/Гаврилова Н.М./
«СОГЛАСОВАНО»:
Директор ИБЦ____________________________/Ульянова Е.А./
«______»_____________2013г.
«СОГЛАСОВАНО»:
И.О. зав. методическим отделом УМУ____________/ Фарафонова И.Ю./
«______»_____________2013г.
РОССИЙСКАЯ ФЕДЕРАЦИЯ
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
ТЮМЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
Институт математики и компьютерных наук.
Кафедра математического анализа и теории функций.
Латфуллин Т.Г.
ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ РАЗДЕЛЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА
Учебно-методический комплекс.
Рабочая программа для студентов очной формы обучения
специальности 090301.65 «Компьютерная безопасность»
Тюменский государственный университет
2013
2
Т.Г. Латфуллин. Дополнительные разделы математического
анализа Учебно-методический комплекс. Рабочая программа для студентов
очной формы обучения специальности 090301.65 «Компьютерная
безопасность»
.
Тюмень, 2013, 13 стр.
Рабочая программа составлена в соответствии с требованиями ГОС
ВПО по направлению и профилю подготовки.
Рабочая программа дисциплины опубликована на сайте ТюмГУ:
Дополнительные разделы математического анализа [электронный ресурс] /
Режим доступа: http://www.umk3.utmn.ru, свободный.
Рекомендовано к изданию кафедрой математического анализа и теории
функций. Утверждено проректором по учебной работе Тюменского
государственного университета.
ОТВЕТСТВЕННЫЙ РЕДАКТОР: А.Г.Хохлов, к.ф.-м.н., зав. кафедрой
математического анализа и теории функций.
© Тюменский государственный университет, 2013.
© Латфуллин Т.Г., 2013.
3
Учебно-методический комплекс. Рабочая программа включает следующие разделы:
1. Пояснительная записка
Цели и задачи дисциплины (модуля)
Систематично изложить основы теории меры и интеграла Лебега. Обеспечить усвоение
студентами основных разделов и методов теории. Научить студентов применять эти
методы при выполнении курсовой и квалификационной работы, а также в их дальнейшей
практической деятельности. Создать у студентов достаточную теоретическую базу и
сформировать практические навыки для понимания математических конструкций,
использующих меру и интеграл Лебега.
Для успешного усвоения курса студент обязан свободно владеть всеми методами
математического анализа, теорией функций комплексного переменного.
2.
Структура и трудоемкость дисциплины.
Семестр 3 Форма промежуточной аттестации экзамен.
Общая трудоемкость
дисциплины составляет 120 часов. Учебным планом предусмотрена контрольная работа.
3.
Тематический план.
Таблица 1
3
4
Метрические пространства
Открытые и замкнутые
множества, полнота
Отображения метрических
пространств
Системы множеств
Семинарские
(практические)
занятия*
1
2
2
Модуль 1
Лекции*
1
недели семестра
Тема
Самостоятельная
работа*
№
Итого часов по теме
Тематический план
3
4
5
6
7
9
1
2-3
2
4
2
1
4
3
8
9
0-8
0-8
4
2
1
4
7
0-6
5
2
10
1
5
3
14
8
32
0-8
0-30
6-7
4
2
4
8
0-10
8-9
4
2
4
8
0-10
1012
6
3
8
12
0-10
14
7
16
28
0-30
4
2
6
12
0-15
4
2
6
12
0-10
4
2
4
10
0-15
Всего
Итого
количество
баллов
Модуль 2
1
2
3
Мера элементарных множеств.
Внешняя мера.
Измеримые множества. Мера
Лебега.
Свойства измеримых множеств.
Всего
Модуль 3
1
Измеримые функции
2
Интеграл Лебега
3
Интеграл Стилтьеса
1314
1516
17-
4
18
Всего
Итого (часов, баллов):
12
36
6
18
16
46
34
100
0-40
0-100
Таблица 2
Виды и формы оценочных средств в период текущего контроля
устный опрос
Модуль 1
1.Метрические
пространства
2.Открытые и замкнутые
множества, полнота
3.Отображения
метрических пространств
4.Системы множеств
Всего
Модуль 2
1. Мера элементарных
множеств. Внешняя мера.
2. Измеримые множества.
Мера Лебега.
3. Свойства измеримых
множеств.
Всего
Модуль 3
Измеримые функции
Интеграл Лебега
Интеграл Стилтьеса
Всего
Итого
письменные работы
контрольная
работа
коллоквиумы
№ темы
Итого количество баллов
0-8
0-8
0-8
0-8
0-6
0-6
0-8
0-30
0-8
0-30
0-10
0-10
0
0-10
0-10
0-10
0-10
0-20
0-30
0-10
0-5
0-10
0-5
0-20
0-70
0-15
0-10
0-15
0-40
0-100
-
0-10
0-10
0-20
0-30
Таблица 3
Планирование самостоятельной работы студентов
№
Модули и темы
Виды СРС
обязательные
дополнительные
Неделя
семестра
Объем
часов
Кол-во
баллов
1
4
0-8
2-3
3
0-8
Модуль 1
1.1
Метрические
пространства
1.2
Открытые и замкнутые
множества, полнота
Работа
с
лекционным
материалом,подг
отовка
к
контрольной
работе.
работа
с
лекционным
материалом,подг
отовка
к
контрольной
работе.
опытное
моделирование
5
1.3
Отображения
метрических
пространств
1.4
Системы множеств
работа
с
литературой,
источниками,под
готовка
к
контрольной
работе.
работа
с
лекционным
материалом,
литературой,под
готовка
к
контрольной
работе.
Всего по модулю 1:
опытное
моделирование
4
4
0-6
5
3
0-8
5
14
0-30
6-7
4
0-10
8-9
4
0-10
10-12
8
0-10
7
16
0-30
13-14
6
0-15
15-16
6
0-10
17-18
4
0-15
6
16
0-40
46
0-100
Модуль 2
2.1
Мера элементарных
множеств. Внешняя
мера.
2.2
Измеримые множества.
Мера Лебега.
Свойства измеримых
множеств.
работа
с
лекционным
материалом,
литературой,под
готовка
к
контрольной
работе.
работа
с
лекционным
материалом,
литературой,
подготовка
к
контрольной
работе
и
коллоквиуму.
работа
с
лекционным
материалом,
литературой,
подготовка
к
контрольной
работе
и
коллоквиуму.
Всего по модулю 2:
Модуль 3
3.1
Измеримые
3.2
функции
Интеграл Лебега
Интеграл Стилтьеса
Всего по модулю 3:
ИТОГО:
работа
лекционным
материалом,
литературой,
подготовка
контрольной
работе
коллоквиуму.
.
работа
лекционным
материалом,
литературой,
подготовка
контрольной
работе
коллоквиуму
работа
лекционным
материалом,
литературой,
подготовка
контрольной
работе
коллоквиуму
с
к
и
с
к
и
с
к
и
6
4.
Разделы дисциплины и междисциплинарные связи с обеспечиваемыми
(последующими) дисциплинами
№
п/п
1.
Наименование
обеспечиваемых
Теория вероятностей и
математическая
статистика
5.
Содержание дисциплины.
Модуль 1
1.2
1.3
1.4
2.2
3.1
+
+
+
+
+
3.2
+
1.1 Метрические пространства
Определение и примеры метрических пространств; нормированные
пространства как метрические. Гильбертовы пространства.
1.2 Открытые и замкнутые множества, полнота
Открытые и замкнутые множества; компактные множества, связные
множества. Полные пространства, пополнение метрических пространств.
Теорема о вложенных шарах;
1.3 Отображения метрических пространств
Предел отображений метрических пространств. Непрерывные
отображения, отображения, удовлетворяющие условию Липшица. Теорема о
сжимающих отображениях.
1.4 Системы множеств
Системы множеств: полукольцо, кольцо, алгебра, сигма-алгебра. Понятие
меры на сигма-алгебре.
Модуль 2
2.1 . Мера элементарных множеств. Внешняя мера.
Элементарные множества в n-мерном пространстве и их мера. Внешняя
мера, измеримые множества. Счетная полуаддитивность внешней меры.
2.2 Измеримые множества. Мера Лебега.
Мера Лебега. Аддитивность и счетная аддитивность меры Лебега. Понятие
"почти всюду".
2.3 Свойства измеримых множеств
7
Система измеримых подмножеств куба образует алгебру, система измеримых
подмножеств куба образует сигма-алгебру. Измеримость и мера
неограниченных множеств.
.
Модуль 3
3.1 Измеримые функции
Определения и примеры измеримых функций. Предел последовательности
измеримых функций есть измеримая функция. Теорема Егорова. Сходимость
по мере.
3.2 Интеграл Лебега
Интеграл Лебега от простых функций. Интеграл Лебега от функций, не
являющимися простыми. Предельный переход в интеграле, теоремы Лебега,
Леви и Фату. Сравнение интегралов Римана и Лебега. Кратное
интегрирование, теорема Фубини.
3.3 Интеграл Стилтьеса
Функции ограниченной вариации и абсолютно непрерывные функции.
Представление функции ограниченной вариации как разности двух
монотонных функций. Длина параметризованной кривой. Интеграл РиманаСтилтьеса. Достаточные условия для интегрируемости функции по
Стилтьесу. Интеграл Лебега-Стилтьеса.
Планы семинарских занятий.
Модуль 1
1.1 Метрические пространства
Проверка аксиом метрики. Вычисление расстояний. Свойства шаров.
1.2 Открытые и замкнутые множества, полнота
Проверка открытости и замкнутости множеств. Доказательство полноты
конкретных пространств.
1.3 Отображения метрических пространств
Доказательство непрерывности отображений. Проверка сходимости
итерационного процесса.
1.4 Системы множеств
Анализ условий, определяющих кольцо множеств. Примеры колец и
алгебр.
6.
Модуль 2
2.1 Мера элементарных множеств. Внешняя мера.
8
Вычисление внешней меры некоторых множеств. Исследование
множеств меры ноль.
2.2 Измеримые множества. Мера Лебега.
Вычисление меры Лебега конкретных множеств. Примеры неизмеримых
множеств.
2.3 Свойства измеримых множеств
Применение свойств меры Лебега при вычислении меры конкретных
множеств.
Модуль 3
3.1 Измеримые функции
Доказательство измеримости конкретных
функций. Примеры
неизмеримых функций.
3.2 Интеграл Лебега
Вычисление интеграла Лебега от простых функций. Предельный переход в
интеграле, теоремы Лебега, Леви и Фату. Сравнение интегралов Римана и
Лебега. Кратное интегрирование, теорема Фубини.
3.2 Интеграл Стилтьеса
Вычисление полного изменения функций на отрезке.
Вычисление интеграла Римана-Стилтьеса для пар конкретных функций.
7. Учебно-методическое
обеспечение
самостоятельной
работы
студентов. Оценочные средства для текущего контроля успеваемости,
промежуточной аттестации по итогам освоения дисциплины (модуля).
Самостоятельная работа студента играет очень большую роль в
получении им высшего образования, отражаясь напрямую на качестве
подготовки бакалавра. Именно эта часть работы развивает навыки
самообразования, навыки самостоятельной работы в разных жизненных
аспектах, стремление к саморазвитию и познанию.
Закрепляя пройденный материал, в дополнение к конспектам
лекционных и практических занятий рекомендуется использовать литературу
и другие источники, примерный перечень которых имеется в разделе 11.
Время, систематичность, прилежность при подготовке к учебным занятиям и
контрольным мероприятиям различного характера напрямую влияют на
достижения и успехи студента, которые в дальнейшем при контроле знаний
количественно выражаются в баллах и отметках.
9
Самостоятельная работа студентов организуется в двух формах:
- аудиторной – на лекционных и практических занятиях при
решении поставленных индивидуальных задач;
- внеаудиторной – проработка лекций, изучение рекомендованной
литературы; контрольным работам, коллоквиуму.
Вопросы к коллоквиуму
1. Определение метрического пространства. Примеры.
2. Метрика в нормированном пространстве, норма в
пространстве.
3. Открытые и замкнутые множества их свойства.
4. Полные пространства. Примеры.
5. Теорема о вложенных шарах.
6. Теорема о сжимающих отображениях.
7. Системы множеств (полукольцо, кольцо алгебра).
8. Мера элементарных множеств, аддитивность этой меры.
9. Счетная полуаддитивность меры элементарных множеств.
10.Внешняя мера. Определение измеримого множества.
11.Свойства измеримых множеств.
гильбертовом
Примерные варианты контрольных заданий
Контрольная работа № 1
1. Доказать, что множество M={(x,y)R2: x>0} открыто.
2. Доказать, что множество M={(x,y)R2: x0} замкнуто.

3. Найти меру множества M  U (
n 1
1 1
, ) на действительной прямой.
n 1 n
4. Доказать, что функция y=x измерима.
2
Контрольная работа № 2
1. Найти интеграл Лебега от простой функции f: [0;∞)  R
f ( x) 
1
, если x [n-1 ,n), n N.
2n
10
 x3, x Q
2. Найти интеграл Лебега  f ( x )d от функции f ( x )   2
.
x
,
x

Q
[ 0;1]

3. Найти меру множества А, содержащегося в квадрате [0;1][0;1], точки которого
удовлетворяют условиям: абсцисса рациональна, а ордината иррациональна.
4. Доказать, что график непрерывной функции имеет меру ноль.
Контрольная работа № 3
1. Найти полное изменение функции f на отрезке [1;5], f ( x)  sin(x) .
2. Найти полное изменение функции f на отрезке [-1;15], f ( x)  {x} – дробная часть
числа x.
7
3. Найти интеграл Силтьеса
x
2
d {x}
7
d [ x ] , где [x] – целая часть числа х .
0
7
4. Найти интеграл Силтьеса
x
0
Вопросы к экзамену
1.Подход Лебега к определению интеграла. Необходимость определения
меры множеств и измеримых
функций.
2. Прямоугольники в Rn, элементарные множества и их мера, очевидные
свойства меры элементарных множеств.
3. Счетная полуаддитивность меры элементарных множеств.
4. Полуаддитивность внешней меры.
5. Измеримые множества, мера Лебега измеримых множеств.
6. Свойства измеримых множеств (измеримые множества образуют алгебру).
7. Аддитивность меры Лебега.
8. Замкнутость системы измеримых множеств относительно счетного числа
объединений.
9. Сигма-аддитивность меры Лебега.
10. Непрерывность меры Лебега.
11. Существование неизмеримых множеств.
12. Измеримые функции, эквивалентные определения.
11
13. Измеримость суммы, разности, произведения и частного измеримых
функций.
14. Предел последовательности измеримых функций -- измеримая функция.
15. Теорема Егорова.
16 Из сходимости почти всюду следует сходимость по мере.
17. Определение интеграла Лебега от простой функции.
18. Определение интеграла Лебега от функций, не являющихся простыми,
корректность определения.
19. Свойства интеграла Лебега.
20. Неравенство Чебышева.
21. Абсолютная непрерывность интеграла Лебега.
22. Теорема Лебега.
23. Теорема Леви.
24. Теорема Фату.
25. Сравнение интегралов Римана и Лебега.
26. Предварительные результаты для теоремы Фубини (принцип Кавальери,
подграфик, геометрический смысл интеграла).
27. Теорема Фубини.
28. Функции ограниченного изменения. Полное изменение функции.
29. Абсолютно непрерывные функции.
30. Интеграл Стилтьеса.
Образовательные технологии.
При изучении дисциплины используются сочетания видов учебной работы с
методами и формами активизации познавательной деятельности бакалавров для
достижения запланированных результатов обучения и формирования заявленных
компетенций.
Лекционные занятия проводятся с использованием наглядных пособий и
раздаточных материалов. Целью лекций является изложение теоретического материала и
иллюстрация его примерами и задачами. Основным теоретическим положениям
сопутствуют пояснения об их приложениях к другим разделам математики, а также
экономике, физике, программированию.
При проведении практических занятий используются индивидуальные и
8.
групповые формы работы; работа в малых группах; выполнение заданий в паре;
взаимопроверка выполненных задач. Во время лекционных занятий ведется активный
диалог со слушателями, используется проблемное изложение материала.
Принципами организации учебного процесса являются: активное участие
слушателей в учебном процессе; проведение практических занятий, определяющих
приобретение навыков решения практических задач; приведение примеров применения
изучаемого теоретического материала к реальным практическим ситуациям.
12
Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины
(модуля).
9.1.
Основная литература:
1. Колмогоров А. Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и
функционального анализа: Моск. гос. ун-т им. М. В. Ломоносова. - 7-е изд.. Москва: Физматлит, 2006. - 572 с.;
9.
2. Антоневич А. Б., Князев П. Н. Задачи и упражнения по функциональному
анализу/ 3-е изд., стер. - Москва: КомКнига, 2006. - 208 с.
3. Люстерник Л. А. Краткий курс функционального анализа: учеб. пособие/
2-е изд., стереотип.. - Санкт-Петербург: Лань, 2009. - 272 с.
9.2. Дополнительная литература:
1. Антоневич А.Б., Радыно Я..Б. Функциональный анализ и интегральные
уравнения. - Минск: Изд-во "Университетское", 1984, - 352 с.
2. Князев П.Н. Функциональный анализ. – Москва: УРСС, 2003 г., - 208 с.
3. Федоров Курс функционального анализа. Изд-во Лань, 2005 г., 352 с.
10.
Технические средства и материально-техническое обеспечение дисциплины
(модуля).
В организации
учебного процесса необходимыми
являются средства,
обеспечивающие аудиовизуальное восприятие учебного материала (специализированное
демонстрационное оборудование):
 мультимедийная доска, проектор
 компьютеры (для передачи, поиска, изучения материала, для контроля знаний и
др.)
13