Лекция 3. Аксиоматика теории вероятностей

Лекция 3. Аксиоматика теории вероятностей
 Сигма-алгебра событий
 Вероятность как нормированная мера
 О борелевской сигма-алгебре и мере Лебега
o
Борелевская сигма-алгебра на прямой
o
Мера Лебега
3.1. Сигма-алгебра событий
Пусть — пространство элементарных исходов некоторого случайного эксперимента (то есть,
вообще говоря, множество произвольной природы). Мы собираемся определить набор подмножеств ,
которые будут называться событиями, и затем задать вероятность как функцию, определенную только
на множестве событий.
То есть событиями мы будем называть не любые подмножества , а лишь подмножества из
некоторого «множества подмножеств» . При этом необходимо позаботиться, чтобы это множество
подмножеств было «замкнуто» относительно введенных в параграфе 1.2 операций над событиями, то
есть чтобы объединение, пересечение, дополнение событий (то есть элементов ) снова давало событие
(то есть элемент ).
Определение 10.
Множество , состоящее из подмножеств множества (не обязательно всех!) называется алгеброй событий, или -алгеброй подмножеств , если выполнены следующие условия:
(A1)
( -алгебра событий содержит достоверное событие);
(A2)
если
, то
(вместе с любым событием -алгебра содержит
противоположное событие);
(A3)
если
, то
(вместе с любым конечным или счетным набором
событий -алгебра содержит их объединение).
Условия (A1)-(A3) часто называют «аксиомами -алгебры».
Проверим, что этого набора аксиом достаточно для замкнутости множества относительно
других операций над событиями.
Вместо первой аксиомы достаточно предположить, что не пусто, то есть содержит хотя
бы один элемент.
Свойство 1.
( -алгебра событий содержит невозможное событие).
Доказательство. По (A1),
, но
в силу (A2).
Q.D.E.
Свойство 2.
При выполнении (A1),(A2) свойство (A3) эквивалентно свойству (A4)
(A4)
если
, то
(вместе с любым конечным или счетным набором
событий -алгебра содержит их пересечение).
Доказательство. Докажем, что при выполнении (A1) и (A2) из (A3) следует (A4).
Если
, то при всех
по свойству (A2) выполнено
. Тогда из (A3)
следует, что
, и, по (A2), дополнение к этому множеству также принадлежит
, то есть
. Но, в силу формул двойственности,
, что и требовалось доказать.
Доказательство в обратную сторону выглядит совершенно аналогично.
Q.D.E.
Свойство 3.
Если
, то
Доказательство.
.
, так как
,
, и по (A4) их пересечение тоже принадлежит
.
Q.D.E.
Пример 11.
Пусть
— пространство элементарных исходов (например, при бросании
игрального кубика). Следующие наборы подмножеств являются -алгебрами (доказать! ):
1.
— тривиальная -алгебра.
2.
.
3.
, где
— произвольное подмножество
(в
предыдущем примере
).
4.
— множество всех подмножеств .
Доказать, что если состоит из элементов, то в множестве всех его подмножеств
ровно
элементов.
Итак, мы определили специальный класс подмножеств пространства элементарных исходов ,
названный -алгеброй событий, причем применение счетного числа любых операций (таких, как
объединение, пересечение, дополнение) к множествам из снова дает множество из (не выводит за
рамки этого класса). Множества
мы и назвали «событиями».
Определим теперь понятие «вероятности» как функции, определенной на множестве событий (то
есть функции, которая каждому событию ставит в соответствие число). А чтобы читателю сразу стало
понятно, о чем пойдет речь, добавим: вероятность мы определим как неотрицательную нормированную
меру, заданную на -алгебре подмножеств .
3.2. Вероятность как нормированная мера
Определение 11.
Пусть — некоторое множество и — -алгебра его подмножеств. Функция
называется мерой на
, если она удовлетворяет условиям:
(M1)
Для любого множества
его мера неотрицательна:
.
(M2)
Для любого счетного набора попарно непересекающихся множеств
(то есть такого, что
при всех
) мера их объединения равна сумме их мер:
(«счетная аддитивность» или « -аддитивность»)
Иначе говоря, мера есть неотрицательная, счетно-аддитивная функция множеств.
Определение 12.
Пусть — некоторое множество и — -алгебра его подмножеств. Мера
называется нормированной, если
. Другое название нормированной меры — «вероятность»
или «вероятностная мера».
То же самое еще раз и подробно:
Определение 13.
Пусть — пространство элементарных исходов и — -алгебра его подмножеств (событий).
Вероятностью или вероятностной мерой на
называется функция
, обладающая
свойствами:
(P1)
Для любого события
выполняется неравенство
;
(P2)
Для любого счетного набора попарно несовместных событий
место равенство
имеет
(P3)
Вероятность достоверного события равна единице:
.
Свойства (P1)-(P3) часто называют «аксиомами вероятности».
Определение 14.
Тройка
, в которой — пространство элементарных исходов, — -алгебра его
подмножеств и — вероятностная мера на , называется вероятностным пространством.
Докажем свойства вероятности, вытекающие из аксиом. Здесь и в дальнейшем под знаком
вероятности появляются только события!
0.
.
Доказательство. События
,
есть также пустое множество. По аксиоме (P2),
Это возможно только в случае
, попарно несовместны, и их объединение
.
1.
Для любого конечного набора попарно несовместных событий
место равенство
Доказательство. Пусть
при любом
предыдущему свойству, равны нулю. События
и, по аксиоме (P2),
имеет
. Вероятности этих событий, по
попарно несовместны,
2.
.
Доказательство.
, и события
предыдущему свойству,
3.
Если
, то
Доказательство.
,
.
, и события
несовместны. По аксиоме (P3) и
,
несовместны. По аксиоме (P2),
.
4.
Если
, то
.
Доказательство. По предыдущему свойству,
неравенство следует из (P1), т.к.
.
5.
.
. Последнее
Доказательство.
.
по (P1), и т.к.
, то по предыдущему свойству
6.
.
Доказательство.
, поэтому
несовместны, поэтому
. Но события
и
7.
.
Доказательство. Сразу следует из предыдущего свойства и аксиомы (P1).
8.
. Доказать методом математической индукции.
9.
(2)
Доказательство. Воспользуемся методом математической индукции. Базис индукции при
— свойство 6 выше. Пусть свойство 9 верно при
. Докажем, что тогда оно верно
при
.
(3)
По предположению индукции, первое слагаемое в правой части (3) равно
(4)
Вычитаемое в правой части (3) равно
(
5)
Подставить (4),(5) в (3) и довести до конца шаг индукции.
Q.D.E.
Приведем пример задачи, в которой использование свойства 9 – самый простой путь решения.
Пример 12.
Задача. Есть писем и подписанных конвертов. Письма раскладываются в конверты наудачу.
Найти вероятность того, что хотя бы одно письмо попадет в предназначенный ему конверт, и предел
этой вероятности при
.
Решение. Пусть событие
,
означает, что -е письмо попало в свой конверт. Тогда
Так как события
совместны, придется использовать формулу (2). Нетрудно убедиться,
что
для всех
,
для всех
,
для всех
,
,
Вычислим количество слагаемых в каждой сумме в формуле (2). Например, в сумме
ровно
слагаемых — ровно столько трех-элементных множеств можно образовать из
каждое такое множество
встречается в индексах данной суммы единажды.
Подставляя все вероятности в формулу (2), получим:
Выписать разложение
в ряд Тейлора и убедиться, что
элементов, и
при
.
3.3. О борелевской сигма-алгебре и мере Лебега
Следующий параграф предназначен только для тех, кто не испугался всего сказанного выше и
хочет познакомиться с понятиями « -алгебра борелевских множеств» и «мера Лебега» (Felix Edouard
Justin Emile Borel, Henri Léon Lebesgue).
Борелевская сигма-алгебра на прямой
Пример 13.
Пусть
— вещественная прямая. Рассмотрим некоторые наборы множеств, не являющиеся
-алгебрами, и увидим, как их можно дополнить до -алгебр.
1.
Множество
например,
не является -алгеброй, так как,
.
Минимальный набор множеств, содержащий и являющийся -алгеброй (минимальная алгебра), получится, если включить в него всевозможные объединения, пересечения и
дополнения множеств из :
.
Более точно, минимальной -алгеброй, содержащей набор множеств
пересечение всех -алгебр, содержащих .
, называется
2.
Найти минимальную -алгебру, содержащую
.
3.
Пусть множество
открытых интервалов
(a)
Проверить, что
подмножеств вещественной прямой
, где
:
состоит из всевозможных
.
ни в коем случае не является -алгеброй!
Указание: привести примеры двадцати множеств из , дополнения к которым не принадлежат
привести примеры пяти множеств из , любые объединения которых не принадлежат .
;
(b)
Минимальная -алгебра, содержащая множество всех интервалов на вещественной
прямой, называется борелевской -алгеброй в и обозначается или
.
(c)
Перечислим некоторые множества на прямой, содержащиеся в . Таковы все привычные
нам множества. Чтобы получить множество, не содержащееся в , требуются специальные
построения.
Итак, мы знаем, что все интервалы на прямой принадлежат , и — -алгебра.
принадлежит .
Это сразу следует из свойства (A1) -алгебры, но может быть доказано исходя из
свойств (A2), (A3).

Действительно,
. Так как все эти интервалы лежат в , а
, то все эти
интервалы принадлежат .
Но
— -алгебра, поэтому она содержит счетное объединение любых своих элементов. Поэтому
.
 Любой интервал
вида
(или
, или
), где
, принадлежит
Действительно,
, и так как все эти интервалы лежат в
пересечение должно по свойству (A4) принадлежать .
 Любое одноточечное подмножество
Действительно,
алгебре.
принадлежит
, а разность двух множеств из
.
, то их счетное
.
-алгебры снова принадлежит
-
 Докажите, что, например, любые множества вида
принадлежат
, множество натуральных чисел
принадлежит , множество рациональных чисел
принадлежит .
4.
Борелевская -алгебра в
строится совершенно так же, как в . Это должна быть
минимальная -алгебра, содержащая все множества вида
(уже не
интервалы, как в , а «прямоугольники» в
, «параллелепипеды» в
и т.д.).
Мера Лебега
Когда мы говорили о геометрической вероятности, мы использовали термин «мера области в
», имея ввиду «длину» на прямой, «площадь» на плоскости, «объем» в трехмерном пространстве.
Являются ли все эти «длины-площади-объемы» настоящими мерами в смысле определения 11? Мы
решим этот вопрос для прямой, оставляя плоскость и пространство большей размерности читателю.
Если вам уже расхотелось читать дальше, сообщаем: мерой Лебега в задачниках и учебниках называют как раз
«длину-площадь-объем», так что все в порядке.
Рассмотрим вещественную прямую с -алгеброй борелевских множеств. Эта -алгебра, по
определению, есть наименьшая -алгебра, содержащая любые интервалы. Для каждого интервала
число
назовем «длиной интервала
». Мы не станем доказывать следующее
утверждение:
Лемма 1.
Существует единственная мера (то есть неотрицательная и -аддитивная функция)
значение которой на любом интервале равно его длине:
Лебега.
,
. Эта мера называется мерой
Это утверждение является следствием теоремы Каратеодори о продолжении меры с алгебры на
применительно к
.
См. А.Н.Колмогоров, С.В.Фомин,
на
-алгебру,
«Функциональный анализ» или А.А.Боровков, «Теория
вероятностей» [3].
Итак, мы ограничили набор событий только множествами из какой-нибудь -алгебры событий.
Мы потребовали, чтобы вероятность была функцией только на множестве событий.
Покажем, что это необходимо: построим пример множества на отрезке, мера Лебега которого
(«длина») просто не существует (множество Витали).
То есть: если рассмотреть бросание точки наудачу на отрезок, то вычислить вероятность попадания точки в
указанное множество в соответствии с геометрической вероятностью нельзя. Значит, это множество нельзя считать
событием — мы не умеем вычислить его вероятность!
Пример 14.
Рассмотрим окружность единичного радиуса (реально это тот же отрезок
). Возьмем любое
иррациональное число . Поскольку оно иррационально, число
не является целым ни при каком
целом
(то есть число
равно
лишь при
).
Поэтому если взять произвольную точку
, то есть точку на окружности, и перечислить
все точки, которые получаются поворотом точки на угол
,
, то мы ни разу не
вернемся в точку . Точек, получившихся из точки такими поворотами, счетное число. Объединим их
в один класс. С любой другой точкой окружности можно тоже связать класс точек, получающихся из
нее поворотом на угол
при каком-то
.
Таким образом, вся окружность разбивается на классы точек. В каждом классе счетное число точек, и все
точки в одном классе получаются друг из друга такими поворотами. Причем эти классы не пересекаются.
Множество
определим так: возьмем из каждого такого класса ровно по одной точке. Пусть
множество
получается поворотом всех точек множества
на угол
,
.
Так как все точки одного класса можно получить, поворачивая любую из них на угол
в множестве
окружности.
,а
,
собрано по одной точке из каждого класса, то поворачивая это множество, получим все точки
Очевидно, что
. Предположим, что лебегова мера («длина») множества
существует. Заметим, что тогда все множества
имеют ту же лебегову меру, так как получены из
поворотом. И так как все эти множества не пересекаются, то мера их объединения равна сумме их мер:
Полученное противоречие означает, что лебегова мера, или длина множества
не существует.
Упражнение: какими свойствами «длины» (или меры Лебега) мы воспользовались в этом примере?