Элементы теории функций

РОССИЙСКАЯ ФЕДЕРАЦИЯ
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«ТЮМЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»
Филиал в г.Ишиме
УТВЕРЖДАЮ
Директор филиала
______________ /Шилов С.П./
20.11.2014
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ФУНКЦИЙ
Учебно-методический комплекс. Рабочая программа
для студентов направления подготовки 050100 (44.03.05) Педагогическое образование
профиля подготовки Математика Информатика, Математика Физика
Очной формы обучения
ЛИСТ СОГЛАСОВАНИЯ
от 20.11.2014
Содержание: УМК по дисциплине ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ФУНКЦИЙ для студентов направления
подготовки 050100 (44.03.05) Педагогическое образование профиля подготовки Математика
Информатика, Математика Физика очной формы обучения
Автор(-ы):к.ф.м.н., доцент Столбов В.Н.
Объем 20стр.
Должность
Заведующий
кафедрой физикоматематических
дисциплин и
профессиональнотехнологического
образования
Председатель УМС
филиала ТюмГУ в
г. Ишиме
Начальник ОИБО
ФИО
Дата
согласования
Результат
согласования
Примечание
Мамонтова
Т.С.
16.10.2014
Рекомендовано
к электронному
изданию
Протокол заседания
кафедры от 16.10.2014
№2
Поливаев
А.Г.
11.11.2014
Согласовано
Протокол заседания
УМС от 11.11.2014
№3
Гудилова
Л.Б.
20.11.2014
Согласовано
РОССИЙСКАЯ ФЕДЕРАЦИЯ
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«ТЮМЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»
Филиал в г. Ишиме
Кафедра математики, информатики и методики их преподавания
Столбов В.Н.
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ФУНКЦИЙ
Учебно-методический комплекс. Рабочая программа
для студентов направления подготовки 050100 (44.03.05) Педагогическое
образование профиля подготовки Математика Информатика, Математика Физика
очной формы обучения
Тюменский государственный университет
2014
Столбов В.Н.ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ФУНКЦИЙ. Учебно-методический комплекс. Рабочая
программа для студентов направления подготовки 050100 (44.03.05) Педагогическое образование
профиля подготовки Математика Информатика, Математика Физика, очной формы обучения.
Тюмень, 2014, 20стр.
Рабочая программа составлена в соответствии с требованиями ФГОС ВО с учетом рекомендаций и
ПрОП ВО по направлению и профилю подготовки.
Рабочая программа дисциплины (модуля) опубликована на сайте ТюмГУ: ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ
ФУНКЦИЙ [электронный ресурс] / Режим доступа: http://www.utmn.ru, раздел «Образовательная
деятельность», свободный.
Рекомендовано к изданию кафедрой физико-математических дисциплин и профессиональнотехнологического образования. Утверждено директором филиала ТюмГУ в г. Ишиме.
ОТВЕТСТВЕННЫЙ РЕДАКТОР: к.п.н., доцент, зав. кафедрой ФМДиПТО Мамонтова Т.С.
Ф.И.О., ученая степень, звание заведующего кафедрой
© Тюменский государственный университет, филиал в г. Ишиме, 2014.
© Столбов В.Н., 2014.
Ф.И.О. автора
1.
1.1.
Учебно-методический комплекс. Рабочая программа включает следующие разделы:
Пояснительная записка:
Цели и задачи дисциплины (модуля)
Цели освоения дисциплин:формирования систематизированных знаний о методах теории
функции, её месте и роли в системе математических наук; расширение и углубление понятий: функция,
мера, интеграл.
Задачи освоения дисциплин:
- дать студентам основные понятия теории функций действительного переменного;
- обучить основным методом теории функции;
- используя основные понятия привить навыки, проводить исследования, связанные с основными
понятиями школьного курса математики, с теорией функций действительного переменного.
1.2.Место дисциплины в структуре образовательной программы
Дисциплина «Элементы теории функций» относится к вариативной части профессионального
цикла. Для освоения дисциплины «Элементы теории функций» используются знания, умения и навыки,
способы деятельности и установки, полученные и сформированные в ходе изучения дисциплин:
«Математический анализ», «Алгебра», « Геометрия». Освоение данной дисциплины является основной для
последующего изучения учебных дисциплин «Теория функций комплексного переменного»,
«Математическая логика» и др., а также курсов по выбору студентов, содержание которых связано с
готовностью студентов углубить свои знания в области теории функции действительного переменного.
Таблица 1.
Разделы дисциплины и междисциплинарные связи с обеспечиваемыми (последующими)
дисциплинами
№
Наименование
Темы
дисциплины
необходимые
для
изучения
п/п
обеспечиваемых
обеспечиваемых (последующих) дисциплин
(последующих)
1
2
3
4
5
6
7
8
9 10 11 12
дисциплин
1. - Математический
+
+
+
+
+
+
+
+
+ + + +
анализ
2. - Теория функций
+
+
+
+
+
+
+
+
+ + + +
комплексного
переменного
3. - Дифференциальные
+
+
+
+
+
+
+
+
+ + + +
уравнения и уравнения
с частными
производными
1.3. Компетенции обучающегося, формируемые в результате освоения данной
образовательной программы.
В результате освоения ОП выпускник должен обладать следующими компетенциями:
- владеет культурой мышления, способен к обобщению, анализу, восприятию информации,
постановке цели и выбору путей её достижения (ОК-1);
- способен логически верно строить устную и письменную речь (ОК-6).
1.4. Перечень планируемых результатов обучения по дисциплине (модулю):
знать:
- основные понятия теории функции действительного переменного;
- знать основные факты (теоремы, свойства) теории функции и функционального анализа;
- основные методы теории функции действительного переменного.
уметь:
- используя определения, проводить исследования, связанные с основным понятием курса;
- уметь точно и лаконично рассказывать или описывать решения задач.
владеть:
основными положениями классических разделов теории функции действительного
переменного;
- базовыми идеями и методами теории функции действительного переменного;
- системой основных математических структур и аксиоматическим методом;
- основными понятиями школьного курса математики, связанные с теорией функции
действительного переменного (профильный уровень).
приобрести опыт:
- в способности обучать основным понятиям школьного курса математики, связанные с
базовыми понятиями теории функций действительного переменного.
2. Структура и трудоемкость дисциплины.
Семестр 4Форма промежуточной аттестации –зачет. Общая трудоемкость дисциплины
составляет 108 зачетных единиц, 108 академических часов, из них 36 часов, выделенных на
контактную работу с преподавателем, 72 часов, выделенных на самостоятельную работу.
Таблица 2.
Вид учебной работы
Всего
часов
Контактная работа:
Аудиторные занятия (всего)
В том числе:
Лекции
Практические занятия (ПЗ)
Семинары (С)
Лабораторные занятия (ЛЗ)
Иные виды работ:
Самостоятельная работа (всего):
Общая трудоемкость
зач. ед.
час
Вид промежуточной аттестации
(зачет, экзамен)
1
2
3
-
-
-
Семестры
4
5
6
36
36
18
18
7
8
9
-
-
-
72
108
зач
3. Тематический план
Таблица 3.
Семинарские
(практические)
занятия*
Лабораторные
занятия*
Самостоятельная
работа*
2
Модуль 1
1.1. Множество
Виды учебной работы и
самостоятельная работа, в
час.
Лекции *
1
Тема
недели семестра
№
3
4
5
6
7
1-2
2
1
-
4
Итого
часов
по
теме
Из них в
интерак
тивной
форме, в
часах
Итого
количес
тво
баллов
8
9
10
операции над
множествами
1.2. Отображения.
Эквивалентные
множества. Счетные
и несчетные
множества.
1.3. Три теоремы о
бесконечных
множествах.
1.4. Множество
мощности С
(мощности
континуума).
2-3
2
1
-
4
1
1
-
6
1
1
-
4
3-4
5-6
Всего
Модуль 2
2.1. Мощность
множества.
Понятие
мощности
множества.
Сравнение
мощностей. Шкала
мощностей.
2.2. Открытые и
замкнутые
множества.
Строение
замкнутых и
открытых
множеств
числовой прямой.
2.3. Теорема Бореля о
покрытиях.
2.4. Промежутки и их
свойства.
0-30
6-7
2
2
2
-
6
1
2
-
6
1
2
-
4
2
2
-
10
7-8
910
1112
Всего
Модуль 3
3.1. Множества,
измеримые по
Лебегу. Мера
Лебега.
3.2. Функции,
измеримые по
Лебегу, и их
свойства.
3.3. Интеграл Лебега.
3.4. Функции,
суммируемые с
квадратом.
Понятие
0-30
1213
1314
1516
1718
2
2
2
-
6
1
1
-
6
1
1
-
6
2
2
2
-
10
метрического
пространства.
Ряды Фурье. Ряды
Фурье в
произвольном
гильбертовом
пространстве.
Всего
Итого (часов,
баллов):
Курсовая работа *
Из них в интеракт.
форме
108
18
108
18
18
0-40
0-100
-
18
6
-
*- если предусмотрены учебным планом ОП.
4. Виды и формы оценочных средств в период текущего контроля
0-2
0-2
0-1
0-1
0-1
0-1
0-1
0-1
12
12
0-1
0-1
0-2
0-2
20
20
0-2
0-2
0-2
0-2
20
20
0-2
0-4
12
12
5. Содержание дисциплины.
1
Множество операции над множествами
реферат
0-2
0-2
0-1
0-1
тест
0-1
0-1
0-1
0-1
0-2
0-4
другие формы
Всего
Итого
0-1
0-1
0-1
12
12
0-2
0-2
0-1
0-1
электронные
практикумы
3.2.
3.3.
3.4.
0-2
0-2
0-2
0-2
Информа
ции
8ные
системы и
технологи
и
программы
компьютерног
о тестирования
комплексные
ситуационные
задания
Всего
Модуль 3
0-1
3.1.
0-1
0-1
0-1
0-1
Технические
формы
контроля
эссе
2.2.
2.3.
2.4.
0-1
0-1
0-1
контрольная
работа
Всего
Модуль 2
0-1
2.1.
лабораторная
работа
1.2.
1.3.
1.4.
0-1
0-1
0-1
Письменные работы
ответ на
семинаре
Модуль 1
0-1
1.1.
собеседование
Устный опрос
коллоквиумы
№
Темы
Итого количество баллов
Таблица 4.
-
0-1
0-1
0-1
0-1
-
0-1
0-1
0-1
0-1
-
0-10
0-10
0-10
0-10
0-40
-
0-1
0-1
0-1
0-1
-
0-1
0-1
0-1
0-1
-
0-10
0-10
0-10
0-10
0-40
-
0-1
0-1
0-1
0-1
12
12
-
0-1
0-1
0-1
0-1
12
12
-
0-10
0-10
0-10
0-10
0-40
0100
Отображения. Эквивалентные множества. Счетные и несчетные множества.
Три теоремы о бесконечных множествах.
2
3
4
Множество мощности С (мощности континуума).
5
Мощность множества. Понятие мощности множеств. Сравнение мощности. Шкала
мощностей.
6
Открытые и замкнутые множества. Строение замкнутых и открытых множеств на числовой
прямой.
7
Теорема Бореля о покрытиях.
8
Промежутки и их свойства.
9
Внешняя мера линейных множеств.
10
Множества измеримые по Лебегу. Мера Лебега.
11
Функции, измеримые по Лебегу, и их свойства.
12
Интеграл Лебега.
13
Функции, суммируемые с квадратом. Понятие метрического пространства. Ряды Фурье.
Ряды Фурье в произвольном гильбертовом пространстве.
6. Планы семинарских занятий.
№
п/п
Номер
раздела
Тема
семинарского
занятия
1
Свойства
операций над
множествами
1
2
2
3
Отображения.
Счетные
множества и
их свойства
Вопросы, выносимые на семинар
1.Знать с доказательством:
- свойства операций над множествами(с
доказательством).
2. Знать: определения и подготовиться к
ответу на вопросы:
- понятия множества, включения,
операций над множествами;
- как доказать равенство А=В?
- свойства операций над множествами;
- определение дополнения множеств;
- доказать принцип двойственности
операций объединения и пересечения;
- доказать, используя строго логическую
схему доказательств, что (A/B) 
В=АBA.
3. Предлагается решить примеры и
задачи:
- на занятии: №4(а, б,в,г) из [2].
№ 2436 из [3].
1. Знать с доказательством:
- теоремы 1-8 из §3 лекций;
- теоремы об эквивалентных множествах
из §2 (законспектируйте доказательство
теоремы на стр. 17-18 из [1]).
2. Знать свойства эквивалентных и
свойства
счетных
множеств
и
подготовиться к ответу на вопросы:
понятие
взаимно-однозначного
соответствия и эквивалентности двух
Трудоемкость
из них
Всего
на базе
ОУ
4
2
-
-
4
Отображение
множеств(про
должение).
Множества
мощности
континуума
3
5
4
6
Мощность
множеств.
Сравнение
мощностей
множеств;
свойства
эквивалентных
множеств;
- является ли взаимно однозначное
соответствие функцией? Их способы
задания;
- понятие счетности множества, свойства
счетных множеств;
- может ли конечное множество быть
счетным?
- установите взаимно однозначное
соответствие между интервалом (a,в) и
интервалом (-∞, +∞) (см.[1]).
3. Предлагается решить примеры и
задачи на занятии:
- №№ 28,29,35.40 из [2].
1.Знать с доказательством :
- теоремы 1 и 2 из §4 лекций;
- все теоремы §5 лекций.
2. Знать определения ( понятия), свойства
и уметь отвечать на вопросы:
- свойства счетных множеств (
повторить);
- теорема о бесконечных множествах из
§4;
- определение множества мощности
континуума, привести примеры;
- можно ли числа отрезка [0,1] записать в
виде последовательности?
свойства
множеств
мощности
континуума ;
- понятие эквивалентной правильной
части множества;
положительное
определение
бесконечности, связь с философским
понятием бесконечности.
3. На занятии предлагается решить
примеры:
- №2457 из [3];
- № 48 из [2] и др.
1. Знать с доказательством:
- n<a, a<c,
- теорему о существование высших
мощностей.
2. Знать определения ( понятия), свойства
и уметь отвечать на вопросы:
свойства
счетных
множеств
(повторить);
- свойства множеств мощности с
(повторить);
- понятие мощности;
- определение о сравнении мощностей;
- континуум – гипотеза и результаты её
2
2
-
7
Открытые и
замкнутые
множества
5
8
6
9
Открытые и
замкнутые
множества
7
10
Внешняя мера.
Мера Лебега и
ее свойства
решения; связь с философией;
- существует ли мощность, большая чем
С? Шкала мощностей.
3. На занятиях предлагается решить
примеры:
- №№62,63,89,109 из [2],
- №№ 2483,2485 из [3].
1. Знать с доказательством:
- теорему о структуре открытых
множеств;
- теорему о структуре замкнутых
множеств.
2. Знать определения, понятия, свойства и
уметь отвечать на вопросы:
определение
предельной,
изолированной
точек;
замкнутого
множества;
- определение внутренней точки и
открытого множества;
- свойства открытых и замкнутых
множеств;
понятие
наименьшего
сегмента,
содержащего
в
себе
замкнутое
множество;
- понятие составляющего интервала
открытого
множества
и
свойства
составляющих интервалов;
- теорема о структуре открытых,
замкнутых и совершенных множеств.
3. На занятии предлагается решить
задачи на доказательство:
- открытости и замкнутости отдельных
множеств числовой прямой.
Необходимо знать с доказательством:
весь материал об открытых и замкнутых
множествах:
- лекции: гл 2;
- или: гл. 2 « Точечные множества», §1§4 из [1].
На занятиях и дома предлагается решить
задачи:
№№ 2497, 2499,2500,2512,2513 из [3], и
др.
1. Знать с доказательством:
-свойства внешней меры, вытекающие из
ее определения;
- теорему 1 и её следствия, теорему 2
из§4 лекций;
- теорему 1,2,3,4 и лемму 1 из §5 лекций;
2. Знать все определения, понятия,
свойства и уметь отвечать на вопросы:
- определение точной нижней границы
2
-
2
-
2
-
8
11
Измеримые
функции
числового множества на «языке ɛ»;
- определение внешней меры;
- сформулировать свойства
внешней
меры;
- определение измеримого множества,
меры Лебега;
- всякое ли множество Е имеет внешнюю
меру, меру Лебега?
- сформулируете свойства меры Лебега.
Всем студентом быть подготовленным к
доказательству теорем у доски.
1.Знать с доказательством:
- теоремы 1,7,8 из §1 лекций.
2. Знать все определения, понятия,
свойства и уметь отвечать на вопросы:
- определения множеств вида E(f>a),
E(f<a),E(f≥a), E(f≤a), E(f=a);
- определение множеств Лебега;
- определение измеримой функции;
- сформулировать свойства измеримых
функций;
- если f(x) измерима на E, то будет ли
измеримой на E функция f2(x)?
- теорема об измеримости предельной
функции;
- понятие « почти везде»;
- что значит выражение: « f(x) почти
везде непрерывна на Е»;
- сформулируйте свойства эквивалентных
функций.
- Всем студентам подготовиться к
доказательству теорем 1,7,8 из §1 лекций
у доски.
Всего
2
-
18
-
7. Темы лабораторных работ (Лабораторный практикум).
Лабораторные работы не предусмотрены учебным планом.
8. Примерная тематика курсовых работ (если они предусмотрены учебным планом ОП).
1. Промежутки и их свойства. Длина промежутка и ее свойства.
2. Операции над множествами. Последовательности множеств и их пределы.
3. Теорема Бореля о покрытиях и её применения.
4. Канторовы множества и множества им подобные ( дисконтинуумы).
5. Инвариантность меры Лебега относительно движения.
6. Классы измеримых множеств и существование не измеримых множеств.
7. Свойство отделимости замкнутых множеств.
9. Учебно-методическое обеспечение и планирование самостоятельной работы студентов.
Таблица5 .
№
Модули и
темы
Виды СРС
Неделя
семестра
обязательные
дополнительные
Чтение
лекций,
подготовка к
практическим
занятиям
Чтение
лекций,
подготовка к
практическим
занятиям
Чтение
дополнительной
литературы
1-2
Чтение
дополнительной
литературы
2-3
Чтение
лекций,
подготовка к
практическим
занятиям
Чтение
лекций,
подготовка к
практическим
занятиям
Чтение
дополнительной
литературы
3-4
Чтение
дополнительной
литературы
5-6
Объем
часов
Кол-во
баллов
Модуль 1
1.1.
Множество
операции над
множествами
1.2.
1.3.
1.4.
Отображения.
Эквивалентные
множества.
Счетные и
несчетные
множества.
Три теоремы
о
бесконечных
множествах.
Множество
мощности С
(мощности
континуума).
7
7
8
6
Всего
Модуль 2
2.1.
2.2.
2.3.
Мощность
множества.
Понятие
мощности
множества.
Сравнение
мощностей.
Шкала
мощностей.
Открытые и
замкнутые
множества.
Строение
замкнутых и
открытых
множеств
числовой
прямой.
Теорема
Бореля о
покрытиях.
0-15
Чтение
лекций,
подготовка к
практическим
занятиям
Чтение
дополнительной
литературы
Чтение
лекций,
подготовка к
практическим
занятиям
Чтение
дополнительной
литературы
Чтение
лекций,
подготовка к
практическим
занятиям
Чтение
дополнительной
литературы
6-7
10
7-8
9
9-10
7
2.4.
Промежутки
и их свойства.
Чтение
лекций,
подготовка к
практическим
занятиям
Чтение
дополнительной
литературы
11-12
14
Всего
Модуль 3
3.1.
3.2.
Множества,
измеримые по
Лебегу. Мера
Лебега.
Функции,
измеримые по
Лебегу, и их
свойства.
3.3.
Интеграл
Лебега.
3.4.
Функции,
суммируемые
с квадратом.
Понятие
метрического
пространства.
Ряды Фурье.
Ряды Фурье в
произвольном
гильбертовом
пространстве.
0-15
Чтение
лекций,
подготовка к
практическим
занятиям
Чтение
лекций,
подготовка к
практическим
занятиям
Чтение
лекций,
подготовка к
практическим
занятиям
Чтение
лекций,
подготовка к
практическим
занятиям
Чтение
дополнительной
литературы
12-13
Чтение
дополнительной
литературы
13-14
Чтение
дополнительной
литературы
15-16
Чтение
дополнительной
литературы
17-18
10
8
8
14
Всего
Итого
0-15
0-45
10.Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации по итогам освоения
дисциплины (модуля).
10.1 Перечень компетенций с указанием этапов их формирования в процессе освоения
образовательной программы (выдержка из матрицы компетенций):
Циклы, дисциплины (модули) учебного
плана ОП
Индекс компетенции
Общекультурные
Код
компетенции
компетенции
ОК-1
ОК-6
Виды аттестации
ФОС
Текущая (по
ИС-5
дисциплине)
ПФ-10
Промежуточная (по
УФ-12
дисциплине)
4 семестр
Элементы теории функций
+
+
+
+
ОК-1, ОК-6
Код
компетенции
10.2 Описание показателей и критериев оценивания компетенций на различных этапах их
формирования, описание шкал оценивания:
Таблица 6.
Карта критериев оценивания компетенций
Критерии в соответствии с уровнем освоения ОП
пороговый
(удовл.)
61-75 баллов
базовый
(хор.)
76-90
баллов
Знает:знать
Знает:основн
ые понятия основные
факты
теории
(теоремы,
функции
действительн свойства)
теории
ого
функции и
переменного; функциона
льного
анализа;
Умеет:использ Умеет:испо
оватьопределе льзуя
ния,
определени
я,
проводить
исследован
ия,
связанные с
основным
понятием
курса;
Владеет:основ Владеет:ными
базовыми
положениями
идеями и
классических
методами
разделов
теории
теории
функции
функции
действител
действительно ьного
го
переменног
переменного;
о;
повышенный
(отл.)
91-100 баллов
Знает:основные
методы
теории
функции
действительного
переменного.
Виды занятий
(лекции,
семинар
ские,
практические,
лабораторные)
Оценочные
средства
(тесты,
творческие
работы,
проекты и др.)
-лекции,
практические
занятия,
домашние
работы.
-тесты,
проверочные
работы,
работы на
практических
занятиях и т.д.
Умеет:уметь точно и
лаконично
рассказывать
или
описывать решения
задач.
Владеет:системой
основных
математических
структур
и
аксиоматическим
методом;
основными
понятиями
школьного
курса
математики,
связанные с теорией
функции
действительного
переменного
(профильный
уровень).
10.3 Типовые контрольные задания или иные материалы, необходимые для оценки знаний,
умений, навыков и (или) опыта деятельности, характеризующей этапы формирования
компетенций в процессе освоения образовательной программы.
Вопросы к зачету
1. Множества, операции над множествами и их свойства (свойства двойственности
операций объединения и пересечения множеств доказать). Понятие дополнения множеств.
2. Эквивалентные множества, свойства эквивалентных множеств ( без доказательства).
3. Счетные множества и их свойства (обзор вопроса). Критерий счетности множества.
4. Счетные множества и их свойства (обзор вопроса). Доказать, что из любого бесконечного
множества можно выделить счетное подмножество.
5. Счетные множества и их свойства (обзор вопроса). Доказать, что бесконечное
подмножество счетного множества счетно, следствие из этой теоремы.
6. Счетные множества и их свойства (обзор вопроса). Доказать, что объединение конечного
множества и счетного множества счетно.
7. Счетные множества и их свойства (обзор вопроса). Доказать, что объединение конечного
числа счетных множеств счетно.
8. Счетные множества и их свойства (обзор вопроса). Доказать, что объединение счетного
множества конечных множеств без общих элементов счетно.
9. Счетные множества и их свойства (обзор вопроса). Доказать, что объединение счетного
множества счетных множеств счетно.
10. Счетные множества и их свойства (обзор вопроса). Счетность множества,
определяемого n « значками», каждый из которых пробегает счетное множество значений.
11. Счетные множества и их свойства (обзор вопроса). Счетность множеств рациональных
чисел.
12. Счетные множества и их свойства (обзор вопроса). Счетность множеств алгебраических
чисел.
13. Доказать, что если к бесконечному множеству добавить конечное или счетное , то это
не изменит его мощности.
14. Доказать, что если из бесконечного несчетного множества удалить конечное или
счетное, то это не изменит его мощности.
15. Доказать, что любое бесконечное множество содержит эквивалентную правильную
часть. Положительное определение бесконечности. Несчетность сегмента[0,1]( доказать).
16. Множества мощности континуума, их свойства (обзор вопроса). Доказать, что
объединение конечного числа множеств мощности с есть множество мощности с.
17. Множество мощности континуума, их свойства (обзор вопроса). Доказать, объединение
счетного множества множеств мощности с есть множество мощности с.
18. Множество мощности континуума, их свойства (обзор вопроса). Доказать, что любой
промежуток <а,в> имеет мощность с.
19. Множество мощности континуума, их свойства (обзор вопроса). Доказать, что
множество вещественных чисел имеет мощность с.
20. Множество мощности континуума, их свойства (обзор вопроса). Доказать, что
множество иррациональных и множество трансцендентных чисел имеют мощность с.
21. Понятие мощности, сравнение мощностей. Показать n<a и a<c.
22. Множество мощности континуума, их свойства (обзор вопроса). Континуум- гипотеза.
23. Множество мощности континуума, их свойства (обзор вопроса). Теорема о мощности
всех подмножеств множества. Существование высших мощностей.
24. Определение внешней меры. Свойства внешней меры, следующие непосредственно из
её определения (обосновать, опираясь на определение точной нижней границы числового
множества).
25. Понятие измеримого множества, меры Лебега.
26. Определение измеримой функции. Теорема об эквивалентности понятий измеримости
функции и множеств Лебега.
27. Простейшие свойства измеримых функций (обзор вопроса), доказать одно из них.
28. Понятие интеграла Лебега от ограниченной измеримой функции. Свойства множеств
=E( ≤f<
), интегральных сумм Лебега.
29. Свойства интеграла Лебега от ограниченной измеримой функции ( обзор вопроса) .
Доказать теорему о среднем значении интеграла Лебега; следствие из этой теоремы.
30. Сравнение интегралов Римана и Лебега.
31. Понятие функций
; понятие интеграла Лебега от произвольной измеримой
функции. Суммируемые функции.
32. Понятие функции, суммируемой с квадратом, класса
, нормы в
, нулевого
элемента в
, сходимости в
.
10.4 Методические материалы, определяющие процедуры оценивания знаний, умений,
навыков и (или) опыта деятельности характеризующих этапы формирования компетенций.
Шкала перевода баллов в оценки:
от 0 до 60 баллов – «не зачтено»;
от 61 до 100 баллов – «зачтено»;
Студенты, набравшие по дисциплине менее 35 баллов, к зачету не допускаются. Студенты, не
допущенные к сдаче зачета, сдают текущие формы контроля в соответствии с установленным графиком и
набирают пороговое значение баллов. Если в период проведения текущей аттестации студент набрал 61
балл и более, то он автоматически получает зачет. Студентам, не набравшим в семестре необходимого
количества баллов по уважительной причине (болезнь, участие в соревнованиях, стажировка и др.),
устанавливаются индивидуальные сроки сдачи зачета.
11. Образовательные технологии.
В ходе изучения дисциплины рекомендуется использовать информационнокоммуникационные технологии через использование в учебном процессе электронных ресурсов:
- электронно-библиотечная система elilraru: http://elilararu.ru;
- универсальная справочно-информационная полнотекстовая база данных «EastView»
OOO«ИВИС»:http://www.eastview.com/;
- электронный справочник «Информио» http://www.informio.ru/.
12. Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины (модуля).
12.1 Основная литература:
Основная:
1. Гусельников, Н.С. Введение в теорию функций действительного переменного [Текст]. Ч.1.
Множества: учеб.пособие для физ.-мат. фак.пед. вузов/ Н.С. Гусельников. - Ишим: Изд-во ИГПИ им.
П.П. Ершова, 2010. - 156 с. – 21 экз.
2. Гусельников, Н.С. Введение в теорию функций действительного переменного [Текст]. Ч.2. Мера
и интеграл Лебега: учеб.пособие для физ.-мат. фак.пед. вузов/ Н.С. Гусельников. - Ишим: Изд-во
ИГПИ им. П.П. Ершова, 2011. - 236 с. – 50 экз.
3. Натансон, И.П. Теория функций вещественной переменной [Текст]: учеб. пособие для вузов /
И.П.Натансон. – Изд.4-е, стер. – М.: Лидер-М, 2008. – 480 с. – 50 экз.
21 экз.
50 экз.
50 экз.
12.2 Дополнительная литература:
Дополнительная:
1. Далингер, В.А. Избранные главы математического анализа в задачах [Текст] :учеб.пособие / В. А.
Далингер ; С.Д.Симонженков. - Омск : Амфора, 2010. - 126 с.
2. Липчинский, А.Г. Сборник задач по математическому анализу [Текст] : введение в анализ / А. Г.
Липчинский. - Ишим : Изд-во ИГПИ им. П.П. Ершова, 2009. - 196 с.
3. Математический анализ [Текст] :учеб.пособие для бакалавров / А.М. Кытманов [и др.] ; под общ.
ред. А.М. Кытманова. - М. :Юрайт, 2012. - 607 с.
4 экз.
17 экз.
1 экз.
12.3 Интернет-ресурсы:
№
Наименование
электроннобиблиотечной системы
(ЭБС)
Принадлежн
ость
Адрес сайта
Наименование
организациивладельца, реквизиты
договора на
использование
1.
Электронно-библиотечная
система «Университетская
библиотека онлайн»
сторонняя
http://biblioclub.r
u
подписка ТюмГУ
2.
Электронно-библиотечная
система Elibrary
сторонняя
http://elibrary.ru
ООО "РУНЭБ".
Договор № SV-2503/2014-1 на период с 05
марта 2014 года до 05
марта 2015 года.
3.
Универсальная справочно- сторонняя
информационная
полнотекстовая база
данных “EastView” ООО
«ИВИС»
http://dlib.eastvie
w.com/
ООО "ИВИС".
Договор № 64 - П от 03
апреля 2014 г. на период
с 04 апреля 2014 года до
03 апреля 2015 года.
http://diss.rsl.ru/?l подписка ТюмГУ (1
ang=ru
рабочее место, подписка
в 2015 г.)
4.
Электронная библиотека:
Библиотека диссертаций
сторонняя
5.
Межвузовская
электронная библиотека
(МЭБ)
корпоративн
ая
http://icdlib.nspu.
ru/
6.
Автоматизированная
библиотечная
информационная система
МАРК-SOL 1.10 (MARC
21) (Электронный
каталог)
библиографическая база
данных
сторонняя
локальная сеть
Совместный проект с
ФГБОУ ВПО
«Новосибирский
государственный
педагогический
университет»
Научнопроизводственное
объединение
«ИНФОРМ-СИСТЕМА».
Гос.контракт № 07034 от
20.09.2007 г., бессрочно
13. Перечень информационных технологий, используемых при осуществлении
образовательного процесса по дисциплине (модулю), включая перечень программного
обеспечения и информационных справочных систем (при необходимости).
Пакет программ Microsoft Office.
14. Технические средства и материально-техническое обеспечение дисциплины (модуля).
Для обеспечения освоения данного курса имеются учебные и методические пособия,
методические и психолого-педагогические журналы и газеты.
15. Методические указания для обучающихся по освоению дисциплины (модуля).
Методические рекомендации преподавателю:
Дисциплина «Элементы теории функций» представляет собою логически стройное и
гармонически связное знание, и знакомство с основными вопросами этой теории, бесспорно,
является необходимым элементом математического образования.
Дисциплина «Элементы теории функций» является одной из базовых дисциплин в
образовательной программе подготовки учителя математики. Помимо ее самостоятельного
значения, она является основой для изучения таких дисциплин, как «Математический анализ»,
«Теория функций комплексного переменного», «Дифференциальные уравнения и уравнения с
частными производными».
Содержание курса может быть использовано студентами (будущими учителями
математики) при проведении занятий в классах с углубленным изучением математики.
На практических занятиях по курсу теории функций действительного переменного должны
быть выработаны соответствующие навыки и умения, связанные с решением примеров и задач.
Методические рекомендации студентам:
Студенту следует помнить, что дисциплина«Элементы теории функций» предусматривает
обязательное посещение студентом лекций и практических занятий. Она реализуется через
систему аудиторных и домашнихработ, входных, текущих и итоговых контрольных работ,
систему курсовых работ.Самостоятельная работа студентов заключается ввыполнении домашних
заданий с целью подготовки к практическим занятиям, выполнение курсовых работ и
вариантовконтрольных работ. Результаты самостоятельной работы оформляются в виде курсовых
работ.Контроль над самостоятельной работой студентов и проверка их знаний проводится в виде
контрольных работ, собеседования изачета.
Дополнения и изменения к рабочей программе на 201 / 201 учебный год
В рабочую программу вносятся следующие изменения:
Рабочая программа пересмотрена и одобрена на заседании кафедры «» 201г.
Заведующий кафедрой//
Подпись
Ф.И.О.