=== Аналитическая геометрия ===

Алгебра и геометрия
Годовой обязательный курс для студентов 1-го курса бакалавриата департамента
математики, механики и компьютерных наук Института математики и компьютерных
наук УрФУ (направления подготовки «Фундаментальная информатика и
информационные технологии» и «Прикладная информатика»).
Содержание курса:
I семестр
I. Введение в алгебру
1. Множества и отображения. Понятие множества. Элементы множества, подмножество,
равенство множеств, пустое и универсальное множества. Теоретико-множественные
операции (объединение, пересечение и разность множеств, дополнение множества),
свойства этих операций. Объединение и пересечение семейств множеств, их свойства.
Прямое произведение множеств и его свойства. Отображение из одного множества в
другое (теоретико-множественное и функциональное определения). Инъекция,
сюръекция, биекция. Обратное отображение и критерий его существования. Произведение
отображений. Равномощные множества. Мощность конечного множества. Мощность
прямого произведения конечного числа конечных множеств и декартовой степени
конечного множества. Булеан множества. Мощность булеана конечного множества.
2. Бинарные отношения. Понятие отношения произвольной арности. Бинарные и
тернарные отношения. Примеры бинарных отношений. Основные типы бинарных
отношений: рефлексивные, симметричные, антисимметричные и транзитивные
отношения, примеры отношений каждого типа. Теоретико-множественные операции над
бинарными отношениями. Отношение, обратное к данному. Транзитивное замыкание
бинарного отношения. Произведение бинарных отношений, его ассоциативность.
Отношения эквивалентности. Примеры (сравнимость по модулю, равномощность,
подобие треугольников). Разбиение множества. Связь между отношениями
эквивалентности и разбиениями. Фактор-множество. Отношения частичного порядка и
частично упорядоченные множества. Примеры (естественное отношение порядка на
числовых множествах, делимость натуральных чисел, отношение включения на
множествах). Сравнимость элементов. Отношения линейного порядка и линейно
упорядоченные множества. Отношение покрытия и диаграмма частично упорядоченного
множества. Максимальные, минимальные, наибольшие и наименьшие элементы.
Квазиупорядоченные множества, ассоциированные элементы.
3. Размещения, перестановки, сочетания. Размещения на конечном множестве. Число
размещений. Перестановки на конечном множестве. Число перестановок. Транспозиции.
Теорема об упорядочении перестановок. Инверсии в перестановке, четные и нечетные
перестановки. Смена четности в результате транспозиции. Число четных и нечетных
перестановок на данном множестве. Сочетания. Число сочетаний. Биномиальные
коэффициенты и их свойства. Биномиальная формула Ньютона. Треугольник Паскаля.
4. Универсальные алгебры и их основные типы. Понятие алгебраической операции
произвольной арности. 0-арные, унарные, бинарные и тернарные операции. Определение
и примеры универсальных алгебр. Группоиды. Ассоциативные и коммутативные
операции. Полугруппы, нейтральные элементы, моноиды. Примеры полугрупп и
моноидов (в том числе свободная полугруппа и свободный моноид над данным
алфавитом). Обратимые и обратные элементы. Группы, примеры групп (в том числе
подстановки на множестве и симметрические группы). Аддитивный и
мультипликативный способы записи бинарной операции. Дистрибутивность одной
операции относительно другой. Кольца, примеры колец (в том числе кольца вычетов).
Делители нуля. Поля, примеры полей (в том числе поля вычетов по простому модулю).
Характеристика поля. Подалгебры. Изоморфизм, гомоморфизм и изоморфное вложение.
5. Комплексные числа. Определение комплексных чисел и действий над ними. Вложение
действительных чисел в комплексные. Мнимая единица и алгебраическая форма записи
комплексных чисел. Поле комплексных чисел. Комплексное сопряжение и его свойства.
Геометрическая интерпретация комплексных чисел, модуль и аргумент комплексного
числа. Модуль суммы и сумма модулей комплексных чисел. Тригонометрическая форма
записи комплексных чисел. Умножение и возведение в степень комплексных чисел в
тригонометрической форме записи. Формула Муавра. Извлечение корней из комплексных
чисел.
II. Системы линейных уравнений
1. Строение общего решения системы линейных уравнений. Однородные и неоднородные
системы линейных уравнений, однородная система, соответствующая данной
неоднородной. Частное и общее решение системы. Совместные и несовместные системы.
Нулевое решение и совместность однородной системы. Теорема о строении общего
решения системы. Определенные и неопределенные системы. Следствие о числе решений
неопределенной системы над бесконечным полем.
2. Метод Гаусса решения систем линейных уравнений. Понятие матрицы. Квадратная
матрица. Размер матрицы и порядок квадратной матрицы. Ступенчатые матрицы.
Элементарные преобразования матрицы. Приведение матрицы к ступенчатому виду с
помощью элементарных преобразований. Основная и расширенная матрицы системы.
Замкнутость общего решения системы относительно элементарных преобразований ее
расширенной матрицы. Случаи несовместной системы, определенной системы и
неопределенной системы. Свободные переменные. Координатная запись общего решения
неопределенной системы. Число свободных переменных. Признак наличия ненулевого
решения у однородной системы. Треугольные и диагональные матрицы, единичная
матрица. Метод Гаусса-Жордана для неопределенных и для определенных систем.
3. Определители. Связь между перестановками и подстановками на конечном множестве.
Число подстановок на конечном множестве. Определение определителя. Определители 1го, 2-го и 3-го порядков. Правило треугольников. Транспонирование матрицы. Свойства
определителей, принцип равноправия строк и столбцов. Разложение определителя по
строке или столбцу. Треугольные и диагональные матрицы. Единичная матрица.
Определитель треугольной матрицы, вычисление определителя приведением к
треугольному виду.
4. Крамеровские системы линейных уравнений. Понятие крамеровской системы. Теорема
Крамера и следствия из нее (в частности, критерий единственности решения
крамеровской системы и критерий существования ненулевого решения однородной
крамеровской системы).
III. Векторная алгебра
1. Линейные операции над векторами. Направленные отрезки. Сонаправленные,
противонаправленные и коллинеарные направленные отрезки. Вектор как класс
эквивалентности на множестве всех направленных отрезков, направленный отрезок как
изображение вектора. Сонаправленные, противонаправленные и коллинеарные векторы.
Сумма векторов, умножение вектора на число и свойства этих операций. Орт вектора.
Критерий коллинеарности векторов. Базис на плоскости и в пространстве, теоремы о
разложении вектора по базису на плоскости и в пространстве, координаты вектора в
базисе. Координаты суммы векторов и произведения вектора на число. Ортогональный и
ортонормированный базис.
2. Скалярное произведение векторов. Определение и свойства скалярного произведения.
Критерий ортогональности векторов. Ослабленный закон сокращения для скалярного
произведения. Вычисление скалярного произведения векторов по координатам в
ортонормированном базисе.
3. Векторное произведение векторов. Ориентация тройки векторов. Определение и
свойства векторного произведения. Критерий коллинеарности векторов на языке
векторного произведения. Геометрический смысл векторного произведения. Вычисление
векторного произведения векторов по координатам в правом ортонормированном базисе.
4. Смешанное произведение векторов. Определение и свойства смешанного произведения.
Критерий компланарности векторов. Геометрический смысл смешанного произведения.
Вычисление смешанного произведения векторов по координатам в правом
ортонормированном базисе. Выяснение вопроса о компланарности тройки векторов по их
координатам в произвольном базисе.
5. Система координат. Координаты точки. Понятие системы координат. Координаты
точки. Деление отрезка в данном отношении. Матрица перехода от одного базиса к
другому. Формулы замены системы координат. Формулы поворота системы координат на
плоскости. Прямоугольная декартова система координат на плоскости и в пространстве.
IV. Прямые и плоскости
1. Прямая на плоскости. Общее и параметрические уравнения линии на плоскости. Виды
уравнений прямой на плоскости (параметрические, каноническое, по двум точкам, общее,
с угловым коэффициентом, в отрезках). Взаимное расположение двух прямых. Пучок
прямых. Главный вектор прямой и его свойства. Полуплоскости, определяемые прямой.
Расстояние от точки до прямой на плоскости.
2. Плоскость. Общее и параметрические уравнения поверхности. Виды уравнений
плоскости (параметрические, каноническое, по трем точкам, общее, в отрезках). Взаимное
расположение двух плоскостей. Пучок плоскостей. Главный вектор плоскости и его
свойства. Полупространства, определяемые плоскостью. Расстояние от точки до
плоскости.
3. Прямая в пространстве. Общие и параметрические уравнения линии в пространстве.
Виды уравнений прямой в пространстве (параметрические, канонические, по двум точкам,
общие). Нахождение направляющего вектора прямой, заданной общими уравнениями.
Взаимное расположение прямой и плоскости. Взаимное расположение двух прямых.
Общий перпендикуляр к скрещивающимся прямым, расстояние между скрещивающимися
прямыми. Расстояние от точки до прямой в пространстве.
V. Многочлены от одной переменной
1. Многочлены и действия над ними. Многочлены как последовательности. Кольцо
многочленов. Степень многочлена. Необратимые элементы кольца многочленов.
Привычная запись многочлена. Деление многочлена на многочлен с остатком.
Ассоциированные многочлены. Наибольший общий делитель многочленов, алгоритм
Евклида нахождения НОД. Взаимно простые многочлены. Теорема Безу. Корень
многочлена и следствие из теоремы Безу. Кратность корня многочлена.
2. Разложение многочленов на неприводимые множители. Неприводимые многочлены.
Теорема о разложении многочлена на неприводимые множители. Производная
многочлена и ее свойства. Неприводимые множители многочлена и его производной.
Отделение кратных множителей. Связь неприводимости с отсутствием корней у
многочленов степени 2 и 3. Рациональные дроби. Правильные и простейшие дроби.
Представление правильной рациональной дроби в виде суммы простейших дробей.
3. Неприводимые многочлены над основными числовыми полями. Основная теорема
высшей алгебры (без доказательства). Разложимость и неприводимость над полем
комплексных чисел. Рациональные дроби над этим полем. Обобщенная теорема Виета.
Комплексные корни многочленов с действительными коэффициентами. Разложимость и
неприводимость над полем действительных чисел. Рациональные дроби над этим полем.
Примитивные многочлены над кольцом целых чисел. Лемма Гаусса. Эквивалентность
неприводимости над полем рациональных чисел и над кольцом целых чисел. Критерий
Эйзенштейна. Подбор рациональных корней.
VI. Векторные пространства
1. Векторное пространство, линейная зависимость и независимость векторов.
Определение векторного пространства. Примеры векторных пространств (плоскость и
физическое 3-мерное пространство, пространство строк над данным полем, пространства
многочленов, функций и матриц, пространство решений однородной системы линейных
уравнений, нулевое пространство). Простейшие следствия из аксиом векторного
пространства. Линейная комбинация векторов, линейно зависимые и независимые
системы векторов. Связь с коллинеарностью и компланарностью векторов на плоскости и
в 3-мерном пространстве. Свойства линейно зависимых и независимых систем векторов.
2. Базис векторного пространства. Определение базиса и системы образующих, связь
между этими понятиями. Связь с базисом плоскости и 3-мерного пространства в смысле
векторной алгебры. Стандартный базис в пространстве строк, базисы в других
пространствах. Конечномерные пространства. Разложение вектора по базису и
координаты вектора. Координаты суммы векторов и произведения вектора на скаляр.
Равномощность базисов и размерность пространства. Дополняемость линейно
независимой системы векторов до базиса. Изоморфизм векторных пространств, теорема
об изоморфизме конечномерных векторных пространств.
3. Подпространства и линейные многообразия. Определение подпространства. Примеры
подпространства на плоскости и в 3-мерном пространстве (подпространство, порожденное
данным набором векторов, нулевое подпространство, общее решение однородной
системы линейных уравнений как подпространство пространства строк). Размерность
подпространства. Линейное многообразие, вектор сдвига и направляющее
подпространство. Примеры линейных многообразий (подпространство, вектор, общее
решение совместной системы линейных уравнений, прямая на плоскости). Критерий
равенства линейных многообразий. Единственность направляющего подпространства и
следствие о векторе сдвига.
4. Сумма, пересечение и прямая сумма подпространств. Сумма и пересечение
подпространств. Теорема о размерности суммы и пересечения. Прямая сумма
подпространств, теорема о прямой сумме. Проекция вектора на подпространство
параллельно другому подпространству. «Дополняющее» подпространство.
II семестр
VII. Матрицы
1. Действия над матрицами. Свойства транспонирования матрицы. Умножение матриц.
Свойства умножения. Ослабленный закон сокращения для матриц. Полураспавшаяся
матрица и ее определитель. Определитель произведения матриц. Кольцо матриц и
многочлены над ним. Присоединенная матрица. Значение многочлена от квадратной
матрицы. Характеристический многочлен матрицы. Многочлены, аннулирующие
матрицы. Теорема Гамильтона-Кэли. Матричная запись системы линейных уравнений.
Матричное уравнение вида АХ=В: редукция к набору систем линейных уравнений,
алгоритмы решения в общем случае и в случае невырожденной квадратной матрицы A.
Редукция матричного уравнения вида ХА=В к уравнению вида АХ=В.
2. Обратная матрица. Понятие обратной и обратимой матрицы. Критерий обратимости и
формула для вычисления обратной матрицы. Свойства обратной матрицы. Применение
обратной матрицы к решению систем линейных уравнений и матричных уравнений видов
АХ=В, ХА=В и АХВ=С. Нахождение обратной матрицы с помощью элементарных
преобразований. Вложение поля комплексных чисел в кольцо квадратных матриц 2-го
порядка над полем действительных чисел.
3. Ранг матрицы. Ранг матрицы по строкам и по столбцам. Минор матрицы. Ранг матрицы
по минорам. Сохранение рангов по строкам и по минорам при элементарных
преобразованиях матрицы. Ранги ступенчатой матрицы по строкам и по минорам.
Теорема о ранге матрицы, определение ранга. Способ нахождения ранга матрицы с
помощью элементарных преобразований. Ранг произведения матриц. Теорема КронекераКапелли.
4. Фундаментальная система решений однородной системы линейных уравнений.
Определение фундаментальной системы решений. Теорема о размерности пространства
решений однородной системы, связь этого параметра с числом свободных переменных.
Способ нахождения фундаментальной системы решений. Векторная запись общего
решения произвольной системы линейных уравнений. Нахождение базиса пересечения
подпространств.
VIII. Линейные операторы
1. Линейный оператор, матрица оператора в базисе. Понятие и примеры линейного
оператора (в том числе операторы поворота на плоскости и симметрии относительно
прямой или плоскости, оператор растяжения, единичный и нулевой операторы, оператор
проектирования на подпространство параллельно другому подпространству, оператор
дифференцирования в пространстве многочленов). Теорема существования и
единственности линейного оператора. Матрица линейного оператора в базисе.
Нахождение координат вектора с помощью матрицы оператора. Матрица перехода от
одного базиса к другому, способ ее нахождения, ее невырожденность и связь с матрицей
обратного перехода. Изменение координат вектора при замене базиса. Изменение
матрицы оператора при замене базиса. Подобие матриц.
2. Образ и ядро линейного оператора. Понятия образа и ядра. Ранг и дефект линейного
оператора. Теорема о размерности образа и ядра. Алгоритмы нахождения базисов образа и
ядра. Алгоритм Чуркина их одновременного нахождения. Инъективность и
сюръективность линейного оператора. Изоморфизм и линейные операторы. Прообраз
подпространства при линейном операторе.
3. Действия над линейными операторами. Сложение линейных операторов, умножение
линейного оператора на скаляр и свойства этих операций. Изоморфизм векторных
пространств линейных операторов и матриц. Умножение линейных операторов. Значение
многочлена от линейного оператора. Многочлены, аннулирующие линейный оператор.
Характеристический многочлен линейного оператора и теорема Гамильтона-Кэли для
линейных операторов. Перестановочные операторы. Обратимые операторы.
4. Инвариантные подпространства. Понятие инвариантного подпространства.
Инвариантные подпространства и полураспавшиеся матрицы. Теорема о прямой сумме
инвариантных подпространств. Перестановочные операторы и инвариантные
подпространства. Инвариантность подпространств и многочлены от линейных
операторов.
5. Собственные векторы и собственные значения линейного оператора. Определение
собственных векторов и собственных значений. Теоремы о собственных векторах,
относящихся к одному и тому же собственному значению и к разным собственным
значениям. Собственные значения и корни характеристического уравнения оператора.
Критерий и достаточное условие приводимости линейного оператора к диагональному
виду.
6. Нильпотентные операторы. Определение нильпотентного оператора и ступени его
нильпотентности. Нильпотентность оператора дифференцирования. Клеточнодиагональная матрица, клетка Жордана и жорданова нормальная форма матрицы.
Нильслои и их свойства. Жордановы системы и таблицы. Элементарные преобразования
жордановой таблицы. Критерий линейной независимости жордановой таблицы. Теорема о
жордановом базисе для нильпотентного оператора. Основная теорема о нильпотентных
операторах. Число нильслоев данной длины в жордановом базисе. Характеристический
многочлен и собственное значение нильпотентного оператора.
7. Приведение матрицы оператора к жордановой нормальной форме. Цепочки ядер и
образов степеней линейного оператора. Разложение Фитинга. Корневые подпространства.
Теорема о корневом разложении. Жорданов базис. Теорема о приведении матрицы
оператора к жордановой нормальной форме. Алгоритм нахождения базисов корневых
подпространств. Применение теоремы о приведении матрицы оператора к жордановой
нормальной форме для вычисления степеней матрицы.
IX. Евклидовы и унитарные пространства
1. Скалярное произведение в векторном пространстве. Определение евклидовых и
унитарных пространств. Примеры и простейшие свойства пространств со скалярным
произведением. Ослабленный закон сокращения в таких пространствах. Длина и орт
вектора. Неравенство Коши-Буняковского. Угол между векторами. Неравенство
Минковского. Расстояние между векторами и его свойства. Матрица Грама. Вычисление
скалярного произведения с помощью матрицы Грама. Критерий линейной независимости
системы векторов на языке матрицы Грама.
2. Ортогональность. Ортогональные и ортонормированные наборы векторов. Линейная
независимость ортогонального набора ненулевых векторов. Вычисление скалярного
произведения в ортонормированном базисе. Процесс ортогонализации Грама-Шмидта.
Дополнение ортогональной системы ненулевых векторов до ортогонального базиса.
Ортогональное дополнение к подпространству и его свойства. Ортогональное разложение
векторного пространства. Ортогональная проекция вектора на подпространство и
ортогональная составляющая вектора относительно подпространства. Расстояние от
вектора до подпространства, угол между вектором и подпространством. Нахождение
базиса пересечения подпространств с помощью ортогонального дополнения.
3. Сопряженный оператор. Определение оператора, сопряженного к данному линейному
оператору. Существование, единственность и линейность сопряженного оператора.
Свойства сопряженных операторов. Матрица сопряженного оператора. Эрмитово
сопряженная матрица. Самосопряженный оператор. Ортогональночсть собственных
векторов самосопряженного оператора в евклидовом пространстве, относящихся к
различным собственным значениям. Эрмитовы матрицы. Эрмитовость матрицы
самосопряженного оператора в ортонормированном базисе. Свойства самосопряженного
оператора. Основная теорема о самосопряженном операторе. Унитарные, ортогональные и
симметрические матрицы, их свойства.
X. Квадратичные формы
1. Приведение формы к каноническому виду и закон инерции. Понятие линейной и
квадратичной формы. Матрица и матричная запись квадратичной формы. Невырожденная
линейная замена переменных и ее матрица, матричная запись замены переменных.
Обратная замена. Канонический вид квадратичной формы. Приведение квадратичной
формы к каноническому виду методом Лагранжа и методом приведения к главным осям.
Закон инерции квадратичных форм.
2. Положительно определенные квадратичные формы. Определение положительно
определенной формы. Критерий положительной определенности формы в терминах ее
канонического вида. Критерий Сильвестра.
XI. Квадрики на плоскости
1. Эллипс. Каноническое уравнение. Расположение эллипса на плоскости. Эксцентриситет,
фокусы, директрисы, физический смысл фокусов и эксцентриситета. Вычисление
фокальных радиусов. Фокальное, директориальное и оптическое свойства эллипса.
2. Гипербола. Каноническое уравнение. Асимптоты. Расположение гиперболы на
плоскости. Эксцентриситет, фокусы, директрисы. Вычисление фокальных радиусов.
Фокальное, директориальное и оптическое свойства гиперболы. «Школьное» уравнение
гиперболы. Равносторонняя гипербола.
3. Парабола. Каноническое уравнение. Расположение параболы на плоскости. Фокус и
директриса. Теорема о параболе. Оптическое свойство параболы. «Школьное» уравнение
параболы.
4. Классификация квадрик на плоскости. «Вырожденные» квадрики на плоскости.
Классификационная теорема.
XII. Квадрики в пространстве
1. Цилиндрические и конические поверхности. Определение цилиндрической поверхности.
Образующие и направляющая цилиндрической поверхности. Выбор плоской
направляющей. Каноническое уравнение цилиндрической поверхности. Эллиптический,
гиперболический и параболический цилиндры. Определение конической поверхности.
Образующие, направляющая и вершина конической поверхности. Конус второго порядка
как коническая поверхность.
2. Эллипсоиды, гиперболоиды, параболоиды. Канонические уравнения эллипсоида,
однополостного и двуполостного гиперболоидов, эллиптического и гиперболического
параболоидов. Исследование формы этих поверхностей методом сечений. Оптическое
свойство эллиптического параболоида.
3. Классификация квадрик в пространстве. «Вырожденные» квадрики в пространстве.
Классификационная теорема.
4. Прямолинейные образующие квадрик в пространстве. Определение прямолинейной
образующей. Уравнения и свойства прямолинейных образующих однополостного
гиперболоида и гиперболического параболоида.