Задания муниципального этапа всероссийской олимпиады школьников по математике 2010-2011 учебный год

Задания муниципального этапа всероссийской олимпиады
школьников по математике
2010-2011 учебный год
7 класс
1. В выражении 1 2  3  4  5  6  7 из 13 символов зачеркните ровно три так, чтобы
значение этого выражения стало 2010.
2. У пиратов в ходу монеты в один, два и пять пиастров. В кармане у Капитана
Флинта 13 пиастров. Сколько монет может быть у него в кармане, если известно,
что там есть монеты всех типов (укажите все варианты и докажите, что других
нет)?
3. Закрасьте клетки квадрата 4  4 в 4 цвета так, чтобы одинаковые цвета не
повторялись ни в строчках, ни в столбцах, ни по обеим диагоналям.
4. Девочка заменила каждую букву в своем имени ее номером в русском
алфавите, а пробелы поставить забыла. Получилось число 141261. Как её зовут?
5. Если у осьминога чётное число ног, он всегда говорит правду. Если нечётное, то он
всегда
лжёт.
Однажды
зелёный
осьминог
сказал
тёмно-синему:
–– У меня 8 ног. А у тебя только 6.
–– Это у меня 8 ног,–– обиделся тёмно-синий.––А у тебя всего 7.
–– У тёмно-синего действительно 8 ног,–– поддержал фиолетовый и похвастался: –
А вот у меня целых 9!
–– Ни у кого из вас не 8 ног,–– вступил в разговор полосатый осьминог.–– Только у
меня 8 ног!
У кого из осьминогов было ровно 8 ног?
1
Задания муниципального этапа всероссийской олимпиады
школьников по математике
2010-2011 учебный год
8 класс
1. В выражении 1 2  3  4  5  6  7 из 13 символов зачеркните ровно три так, чтобы
значение этого выражения стало 2010.
2. Докажите, что треугольник, у которого две медианы равны и пересекаются под
прямым углом, является равнобедренным.
3. Девочка заменила каждую букву в своем имени ее номером в русском
алфавите, а пробелы поставить забыла. Получилось число 141261. Как ее зовут?
4. У подводного царя служат осьминоги с шестью, семью или восемью ногами. Те, у
кого 7 ног, всегда лгут, а у кого 6 или 8 ног, всегда говорят правду. Встретились
четыре осьминога. Синий сказал: «Вместе у нас 28 ног», зелёный: «Вместе у нас 27
ног», жёлтый: «Вместе у нас 26 ног», красный: «Вместе у нас 25 ног». У кого
сколько ног?
5. Известно, что числа 2a – b, 2b – c и 2c – a положительны. Докажите, что каждое из
чисел a, b, c положительно.
2
Задания муниципального этапа всероссийской олимпиады
школьников по математике
2010-2011 учебный год
9 класс
1. Разница между десятизначными номерами мобильных телефонов Пети и Васи
равна 20102010. Могут ли оба номера быть точными квадратами натуральных
чисел?
2. Две биссектрисы треугольника пересекаются под углом 60 градусов. Докажите, что
один из углов этого треугольника равен 60 градусам.
3. Известно, что числа 2a – b, 2b – c и 2c – a положительны. Докажите, что каждое из
чисел a, b, c положительно.
4. В вершинах правильного восьмиугольника расставлены знаки + и –. Каждой
вершине сопоставляется тройка знаков. Например, (+, – , +). На первом месте
которой стоит знак из соседней вершины справа, на втором из самой вершины, а на
третьем из соседней слева. Сколько имеется вариантов расстановки знаков при
условии: все 8 возникающих троек (для каждой вершины) попарно различны?
5. Сколько корней имеет уравнение x2 + px + q = 0, если известно, что p + q < –1?
3
Задания муниципального этапа всероссийской олимпиады
школьников по математике
2010-2011 учебный год
10 класс
1. В круг радиуса 1 помещено два треугольника, площадь каждого из них больше 1.
Доказать, что эти треугольники пересекаются.
2. Сколько действительных корней имеет уравнение x2 + px + q = 0, если известно,
что p + q < –1?
3. Биссектриса угла C треугольника ABC пересекает описанную около него
окружность в точке K . Пусть O - центр вписанной в ABC окружности.
Доказать, что треугольник AKO - равнобедренный.
4. На доске записали 3 целых числа a, b, c. Каждую минуту вместо этих трёх чисел на
доску записываются числа |a – b|, |b – c|, |c – a|. Верно ли, что вне зависимости от
выбора начальной тройки чисел в некоторый момент времени на доске появится
хотя бы один нуль?
5. На окружности отмечено 2010 точек, разделяющих её на 2010 дуг, из которых
третья часть имеют длину 1, ещё треть – длину 2, а оставшиеся – длину 3.
Докажите, что среди отмеченных точек найдутся две диаметрально
противоположные.
4
Задания муниципального этапа всероссийской олимпиады
школьников по математике
2010-2011 учебный год
11 класс
1. Квадратные трехчлены x2 + px + q с целыми коэффициентами имеют целые корни
и p + q = 30. Найдите все такие трёхчлены.
2. Найдите все значения a, для которых неравенство 9 x  a  3 x  a  3  0 имеет хотя
бы одно решение.
3. Дан прямоугольник со сторонами 3 и 4. Биссектрисы всех его углов, пересекаясь попарно, образуют четырёхугольник. Найдите площадь этого четырёхугольника.
 
sin   sin   sin   1,
 ,  ,   0; 
4. Пусть
удовлетворяют равенствам
 2
sin  cos 2  sin  cos 2  sin  cos 2  1. Чему равно sin 2   sin 2   sin 2  ?
5. На окружности отмечено 2010 точек, разделяющих её на 2010 дуг, из которых
третья часть имеют длину 1, ещё треть – длину 2, а оставшиеся – длину 3.
Докажите, что среди отмеченных точек найдутся две диаметрально
противоположные.
5