Муниципальное бюджетное образовательное учреждение Лицей №180 Ленинского района г.Н.Новгорода

Муниципальное бюджетное образовательное учреждение
Лицей №180
Ленинского района г.Н.Новгорода
Научное общество учащихся
Решение не стандартных задач.
Выполнила: Бондарева Полина,
ученица 7«В» класса
Научный руководитель:
Калинина Е.А.,
Учитель алгебры, геометрии
2014
1
Я решила выбрать эту тему, потому что ее изучение позволяет решать
трудные и не совсем обычные задачи более понятными и простыми путями.
В ней есть много теории, которую не узнаешь на уроках. Разбираются задачи,
которые могут встретиться в олимпиадах. Благодаря теории, заключенной в
этом докладе можно понять, как более правильно оформить само решении
нестандартной задачи, так что бы его понимал не только автор.. Многие
задачи, которые на первый взгляд кажутся невероятно сложными, будут
доступно решаемыми, если понять и осознать правильность применения
того, о чем я расскажу в своем докладе.
В некоторых олимпиадных задачах важны соображения чётности. Например,
число вершин графа, к которым примыкает нечётное число рёбер, всегда
чётно. Соображения подобного рода полезны и в других задачах. В
большинстве задач величину, которая сохраняет свою чётность, необходимо
сконструировать. При решении подобного рода задач бывает полезно
использовать метод от противного. Бывает, полезна и раскраска в большее
число цветов.
1. Докажите, что если из шахматной доски размером 8×8 вырезаны две
произвольные клетки разного цвета, то оставшуюся часть доски всегда
можно замостить костями домино размером 1×2.
Решение
На рисунке показано, что клетки шахматной доски можно обойти в
циклическом порядке так, чтобы вернуться на то же самое место, с которого
начинали обход. При этом полученный коридор можно замостить костями
домино двумя разными способами, положив первую кость произвольно (на
поворотах есть два способа положить кости домино). При указанном обходе
цвета клеток чередуются, поэтому если мы вырежем две клетки разного
цвета, то наш цикл распадётся на два отрезка пути, состоящих из чётного
числа клеток (если вырезаны две соседние клетки, то может получиться один
отрезок). Каждый из этих отрезков мы можем замостить очевидным образом.
Изображая элементы, некоторого множества точками и соединяя некоторые
пары точек отрезками, мы получаем наглядное представление для очень
популярного объекта дискретной математики. Он называется графом; точки
называются вершинами, отрезки – рёбрами графа. Некоторые вершины графа
2
могут быть не соединены рёбрами. Точки пересечения рёбер графа на его
изображении не всегда считаются его вершинами, поэтому вершины графа
часто выделяют кружочками.
Вершина называется чётной (нечётной), если она принадлежит чётному
(нечётному) числу рёбер. Граф называется чётным, если все его вершины
чётные.
Клетчатая плоскость раскрашена десятью красками так, что соседние (то есть
имеющие общую сторону) клетки покрашены в разные цвета, причём все
десять красок использованы. Каково минимально возможное число пар
соседних красок? (Две краски называются соседними, если ими покрашены
какие-то две соседние клетки.)
Решение
Каждому раскрашиванию плоскости поставим в соответствие граф
следующим образом. Изобразим краски точками с номерами 1, 2, 3, … , 10.
Ясли краски соседние, то соединим соответствующие точки ребром. Тогда
каждой паре соседних красок будет соответствовать ребро графа. Очевидно,
что из каждой вершины графа выходит хотя бы одно ребро. Полученный
граф должен быть связным, потому что иначе плоскость разобьётся на
несколько отдельных частей, что невозможно. Наименьшее количество рёбер
в связных графах с одинаковым количеством вершин – у дерева. Значит,
количество пар соседних красок не может быть меньше чем 9. Остаётся
указать такой способ раскрашивания плоскости, при котором количество пар
соседних красок равно 9. Это можно сделать, например, так, – раскрасить
каждую диагональ одной краской, причём краски чередовать в таком
порядке:
… 3, 2, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3 … .
Следующий рисунок даёт зрительное представление предложенного способа
раскраски плоскости.
Ответ: 9.
Существуют несколько различных способов решения логических задач. Вот
некоторые из них:
Способ рассуждений – самый простой способ. Этим способом решаются
самые простые логические задачи. Его идея состоит в том, что мы проводим
рассуждения, используя последовательно все условия задачи, и приходим к
выводу, который и будет являться ответом задачи.
3
Способ таблиц – распространённый прием, который используется при
решении текстовых логических задач, заключается в построении таблиц.
Таблицы не только позволяют наглядно представить условие задачи или ее
ответ, но в значительной степени помогают делать правильные логические
выводы в ходе решения задачи.
Способ «с конца» – довольно часто применим в задачах с предугадываемым
ответом, и состоит в анализе ответа или конечной стадии некоторого
процесса, описанного в задаче.
Способ блок-схем – подходит, например, к решению задач "на переливание".
2. «Супер королева» – это шахматный ферзь, который может ходить еще и
как конь. Надо разместить четырех супер королева на доске 5 на 5 таким
образом, чтобы ни одна из них не могла атаковать другую. Если вам это
удастся, то попробуйте 10 супер королев разместить на доске 10 на 10 так,
чтобы ни одна не имела возможности напасть на другую. Обе задачи имеют
единственное решение, если не учитывать повороты доски и ее зеркальные
отражения.
С помощью способа рассуждений можно решить эту задачу. Если хорошо
подумать, то в итоге получится ответ, изображенные на данных картинках.
Теперь понятно, что на первый взгляд очень сложные задачи могут иметь
довольно простое решение, если вы ознакомились со способами решения,
приведенными в моем докладе. В нем рассказывалось о возможности
решения задач с помощью графических рисунков, теорем, логических
действий, математических изысканий, исследований и некоторых не совсем
стандартных способов решения.
4