Задание (скачать)

Предмет : Математический аппарат для
построения компьютерных сетей
Задание по необходимо выполнить до
08.02.2016
1.Переписать в конспект теоретическую часть
и разобранные примеры
2.Выполнить задания(их два) в Word
3.Выполненные задания и вопросы высылать
на эл.адрес irinakuz_09@mail.ru
Раскраска графов
Раскраска графов
Определение. Пусть G=(V, E) – неориентированный граф и k
– натуральное число.
Функция f: V{1,…,k} называется раскраской графа.
Раскраска называется правильной, если для любых смежных
вершин x,yV справедливо неравенство f(x) ≠ f(y). Число k
– количество красок раскраски f.
Определение. Наименьшее число красок, необходимое для
правильной раскраски графа G называется
хроматическим числом графа G.
Правильную раскраску таким числом красок будем называть
оптимальной.
Хроматическое число обозначается через χ(G).
Пример
χ(G1) = 3
χ(G2) = 4
Алгоритм последовательной раскраски
Упорядочиваем вершины графа G: V={v1,v2,…,vn}.
Вершину v1 красим первой краской.
Предположим, что вершины v1,…,vi уже раскрашены и на это
использовано k красок.
Если на раскрашенные вершины, смежные с vi+1, использованы все
краски, то vi+1 раскрашиваем k+1 краской.
Если среди k красок найдется краска, которая не использована для
вершин, смежных с vi+1, то вершину vi+1 красим этой краской.
8
2
1
7
11
2
9
4
3
1
12
3
4
6
5
10
Задание:
1.Раскрасить граф
2. Найти хроматическое число
Раскраска ребер
Реберная раскраска называется правильной, если смежные
ребра имеют различные цвета.
Граф, доаускающий правильную реберную k-раскраску,
называется реберно k-раскрашиваемым.
Расстояния в графе
Расстояния в графе, диаметр, центр, радиус графа
Утверждение. Если для двух вершин существует маршрут,
связывающий их, то обязательно найдется минимальный
маршрут, соединяющий эти вершины. Обозначим длину
этого маршрута через d(v, w).
Определение. Величину d(v, w) (конечную или бесконечную)
будем называть расстоянием между вершинами v, w. Это
расстояние удовлетворяет аксиомам метрики:
1. d(v, w) = 0, причем d(v, w) = 0 тогда и только тогда, когда v=w;
2. d(v, w) = d(w, v);
3. d(v, w) = d(v, u) + d(u, w).
Расстояния в графе, диаметр, центр, радиус графа
Определение. Диаметром связного графа называется
максимально возможное расстояние между двумя его
вершинами.
Определение. Центром графа называется такая вершина, что
максимальное расстояние между ней и любой другой
вершиной является наименьшим из всех возможных; это
расстояние называется радиусом графа.
Расстояния в графе, диаметр, центр, радиус графа
Пример
Для графа G, изображенного на рисунке 34, найти радиус, диаметр и
центры.
Решение.
Чтобы определить центры, радиус, диаметр графа G, найдем матрицу D(G)
расстояний между вершинами графа, элементами dij которой будут
расстояния между вершинами vi и vj. Для этого воспользуемся
графическим представлением графа. Заметим, что матрица D(G)
симметрична относительно главной диагонали.
Каждый элемент матрицы – количество ребер от вершины Vj до вершины Vi
Расстояния в графе, диаметр, центр, радиус графа
С помощью полученной матрицы для каждой
вершины графа G определим наибольшее
удаление из выражения:
для i, j = 1, 2, …, 5.
В результате получаем:
r(v1) = 3, r(v2) = 2, r(v3) = 2, r(v4) = 2, r(v5) = 3.
Минимальное из полученных чисел является
радиусом графа G, максимальное – диаметром
графа G.
Значит, R(G) = 2 и D(G) = 3,
центрами являются вершины v2, v3, v4.
Задание
Для графа G, изображенного на рисунке, найти радиус,
диаметр и центры.