(11 класс, модуль 8, урок 3) Урок 3. Построение графиков функций План урока 3.1. Основные этапы исследования функции 3.2. Исследование и построение графика функции f ( x) ( x 1)( x 1)2 ( x 1)3 ( x 1) 2 графика функции 3.3. Исследование и построение графика функции f ( x) 3.4. Исследование и построение f ( x) 2 x x 1 x 1 3.5. Симметричность графика функции относительно вертикальной прямой или относительно точки Тесты Домашнее задание 2 Цели урока: На этом уроке рассматриваются примеры построения графиков функций на основе проведенного исследования, этапы которого рассматривались в предыдущем уроке. Построение почти точного графика – непростая работа, требующая большого объема вычислений и невыполнимая без мощных вычислительных средств, например, компьютера. Целью является изображение примерного вида графика, близкого к реальному. В процессе исследования следует обратить особое внимание на проверку согласованности результатов различных этапов исследования. 3.1. Основные этапы исследования функции Построение графика функции f ( x) производится на основе ее исследования. Основные этапы исследования функции рассмотрены в предыдущем параграфе. Перечислим их еще раз: 1) найти область определения; 2) установить промежутки непрерывности; 3) найти промежутки знакопостоянства и нули функции; 4) исследовать поведение функции вблизи граничных точек области определения; 5) установить промежутки монотонности; 6) найти точки экстремума. Исследование упрощается, если функция имеет характерные особенности: четность, нечетность, периодичность. Когда функция f ( x) четна, достаточно провести ее исследование при x 0 , затем построить часть графика при x 0 и симметрично отразить эту часть относительно оси ординат. Когда функция нечетна, также достаточно построить часть ее графика при x 0 и симметрично отразить эту часть относительно начала системы координат. Когда функция периодична, достаточно построить часть ее графика на отрезке длиной в период, после чего с помощью параллельного переноса изобразить весь график. Вопрос. На рисунке 1 изображена f ( x) sin 2 x . Какой вид имеет весь график? часть графика функции 3.2. Исследование и построение графика функции f ( x) ( x 1)( x 1)2 Проведем исследование и построим график функции 2 f ( x) ( x 1)( x 1) . I. Функция определена и непрерывна на всей числовой прямой. II. f ( x) 0 при x 1 , x 1 ; f ( x) 0 при x (11) (1) ; f ( x) 0 при x (1) . III. f ( x) (( x 1)( x 1)2 ) ( x 1) ( x 1)2 ( x 1)(( x 1)2 ) ( x 1)2 2( x 1)( x 1) ( x 1)(3x 1) ; f ( x ) 0 при x3 1 , x4 1 ; 3 f ( x) 0 при x 1 (1) ; f ( x ) 0 при x 1 1 . Отсюда 3 3 следует: (1) 1 x ( 13 ) 13 ( 13 1) 0 0 f ( x ) 0 0 0 f ( x) максимум минимум IV. f ( 1 ) 32 1 5 ; f (1) 0 . 3 27 27 V. При больших по модулю значениях x данная функция ведет себя похоже на функцию y x 3 . С учетом отмеченных особенностей строим график (рисунок 2). Вопрос. Сколько ( x 1)( x 1)2 1 ? действительных корней имеет 3.3. Исследование и построение графика функции f ( x) уравнение ( x 1)3 ( x 1) 2 ( x 1)3 . ( x 1) 2 x 1 , непрерывна на каждом из Проведем исследование и построим график функции f ( x) I. Функция определена при промежутков ( 1) , (1) . II. f ( x) 0 при x1 1 ; f ( x) 0 при x (11) (1) ; f ( x ) 0 при x (1) . III. f ( x) при x 1 и x 1 ; f ( x) при x 1 и x 1 . 3( x 1) 2 ( x 1) 2 ( x 1)3 2( x 1) ( x 1) 2 ( x 5) ; f ( x ) 0 ( x 1) 4 ( x 1) 4 при x2 1 , x3 5 ; f ( x ) 0 при x (1) (11) (5) ; f ( x ) 0 при x (1 5) . Отсюда следует: 5 (1) (11) (1 5) (5) x 1 0 f ( x ) 0 0 0 0 0 нет мин. f ( x) экстр. V. f (5) 27 13 1 . 2 2 ( x 1 2)3 ( x 1)3 6( x 1)2 12( x 1) 8 ( x 1) 6 VI. f ( x) ( x 1) 2 ( x 1) 2 IV. f ( x) 12 8 2 ( x 5) 12 8 2 . x 1 ( x 1) x 1 ( x 1) Так как при больших по модулю значениях x слагаемое 12 8 x 1 ( x 1) 2 мало, то при x и при x график функции f ( x) приближается к прямой y x 5 . С учетом отмеченных особенностей строим график (рисунок 3). Вопрос. Как объяснить, что график функции 12 8 y ( x 5) 2 x 1 ( x 1) приближается к прямой y x 5 при больших по модулю значениях x ? 3.4. Исследование и построение графика функции f ( x) 2 x x 1 x 1 2 Проведем исследование и построим график функции f ( x) 2 x x 1 x 1 . I. Функция определена и непрерывна при всех x . 2 II. Решим уравнение f ( x) 0 . 2 x2 x 1 x 1 0 , 2 x2 x 1 x 1 , 4( x 2 x 1) x 2 2 x 1 (для корней условие x 1), 3 x 2 2 x 3 0 , действительных корней нет. III. Так как f (0) 1 0 , то f ( x) 0 при всех x . IV. f ( x) 2 x 1 1 . x2 x 1 Решим уравнение f ( x) 0 : 2 x 1 x2 x 1 0 , x2 x 1 2x 1 , x 2 x 1 (2 x 1)2 (для корней условие 2x 1 0 ), x 2 x 0 , x1 1 не удовлетворяет условию 2 x1 1 0 , x2 0 –корень уравнения f ( x) 0 . Методом интервалов определяем, что f ( x) 0 при x 0 и f ( x) 0 при x 0 . Отсюда следует, что f ( x ) убывает на промежутке ( 0) и возрастает на промежутке (0) ; точка x 0 — точка локального минимума. V. Найдем асимптоту при x : k1 lim x b1 lim x f ( x) 2 x2 x 1 x 1 1 1 1 lim lim (2 1 2 1 ) 1 x x x x x x x 2 x 2 x 1 x 1) x lim x 4( x 2 x 1) (2 x 1)2 2 x 2 x 1 (2 x 1) lim x 3 2 x 2 x 1 (2 x 1) Отсюда получаем, что прямая y x является асимптотой данной функции при x . Найдем асимптоту при x : f ( x) 2 x2 x 1 x 1 1 1 1 k2 lim lim lim (2 1 2 1 ) 3 x x x x x x x x b2 lim ((2 x x 1 x 1) 3x) lim 2 x x 4( x 2 x 1) (2 x 1) 2 2 x2 x 1 2 x 1 8 3 x lim lim 2 2 x x 1 2 x x 1 2x 1 2 1 12 2 1 x x x 8x 3 Отсюда получаем, что прямая y 3x 2 является асимптотой данной функции при x . С учетом отмеченных особенностей строим график (рисунок 4). Вопрос. Как доказать, что график функции y 2 x 2 x 1 x 1 не пересекается со своими асимптотами? 3.5. Симметричность графика функции относительно вертикальной прямой или относительно точки Иногда можно заметить симметричность графика функции относительно вертикальной прямой или относительно точки. В этом случае построение графика упрощается. Пример 1. Провести исследование и построить график функции f ( x) x 2 2 x . 0. Решение. Сначала заметим, что f ( x) ( x 1) 2 1 . Поэтому график этой функции получается из графика четной функции g ( x) x 2 1 параллельным переносом, который определяется вектором (1 0) . Отсюда следует, что график функции f ( x) симметричен относительно прямой x 1 . Значит, сначала достаточно исследовать и построить часть графика на луче [1) . Поэтому в приведенном исследовании предполагается, что x 1. I. Функция f ( x) x 2 2 x определена и непрерывна на луче [2) . II. f ( x) 0 при x 2 и f ( x ) 0 при x (2) . III. f ( x) 2 x 2 . Неравенство f ( x) 0 при x 2 очевидно. x2 2x Следовательно, данная функция на луче [2) возрастает. IV. Найдем асимптоту при x : k lim x x2 2x 2 lim 1 1 x x x b lim ( x 2 2 x x) lim x x x2 2 x x2 ) x2 2 x x lim x 2 1 1 2x 1 Отсюда получаем, что прямая y x 1 является асимптотой данной функции при x . С учетом отмеченных особенностей строим часть графика данной функции на луче [1) . (рисунок 5). Вопрос. Как изобразить весь график функции f ( x) x 2 2 x ? Мини-исследование. Докажите, что если точка x симметрична относительно точки a точке x , то x 2a x . Пользуясь этим, установите, что график функции y f ( x) симметричен относительно прямой x a в том и только том случае, когда 1) область определения функции симметрична относительно точки a ; 2) для каждого x из области определения выполняется равенство f (2a x) f ( x) . y f ( x) Установите, что график функции симметричен относительно точки a; b в том и только том случае, когда 1) область определения функции симметрична относительно точки a ; 2) для каждого x из области определения выполняется равенство f (2a x) 2b f ( x) . Найдите, относительно какой точки плоскости симметричен график функции f ( x) ( x 1)( x 1)2 . Проверь себя. Построение графиков функций Задание 1. Укажите правильный вариант ответа. В пункте 2 урока при исследовании функции f ( x) ( x 1)( x 1)2 было 1 найдено, что функция возрастает на промежутках ; и 1; и 3 1 убывает на промежутке ; 1 . На каком из указанных промежутков 3 возрастает функция f ( x) (1 x)( x 1)2 : 1. ; 1 ; 2. 1; 0 ; 3. 0;1 ; 4. 1; ? (Правильный вариант: 3) ( x 1)3 было найдено, ( x 1) 2 что прямая с уравнением y x является наклонной асимптотой x и при x . Какая из указанных прямых является наклонной асимптотой 3 для графика функции f ( x) x 2 : ( x 2) 1. y x 6 ; 2. y x 5 ; 3. y x 4 ; 4. y x 3 ? (Правильный вариант: 3) В пункте 3 урока при исследовании функции f ( x) В пункте 4 урока при исследовании функции f ( x) 2 x 2 x 1 x 1 было найдено, что ее наименьшее значение равно 1. Какое наименьшее значение принимает функция f ( x) 2 4 x 2 2 x 1 2 x : 1. 0; 2. 1; 3. 2; 4. 3? (Правильный вариант: 3) Задание 2. Укажите все правильные варианты ответа. Какие из указанных функций являются четными: x2 x3 x2 x3 1. y ; 2. y ; 3. y ; 4. y ? x 1 x 1 x 1 x 1 (Правильные варианты: 3) Какие из указанных функций являются периодическими: 1. f ( x) cos(arcsin x) ; 2. f ( x) 1 sin 2 x ; 3. f ( x) cos(sin x) ; 4. f ( x) sin 1 x 2 ? (Правильные варианты: 2, 3) Домашнее задание 1. Проведите исследование и постройте график функции: а) f ( x) x3 4 x ; б) 3 2 в) f ( x) x x ; г) 3 д) f ( x) x 2 x 1 ; е) ж) f ( x) x3 4 x 2 3x ;з) f ( x) ( x 1)( x 2)2 ; f ( x) x( x 2 1) ; f ( x) x 3 2 x x ; f ( x) x 3 3 x 2 4 . 2*. Проведите исследование и постройте график функции: а) f ( x) x 4 ; б) x 3 в) f ( x) x 2 ;г) ( x 2) 3 д) f ( x) 2x ; е) x 3 ж) f ( x) x 1 ; з) x x ; 1 x2 3 f ( x) x2 1 ; x 1 f ( x) f ( x) ( x 1) x ; f ( x) ( x 1) 2 x . x 1 3**. Проведите исследование и постройте график функции: 4 x4 ; (1 x)3 2 2 в) f ( x) 2 x4 ; г) f ( x) 2 x 1 ; x 5x 6 1 x д) f ( x) 4 x 2 5 4 x ;e) f ( x) x 2 2 x 1 x . 3 2 а) f ( x) 1 x 2 x ; 2 Рисунки (названия файлов) Рисунок 1. – 9-3-1-1.cdr Рисунок 2. – 9-3-2-2.cdr Рисунок 3. – 9-3-3-3.cdr Рисунок 4. – 9-3-4-4.cdr Рисунок 5. – 9-3-5-5.cdr б) f ( x)