примеры контрольных заданий, 2 семестр

КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ ПО КУРСУ «ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА»
НАПРАВЛЕНИЕ ОБУЧЕНИЯ «СОЦИОЛОГИЯ»
2 СЕМЕСТР
ВАРИАНТ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ ПО МОДУЛЮ 4
1. Обладает ли свойством четности или нечетности функция f ( x) 
2. f ( x) 
x
x4  2
? (1,5 б)
x cos( 2 x  1) , f ' (1)  ? (2 б)
3
2
3. Найти частные производные первого порядка: f ( x, y)  e x  2 xy (2 б)
4. Найти дифференциал первого порядка в точке А(-1,-2) f ( x, y)  x 3  xy  y 2  4 x  y (2,5 б)
5. f ( x) 
x  (1  x)arcctg x , f ' ' ( x)  ? (2 б)
6. Для f ( x, y)  2 x y  3xy  xy2  2 x 3 y  3 y найти
2 f
(2 б)
xy
7. Найти
а)
sin xdx
 cos2 x  8
(1,5 б)
б)
x
 cos 3x  2  3 x dx
1
в)  xe5 x dx (2,5 б)
(1 б)
0
8. (БОНУС – 2 балла) Определить площадь области, ограниченной графиками функций xy  6, y  x  5
ВАРИАНТ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ ПО МОДУЛЮ 5
1. Найти локальные экстремумы функции f ( x)  x 3  x 2  5 x (2 б)
2. Найти наибольшее значение функции f ( x)  x 3  x 2  x на отрезке [0;2] (2 б)
3. Найти и охарактеризовать точки безусловного локального экстремума функции
f ( x, y)  x 2  xy  y 2  9 x  6 y (3 б)
4. Найти и охарактеризовать точки экстремума f ( x, y)  3x 2  2 x 3  x 2 y при условии
y  x  6 . (3 б)
f ( x, y )  4 x  y  min,
5. Решить графически задачу лин. программирования.
6. Известны запасы стали (600 кг.), меди (190кг), олова
(100кг.), из которых производят детали А, В. Нормы
расхода материала приведены и данные о прибыли - в
таблице. Составить матем. модель задачи определения
количества выпущенных изделий, приносящего
максимальную прибыль (1,5 б).
 x y 8
2 x  3 y  6


 x0
 y  0
(3,5б)
Виды
Расходы (кг)
ресурсов
А
В
Сталь
3
5
Медь
2
1
Олово
1
0
Прибыль 6уе
2уе
7. Требуется огородить прямоугольную площадь вдоль выстроенной стены. Стоимость работ по ограждению
стороны, параллельной стене, равна 60 рублей за метр, стоимость работ по ограждению двух других сторон
составляет 90 рублей за метр. Какая максимальная площадь может быть огорожена, если можно истратить
10800 рублей? (2 б)
8. (БОНУС – 2балла) Издержки производства товара определены функцией g ( x)  4  15 x , цена на товар функцией f ( x)   x 2  20 x  2 . Известно, что объем производства x может меняться в пределах от 10 до 20
тысяч штук. Найти объем производства, максимизирующий прибыль, и значение максимальной прибыли.
ОБРАЗЕЦ ИНДИВИДУАЛЬНОГО ЗАДАНИЯ ПО МОДУЛЮ 5
Провести полное исследование предложенной функции (например, f ( x) 
x
x 2  16
) по заданной
схеме, построить ее график. (6 баллов)
СХЕМА ИССЛЕДОВАНИЯ ФУНЦИИ
1. Найти область определения функции y=f(x).
2. Проверить наличие у исследуемой функции дополнительных свойств (четность, нечетность,
периодичность). В случае, когда, например, функция является нечетной (четной), достаточно
проводить исследования и строить эскиз графика при x  0 с последующим симметричным его
отображением (относительно начала координат для нечетной функции или относительно оси OY для
четной).
3. Определить координаты точек пересечения графика функции с осями координат (для
нахождения точки пересечения графика с осью OX решаем уравнение f(x)=0; для нахождения точки
пересечения графика с осью OY подставляем в аналитическое выражение функции значение x=0).
4. Определить, где функция f(x) является непрерывной; установить точки разрыва и найти
lim f ( x ) и lim f ( x ) . Если хотя бы один из этих пределов равен бесконечности, то прямая x=a
xa
xa
xa
xa
является вертикальной асимптотой графика функции.
5. Найти f '( x) и с ее помощью определить интервалы монотонности функции, точки
экстремума и экстремальные значения.
6. Найти f ''( x) , с ее помощью определить направления выпуклости графика функции и найти
точки перегиба.
7. Найти наклонные асимптоты графика. Уравнение наклонной асимптоты имеет вид y=kx+b,
f ( x)
где k и b находятся по формулам k  lim
, b  lim ( f ( x)  kx) (предполагается, что эти
x 
x  x
пределы существуют и конечны).
ТЕМЫ ЭССЕ ПО МОДУЛЮ 4
1. Модуль (абсолютная величина) вещественного числа: основные свойства и история
появления.
2. История появления и свойства элементарных функций (тригонометрических,
логарифмической, показательной)
3. История понятия «функция»
4. Р.Декарт и его математические исследования
5. И.Ньютон и его теория флюксий
6. Г.В.Лейбниц
7. Судьба Леонарда Эйлера
8. Метод наименьших квадратов, его история и приложения
9. Из истории бесконечно малых величин
10. Из истории бесконечно больших величин
11. Споры вокруг актуальной и потенциальной бесконечности
12. История понятия «непрерывность функции»
13. История определенных интегралов
14. История неопределенных интегралов
15. История несобственных интегралов