Реконструируемость малых турниров

РЕКОНСТРУИРУЕМОСТЬ МАЛЫХ ТУРНИРОВ
А.А.Долгов
Саратовский государственный университет, Саратов, Россия
Турниром называется полный направленный граф без петель. Турнир
называется сильным, если любые две его вершины взаимно достижимы.
Здесь и далее определения даются по работе [1].
Говорят, что граф является реконструируемым, если он может быть
однозначно с точностью до изоморфизма восстановлен по списку своих
максимальных подграфов.
Для неориентированных графов известная гипотеза Келли-Улама
(1945 г.) утверждает, что если два графа G и H с числом вершин большим
двух имеют одинаковые максимальные подграфы, то G и H изоморфны.
Для малых графов гипотеза проверена с помощью компьютерного поиска
(см. [2]).
Для ориентированных графов гипотеза в общем виде не верна. Особый интерес представляют результаты, полученные в 70-80-х годах Стокмейером. В обобщающей работе [3] приводится схема построения пар
сильных n-вершинных турниров, имеющих одинаковые списки максимальных подграфов, то есть являющихся исключением из гипотезы КеллиУлама, для n = 2m + 2k, 0 ≤ m < k (3, 5, 6, 9, 10, 12, 17, 18, 20, 24, ...). Реконструируемость несильных турниров была доказана Харари и Палмером в
работе [4]. С помощью компьютерных вычислений Стокмейер проверил
все турниры с числом вершин до 8 в поиске нереконструируемых турниров.
Была разработана система распределенных вычислений для поиска
нереконструируемых турниров. Разработав ряд алгоритмов, позволяющих
сократить и ускорить перебор, при помощи системы удалось получить все
турниры с числом вершин до 10, а затем, используя их проверить реконструируемость турниров с числом вершин до 11. Таким образом, были перепроверены результаты Стокмейера для турниров с числом вершин до 8, а
также было проведено более глубокое исследование реконструируемости
турниров.
Некоторые результаты исследований были ранее представлены в работе [5]. На рисунке изображены нереконструируемые 10-вершинные турниры, обнаруженные в ходе вычислений. Для найденных турниров получено аналитическое доказательство их нереконструируемости.
Рис. 10-вершинные нереконструируемые графы
Результаты были получены с помощью расчетов, осуществлявшихся
в течение 25 суток на 8 компьютерах Intel Pentium IV 2.4 ГГц.
Список литературы
1. Богомолов А.М., Салий В.Н. Алгебраические основы теории дискретных систем. М.: Наука. 1997. С. 368
2. McKay B. D., Small graphs are reconstructible // Australasian J. Combinatorics, 1997. Vol. 15. P. 123-126.
3. Stockmeyer P.B. My quest for non-reconstructable graphs // Congressus
Numerantium, 1988. Vol. 63. P.188-200.
4. Harary F., Palmer E. M. On the Problem of Reconstructing a Tournament from Subtournaments // Monatsh. Math, 1967. Vol. 71. P. 14-23.
5. Абросимов М.Б., Долгов А.А. Гипотеза Келли-Улама и малые турниры // Актуальные проблемы математики, механики, информатики: матер. Междунар. науч.-метод. конф., посвященной 90-летию высшего математического образования на Урале (Пермь, 9-15 окт. 2006 г.). Пермь: ПГУ,
2006. 300 с. С. 33-34.